M10 G - Baumdiagramm und Vierfeldertafel verbinden – MSA-Brücke

Einleitung

Ein Baumdiagramm zeigt Wege. Eine Vierfeldertafel zeigt dieselben Daten als vier gemeinsame Fälle. In diesem aiMOOC lernst Du, sicher zwischen beiden Darstellungen zu wechseln und zu begründen, welche Darstellung für eine Frage übersichtlicher ist.

G-Niveau: klare Schritte, überschaubare Zahlen, Hilfen und Selbstkontrolle.

MSA-Brücke: Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten und einem Wechsel der Blickrichtung sind ausdrücklich gekennzeichnet.

Wahrscheinlichkeitsbaum mit Ereignissen und Gegenereignissen

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Digital arbeiten: Prüfe Tabellen, Taschenrechner- und KI-Ausgaben durch Rückrechnung. Gib keine personenbezogenen Daten ein. Eine KI-Ausgabe kann einen Rechenweg unterstützen, ersetzt aber keinen mathematischen Beweis und keine eigene Begründung.

Lernziele

Du kannst ...	Woran erkennst Du es?
Informationen aus einer Vierfeldertafel lesen.	Du findest Schnittmengen, Randwerte und Gesamtzahl.
aus einer Vierfeldertafel ein Baumdiagramm aufbauen.	Du berechnest zuerst die Anteile der ersten Stufe und dann bedingte Anteile.
ein Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel übertragen.	Du berechnest die vier Pfadwahrscheinlichkeiten.
eine passende Darstellung auswählen.	Du begründest: Wege → Baumdiagramm, gemeinsamer Überblick → Vierfeldertafel.
MSA-Brücke: bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen.	Du nutzt zum Beispiel $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

Vorwissen-Check

Nutze für den Check zunächst keine Lösungshilfe.

Frage	Dein Ergebnis
Was ist das Gegenereignis zu $A$?	$\bar{A}$
Wie groß ist bei 60 von 100 der Anteil?	$\frac{60}{100}=\mathrm{0,60}=60\mathrm{\%}$
Welche Regel gilt entlang eines vollständigen Pfades?	Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert.
Welche Regel gilt für mehrere passende, getrennte Pfade?	Die Pfadwahrscheinlichkeiten werden addiert.

Selbstkontrolle: Wenn Dir mindestens drei Zeilen sicher gelingen, kannst Du direkt weiterarbeiten. Sonst wiederhole Wahrscheinlichkeit, Gegenereignis und Pfadregeln.

Kernidee: Dieselben vier Fälle

Wir betrachten 100 Lernende.

$A$: „übt regelmäßig“

$B$: „besteht den Probetest“

Gegeben sind:

$45$ üben regelmäßig und bestehen.

$15$ üben regelmäßig und bestehen nicht.

$20$ üben nicht regelmäßig und bestehen.

$20$ üben nicht regelmäßig und bestehen nicht.

Vierfeldertafel

	$B$	$\bar{B}$	Summe
$A$	45	15	60
$\bar{A}$	20	20	40
Summe	65	35	100

Beispiel einer Vierfeldertafel

Merke: Die vier inneren Felder gehören zu

$A\cap B$, $A\cap \bar{B}$, $\bar{A}\cap B$ und $\bar{A}\cap \bar{B}$.

Vom Tabellenfeld zur Wahrscheinlichkeit

Da die Gesamtzahl 100 ist, lassen sich die vier inneren Felder sofort als Wahrscheinlichkeiten lesen:

Fall	Rechnung	Wahrscheinlichkeit
$A\cap B$	$\frac{45}{100}$	$\mathrm{0,45}$
$A\cap \bar{B}$	$\frac{15}{100}$	$\mathrm{0,15}$
$\bar{A}\cap B$	$\frac{20}{100}$	$\mathrm{0,20}$
$\bar{A}\cap \bar{B}$	$\frac{20}{100}$	$\mathrm{0,20}$

Kontrolle:

$\mathrm{0,45}+\mathrm{0,15}+\mathrm{0,20}+\mathrm{0,20}=1$.

