M10 G - Die Sinusfunktion visualisieren – MSA-Brücke

M10 G - Die Sinusfunktion visualisieren – MSA-Brücke

Mini-Beschreibung: Visualisiere als MSA-Brücke $f(\alpha )=\sin (\alpha )$ für $0^{\circ }\le \alpha \le 360^{\circ }$ und ordne Winkel passenden Funktionswerten zu.

Zielgruppe: Klasse 10, G-Niveau mit MSA-Orientierung, Mathematik Baden-Württemberg.

Einleitung

Beim Sinus gehören Winkel, Punkt am Einheitskreis und Funktionswert zusammen. Du beobachtest zuerst die Kreisbewegung und überträgst dann die Höhe des Punktes in einen Graphen.

Merksatz: Der Sinuswert ist die y-Koordinate des Punktes auf dem Einheitskreis.

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Lernziele

1. Sinusfunktion: Du liest Werte von $f(\alpha )=\sin (\alpha )$ im Bereich $0^{\circ }$ bis $360^{\circ }$ ab.
2. Einheitskreis: Du erklärst den Sinuswert als Höhe eines Punktes.
3. Funktionsgraph: Du ordnest markante Winkel den passenden Punkten des Sinusgraphen zu.
4. MSA-Brücke: Du begründest Vorzeichen, Nullstellen, Hochpunkt und Tiefpunkt mit dem Einheitskreis.
5. Digitale Mathematik: Du prüfst digitale oder KI-erzeugte Graphen an bekannten Kontrollpunkten.

Vorwissen-Check

Prüfe ohne Taschenrechner:

1. Bei $0^{\circ }$ liegt der Kreispunkt auf der positiven x-Achse. Welche y-Koordinate hat er?
2. Bei $90^{\circ }$ liegt der Punkt ganz oben. Welchen Sinuswert erwartest Du?
3. Bei $180^{\circ }$ liegt der Punkt wieder auf der x-Achse. Welchen Sinuswert erwartest Du?
4. Bei $270^{\circ }$ liegt der Punkt ganz unten. Welches Vorzeichen muss der Sinuswert haben?

Selbstkontrolle: $\sin (0^{\circ })=0$, $\sin (90^{\circ })=1$, $\sin (180^{\circ })=0$, $\sin (270^{\circ })=-1$.

Einheitskreis-Simulation

Interaktiv: Bewege in der GeoGebra-Simulation den Punkt am Einheitskreis. Beobachte gleichzeitig Winkel, Höhe und Sinusgraph.

Prüfauftrag: Stelle nacheinander $0^{\circ }$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$ und $360^{\circ }$ ein. Stimmen die Werte mit $0,1,0,-1,0$ überein?

Vom Kreis zum Graphen

Datei:Tracing a sine function derived from circle.webm

Schritt 1: Wähle einen Winkel $\alpha$.

Schritt 2: Gehe auf dem Einheitskreis bis zum zugehörigen Punkt.

Schritt 3: Lies die y-Koordinate ab. Sie ist $\sin (\alpha )$.

Schritt 4: Trage im Koordinatensystem den Punkt $(\alpha \mid \sin (\alpha ))$ ein.

Schritt 5: Wiederhole das für weitere Winkel. So entsteht der Sinusgraph.

Die fünf wichtigsten Kontrollpunkte

Winkel	Sinuswert
$0^{\circ }$	$0$
$90^{\circ }$	$1$
$180^{\circ }$	$0$
$270^{\circ }$	$-1$
$360^{\circ }$	$0$

Graphisch: Der Graph startet bei $0$, steigt bis $1$, fällt durch $0$ bis $-1$ und kehrt zu $0$ zurück.

Vorzeichen schnell erkennen

1. Für $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ liegt der Kreispunkt oberhalb der x-Achse: $\sin (\alpha )>0$.
2. Für $180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$ liegt er unterhalb der x-Achse: $\sin (\alpha )<0$.
3. Auf der x-Achse gilt bei $0^{\circ }$, $180^{\circ }$ und $360^{\circ }$: $\sin (\alpha )=0$.

