Lineare Gleichungssysteme - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Lineare Gleichungssysteme begegnen Dir immer dann, wenn mehrere Bedingungen gleichzeitig gelten sollen. In der Mathematik bedeutet das: Mehrere lineare Gleichungen enthalten dieselben Variablen, und Du suchst Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig wahr machen. Kurz sagt man auch LGS.

Ein einfaches Beispiel ist:

$\{\begin{array}{c}x+y=10\\ x-y=4\end{array}$

Die erste Gleichung sagt: Zwei Zahlen ergeben zusammen $10$. Die zweite Gleichung sagt: Die erste Zahl ist um $4$ größer als die zweite. Gesucht ist also nicht irgendeine Zahl, sondern ein Zahlenpaar $(x,y)$, das beide Bedingungen erfüllt. In diesem Beispiel ist $x=7$ und $y=3$, denn $7+3=10$ und $7-3=4$.

Dieser aiMOOC führt Dich Schritt für Schritt in lineare Gleichungssysteme ein. Du lernst, wie Du sie zeichnerisch, mit dem Gleichsetzungsverfahren, mit dem Einsetzungsverfahren und mit dem Additionsverfahren lösen kannst. Außerdem übst Du, Ergebnisse zu prüfen, typische Fehler zu vermeiden und Sachsituationen in Gleichungssysteme zu übersetzen.

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Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem ist eine Zusammenfassung mehrerer linearer Gleichungen, die gemeinsame Unbekannte enthalten. Eine Gleichung heißt linear, wenn jede Variable nur in der ersten Potenz vorkommt. Das bedeutet: Es gibt keine Terme wie $x^2$, $xy$ oder $\frac{1}{x}$.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen sieht häufig so aus:

$\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y=c_1\\ a_{2}x+b_{2}y=c_2\end{array}$

Dabei sind $x$ und $y$ die Variablen. Die Zahlen vor den Variablen heißen Koeffizienten. Die Zahlen auf der rechten Seite heißen Konstanten oder rechte Seiten.

Ein konkretes Beispiel ist:

$\{\begin{array}{c}2x+y=11\\ x-y=1\end{array}$

Eine Lösung ist ein Zahlenpaar $(x,y)$, das beide Gleichungen erfüllt. Für das Beispiel ist $(4,3)$ eine Lösung, denn:

$2\cdot 4+3=11$

und

$4-3=1$

Wichtige Grundbegriffe

1. Gleichung: Eine mathematische Aussage mit einem Gleichheitszeichen, zum Beispiel $2x+3=9$.
2. Lineare Gleichung: Eine Gleichung, in der Variablen nur in der ersten Potenz vorkommen.
3. Gleichungssystem: Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig betrachtet werden.
4. Variable: Ein Platzhalter für eine unbekannte Zahl, zum Beispiel $x$ oder $y$.
5. Lösung: Ein Wert oder Zahlenpaar, das alle Gleichungen erfüllt.
6. Probe: Die Überprüfung, ob die gefundenen Werte wirklich in alle Gleichungen passen.

Grafische Bedeutung

Wenn ein lineares Gleichungssystem zwei Variablen $x$ und $y$ hat, kannst Du jede Gleichung als Gerade im Koordinatensystem darstellen. Die Lösung des Gleichungssystems ist der Punkt, der auf allen Geraden liegt.

Bei zwei Geraden gibt es drei wichtige Fälle:

1. Eindeutige Lösung: Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Dann hat das Gleichungssystem genau eine Lösung.
2. Keine Lösung: Die Geraden sind parallel und verschieden. Dann gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
3. Unendlich viele Lösungen: Die Geraden liegen genau aufeinander. Dann ist jeder Punkt der Geraden eine Lösung.

Genau eine Lösung

Wenn sich zwei Geraden schneiden, ist der Schnittpunkt die Lösung des Gleichungssystems. Das bedeutet: Die Koordinaten des Schnittpunkts erfüllen beide Gleichungen.

Beispiel:

$\{\begin{array}{c}y=2x+1\\ y=-x+7\end{array}$

Durch Gleichsetzen erhältst Du:

$2x+1=-x+7$

$3x=6$

$x=2$

Nun setzt Du $x=2$ in eine der Gleichungen ein:

$y=2\cdot 2+1=5$

Die Lösung ist also $(2,5)$.

Keine Lösung

Wenn zwei Geraden parallel sind und nicht aufeinanderliegen, schneiden sie sich nie. Dann gibt es kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt.