Transformation 1: Vierfeldertafel → Baumdiagramm

Schritt 1: Erste Stufe

Aus der Zeilensumme liest Du:

$P(A)=\frac{60}{100}=\mathrm{0,60}$

$P(\bar{A})=\frac{40}{100}=\mathrm{0,40}$

Schritt 2: Zweite Stufe

Jetzt wird innerhalb der jeweiligen Gruppe gerechnet.

Für die 60 Lernenden mit $A$:

$P(B\mid A)=\frac{45}{60}=\mathrm{0,75}$

$P(\bar{B}\mid A)=\frac{15}{60}=\mathrm{0,25}$

Für die 40 Lernenden mit $\bar{A}$:

$P(B\mid \bar{A})=\frac{20}{40}=\mathrm{0,50}$

$P(\bar{B}\mid \bar{A})=\frac{20}{40}=\mathrm{0,50}$

Schritt 3: Pfade kontrollieren

1. Ast	2. Ast	Pfadprodukt	Tabellenfeld
$A:\mathrm{0,60}$	$B\mid A:\mathrm{0,75}$	$\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,45}$	45 von 100
$A:\mathrm{0,60}$	$\bar{B}\mid A:\mathrm{0,25}$	$\mathrm{0,60}\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{0,15}$	15 von 100
$\bar{A}:\mathrm{0,40}$	$B\mid \bar{A}:\mathrm{0,50}$	$\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,50}=\mathrm{0,20}$	20 von 100
$\bar{A}:\mathrm{0,40}$	$\bar{B}\mid \bar{A}:\mathrm{0,50}$	$\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,50}=\mathrm{0,20}$	20 von 100

Visuelle Leseregel: Jede Tabellenzelle entspricht genau einem vollständigen Pfad.

Wahrscheinlichkeitsbaum

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Transformation 2: Baumdiagramm → Vierfeldertafel

Gegeben ist ein Baum mit

$P(A)=\mathrm{0,70}$,

$P(\bar{A})=\mathrm{0,30}$,

$P(B\mid A)=\mathrm{0,80}$,

$P(\bar{B}\mid A)=\mathrm{0,20}$,

$P(B\mid \bar{A})=\mathrm{0,40}$,

$P(\bar{B}\mid \bar{A})=\mathrm{0,60}$.

Schritt 1: Vier Pfadprodukte

$P(A\cap B)=\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,80}=\mathrm{0,56}$

$P(A\cap \bar{B})=\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,20}=\mathrm{0,14}$

$P(\bar{A}\cap B)=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,40}=\mathrm{0,12}$

$P(\bar{A}\cap \bar{B})=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,60}=\mathrm{0,18}$

Schritt 2: Vierfeldertafel füllen

	$B$	$\bar{B}$	Summe
$A$	$\mathrm{0,56}$	$\mathrm{0,14}$	$\mathrm{0,70}$
$\bar{A}$	$\mathrm{0,12}$	$\mathrm{0,18}$	$\mathrm{0,30}$
Summe	$\mathrm{0,68}$	$\mathrm{0,32}$	$1$

Kontrolle:

$\mathrm{0,56}+\mathrm{0,14}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,18}=1$.

2x2-Kontingenztafel

Welche Darstellung ist günstiger?

Fragestellung	Meist übersichtlicher	Warum?
„Wie groß ist $P(A\cap B)$?“	Baum oder Vierfeldertafel	Ein Pfadprodukt oder ein einzelnes Feld genügt.
„Wie viele gehören zu $A$ insgesamt?“	Vierfeldertafel	Randwerte sind direkt sichtbar.
„Wie groß ist $P(B\mid A)$?“	Baumdiagramm	Die Bedingung $A$ legt den betrachteten Ast fest.
„Welche vier Kombinationen gibt es?“	Vierfeldertafel	Alle vier Fälle stehen gleichzeitig nebeneinander.
„Wie läuft ein zweistufiger Vorgang ab?“	Baumdiagramm	Reihenfolge und Verzweigungen sind sichtbar.