MSA-Brücke: zusätzliche Standardwinkel

MSA-Brücke: Diese Werte erweitern die fünf Grundpunkte. Nutze sie zum genaueren Zeichnen und Prüfen.

Winkel	$\sin (\alpha )$
$30^{\circ }$	$\frac{1}{2}$
$45^{\circ }$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$60^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$120^{\circ }$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$150^{\circ }$	$\frac{1}{2}$
$210^{\circ }$	$-\frac{1}{2}$
$270^{\circ }$	$-1$
$330^{\circ }$	$-\frac{1}{2}$

Symmetrie-Hilfe: $\sin (30^{\circ })=\sin (150^{\circ })$. Beide Punkte liegen gleich hoch über der x-Achse.

Interaktives Beispiel

Aufgabe: Bestimme $\sin (150^{\circ })$ mithilfe des Einheitskreises.

Schritt 1: $150^{\circ }$ liegt im oberen Halbkreis. Das Ergebnis ist positiv.

Schritt 2: Der zugehörige spitze Bezugswinkel ist $30^{\circ }$.

Schritt 3: $\sin (30^{\circ })=\frac{1}{2}$.

Ergebnis: $\sin (150^{\circ })=\frac{1}{2}$.

Kontrolle am Graphen: Der Punkt bei $150^{\circ }$ muss oberhalb der x-Achse bei ungefähr $\mathrm{0,5}$ liegen.

Üben mit Hilfestufen

Übung 1: Grundpunkte

Ordne zu: $0^{\circ }$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$, $360^{\circ }$.

Hilfe 1: Suche zuerst die drei Nullstellen.

Hilfe 2: Ganz oben bedeutet $1$, ganz unten $-1$.

Feedback: Wenn Deine Reihenfolge $0,1,0,-1,0$ lautet, passt sie zum Einheitskreis.

Übung 2: Vorzeichen

Entscheide nur: positiv, null oder negativ.

1. $\sin (70^{\circ })$
2. $\sin (180^{\circ })$
3. $\sin (250^{\circ })$

Hilfe 1: Oberer Halbkreis = positiv, x-Achse = null, unterer Halbkreis = negativ.

Feedback: positiv, null, negativ.

Übung 3: MSA-Brücke

Bestimme $\sin (30^{\circ })$, $\sin (150^{\circ })$, $\sin (210^{\circ })$.

Hilfe 1: Alle drei Winkel haben den Bezugswinkel $30^{\circ }$.

Hilfe 2: Prüfe nur noch, ob der Punkt oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt.

Feedback: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$.

Typische Fehler

1. Gradmaß übersehen: Prüfe, ob Dein Rechner auf DEG steht, wenn Du mit Grad arbeitest.
2. x- und y-Koordinate vertauschen: Beim Sinus liest Du am Einheitskreis die y-Koordinate.
3. Vorzeichen vergessen: Im unteren Halbkreis ist der Sinus negativ.
4. Graph zu eckig zeichnen: Die Sinuskurve verläuft glatt durch die markanten Punkte.
5. KI-Ausgabe ungeprüft übernehmen: Kontrolliere mindestens $0^{\circ }$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$ und $360^{\circ }$. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Kannst Du diese Aussagen begründen?

1. $-1\le \sin (\alpha )\le 1$.
2. $\sin (0^{\circ })=\sin (180^{\circ })=\sin (360^{\circ })=0$.
3. $\sin (90^{\circ })=1$ und $\sin (270^{\circ })=-1$.
4. Der Graph ist zwischen $0^{\circ }$ und $180^{\circ }$ oberhalb oder auf der x-Achse.
5. Der Graph ist zwischen $180^{\circ }$ und $360^{\circ }$ unterhalb oder auf der x-Achse.

Transfer

Situation: Ein Punkt bewegt sich gleichmäßig auf einem Riesenrad. Seine Höhe über der Kreismitte kann durch eine Sinusfunktion beschrieben werden.

