Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren

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Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren

Fach: Mathematik Klassenstufe: 8–13 Themen: Lineares Gleichungssystem, Lineare Gleichung, Lösungsverfahren, Schnittpunkt

Einleitung

Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit denselben Variablen. Gesucht sind Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Ein LGS kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzen.

Lernziele

1. LGS erkennen: Du kannst ein lineares Gleichungssystem erkennen und beschreiben.
2. Lösungen deuten: Du kannst erklären, was eine Lösung bedeutet.
3. Verfahren anwenden: Du kannst ein passendes Lösungsverfahren auswählen.
4. Ergebnisse prüfen: Du kannst Deine Lösung durch Einsetzen kontrollieren.

Lernbereiche

1. Algebra: Gleichungen umformen und Variablen bestimmen.
2. Analytische Geometrie: Geraden und Schnittpunkte deuten.
3. Modellieren: Alltagssituationen mit Gleichungen beschreiben.
4. Problemlösen: Ein geeignetes Lösungsverfahren auswählen.

Lernvideo

Sieh Dir das Video von Planet Schule an. Es erklärt die grafische Lösung, das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.

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Aufgaben zum Video

1. Grundbegriffe: Notiere in einem Satz, was eine lineare Gleichung und was ein lineares Gleichungssystem ist.
2. Lösungsverfahren: Schreibe die vier im Video vorgestellten Lösungswege auf.
3. Grafische Lösung: Erkläre, warum der Schnittpunkt zweier Geraden eine Lösung des LGS ist.
4. Rechenweg: Wähle ein Beispiel aus dem Video und rechne es ohne Hilfe noch einmal.
5. Verfahrensvergleich: Nenne für zwei Verfahren jeweils einen Vorteil.
6. Probe: Setze die gefundenen Werte in beide Ausgangsgleichungen ein.

Grundwissen

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Beispiel:

(I) 2x + y = 7 (II) x - y = 2

Die Lösung ist x = 3 und y = 1. Das Zahlenpaar wird als L = {(3|1)} geschrieben.

Grafische Bedeutung

Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade. Die gemeinsame Lösung ist der gemeinsame Punkt der Geraden.

Lage der Geraden	Anzahl der Lösungen
Die Geraden schneiden sich.	Genau eine Lösung
Die Geraden sind parallel.	Keine Lösung
Die Geraden liegen aufeinander.	Unendlich viele Lösungen

Einsetzungsverfahren

Eine Gleichung wird nach einer Variablen aufgelöst. Der gefundene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt.

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Gleichsetzungsverfahren

Beide Gleichungen werden nach derselben Variablen aufgelöst. Danach werden die beiden Terme gleichgesetzt.

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Additionsverfahren

Die Gleichungen werden so addiert oder subtrahiert, dass eine Variable wegfällt.

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Gaußverfahren

Bei größeren Gleichungssystemen ist das Gaußverfahren praktisch. Die Gleichungen werden schrittweise in eine einfache Stufenform gebracht.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist ein Zahlenpaar eine Lösung eines linearen Gleichungssystems? (Wenn es alle Gleichungen erfüllt) (!Wenn es nur die erste Gleichung erfüllt) (!Wenn beide Zahlen positiv sind) (!Wenn die Variablen gleich groß sind)

Was stellt die Lösung eines LGS mit zwei Geraden grafisch dar? (Den gemeinsamen Schnittpunkt) (!Den Ursprung) (!Den y-Achsenabschnitt) (!Die Steigung der ersten Geraden)

Wie viele Lösungen haben zwei verschiedene parallele Geraden? (Keine Lösung) (!Genau eine Lösung) (!Genau zwei Lösungen) (!Unendlich viele Lösungen)

Wie viele Lösungen haben zwei Geraden, die genau aufeinanderliegen? (Unendlich viele Lösungen) (!Keine Lösung) (!Genau eine Lösung) (!Genau drei Lösungen)

Was geschieht beim Einsetzungsverfahren? (Ein Term wird in eine andere Gleichung eingesetzt) (!Beide Geraden werden nur gezeichnet) (!Beide Gleichungen werden gelöscht) (!Die Variablen werden vertauscht)

Was geschieht beim Gleichsetzungsverfahren? (Zwei Terme für dieselbe Variable werden gleichgesetzt) (!Die Koeffizienten werden immer halbiert) (!Nur die rechte Seite wird betrachtet) (!Die Variablen werden durch Null ersetzt)

Was ist das Ziel des Additionsverfahrens? (Eine Variable soll wegfallen) (!Beide Variablen sollen größer werden) (!Eine dritte Variable soll entstehen) (!Die Gleichungen sollen quadratisch werden)

Wozu dient die Probe? (Zur Kontrolle der Lösung in beiden Ausgangsgleichungen) (!Zum Zeichnen einer Parabel) (!Zum Vertauschen der Gleichungen) (!Zum Runden aller Zahlen)

