M10 E - Mehrschrittige mathematische Argumentationsketten aufbauen

M10 E - Mehrschrittige mathematische Argumentationsketten aufbauen

Mini-Beschreibung: Du entwickelst aus Voraussetzungen und bekannten mathematischen Zusammenhängen eine logisch vollständige Argumentationskette. Du unterscheidest Beispiel, Vermutung und Beweis, prüfst Gegenbeispiele und begründest Rechenwege formal sicher. Die Beispiele verbinden Trigonometrie, Potenzgesetze, Funktionen und Geometrie auf dem E-Niveau der Klasse 10 in Baden-Württemberg.

Kurzer Einstieg

Ein richtiges Ergebnis genügt noch nicht. Auf E-Niveau sollst Du zeigen, warum jeder Schritt gilt.

$V⟹Z_1⟹Z_2⟹\dots ⟹B$

Dabei ist $V$ die Voraussetzung, $Z_1,Z_2,\dots$ sind begründete Zwischenschritte und $B$ ist die Behauptung.

Leitfrage: Woher weißt Du, dass eine Aussage immer gilt und nicht nur bei einigen Beispielen?

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Voraussetzung und Behauptung: beide Teile einer mathematischen Aussage eindeutig trennen.
2. Argumentationskette: mehrere zulässige Schlussfolgerungen logisch verbinden.
3. Beispiel, Vermutung und Beweis: die drei Rollen sicher unterscheiden.
4. Gegenbeispiel: eine allgemeine falsche Aussage mit einem einzigen passenden Fall widerlegen.
5. Trigonometrie: Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens herleiten.
6. Potenzgesetze: Rechenregeln aus Definitionen begründen und verallgemeinern.
7. Funktionen: Eigenschaften von Graphen formal aus Funktionstermen ableiten.
8. Digitale Mathematikwerkzeuge: Ergebnisse untersuchen, aber nicht mit einem Beweis verwechseln.

Vorwissen-Check

A. Potenzen

Vereinfache:

$a^3\cdot a^4$

Erwartung: $a^7$. Kannst Du nicht nur rechnen, sondern auch begründen, warum die Exponenten addiert werden?

B. Trigonometrie

Im rechtwinkligen Dreieck gilt für einen spitzen Winkel $\alpha$:

$\sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

C. Funktionen

Für $f(x)=x^2$ berechne $f(-x)$.

$f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$

Welche Symmetrie lässt sich daraus vermuten?

D. Logik

Prüfe die Aussage: „Wenn $x^2>4$, dann ist $x>2$.“

Ein Gegenbeispiel ist $x=-3$, denn $(-3{)}^2=9>4$, aber $-3>2$ ist falsch.

Argumentieren statt nur rechnen

Beispiel, Vermutung und Beweis

Beispiel: Für $\alpha =30^{\circ }$ gilt tatsächlich

${\sin }^2(30^{\circ })+{\cos }^2(30^{\circ })=1$.

Das bestätigt die Aussage für einen Winkel.

Vermutung: Für jeden spitzen Winkel $\alpha$ könnte gelten:

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$.

Beweis: Erst eine allgemeine Herleitung zeigt, dass die Aussage für alle zulässigen Winkel gilt.

Beweisschema

Schritt	Frage
Voraussetzung	Was ist gegeben?
Begründungsbasis	Welche Definitionen, Sätze oder Rechenregeln sind bereits bekannt?
Zwischenschritte	Welche Folgerung ergibt sich jeweils aus dem vorherigen Schritt?
Schluss	Ist genau die Behauptung erreicht?

Kurzform: Voraussetzung → Definition → bekannter Satz → Umformung → Behauptung.

Interaktives Beispiel 1: Trigonometrische Identität beweisen

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten $a$ und $b$ sowie Hypotenuse $c$. Für den Winkel $\alpha$ gelte:

$\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$

$\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$

Behauptung:

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$

Schritt-für-Schritt

Schritt 1: Definitionen einsetzen

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}$

Schritt 2: Brüche zusammenfassen

$\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}$

Schritt 3: Satz des Pythagoras nutzen

$a^2+b^2=c^2$

also

$\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}$

Schritt 4: Schluss

$\frac{c^2}{c^2}=1$

Damit ist die Behauptung bewiesen.

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Dynamische Geometrie

Verändere im Applet den Winkel. Beobachte Sinus und Kosinus und formuliere zuerst eine Vermutung. Begründe danach, warum eine grafische Beobachtung allein noch kein Beweis ist.

