M10 E - Grundlegende trigonometrische Beziehungen herleiten

M10 E - Grundlegende trigonometrische Beziehungen herleiten

Klasse 10 · Mathematik · Baden-Württemberg · E-Niveau

Mini-Beschreibung: Du leitest die Beziehungen ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$, $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos (\alpha )$ und $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$ aus Dreiecks- und Einheitskreisvorstellungen her. Ziel ist ein formal nachvollziehbarer Beweis, nicht bloßes Auswendiglernen.

Einleitung

Ein rechtwinkliges Dreieck liefert die zentralen Seitenverhältnisse. Der Einheitskreis zeigt, wie sich diese Beziehungen verallgemeinern lassen.

Leitfrage: Wie entstehen trigonometrische Formeln aus Geometrie?

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Lernziele

1. Trigonometrie: Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnisse deuten.
2. Satz des Pythagoras: ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$ formal herleiten.
3. Komplementärwinkel: $\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos (\alpha )$ geometrisch begründen.
4. Tangens: $\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$ ableiten.
5. Einheitskreis: Beziehungen auf Koordinaten übertragen.
6. Mathematischer Beweis: Voraussetzungen nennen und Gegenbeispiele prüfen.

Vorwissen-Check

1. $a^2+b^2=c^2$
2. $\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$
3. $\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$
4. $\tan (\alpha )=\frac{a}{b}$

Pythagoreische Identität

Herleitung im rechtwinkligen Dreieck

$\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$

$\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}$

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=\frac{a^2+b^2}{c^2}$

Mit $a^2+b^2=c^2$ folgt

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=\frac{c^2}{c^2}=1$.

Ergebnis: ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$

Einheitskreis-Begründung

Für einen Punkt auf dem Einheitskreis gilt

$P=(\cos (\alpha ),\sin (\alpha ))$

und wegen des Radius $1$

$x^2+y^2=1$.

Einsetzen liefert

${\cos }^2(\alpha )+{\sin }^2(\alpha )=1$.

Arbeitsauftrag: Verändere den Winkel. Prüfe mehrere Werte. Notiere anschließend, warum Messwerte den Beweis nicht ersetzen.

Komplementärbeziehung

In einem rechtwinkligen Dreieck ergänzen sich die beiden spitzen Winkel zu $90^{\circ }$.

$\beta =90^{\circ }-\alpha$

Die Ankathete zu $\alpha$ ist zugleich die Gegenkathete zu $\beta$.

$\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete zu }\alpha }{\text{Hypotenuse}}$

$\sin (\beta )=\frac{\text{Gegenkathete zu }\beta }{\text{Hypotenuse}}$

Damit gilt

$\sin (90^{\circ }-\alpha )=\cos (\alpha )$.

Analog folgt

$\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin (\alpha )$.

Tangensbeziehung

$\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$

$\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$

Also

$\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}$

und damit

$\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}$.

Da $\tan (\alpha )=\frac{a}{b}$, folgt

$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$.

Voraussetzung: $\cos (\alpha )\ne 0$.

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Visuelle Schrittfolge

Pythagoreische Identität

$\sin (\alpha )=\frac{a}{c}$

$\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=\frac{a^2+b^2}{c^2}$

$a^2+b^2=c^2$

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$

Komplementärbeziehung

$\beta =90^{\circ }-\alpha$

Gegenkathete zu $\beta$ = Ankathete zu $\alpha$

$\sin (\beta )=\cos (\alpha )$

Tangensbeziehung

$\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{b}=\tan (\alpha )$

Interaktive Beispiele

Beispiel 1

Gegeben: $\sin (\alpha )=\frac{3}{5}$, $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$.

${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^2(\alpha )=1$

${\cos }^2(\alpha )=\frac{16}{25}$

$\cos (\alpha )=\frac{4}{5}$

Hilfestufe 1: Stelle nach ${\cos }^2(\alpha )$ um.

Hilfestufe 2: Nutze, dass der Winkel spitz ist.