Beispiel:

$\{\begin{array}{c}y=2x+1\\ y=2x-3\end{array}$

Beide Geraden haben dieselbe Steigung $2$, aber unterschiedliche Achsenabschnitte. Deshalb sind sie parallel. Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Unendlich viele Lösungen

Wenn zwei Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Jeder Punkt auf dieser Geraden erfüllt beide Gleichungen.

Beispiel:

$\{\begin{array}{c}y=2x+1\\ 2y=4x+2\end{array}$

Die zweite Gleichung kann durch $2$ geteilt werden:

$y=2x+1$

Beide Gleichungen sind also gleichwertig. Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Lösungsverfahren im Überblick

Es gibt mehrere Wege, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. In Klasse 7 und 8 sind besonders diese Verfahren wichtig:

1. Graphisches Lösungsverfahren: Du zeichnest beide Geraden und liest den Schnittpunkt ab.
2. Gleichsetzungsverfahren: Du löst beide Gleichungen nach derselben Variable auf und setzt die Terme gleich.
3. Einsetzungsverfahren: Du löst eine Gleichung nach einer Variable auf und setzt den Term in die andere Gleichung ein.
4. Additionsverfahren: Du addierst oder subtrahierst Gleichungen so, dass eine Variable wegfällt.

Kein Verfahren ist immer das beste. Entscheidend ist, wie das Gleichungssystem aussieht. Gute Rechnerinnen und Rechner wählen das Verfahren, das am wenigsten Umformungen erfordert.

Graphisches Lösungsverfahren

Beim graphischen Lösungsverfahren wandelst Du jede Gleichung in die Form $y=mx+b$ um. Dann zeichnest Du beide Geraden in ein Koordinatensystem.

Beispiel:

$\{\begin{array}{c}y=x+1\\ y=-2x+7\end{array}$

Für die erste Gerade gilt: Sie hat die Steigung $1$ und schneidet die $y$-Achse bei $1$. Für die zweite Gerade gilt: Sie hat die Steigung $-2$ und schneidet die $y$-Achse bei $7$. Der Schnittpunkt ist $(2,3)$. Deshalb ist die Lösung:

$L=\{(2,3)\}$

Das graphische Verfahren ist anschaulich, aber beim Ablesen können Ungenauigkeiten entstehen. Deshalb eignet es sich besonders, um Lösungen zu verstehen und ungefähr zu kontrollieren.

Gleichsetzungsverfahren

Das Gleichsetzungsverfahren eignet sich besonders, wenn beide Gleichungen bereits nach derselben Variable aufgelöst sind.

Beispiel:

$\{\begin{array}{c}y=3x-2\\ y=x+4\end{array}$

Da beide rechten Seiten gleich $y$ sind, kannst Du sie gleichsetzen:

$3x-2=x+4$

Nun löst Du nach $x$ auf:

$2x=6$

$x=3$

Dann setzt Du $x=3$ in eine Gleichung ein:

$y=3\cdot 3-2=7$

Die Lösung ist:

$L=\{(3,7)\}$

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren eignet sich besonders, wenn eine Gleichung leicht nach einer Variable aufgelöst werden kann.

Beispiel:

$\{\begin{array}{c}x+y=13\\ x=2y+1\end{array}$

Da die zweite Gleichung schon nach $x$ aufgelöst ist, setzt Du $2y+1$ für $x$ in die erste Gleichung ein:

$(2y+1)+y=13$

$3y+1=13$

$3y=12$

$y=4$

Nun berechnest Du $x$:

$x=2\cdot 4+1=9$

Die Lösung ist:

$L=\{(9,4)\}$

Additionsverfahren

Das Additionsverfahren eignet sich besonders, wenn sich eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren der Gleichungen entfernen lässt.

Beispiel:

$\{\begin{array}{c}2x+3y=12\\ 4x-3y=6\end{array}$

Wenn Du beide Gleichungen addierst, fällt $y$ weg:

$(2x+3y)+(4x-3y)=12+6$

$6x=18$

$x=3$

Nun setzt Du $x=3$ in die erste Gleichung ein:

$2\cdot 3+3y=12$

$6+3y=12$

$3y=6$

$y=2$

Die Lösung ist:

$L=\{(3,2)\}$

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Lösungsstrategie: Welches Verfahren passt?