1. Markiere auf einer Skizze die Positionen für $0^{\circ }$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$ und $270^{\circ }$.
2. Übertrage die relative Höhe in einen Sinusgraphen.
3. Erkläre, warum nach $360^{\circ }$ dieselbe Höhe wie bei $0^{\circ }$ erreicht wird.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welchen Wert hat $\sin (90^{\circ })$? (1) (!0) (!-1) (!0,5)

Welchen Wert hat $\sin (180^{\circ })$? (0) (!1) (!-1) (!0,5)

Was beschreibt $\sin (\alpha )$ am Einheitskreis? (Die y-Koordinate des Kreispunktes) (!Die x-Koordinate des Kreispunktes) (!Den Radius des Kreises) (!Den Umfang des Kreises)

In welchem Bereich ist der Sinus negativ? (Zwischen 180 Grad und 360 Grad) (!Zwischen 0 Grad und 180 Grad) (!Nur bei 90 Grad) (!Nur bei 180 Grad)

Welche Folge gehört zu 0 Grad, 90 Grad, 180 Grad, 270 Grad und 360 Grad? (0, 1, 0, -1, 0) (!1, 0, -1, 0, 1) (!0, -1, 0, 1, 0) (!1, 1, 0, -1, -1)

Welchen Wert hat $\sin (30^{\circ })$? (0,5) (!0) (!1) (!-0,5)

Welchen Wert hat $\sin (150^{\circ })$? (0,5) (!-0,5) (!1) (!0)

Welches Vorzeichen hat $\sin (250^{\circ })$? (negativ) (!positiv) (!null) (!immer positiv)

Welche Einstellung passt am Taschenrechner zu Winkeln in Grad? (DEG) (!RAD) (!SCI) (!STAT)

Welche Aussage eignet sich als Kontrolle eines digitalen Sinusgraphen? (Bei 270 Grad muss der Funktionswert -1 sein) (!Bei 90 Grad muss der Funktionswert 0 sein) (!Bei 180 Grad muss der Funktionswert 1 sein) (!Bei 360 Grad muss der Funktionswert -1 sein)

Memory

$0^{\circ }$	$0$
$90^{\circ }$	$1$
$180^{\circ }$	Nullstelle
$270^{\circ }$	Tiefpunkt
$30^{\circ }$	$\frac{1}{2}$
oberer Halbkreis	positiver Sinuswert

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Hochpunkt	oberster Sinuswert
Tiefpunkt	unterster Sinuswert
Nullstelle	Schnitt mit der x-Achse
oberer Halbkreis	positiver Sinuswert
unterer Halbkreis	negativer Sinuswert

Kreuzworträtsel

Sinus	Welche Winkelfunktion liest am Einheitskreis die y-Koordinate ab?
Einheitskreis	Wie heißt der Kreis mit Radius eins?
Hochpunkt	Wie heißt die höchste Stelle des betrachteten Sinusgraphen?
Tiefpunkt	Wie heißt die niedrigste Stelle des betrachteten Sinusgraphen?
Nullstelle	Wie heißt eine Stelle mit Funktionswert null?
Gradmaß	Wie heißt die Winkelangabe mit dem Gradzeichen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Am Einheitskreis entspricht der Sinuswert der des Punktes. Bei $90^{\circ }$ hat die Sinusfunktion den Wert . Bei $180^{\circ }$ liegt eine . Im unteren Halbkreis sind die Sinuswerte . Nach $360^{\circ }$ erreicht der Graph wieder den Wert . Zum Prüfen von Winkeln in Grad sollte der Taschenrechner auf stehen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Einheitskreis: Zeichne einen Einheitskreis und markiere $0^{\circ }$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$, $270^{\circ }$ und $360^{\circ }$.
2. Sinuswert: Erstelle fünf Karten mit den Grundwinkeln und den passenden Sinuswerten.
3. Funktionsgraph: Zeichne die fünf Grundpunkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie zu einer glatten Sinuskurve.
4. Fehleranalyse: Korrigiere die falsche Aussage „$\sin (270^{\circ })=1$“ mit einer Skizze.