Beispiel 2

$68^{\circ }=90^{\circ }-22^{\circ }$

Daher

$\sin (68^{\circ })=\cos (22^{\circ })$.

Beispiel 3

$\sin (\alpha )=\mathrm{0,6}$

$\cos (\alpha )=\mathrm{0,8}$

$\tan (\alpha )=\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,8}}=\mathrm{0,75}$

Kontrolle:

$\mathrm{0,}{6}^2+\mathrm{0,}{8}^2=1$.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A

Gegeben: $\cos (\alpha )=\frac{5}{13}$, $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$. Bestimme $\sin (\alpha )$.

Hilfe 1: Nutze ${\sin }^2(\alpha )=1-{\cos }^2(\alpha )$.

Hilfe 2: $1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$.

Lösung: $\sin (\alpha )=\frac{12}{13}$.

Übung B

Begründe ohne Zahlenbeispiel:

$\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin (\alpha )$.

Hilfe: Betrachte die Seitenrollen relativ zu beiden spitzen Winkeln.

Übung C

Darf für $\alpha =90^{\circ }$ die Tangensquotientenformel benutzt werden?

Hilfe: Bestimme $\cos (90^{\circ })$.

Lösung: Nein, weil der Nenner null wäre.

Typische Fehler

1. Falsch: $\sin (\alpha )+\cos (\alpha )=1$. Richtig: ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$.
2. Bei Komplementärwinkeln werden Sinus und Kosinus vertauscht.
3. Tangens ist ein Quotient, kein Produkt.
4. Eine Division durch null ist nicht erlaubt.
5. Messwerte aus GeoGebra ersetzen keinen allgemeinen Beweis.
6. Beim Wurzelziehen muss das Vorzeichen zum Winkelbereich passen.

Gegenbeispiele prüfen

Falsche Behauptung: $\sin (\alpha )+\cos (\alpha )=1$ für alle Winkel.

Für $\alpha =45^{\circ }$ gilt

$\sin (45^{\circ })+\cos (45^{\circ })=\sqrt{2}$.

Also ist die Behauptung falsch.

Falsche Behauptung: $\tan (\alpha )=\sin (\alpha )\cdot \cos (\alpha )$.

Für $\alpha =45^{\circ }$ gilt

$\tan (45^{\circ })=1$, aber $\sin (45^{\circ })\cos (45^{\circ })=\frac{1}{2}$.

Selbstkontrolle

1. Kannst Du die pythagoreische Identität aus $a^2+b^2=c^2$ herleiten?
2. Kannst Du den Rollenwechsel der Katheten bei Komplementärwinkeln erklären?
3. Kannst Du $\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$ zu $\frac{a}{b}$ vereinfachen?
4. Nennst Du die Voraussetzung $\cos (\alpha )\ne 0$?
5. Kannst Du ein Gegenbeispiel zu einer falschen Aussage angeben?

Transfer

Transfer 1

Gegeben: $\sin (\alpha )=\frac{7}{25}$ und $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$.

${\cos }^2(\alpha )=1-\frac{49}{625}=\frac{576}{625}$

$\cos (\alpha )=\frac{24}{25}$

$\tan (\alpha )=\frac{7}{24}$

Transfer 2

Erkläre, warum ${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$ im Einheitskreis direkt aus $x^2+y^2=1$ folgt.

Transfer 3

Ein digitales Modell zeigt bei $\mathrm{89,}{9}^{\circ }$ einen sehr großen Tangenswert. Erkläre, warum $\tan (90^{\circ })$ trotzdem nicht definiert ist.

Kompetenzcheck

1. Herleiten: drei Beziehungen aus Definitionen und Geometrie zeigen.
2. Begründen: verwendete Sätze und Definitionen nennen.
3. Verallgemeinern: Dreieck und Einheitskreis verbinden.
4. Gegenbeispiele: falsche Aussagen widerlegen.
5. Modellkritik: numerische Evidenz von Beweis unterscheiden.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

1. Prüfe Gradmaß oder Bogenmaß.
2. Prüfe Nenner auf null.
3. Beachte Rundungen.
4. Unterscheide Beobachtung und Beweis.
5. Prüfe KI-Ausgaben mathematisch nach.