Eine wichtige mathematische Fähigkeit ist nicht nur das Rechnen selbst, sondern die Entscheidung für eine passende Strategie. Du kannst Dich an diesen Fragen orientieren:

1. Gleichsetzungsverfahren: Sind beide Gleichungen nach $x$ oder nach $y$ aufgelöst?
2. Einsetzungsverfahren: Ist eine Variable bereits allein oder fast allein?
3. Additionsverfahren: Haben zwei Terme gleiche oder gegensätzliche Koeffizienten?
4. Graphisches Lösungsverfahren: Soll die Lösung anschaulich im Koordinatensystem verstanden werden?
5. Probe: Hast Du die gefundene Lösung in beide Gleichungen eingesetzt?

Beispiel zur Auswahl:

$\{\begin{array}{c}y=4x-1\\ y=-2x+11\end{array}$

Hier ist das Gleichsetzungsverfahren günstig, weil beide Gleichungen schon nach $y$ aufgelöst sind.

$\{\begin{array}{c}x=3y-5\\ 2x+y=17\end{array}$

Hier ist das Einsetzungsverfahren günstig, weil $x$ bereits allein steht.

$\{\begin{array}{c}5x+2y=16\\ 3x-2y=8\end{array}$

Hier ist das Additionsverfahren günstig, weil $2y$ und $-2y$ beim Addieren wegfallen.

Probe und Lösungsmenge

Die Probe ist ein unverzichtbarer Teil beim Lösen eines Gleichungssystems. Eine gefundene Lösung ist nur dann richtig, wenn sie alle Gleichungen erfüllt.

Beispiel:

$\{\begin{array}{c}2x+3y=12\\ 4x-3y=6\end{array}$

Wir haben $x=3$ und $y=2$ gefunden. Die Probe lautet:

Erste Gleichung:

$2\cdot 3+3\cdot 2=6+6=12$

Zweite Gleichung:

$4\cdot 3-3\cdot 2=12-6=6$

Beide Gleichungen sind erfüllt. Deshalb ist die Lösung korrekt.

Die Lösungsmenge kann so notiert werden:

$L=\{(3,2)\}$

Wenn es keine Lösung gibt, schreibt man:

$L=\varnothing$

Wenn es unendlich viele Lösungen gibt, beschreibt man meist die gemeinsame Gerade, zum Beispiel:

$L=\{(x,y)\mid y=2x+1\}$

Sachaufgaben mit linearen Gleichungssystemen

Lineare Gleichungssysteme sind besonders nützlich, wenn in einer Sachaufgabe zwei unbekannte Größen gleichzeitig gesucht sind. Wichtig ist, die Situation sorgfältig zu übersetzen.

Beispiel:

In einem Kino kosten zwei Erwachsenenkarten und drei Kinderkarten zusammen $39$ Euro. Eine Erwachsenenkarte und zwei Kinderkarten kosten zusammen $23$ Euro. Wie viel kostet eine Erwachsenenkarte und wie viel kostet eine Kinderkarte?

Wir setzen:

$e=$ Preis einer Erwachsenenkarte

$k=$ Preis einer Kinderkarte

Daraus entsteht:

$\{\begin{array}{c}2e+3k=39\\ e+2k=23\end{array}$

Die zweite Gleichung wird mit $2$ multipliziert:

$2e+4k=46$

Nun subtrahierst Du die erste Gleichung:

$(2e+4k)-(2e+3k)=46-39$

$k=7$

Dann setzt Du $k=7$ in $e+2k=23$ ein:

$e+14=23$

$e=9$

Eine Erwachsenenkarte kostet $9$ Euro, eine Kinderkarte $7$ Euro.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

1. Vorzeichenfehler: Achte besonders auf Minuszeichen vor Klammern und beim Subtrahieren ganzer Gleichungen.
2. Rechenfehler: Schreibe jeden Umformungsschritt sauber untereinander.
3. Vertauschte Variablen: Prüfe, ob $x$ und $y$ im Ergebnis zur Aufgabe passen.
4. Ungenaue Zeichnung: Beim graphischen Verfahren kann ein falsch gezeichneter Schnittpunkt zu falschen Ergebnissen führen.
5. Fehlende Probe: Ohne Probe merkst Du manche Fehler nicht.
6. Falsche Modellierung: In Sachaufgaben ist die Übersetzung in Gleichungen oft der schwierigste Schritt.

Eine gute Arbeitsroutine lautet: ordnen, Verfahren wählen, sauber rechnen, rückeinsetzen, Probe durchführen, Ergebnis im Kontext beantworten.