Denkfrage: Eine Darstellung ist nicht „richtig“ und die andere „falsch“. Entscheidend ist, welche Struktur die Fragestellung deutlicher macht.

MSA-Brücke: Blickrichtung wechseln

Aus der ersten Vierfeldertafel gilt:

$P(B)=\frac{65}{100}=\mathrm{0,65}$

Gesucht ist nun nicht $P(B\mid A)$, sondern $P(A\mid B)$.

Unter den 65 Lernenden mit $B$ sind 45 mit $A$.

Also:

$P(A\mid B)=\frac{45}{65}\approx \mathrm{0,692}$.

MSA-Brücke: Beim Wechsel der Bedingung ändert sich der Nenner.

$P(B\mid A)=\frac{45}{60}=\mathrm{0,75}$

aber

$P(A\mid B)=\frac{45}{65}\approx \mathrm{0,692}$.

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Interaktive Beispiele und Übungen

Übung 1: Fehlende Werte ergänzen

Von 100 Personen nutzen 70 einen Lernplan $L$. 56 davon bestehen einen Test $T$. Von den 30 Personen ohne Lernplan bestehen 15.

Ergänze:

	$T$	$\bar{T}$	Summe
$L$	56	?	70
$\bar{L}$	15	?	30
Summe	?	?	100

Hilfe 1: Ergänze zuerst die beiden Zeilen auf 70 und 30.

Hilfe 2: Danach addierst Du die Spalten.

Lösung und Feedback: Es fehlen 14, 15, 71 und 29. Prüfe: $56+14+15+15=100$. Wenn Deine Summe nicht 100 ist, liegt ein Übertragungs- oder Additionsfehler vor.

Übung 2: Tabelle in Baum übersetzen

Nutze die Daten aus Übung 1.

Berechne:

$P(L)$,

$P(T\mid L)$,

$P(T\mid \bar{L})$.

Hilfe 1: Erste Stufe: Teile die Zeilensumme durch die Gesamtzahl.

Hilfe 2: Zweite Stufe: Teile innerhalb der jeweiligen Zeile.

Lösung und Feedback: $P(L)=\mathrm{0,70}$, $P(T\mid L)=\frac{56}{70}=\mathrm{0,80}$, $P(T\mid \bar{L})=\frac{15}{30}=\mathrm{0,50}$. Ein typischer Fehler wäre $\frac{56}{100}$ als bedingte Wahrscheinlichkeit zu verwenden.

Übung 3: Baum in Tabelle übersetzen

Gegeben:

$P(A)=\mathrm{0,60}$

$P(B\mid A)=\mathrm{0,50}$

$P(B\mid \bar{A})=\mathrm{0,25}$

Bestimme die vier inneren Felder einer Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten.

Hilfe 1: Ergänze die Gegenwahrscheinlichkeiten zu $1$.

Hilfe 2: Berechne vier Pfadprodukte.

Lösung und Feedback: $\mathrm{0,30}$, $\mathrm{0,30}$, $\mathrm{0,10}$, $\mathrm{0,30}$. Kontrolle: Die vier Werte ergeben $1$.

Beispiel eines verzweigten Wahrscheinlichkeitsbaums

Typische Fehler

Fehler	So prüfst Du ihn
Bei $P(B\mid A)$ wird durch die Gesamtzahl geteilt.	Der Nenner muss zur Bedingung $A$ gehören.
Astwahrscheinlichkeiten werden addiert statt multipliziert.	Auf einem vollständigen Pfad gilt die Produktregel.
Vier innere Felder werden mit Randwerten verwechselt.	Die vier inneren Felder sind die Schnittmengen.
Gegenwahrscheinlichkeiten ergeben nicht $1$.	Prüfe an jeder Verzweigung: $p+(1-p)=1$.
Gerundete Werte führen zu sichtbaren Abweichungen.	Rechne möglichst mit Brüchen oder ungerundeten Werten weiter.