Arbeitsauftrag: Prüfe mehrere Winkel und vergleiche jeweils den Wert von ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )$ mit $1$. Nutze das Experiment nur als Hinweis auf eine Vermutung. Der allgemeine Beweis muss unabhängig von einzelnen Messwerten funktionieren.

Interaktives Beispiel 2: Potenzgesetz herleiten

Für positive natürliche Zahlen $m$ und $n$ soll begründet werden:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Beispiel:

$a^3\cdot a^2=(a\cdot a\cdot a)(a\cdot a)=a^5$

Vermutung: Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

Beweisidee: Nach der Definition enthält $a^m$ genau $m$ Faktoren $a$ und $a^n$ genau $n$ Faktoren $a$. Zusammen entstehen $m+n$ Faktoren $a$.

Daher:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

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Verallgemeinern

Aus derselben Begründungsbasis entstehen weitere Regeln, wenn die notwendigen Voraussetzungen beachtet werden:

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ für $a\ne 0$

$(a^m{)}^n=a^{mn}$

E-Niveau-Frage: Welche Voraussetzung darf beim Quotienten niemals fehlen? Begründe, warum.

Interaktives Beispiel 3: Funktionseigenschaft beweisen

Gegeben ist

$f(x)=x^4-3x^2+2$.

Vermutung: Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Beweis:

$f(-x)=(-x{)}^4-3(-x{)}^2+2$

$f(-x)=x^4-3x^2+2$

$f(-x)=f(x)$

Damit gilt die Symmetrie für alle $x$ im Definitionsbereich.

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Von der Beobachtung zum Beweis

Ein Graph kann eine Vermutung nahelegen. Er zeigt aber nur einen gewählten Ausschnitt und besitzt nur begrenzte Darstellungsgenauigkeit.

Sicherer Weg: Graph beobachten → Vermutung formulieren → Term untersuchen → allgemein beweisen.

Interaktives Beispiel 4: Tangens herleiten

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$

$\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$

Bilde den Quotienten:

$\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}$

Da

$\tan (\alpha )=\frac{a}{b}$,

folgt:

$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$

Voraussetzung ist $\cos (\alpha )\ne 0$.

Eine komplexere Argumentationskette

Aufgabe: Zeige für einen spitzen Winkel $\alpha$:

$1+{\tan }^2(\alpha )=\frac{1}{{\cos }^2(\alpha )}$

Kette:

$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$

${\tan }^2(\alpha )=\frac{{\sin }^2(\alpha )}{{\cos }^2(\alpha )}$

$1+{\tan }^2(\alpha )=1+\frac{{\sin }^2(\alpha )}{{\cos }^2(\alpha )}$

$=\frac{{\cos }^2(\alpha )+{\sin }^2(\alpha )}{{\cos }^2(\alpha )}$

Mit

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$

folgt

$1+{\tan }^2(\alpha )=\frac{1}{{\cos }^2(\alpha )}$.

Begründungsbasis: Definition des Tangens, Bruchrechnung und trigonometrischer Pythagoras.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Gegenbeispiel finden

Aussage:

$x^2>9\Rightarrow x>3$

Hilfestufe 1: Prüfe auch negative Zahlen.

Hilfestufe 2: Suche eine Zahl kleiner als $-3$.

Feedback: $x=-4$ ist ein Gegenbeispiel, denn $16>9$, aber $-4>3$ ist falsch. Damit ist die allgemeine Aussage widerlegt.

Übung B: Potenzgesetz begründen

Zeige:

$(a^2{)}^3=a^6$

Hilfestufe 1: Schreibe die äußere Potenz als wiederholte Multiplikation.

Hilfestufe 2:

$(a^2{)}^3=a^2\cdot a^2\cdot a^2$

Feedback:

$a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^{2+2+2}=a^6$

Die allgemeine Regel lautet $(a^m{)}^n=a^{mn}$.

Übung C: Funktionssymmetrie

Untersuche

$g(x)=x^3+2x$.

Hilfestufe 1: Berechne $g(-x)$.

Hilfestufe 2:

$g(-x)=(-x{)}^3+2(-x)$

Feedback:

$g(-x)=-x^3-2x=-g(x)$

Damit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.

Übung D: Geometrische Kette

In einem rechtwinkligen Dreieck sind $c=10$ und $\alpha =35^{\circ }$ gegeben. Begründe schrittweise die Berechnung der Gegenkathete $a$.

Hilfestufe 1:

$\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$

Hilfestufe 2:

$a=c\cdot \sin (\alpha )$

Feedback:

$a=10\cdot \sin (35^{\circ })\approx \mathrm{5,74}$

Die Kette ist nur vollständig, wenn Du die Wahl des Sinus mit den beteiligten Seiten begründest.