Ausblick: Matrixschreibweise und Gauß-Verfahren

In höheren Klassen und in der linearen Algebra werden lineare Gleichungssysteme oft mit Matrizen geschrieben. Ein Gleichungssystem wie

$\{\begin{array}{c}2x+3y=12\\ 4x-3y=6\end{array}$

kann als Matrix-Vektor-Produkt dargestellt werden:

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 6\end{array}\right)$

Das gaußsche Eliminationsverfahren ist eine systematische Methode, bei der Gleichungen umgeformt werden, bis eine leicht lösbare Stufenform entsteht. In Klasse 7 und 8 musst Du diese Schreibweise meist noch nicht vollständig beherrschen, aber sie zeigt, dass die Verfahren, die Du lernst, Teil eines größeren mathematischen Zusammenhangs sind.

Zusammenfassung

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Variablen. Bei zwei Variablen entspricht jede Gleichung einer Geraden im Koordinatensystem. Die Lösung ist der gemeinsame Punkt dieser Geraden. Schneiden sich die Geraden, gibt es genau eine Lösung. Sind sie parallel und verschieden, gibt es keine Lösung. Liegen sie aufeinander, gibt es unendlich viele Lösungen.

Du kannst lineare Gleichungssysteme zeichnerisch, durch Gleichsetzen, durch Einsetzen oder durch Addieren lösen. Das passende Verfahren hängt von der Form der Gleichungen ab. Die Probe ist immer wichtig, weil sie zeigt, ob Deine Lösung wirklich alle Gleichungen erfüllt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist ein lineares Gleichungssystem? (Mehrere lineare Gleichungen mit gemeinsamen Variablen) (!Eine Gleichung mit einer quadrierten Variable) (!Eine Tabelle ohne Gleichheitszeichen) (!Eine einzelne Zahlengerade)

Was ist eine Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen? (Ein Zahlenpaar das alle Gleichungen erfüllt) (!Ein einzelner Koeffizient) (!Eine beliebige Gerade) (!Eine Gleichung ohne Variablen)

Was bedeutet der Schnittpunkt zweier Geraden bei einem linearen Gleichungssystem? (Er ist die gemeinsame Lösung) (!Er ist immer der Ursprung) (!Er zeigt nur die Steigung) (!Er ist nie wichtig)

Was gilt bei zwei verschiedenen parallelen Geraden? (Das Gleichungssystem hat keine Lösung) (!Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung) (!Das Gleichungssystem hat immer zwei Lösungen) (!Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen)

Was gilt bei zwei identischen Geraden? (Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen) (!Das Gleichungssystem hat keine Lösung) (!Das Gleichungssystem hat genau zwei Lösungen) (!Das Gleichungssystem ist nicht linear)

Was ist die Grundidee des Gleichsetzungsverfahrens? (Zwei nach derselben Variable aufgelöste Terme werden gleichgesetzt) (!Alle Zahlen werden gestrichen) (!Die Gleichungen werden nur gezeichnet) (!Eine Variable wird quadriert)

Wann eignet sich das Einsetzungsverfahren besonders? (Wenn eine Gleichung leicht nach einer Variable auflösbar ist) (!Wenn keine Variable vorkommt) (!Wenn beide Geraden parallel sind) (!Wenn nur eine Zeichnung erlaubt ist)

Was ist das Ziel beim Additionsverfahren? (Eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren beseitigen) (!Beide Gleichungen in Wörter umwandeln) (!Alle Koeffizienten durch Null teilen) (!Die Lösung nur schätzen)

Warum ist die Probe wichtig? (Sie prüft ob die Lösung alle Gleichungen erfüllt) (!Sie ersetzt das Rechnen vollständig) (!Sie macht aus jeder Gleichung eine Gerade) (!Sie verändert die Aufgabenstellung)

Welche Gleichung ist linear? (2x + 3y = 7) (!x² + y = 7) (!xy + 1 = 7) (!1 durch x + y = 7)

Memory

Lineares Gleichungssystem	Mehrere lineare Gleichungen mit gemeinsamen Variablen
Lösung	Zahlenpaar das alle Gleichungen erfüllt
Schnittpunkt	Gemeinsamer Punkt zweier Geraden
Gleichsetzungsverfahren	Zwei Terme gleichsetzen
Einsetzungsverfahren	Variable durch einen Term ersetzen
Additionsverfahren	Variable durch Addition entfernen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gleichungen ordnen	Terme mit gleichen Variablen untereinander schreiben
Koeffizienten anpassen	Gegenzahlen vor einer Variable erzeugen
Gleichungen addieren	Eine Variable fällt weg
Neue Gleichung lösen	Erste Variable bestimmen
Rückeinsetzen	Zweite Variable berechnen