Selbstkontrolle

Prüfe ohne Hilfe:

1. Vierfeldertafel prüfen: Ergeben alle vier inneren Wahrscheinlichkeiten zusammen $1$?
2. Baumdiagramm prüfen: Ergeben die Astwahrscheinlichkeiten an jeder Verzweigung $1$?
3. Pfad prüfen: Stimmt ein Pfadprodukt mit dem zugehörigen Tabellenfeld überein?
4. Bedingung prüfen: Passt der Nenner zur genannten Bedingung?
5. Darstellung prüfen: Kannst Du begründen, warum Baum oder Tabelle hier übersichtlicher ist?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Größe steht im inneren Feld der Zeile A und Spalte B? (P von A geschnitten B) (!P von A) (!P von B) (!P von A vereinigt B)

Welche Rechnung liefert eine Pfadwahrscheinlichkeit im Baumdiagramm? (Die Astwahrscheinlichkeiten des Pfades multiplizieren) (!Die Astwahrscheinlichkeiten des Pfades addieren) (!Nur die erste Astwahrscheinlichkeit verwenden) (!Die beiden Astwahrscheinlichkeiten voneinander abziehen)

Was gilt an einer vollständigen Verzweigung? (Die Astwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1) (!Die Astwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 100) (!Die Astwahrscheinlichkeiten müssen gleich groß sein) (!Die Astwahrscheinlichkeiten werden immer multipliziert)

Welche Darstellung zeigt Randwerte besonders direkt? (Vierfeldertafel) (!Kreisdiagramm) (!Zahlengerade) (!Koordinatensystem)

Welche Darstellung zeigt einen zweistufigen Ablauf besonders anschaulich? (Baumdiagramm) (!Vierfeldertafel) (!Histogramm) (!Boxplot)

Welcher Nenner gehört zu P von B unter der Bedingung A? (Die Anzahl beziehungsweise Wahrscheinlichkeit von A) (!Immer die Gesamtzahl) (!Die Anzahl von B) (!Die Anzahl des Gegenereignisses von B)

Was ist der erste Schritt beim Übertragen eines Baumdiagramms in eine Vierfeldertafel? (Die vier Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen) (!Alle Wahrscheinlichkeiten addieren) (!Nur die erste Stufe abschreiben) (!Die Gegenereignisse löschen)

Was ist ein guter Kontrollwert für eine Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten? (Die vier inneren Felder ergeben zusammen 1) (!Jedes innere Feld ist gleich groß) (!Jede Zeile ergibt 0) (!Die Randwerte sind immer 0,5)

Warum können P von B unter A und P von A unter B verschieden sein? (Die Bedingung bestimmt jeweils einen anderen Bezugswert) (!Weil die Produktregel nicht gilt) (!Weil Gegenereignisse verboten sind) (!Weil eine Vierfeldertafel keine Wahrscheinlichkeiten enthält)

Wann ist die Vierfeldertafel meist besonders übersichtlich? (Wenn alle vier Kombinationen und Randwerte gleichzeitig verglichen werden sollen) (!Wenn nur die Reihenfolge eines mehrstufigen Versuchs interessiert) (!Wenn ein Funktionsgraph gezeichnet werden soll) (!Wenn eine geometrische Konstruktion untersucht wird)

Memory

Vierfeldertafel	vier Schnittmengen plus Randwerte
Baumdiagramm	verzweigte Wege eines Zufallsvorgangs
Pfadregel	Wahrscheinlichkeiten entlang eines Weges multiplizieren
Gegenereignis	Ergänzung eines Ereignisses
bedingte Wahrscheinlichkeit	Wahrscheinlichkeit innerhalb einer festgelegten Gruppe
Schnittmenge	beide Ereignisse treten gemeinsam ein

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zeilensumme	erste Stufe aus der Vierfeldertafel
bedingter Anteil	zweite Stufe des Baumdiagramms
Pfadprodukt	inneres Feld der Vierfeldertafel
Randwert	Summe einer Zeile oder Spalte
Gesamtsumme	entspricht bei Wahrscheinlichkeiten dem Wert 1