Typische Fehler

1. Beispiel statt Beweis: Viele passende Zahlenfälle machen eine allgemeine Aussage plausibel, beweisen sie aber nicht.
2. Unbegründeter Rechenschritt: Ein mathematisch richtiger Schritt muss bei einer Beweiskette auf eine Definition, Regel oder einen bekannten Satz zurückführbar sein.
3. Voraussetzung vergessen: Bei $\frac{1}{\cos (\alpha )}$ muss $\cos (\alpha )\ne 0$ gelten.
4. Kehrsatz verwechseln: Aus „Wenn A, dann B“ folgt nicht automatisch „Wenn B, dann A“.
5. Digitale Anzeige überschätzen: Ein Graph, eine Messung oder ein Computerergebnis kann Hinweise liefern, aber keinen allgemeinen Beweis ersetzen.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

Digitale Mathematikwerkzeuge helfen beim Explorieren, Darstellen, Messen und Prüfen von Beispielen.

Aber: Die digitale Bestätigung vieler Einzelfälle ist kein allgemeiner Beweis.

Prüfe digitale Ergebnisse immer durch Überschlag, Definitionsbedingungen, bekannte Sätze oder algebraische Herleitung.

KI-Regel: Eine KI-Ausgabe kann einen Lösungsansatz vorschlagen. Du musst jeden Schritt prüfen. Eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Datenschutz: Verwende bei Screenshots, Dateinamen, GeoGebra-Aktivitäten und KI-Anfragen keine personenbezogenen Daten.

Visueller Transfer: Funktionen vergleichen

Betrachte lineares, potenzielles und exponentielles Wachstum. Eine Grafik unterstützt Deine Vermutung über das Wachstumsverhalten. Die allgemeine Aussage muss anschließend über Funktionsterme und Eigenschaften begründet werden.

Transferaufgabe: Modell entwickeln

Eine Höhe wird durch

$h(t)=12+8\sin \left(\frac{\pi }{10}t\right)$

modelliert.

1. Bestimme die Mittellage und die Amplitude aus dem Funktionsterm.
2. Begründe aus der Struktur des Terms, warum das Modell periodisch ist.
3. Entwickle eine Argumentationskette für die maximale Höhe.
4. Prüfe die Kette mit einem digitalen Graphen.
5. Erkläre, warum der Graph die Herleitung kontrolliert, aber nicht ersetzt.

Selbstkontrolle

Bewerte jede Aussage mit „sicher“, „teilweise“ oder „noch üben“.

1. Ich kann Voraussetzung und Behauptung trennen.
2. Ich kann einen Rechenschritt mit einer Regel oder Definition begründen.
3. Ich erkenne, wann ein Beispiel nur eine Vermutung stützt.
4. Ich kann mit einem Gegenbeispiel eine falsche allgemeine Aussage widerlegen.
5. Ich kann eine mehrschrittige Kette ohne logische Lücke aufbauen.
6. Ich prüfe digitale Ergebnisse kritisch.

Kompetenzcheck E-Niveau

Aufgabe 1: Herleiten

Leite aus den Definitionen von Sinus und Kosinus sowie dem Satz des Pythagoras die Identität

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$

vollständig her.

Aufgabe 2: Verallgemeinern

Zeige zunächst an $a^2\cdot a^5$ ein Muster und formuliere dann eine allgemeine Regel für $a^m\cdot a^n$. Begründe die Verallgemeinerung.

Aufgabe 3: Beweisen

Beweise für

$f(x)=x^6+4x^2-7$,

dass $f(-x)=f(x)$ gilt.

Aufgabe 4: Gegenbeispiel

Widerlege die Aussage „Aus $x^2\ge 1$ folgt $x\ge 1$“ durch ein Gegenbeispiel.

Aufgabe 5: Komplexe Kette

Beweise

$1+{\tan }^2(\alpha )=\frac{1}{{\cos }^2(\alpha )}$

und markiere zu jedem Schritt die verwendete Begründungsbasis.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welcher Schritt Deiner letzten Beweiskette war am schwersten zu begründen?
2. Wo hattest Du zunächst nur eine Vermutung?
3. Welches Gegenbeispiel hat eine scheinbar plausible Aussage widerlegt?
4. Welches digitale Werkzeug war hilfreich und wo musstest Du sein Ergebnis mathematisch absichern?