Kreuzworträtsel

Schnittpunkt	Welcher Punkt ist bei zwei sich schneidenden Geraden die Lösung?
Variable	Wie heißt eine unbekannte Zahl in einer Gleichung?
Addition	Welches Verfahren beseitigt eine Variable durch Zusammenzählen?
Einsetzen	Welches Verfahren ersetzt eine Variable durch einen Term?
Gerade	Wie nennt man den Graphen einer linearen Gleichung mit zwei Variablen?
Probe	Wie heißt die Überprüfung der gefundenen Lösung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren . Eine Lösung ist ein Zahlenpaar, das erfüllt. Graphisch entspricht eine lineare Gleichung mit zwei Variablen einer . Schneiden sich zwei Geraden in einem Punkt, gibt es . Sind zwei Geraden parallel und verschieden, gibt es . Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Terme . Beim Einsetzungsverfahren wird eine Variable durch einen ersetzt. Beim Additionsverfahren soll eine Variable . Die Probe zeigt, ob die gefundene Lösung ist.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Erstelle eine übersichtliche Karte mit den Begriffen lineare Gleichung, Variable, Koeffizient, Lösung, Probe und Gleichungssystem.
2. Koordinatensystem: Zeichne zwei Geraden, die sich schneiden, und beschreibe den Schnittpunkt in eigenen Worten.
3. Probe üben: Wähle drei vorgegebene Zahlenpaare und prüfe, ob sie ein einfaches Gleichungssystem erfüllen.
4. Fehler finden: Erfinde eine falsche Lösung zu einem Gleichungssystem und erkläre, woran man den Fehler erkennt.

Standard

1. Gleichsetzungsverfahren: Löse drei Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren und notiere jeden Umformungsschritt.
2. Einsetzungsverfahren: Erstelle eine eigene Aufgabe, bei der eine Gleichung bereits nach einer Variable aufgelöst ist, und löse sie.
3. Additionsverfahren: Löse ein Gleichungssystem, bei dem Du zuerst eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren musst.
4. Sachaufgabe: Formuliere eine Alltagssituation mit zwei unbekannten Preisen und stelle dazu ein lineares Gleichungssystem auf.

Schwer

1. Modellieren: Entwickle eine realistische Mischungs-, Preis- oder Altersaufgabe, löse sie und erkläre, warum Deine Gleichungen zur Situation passen.
2. Verfahrensvergleich: Löse dasselbe Gleichungssystem mit zwei verschiedenen Verfahren und vergleiche Aufwand, Übersichtlichkeit und Fehleranfälligkeit.
3. Digitale Mathematik: Nutze ein digitales Werkzeug wie eine Tabellenkalkulation oder ein Geometrieprogramm, um ein Gleichungssystem grafisch und rechnerisch zu untersuchen.
4. Unendlich viele Lösungen: Erstelle ein Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen und erkläre algebraisch und grafisch, warum dies so ist.

Lernkontrolle

1. Modellierungskompetenz: Übersetze eine selbst gewählte Alltagssituation mit zwei unbekannten Größen in ein lineares Gleichungssystem und begründe jede Gleichung.
2. Strategieentscheidung: Entscheide bei fünf unterschiedlichen Gleichungssystemen, welches Lösungsverfahren jeweils am günstigsten ist, und begründe Deine Wahl ohne sofort zu rechnen.
3. Darstellungswechsel: Erkläre an einem Beispiel den Zusammenhang zwischen Gleichungen, Geraden im Koordinatensystem und der Lösungsmenge.
4. Fehleranalyse: Analysiere eine fehlerhafte Musterlösung, korrigiere sie und formuliere eine Regel, die den Fehler künftig vermeidet.
5. Transferaufgabe: Beschreibe, wie sich ein Gleichungssystem verändert, wenn zwei Geraden parallel werden, sich schneiden oder zusammenfallen.
6. Argumentieren: Begründe, warum die Probe nicht nur eine Rechenkontrolle ist, sondern auch eine inhaltliche Kontrolle der ursprünglichen Aufgabe.

Lernnachweis

Bearbeite zum Abschluss eine eigene vollständige Aufgabe zu linearen Gleichungssystemen. Dein Lernnachweis soll eine Sachsituation, die Definition der Variablen, zwei passende Gleichungen, ein rechnerisches Lösungsverfahren, eine Probe und einen Antwortsatz enthalten. Ergänze außerdem eine kurze Reflexion: Welches Verfahren hast Du gewählt und warum war es für Deine Aufgabe sinnvoll?

Links

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