Kreuzworträtsel

Baumdiagramm	Welche Darstellung zeigt verzweigte Wahrscheinlichkeitswege?
Vierfeldertafel	Welche Tabelle ordnet vier gemeinsame Fälle zweier Merkmale?
Pfadregel	Welche Regel wird beim Multiplizieren entlang eines Weges verwendet?
Gegenereignis	Wie heißt die Ergänzung zu einem Ereignis?
Schnittmenge	Wie heißt das gemeinsame Eintreten zweier Ereignisse?
Bedingung	Was legt bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit den Bezugswert fest?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Vierfeldertafel enthält vier innere zweier Merkmale. Beim Übertragen in ein Baumdiagramm werden zuerst die für die erste Stufe genutzt. Für die zweite Stufe rechnest Du innerhalb der jeweils gewählten . Entlang eines vollständigen Pfades werden Wahrscheinlichkeiten . Beim Rückweg vom Baum zur Tabelle entsprechen die vier Pfadprodukte den vier . Eine wichtige Kontrolle ist, dass die vier inneren Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben.

Transfer

Ein Online-Lernsystem meldet: 80 % der Aufgaben wurden mit Hinweis bearbeitet. Von diesen waren 75 % richtig. Ohne Hinweis waren 50 % richtig.

1. Transfer Baumdiagramm: Zeichne den vollständigen Baum und ergänze alle Gegenwahrscheinlichkeiten.
2. Transfer Vierfeldertafel: Übertrage die vier Pfadwahrscheinlichkeiten in eine Vierfeldertafel.
3. Transfer Darstellung: Entscheide, welche Darstellung für die Frage „Wie groß ist der Anteil aller richtigen Lösungen?“ übersichtlicher ist, und begründe.
4. Digitale Prüfung: Lass Dir von einem digitalen Werkzeug eine Tabelle erzeugen und prüfe jede Zelle durch eigene Rechnung. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Kontrolle: Die vier Pfadwerte lauten $\mathrm{0,60}$, $\mathrm{0,20}$, $\mathrm{0,10}$ und $\mathrm{0,10}$. Insgesamt sind $\mathrm{0,70}=70\mathrm{\%}$ der Lösungen richtig.

Kompetenzcheck

Aussage	Noch unsicher	Mit Hilfe	Sicher
Ich kann vier Tabellenfelder als Schnittmengen deuten.	□	□	□
Ich kann aus Randwerten die erste Baumstufe bilden.	□	□	□
Ich kann bedingte Anteile für die zweite Baumstufe berechnen.	□	□	□
Ich kann vier Pfadprodukte in eine Vierfeldertafel übertragen.	□	□	□
MSA-Brücke: Ich kann die Bedingung wechseln und den neuen Nenner begründen.	□	□	□
Ich kann die übersichtlichere Darstellung begründen.	□	□	□

Reflexion

1. Darstellungswechsel: Welcher Wechsel fällt Dir leichter: Tabelle → Baum oder Baum → Tabelle? Begründe mit einem Rechenschritt.
2. Fehleranalyse: Welchen typischen Fehler würdest Du inzwischen am schnellsten erkennen?
3. Strategie: Welche Kontrolle nutzt Du zuerst, wenn eine digitale Lösung nicht plausibel wirkt?

Folgekurs

Als nächster Schritt passt M10 G - Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit – MSA-Brücke. Dort nutzt Du den Darstellungswechsel, um Bedingungen gezielt zu vergleichen und einfache Unabhängigkeitsfragen zu untersuchen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Eigene Vierfeldertafel: Erfinde eine Vierfeldertafel mit Gesamtzahl 100 und vier einfachen inneren Werten. Prüfe alle Randwerte.
2. Pfadfarben: Zeichne zu einer Vierfeldertafel vier Pfade und markiere, welches Tabellenfeld zu welchem Pfad gehört.
3. Darstellungsvergleich: Formuliere je eine Frage, die Du lieber mit einem Baumdiagramm und lieber mit einer Vierfeldertafel lösen würdest.
4. Fehlerkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit einem typischen Fehler und einer passenden Kontrollregel.