Folgekurs

Vertiefe anschließend M10 E - Mathematische Aussagen prüfen, verallgemeinern und beweisen. Dort untersuchst Du Satz und Kehrsatz, Beweisstrategien, Fallunterscheidungen und die Qualität komplexer mathematischer Argumentationen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was unterscheidet einen Beweis von einem Beispiel? (Ein Beweis zeigt die Aussage allgemein aus zulässigen Schlussfolgerungen) (!Ein Beweis verwendet nur größere Zahlen) (!Ein Beispiel gilt automatisch für alle Fälle) (!Ein Beweis benötigt keine Voraussetzungen)

Was widerlegt eine allgemeine mathematische Aussage sicher? (Ein einziges gültiges Gegenbeispiel) (!Drei passende Beispiele) (!Ein schöner Graph) (!Eine gerundete Messung)

Welche Beziehung folgt aus Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck zusammen mit dem Satz des Pythagoras? (sin² alpha plus cos² alpha gleich 1) (!sin alpha plus cos alpha gleich 1) (!sin alpha mal cos alpha gleich 1) (!tan alpha plus cos alpha gleich 1)

Welche Voraussetzung ist für einen Quotienten durch cos alpha nötig? (cos alpha darf nicht null sein) (!sin alpha muss immer null sein) (!alpha muss negativ sein) (!tan alpha muss eins sein)

Wie weist man Achsensymmetrie zur y-Achse bei einer Funktion formal nach? (Man zeigt f minus x gleich f x) (!Man zeigt f x gleich null) (!Man berechnet nur f von eins) (!Man zeichnet nur einen Graphen)

Was gilt für Potenzen mit gleicher Basis bei der Multiplikation? (Die Exponenten werden addiert) (!Die Exponenten werden subtrahiert) (!Die Basen werden addiert) (!Die Exponenten werden quadriert)

Welche Rolle hat eine Vermutung? (Sie formuliert eine noch zu prüfende allgemeine Aussage) (!Sie ist bereits ein vollständiger Beweis) (!Sie ersetzt jede Definition) (!Sie gilt nur für eine einzelne Rechnung)

Was gehört in eine vollständige Argumentationskette? (Begründete Zwischenschritte von der Voraussetzung zur Behauptung) (!Nur das Endergebnis) (!Nur eine Skizze ohne Erklärung) (!Nur Taschenrechnerwerte)

Was zeigt ein digitaler Graph zuverlässig? (Eine Darstellung, die eine Vermutung unterstützen und prüfen helfen kann) (!Einen allgemeinen Beweis für jede sichtbare Eigenschaft) (!Dass Rundungsfehler unmöglich sind) (!Dass Voraussetzungen keine Rolle spielen)

Welche Aussage beschreibt das E-Niveau besonders passend? (Formal herleiten, verallgemeinern, beweisen und Gegenbeispiele prüfen) (!Nur Ergebnisse abschreiben) (!Nur bekannte Beispiele nachrechnen) (!Begründungen möglichst vermeiden)

Memory

Voraussetzung	Ausgangsbedingung einer Aussage
Behauptung	Ziel der Argumentation
Vermutung	Noch zu prüfende allgemeine Aussage
Gegenbeispiel	Widerlegung einer allgemeinen Aussage
Beweis	Lückenlose allgemeine Begründung
Begründungsbasis	Definitionen Regeln und bekannte Sätze

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Funktion in einer Argumentationskette
Voraussetzung	Ausgangspunkt
Definition	Bedeutung eines mathematischen Begriffs
Zwischenschritt	Folgerung aus bereits Begründetem
Gegenbeispiel	Widerlegung einer Allgemeinaussage
Behauptung	Zielaussage

Kreuzworträtsel

Beispiel	Wie heißt ein einzelner konkreter Fall, der eine Aussage illustriert?
Vermutung	Wie heißt eine noch nicht bewiesene allgemeine Aussage?
Gegenbeispiel	Was widerlegt eine allgemeine falsche Aussage?
Voraussetzung	Wie heißt der gegebene Ausgangsteil einer Wenn-Dann-Aussage?
Behauptung	Wie heißt das Ziel, das bewiesen werden soll?
Schlussfolgerung	Wie heißt ein logisch zulässiger Schritt aus bereits bekannten Aussagen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine mathematische Aussage beginnt mit einer . Eine noch nicht allgemein gesicherte Aussage heißt . Ein einzelner passender Fall ist nur ein . Eine allgemeine falsche Aussage kann durch ein widerlegt werden. Eine lückenlose allgemeine Herleitung heißt . Beim Multiplizieren von Potenzen gleicher Basis werden die Exponenten . Digitale Werkzeuge können eine Vermutung unterstützen, ersetzen aber keinen mathematischen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Beispiel und Beweis unterscheiden: Erfinde zu einer trigonometrischen Aussage ein Beispiel und erkläre in zwei Sätzen, warum es noch kein Beweis ist.
2. Gegenbeispiel finden: Formuliere eine falsche Wenn-Dann-Aussage mit Quadraten und widerlege sie.
3. Potenzgesetz visualisieren: Stelle $a^2\cdot a^3=a^5$ als Kette gleicher Faktoren grafisch dar.
4. Beweiskette markieren: Nimm eine Musterlösung und kennzeichne Voraussetzung, Zwischenschritte, Begründungsbasis und Behauptung.