Datenschutz: Verwende keine personenbezogenen Daten.

KI-Hinweis: Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Reflexion

1. Welche Beziehung kannst Du am besten geometrisch erklären?
2. Wo beginnt der allgemeine Beweis?
3. Warum ist $\cos (\alpha )\ne 0$ notwendig?
4. Welche Beziehung lässt sich am Einheitskreis besonders klar darstellen?

Folgekurs

1. Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
2. Sinusfunktion und Kosinusfunktion
3. Trigonometrische Gleichungen
4. Sinussatz und Kosinussatz
5. Bogenmaß

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Beziehung folgt aus dem Satz des Pythagoras? (Sinusquadrat plus Kosinusquadrat ist eins) (!Sinus plus Kosinus ist eins) (!Sinusquadrat minus Kosinusquadrat ist eins) (!Sinus mal Kosinus ist eins)

Welche Seite ist die Gegenkathete zum Ergänzungswinkel? (Die Ankathete zum Ausgangswinkel) (!Die Hypotenuse) (!Die Gegenkathete zum Ausgangswinkel) (!Keine Dreiecksseite)

Welche Aussage gilt für Komplementärwinkel? (Sinus des Ergänzungswinkels ist Kosinus des Ausgangswinkels) (!Sinus des Ergänzungswinkels ist immer gleich dem Sinus des Ausgangswinkels) (!Sinus des Ergänzungswinkels ist der negative Kosinus) (!Sinus des Ergänzungswinkels ist immer der Tangens)

Wie erhält man den Tangens aus Sinus und Kosinus? (Sinus durch Kosinus) (!Kosinus durch Sinus) (!Sinus mal Kosinus) (!Sinus plus Kosinus)

Welche Voraussetzung braucht der Quotient aus Sinus und Kosinus? (Der Kosinus darf nicht null sein) (!Der Sinus muss null sein) (!Der Kosinus muss eins sein) (!Der Tangens muss null sein)

Welche Koordinaten besitzt der Punkt am Einheitskreis zum Winkel alpha? (Kosinus als x-Koordinate und Sinus als y-Koordinate) (!Sinus als x-Koordinate und Kosinus als y-Koordinate) (!Tangens als x-Koordinate und eins als y-Koordinate) (!Eins als x-Koordinate und Tangens als y-Koordinate)

Warum ergibt die Summe aus Sinusquadrat und Kosinusquadrat im Einheitskreis eins? (Weil der Radius eins ist) (!Weil jeder Winkel 45 Grad groß ist) (!Weil Sinus und Kosinus immer gleich sind) (!Weil der Tangens immer eins ist)

Was zeigt ein einzelnes passendes Zahlenbeispiel? (Es bestätigt die Aussage für dieses Beispiel) (!Es beweist die Aussage für alle Winkel) (!Es ersetzt die Definitionen) (!Es macht Voraussetzungen überflüssig)

Welche Rechenidee wird beim Doppelbruch verwendet? (Division durch einen Bruch wird zur Multiplikation mit dem Kehrwert) (!Zähler und Nenner werden addiert) (!Beide Brüche werden subtrahiert) (!Der Nenner wird ignoriert)

Was kennzeichnet einen mathematischen Beweis? (Eine allgemeine begründete Argumentationskette) (!Eine einzelne Messung) (!Eine gerundete Taschenrechnerausgabe) (!Eine ungeprüfte KI-Antwort)

Memory

Pythagoreische Identität	Sinusquadrat plus Kosinusquadrat
Komplementärwinkel	Summe neunzig Grad
Tangensquotient	Sinus geteilt durch Kosinus
Einheitskreis	Radius eins
Gegenbeispiel	Widerlegt allgemeine Behauptung
Satz des Pythagoras	Kathetenquadrate ergeben Hypotenusenquadrat