Standard

1. Tabelle zu Baum: Erstelle zu selbst gewählten Daten eine Vierfeldertafel und übertrage sie vollständig in ein Baumdiagramm.
2. Baum zu Tabelle: Erfinde ein Baumdiagramm mit einfachen Dezimalzahlen und erstelle die passende Vierfeldertafel.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zum Zusammenhang „Pfadprodukt = inneres Tabellenfeld“. Verwende nur eigene oder frei lizenzierte Medien.
4. Partnerprüfung: Tauscht zwei Lösungen aus und prüft Rechenweg, Darstellung und Begründung gegenseitig.

Schwer

1. MSA-Brücke Bedingungswechsel: Erstelle ein Beispiel, bei dem $P(B\mid A)$ und $P(A\mid B)$ deutlich verschieden sind, und erkläre den Grund.
2. Datenkritik: Erfinde eine fehlerhafte digitale Vierfeldertafel und dokumentiere mindestens drei Prüfungen, mit denen Du den Fehler findest.
3. Darstellungsentscheidung: Löse dieselbe Aufgabe einmal mit Baumdiagramm und einmal mit Vierfeldertafel. Vergleiche Aufwand und Übersichtlichkeit.
4. Mini-Projekt Stochastik: Entwickle eine eigene MSA-nahe Sachaufgabe mit Ausgangsdaten, zwei Darstellungen, vollständigem Rechenweg und Kontrollschritt.

Lernkontrolle

1. Lernkontrolle Darstellungswechsel: Eine Vierfeldertafel ist teilweise ausgefüllt. Ergänze sie, entwickle daraus ein Baumdiagramm und erkläre, woher jede zweite Astwahrscheinlichkeit kommt.
2. Lernkontrolle Rückübertragung: Zu einem gegebenen Baumdiagramm berechnest Du die vier Pfadwahrscheinlichkeiten und ordnest sie korrekt in einer Vierfeldertafel an.
3. Lernkontrolle Vergleich: Begründe für zwei unterschiedliche Fragestellungen, warum einmal das Baumdiagramm und einmal die Vierfeldertafel übersichtlicher ist.
4. Lernkontrolle Fehleranalyse: Untersuche eine Lösung, in der für $P(B\mid A)$ durch die Gesamtzahl geteilt wurde. Erkläre den Fehler und korrigiere ihn.
5. Lernkontrolle MSA-Brücke: Bestimme aus derselben Vierfeldertafel sowohl $P(B\mid A)$ als auch $P(A\mid B)$ und erkläre, warum die Nenner verschieden sind.
6. Lernkontrolle Digitalkompetenz: Vergleiche eine digital erzeugte Lösung mit Deiner eigenen. Nenne mindestens zwei mathematische Prüfungen, bevor Du die digitale Ausgabe akzeptierst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. eine Vierfeldertafel vollständig und fehlerfrei lesen kannst,
2. ein Baumdiagramm aus Tabellenwerten entwickeln kannst,
3. vier Pfadwahrscheinlichkeiten korrekt berechnest,
4. ein Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel überträgst,
5. bedingte Wahrscheinlichkeiten mit passendem Bezugswert bestimmst,
6. die Wahl einer Darstellung mathematisch begründest,
7. Rechenweg, Darstellung und Kontrolle nachvollziehbar dokumentierst,
8. digitale Ergebnisse kritisch prüfst.

OERs zum Thema

Weitere freie Lernmedien im Kurs: Die eingebundenen Dateien stammen aus Wikimedia Commons; Lizenz- und Urheberangaben sind jeweils auf der Dateiseite abrufbar.

Verknüpfte Lernbereiche

Stochastik Wahrscheinlichkeit Baumdiagramm Vierfeldertafel Bedingte Wahrscheinlichkeit Gegenereignis Pfadregeln Schnittmenge