Welche Lösung hat das System x plus y gleich 5 und x minus y gleich 1? (x gleich 3 und y gleich 2) (!x gleich 2 und y gleich 3) (!x gleich 5 und y gleich 1) (!x gleich 4 und y gleich 4)

Für welche Aufgabe ist das Gaußverfahren besonders geeignet? (Für größere lineare Gleichungssysteme) (!Nur für eine einzelne Zahl) (!Nur für Kreisberechnungen) (!Nur für Bruchrechnungen ohne Variablen)

Memory

Lineares Gleichungssystem	Mehrere lineare Gleichungen mit denselben Variablen
Einsetzungsverfahren	Einen Term in eine andere Gleichung einsetzen
Gleichsetzungsverfahren	Zwei Terme für dieselbe Variable gleichsetzen
Additionsverfahren	Eine Variable durch Addieren beseitigen
Schnittpunkt	Gemeinsame Lösung zweier Geraden
Probe	Werte in beide Ausgangsgleichungen einsetzen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Passendes Verfahren
Eine Gleichung ist bereits nach y aufgelöst	Einsetzungsverfahren
Beide Gleichungen sind nach y aufgelöst	Gleichsetzungsverfahren
Die Koeffizienten einer Variablen sind Gegenzahlen	Additionsverfahren
Zwei Geraden sollen gezeichnet werden	Grafisches Verfahren
Drei oder mehr Gleichungen sollen systematisch gelöst werden	Gaußverfahren

Kreuzworträtsel

Schnittpunkt	Wie heißt der gemeinsame Punkt zweier Geraden?
Einsetzen	Was macht man beim Einsetzungsverfahren mit einem Term?
Gleichsetzen	Was macht man mit zwei Termen für dieselbe Variable?
Addieren	Welche Rechenart gibt dem Additionsverfahren seinen Namen?
Variable	Wie heißt ein Platzhalter wie x oder y?
Stufenform	In welche Form bringt das Gaußverfahren ein Gleichungssystem?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren mit denselben Variablen. Eine Lösung muss Gleichungen erfüllen. Zwei sich schneidende Geraden besitzen genau einen . Parallele Geraden haben gemeinsame Lösung. Beim Einsetzungsverfahren wird ein Term . Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Terme . Beim Additionsverfahren soll eine Variable . Eine Lösung wird mit einer kontrolliert.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen LGS, Variable, Lösung und Probe.
2. Geraden zeichnen: Zeichne zwei Geraden mit genau einem Schnittpunkt.
3. Videoprotokoll: Notiere fünf wichtige Aussagen aus dem Planet-Schule-Video.
4. Lösungsverfahren: Erstelle ein kleines Plakat zu drei Lösungsverfahren.

Standard

1. Methodenvergleich: Löse dasselbe LGS mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren.
2. Sachaufgabe: Erfinde eine Preisaufgabe mit zwei Produkten und zwei Gleichungen.
3. Fehleranalyse: Baue einen typischen Rechenfehler ein und erkläre, wie man ihn erkennt.
4. GeoGebra: Zeichne ein LGS digital und vergleiche den Schnittpunkt mit Deiner Rechnung.

Schwer

1. Modellierung: Entwickle eine Alltagssituation, die zu einem LGS mit zwei Variablen führt.
2. Parameter: Untersuche ein LGS, dessen Lösungsanzahl von einem Parameter abhängt.
3. Gaußverfahren: Löse ein System mit drei Gleichungen und drei Variablen.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du ein Verfahren Schritt für Schritt erklärst.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl: Entscheide bei drei verschiedenen LGS, welches Verfahren jeweils besonders günstig ist. Begründe Deine Wahl.
2. Grafik und Rechnung: Erkläre, warum ein gezeichneter Schnittpunkt nur einen Näherungswert liefern kann, eine Rechnung aber einen exakten Wert.
3. Widerspruch: Deute das Ergebnis 0 = 5 bei einer Umformung und beschreibe die Lage der Geraden.
4. Identität: Deute das Ergebnis 0 = 0 und beschreibe die Lösungsmenge.
5. Modellprüfung: Prüfe bei einer selbst erfundenen Sachaufgabe, ob die gefundene Lösung in der Wirklichkeit sinnvoll ist.
6. Übertragung: Erkläre, wie die Idee des Additionsverfahrens im Gaußverfahren weitergeführt wird.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. ein LGS aus einer Aufgabe bilden kannst,
2. die grafische Bedeutung der Lösungsmenge erklären kannst,
3. ein geeignetes Lösungsverfahren auswählst und begründest,
4. ein LGS sauber und nachvollziehbar löst,
5. Deine Lösung durch eine Probe kontrollierst,
6. Sonderfälle mit keiner oder unendlich vielen Lösungen erkennst.

OERs zum Thema

Die freie Version des Planet-Schule-Films ist auf Wikimedia Commons verfügbar:

Datei:Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren - kolleg24 Mathematik.webm

Übungen von Planet Schule

Links

Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren Lineares Gleichungssystem Lineare Gleichung Grafisches Lösungsverfahren Einsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Gaußsches Eliminationsverfahren Lösungsmenge Probe