Standard

1. Trigonometrie erklären: Erstelle eine Skizze, mit der Du $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$ herleitest.
2. Funktionssymmetrie beweisen: Wähle eine gerade ganzrationale Funktion und beweise ihre Achsensymmetrie.
3. Dynamische Geometrie untersuchen: Nutze ein GeoGebra-Applet, entwickle eine Vermutung und ergänze anschließend einen algebraischen oder geometrischen Beweis.
4. Fehleranalyse: Erstelle eine absichtlich fehlerhafte Argumentationskette und kommentiere jede Stelle, an der eine Begründung fehlt.

Schwer

1. Beweis verallgemeinern: Beginne mit $a^3\cdot a^4$ und entwickle daraus einen allgemeinen Beweis für $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$.
2. Trigonometrische Identität: Beweise $1+{\tan }^2(\alpha )=\frac{1}{{\cos }^2(\alpha )}$ und nenne alle benötigten Voraussetzungen.
3. Komplexes Modell: Entwickle für einen periodischen Vorgang ein Sinusmodell, begründe die Parameter und prüfe das Modell digital.
4. Mathematisches Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du Beispiel, Vermutung, Gegenbeispiel und Beweis an einem eigenen Problem unterscheidest. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Begründungsbasis analysieren: Du erhältst eine fertige Beweiskette. Ordne jedem Schritt die verwendete Definition, Regel oder den Satz zu und erkläre, ob ein Schritt unbegründet bleibt.
2. Vermutung oder Beweis: Vergleiche eine digitale Graphenuntersuchung mit einer algebraischen Herleitung derselben Funktionseigenschaft und erkläre den unterschiedlichen Aussagewert.
3. Gegenbeispiel konstruieren: Entwickle zu einer falschen Umkehrung eines bekannten Satzes ein Gegenbeispiel und erläutere, warum es genügt.
4. Teilgebiete verbinden: Löse ein geometrisches Problem, in dem Du zunächst trigonometrisch eine Länge bestimmst und anschließend mit einem Potenz- oder Funktionenzusammenhang weiterargumentierst.
5. Beweis verbessern: Überarbeite eine lückenhafte Argumentation so, dass Voraussetzung, notwendige Bedingungen, Zwischenschritte und Schluss vollständig nachvollziehbar sind.
6. Digital prüfen: Kontrolliere eine mathematische Argumentationskette mit einem digitalen Werkzeug und beschreibe mindestens eine Grenze dieser Kontrolle.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du trennst Voraussetzung und Behauptung.
2. Du formulierst Zwischenschritte in einer sinnvollen Reihenfolge.
3. Du begründest jeden entscheidenden Schritt.
4. Du unterscheidest Beispiel, Vermutung und Beweis.
5. Du kannst allgemeine Aussagen durch Gegenbeispiele prüfen.
6. Du nutzt Trigonometrie, Potenzgesetze, Funktionen und Geometrie sicher als Begründungsbasis.
7. Du prüfst digitale Ergebnisse kritisch.
8. Du kannst eine Herleitung verallgemeinern und die Gültigkeitsbedingungen nennen.

Medien und Quellen

Bildungsplanbezug: Der Kurs orientiert sich an den prozessbezogenen Kompetenzen „Mathematisch argumentieren und beweisen“ der Sekundarstufe I in Baden-Württemberg sowie an den E-Niveau-Anforderungen der Klasse 10.

Bildungsplan Mathematik Sekundarstufe I Baden-Württemberg

Raum und Form Klasse 10

Funktionaler Zusammenhang Klasse 10

Freie Bilder: Die eingebundenen Grafiken stammen aus Wikimedia Commons; Lizenz- und Urheberangaben sind auf den jeweiligen Dateiseiten dokumentiert.

Dynamische Mathematik:

Sinus und Cosinus im Einheitskreis

Satz des Pythagoras – dynamische Beweise

Verknüpfte Lernbereiche

Mathematisches Argumentieren Mathematischer Beweis Gegenbeispiel Trigonometrie Potenzgesetze Potenzfunktion Sinusfunktion Satz des Pythagoras Funktionen