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Pythagoreische Identität	Sinusquadrat plus Kosinusquadrat
Komplementärbeziehung	Sinus des Ergänzungswinkels wird Kosinus
Tangensquotient	Sinus geteilt durch Kosinus
Einheitskreis	Kreis mit Radius eins
Gegenbeispiel	Widerlegt eine allgemeine Behauptung

Kreuzworträtsel

Pythagoras	Welcher Satz verbindet die Quadrate der Seiten im rechtwinkligen Dreieck?
Einheitskreis	Welches Kreismodell besitzt den Radius eins?
Kosinus	Welche Funktion entspricht der x-Koordinate?
Sinus	Welche Funktion entspricht der y-Koordinate?
Tangens	Welche Funktion entsteht als Quotient aus Sinus und Kosinus?
Gegenbeispiel	Was widerlegt eine allgemeine falsche Behauptung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras $a^2+b^2=$ . Der Sinus ist das Verhältnis aus und Hypotenuse. Der Kosinus ist das Verhältnis aus und Hypotenuse. Nach dem Quadrieren und Addieren erhält man als Ergebnis . Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu . Der Sinus des Ergänzungswinkels entspricht dem . Der Quotient aus Sinus und Kosinus ergibt den . Für diesen Quotienten muss der Kosinus sein.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine Karte mit den drei Beziehungen und Skizzen.
2. Dreieck beschriften: Kennzeichne Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse.
3. Fehler finden: Erfinde eine typische falsche Umformung und korrigiere sie.
4. Einheitskreis-Skizze: Zeichne einen Punkt mit Kosinus- und Sinuskoordinate.

Standard

1. Beweisplakat: Stelle die pythagoreische Identität in höchstens sechs Schritten dar.
2. Komplementärwinkel-Erklärung: Erstelle eine Bildfolge zum Rollenwechsel der Katheten.
3. GeoGebra-Experiment: Prüfe zehn Winkel und erkläre die Grenze der Messung.
4. Tangens-Untersuchung: Untersuche das Annähern an 90 Grad.

Schwer

1. Zwei Beweise vergleichen: Vergleiche Dreiecks- und Einheitskreisbeweis.
2. Gegenbeispiele konstruieren: Widerlege drei falsche trigonometrische Aussagen.
3. Verallgemeinerung: Erkläre die Erweiterung vom Dreieck zum Einheitskreis.
4. Digitales Modell prüfen: Analysiere Rundung, Definitionslücken und Beweisgrenzen.

Lernkontrolle

1. Beweiskette: Leite die pythagoreische Identität formal her und begründe jeden Schritt.
2. Darstellungswechsel: Zeige dieselbe Beziehung am Einheitskreis.
3. Komplementärtransfer: Begründe die entsprechende Kosinus-Sinus-Beziehung ohne fertige Formel.
4. Definitionsbereich: Untersuche, wann die Tangensquotientenformel nicht verwendet werden darf.
5. Fehleranalyse: Widerlege die Behauptung, Sinus plus Kosinus sei immer eins.
6. Modellkritik: Erkläre, was GeoGebra plausibel macht und was zusätzlich bewiesen werden muss.

Lernnachweis

1. Definitionen korrekt verwenden.
2. Drei Beziehungen formal herleiten.
3. Voraussetzungen nennen.
4. Zwischen Dreieck, Einheitskreis und Formel wechseln.
5. Gegenbeispiele prüfen.
6. Numerische Kontrolle und Beweis unterscheiden.
7. Rechenwege nachvollziehbar dokumentieren.
8. Digitale und KI-generierte Ergebnisse kritisch prüfen.

OERs zum Thema

1. GeoGebra: Einheitskreis
2. GeoGebra: Komplementärwinkel
3. GeoGebra: Tangens

Verknüpfte Lernbereiche

Grundlegende trigonometrische Beziehungen Rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras Sinus Kosinus Tangens Komplementärwinkel Einheitskreis Trigonometrische Funktionen Mathematischer Beweis Gegenbeispiel