Standard

1. Wertetabelle: Ergänze $30^{\circ }$, $150^{\circ }$, $210^{\circ }$ und $330^{\circ }$ mit passenden Sinuswerten.
2. Graph und Kreis: Erkläre mit zwei Bildern, wie ein Punkt am Einheitskreis zu einem Punkt im Sinusgraphen wird.
3. Digitale Simulation: Nutze eine Einheitskreis-Simulation und dokumentiere drei überprüfte Winkel ohne personenbezogene Daten.
4. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Lernvideo, in dem Du die Grundpunkte des Sinusgraphen erklärst. Veröffentliche keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. MSA-Brücke: Begründe mit Symmetrie, warum $\sin (30^{\circ })=\sin (150^{\circ })$.
2. Transfer: Entwickle ein Riesenrad-Modell und ordne vier Positionen passenden Sinuswerten zu.
3. Plausibilitätsprüfung: Lass ein digitales Werkzeug einen Sinusgraphen erzeugen und prüfe ihn an mindestens fünf Kontrollpunkten.
4. Mathematische Begründung: Erkläre, warum der Wertebereich der Sinusfunktion am Einheitskreis von $-1$ bis $1$ reicht.

Lernkontrolle

1. Darstellung wechseln: Erkläre für $120^{\circ }$ den Weg vom Winkel über den Einheitskreis zum Punkt im Sinusgraphen.
2. Begründen: Begründe ohne Taschenrechner, warum $\sin (220^{\circ })$ negativ sein muss.
3. Fehler finden: Ein digitaler Graph zeigt bei $90^{\circ }$ den Wert $0$. Nenne eine mögliche Ursache und eine sichere Kontrolle.
4. Transfer: Beschreibe, wie die relative Höhe eines Riesenradkorbs mit einem Sinusgraphen zusammenhängt.
5. Vergleichen: Vergleiche die Werte bei $30^{\circ }$ und $150^{\circ }$ und begründe die Gleichheit am Kreis.
6. MSA-Brücke: Zeichne aus markanten Werten einen Sinusgraphen für $0^{\circ }\le \alpha \le 360^{\circ }$ und erläutere zwei Kontrollpunkte.

Kompetenzcheck

Ich kann …

1. Winkel im Einheitskreis sicher lokalisieren.
2. $\sin (\alpha )$ als y-Koordinate deuten.
3. die fünf Grundpunkte des Sinusgraphen eintragen.
4. positive, negative und verschwindende Sinuswerte begründen.
5. einfache MSA-Brückenwerte zuordnen.
6. digitale Ergebnisse an Kontrollpunkten kritisch prüfen.

Reflexion

1. Welches Bild hilft Dir mehr: Einheitskreis oder Sinusgraph? Begründe.
2. Welchen Kontrollpunkt merkst Du Dir als Erstes?
3. Wo brauchst Du noch Hilfe: Winkel, Vorzeichen, Werte oder Graph?
4. Welche digitale Darstellung war hilfreich, und wie hast Du geprüft, dass sie mathematisch stimmt?

Folgekurs

MSA-Brücke: Als Nächstes kannst Du die Sinusfunktion auf Sachsituationen übertragen und Veränderungen am Graphen untersuchen, zum Beispiel Sinusfunktion, Periodische Funktionen und Trigonometrie.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. den Zusammenhang zwischen Winkel, Einheitskreis und Sinusgraph erklären kannst,
2. Grundpunkte korrekt einträgst und beschriftest,
3. Funktionswerte zu markanten Winkeln zuordnest,
4. Vorzeichen mit der Lage im Einheitskreis begründest,
5. einen Rechen- oder Denkweg nachvollziehbar darstellst,
6. digitale Ergebnisse durch bekannte Kontrollpunkte überprüfst.

OERs zum Thema

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Verknüpfte Lernbereiche

Sinusfunktion Einheitskreis Trigonometrie Funktionsgraph Winkelfunktionen Periodische Funktionen Mittlerer Schulabschluss