Lineare Funktionen - Einfach erklärt

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Eine lineare Funktion beschreibt einen Zusammenhang mit einer geraden Linie. Ihre wichtigste Form ist:

$y=m\cdot x+b$

Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. In diesem kurzen aiMOOC lernst Du, wie Du lineare Funktionen erkennst, zeichnest und im Alltag nutzt.

Lernvideo

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe bei Beispielen und rechne kurz selbst mit.

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Aufgaben zum Video

1. Grundform: Notiere die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion.
2. Steigung: Erkläre mit einem Satz, was die Zahl m am Graphen verändert.
3. Y-Achsenabschnitt: Erkläre, wo Du die Zahl b im Koordinatensystem findest.
4. Sonderfälle: Beschreibe, wie der Graph bei positiver, negativer und fehlender Steigung aussieht.
5. Videobeispiel: Wähle eine Rechnung aus dem Video, stoppe vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.

Das Wichtigste

Funktionsgleichung

Die Gleichung lautet $f(x)=m\cdot x+b$.

1. m: Zeigt, wie stark die Gerade steigt oder fällt.
2. b: Zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
3. Graph: Ist bei einer linearen Funktion eine Gerade.

Steigung

Die Steigung kann mit einem Steigungsdreieck bestimmt werden:

$m=\frac{\text{Änderung von }y}{\text{Änderung von }x}$

Ist $m>0$, steigt die Gerade. Ist $m<0$, fällt sie. Bei $m=0$ ist sie waagerecht.

Y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei $x=0$. Bei $y=2x+3$ gilt deshalb $b=3$. Die Gerade geht durch den Punkt $(0|3)$.

Eine Gerade zeichnen

Beispiel: $y=2x+1$

1. Starte bei $(0|1)$.
2. Gehe wegen $m=2$ ein Kästchen nach rechts und zwei nach oben.
3. Markiere den zweiten Punkt.
4. Ziehe eine Gerade durch beide Punkte.

Wertetabelle

Du kannst Werte einsetzen:

x	−1	0	1	2
y = 2x + 1	−1	1	3	5

Die Punkte $(-1|-1)$, $(0|1)$, $(1|3)$ und $(2|5)$ liegen auf derselben Geraden.

Nullstelle

Die Nullstelle liegt dort, wo die Gerade die x-Achse schneidet. Setze dafür $y=0$.

Beispiel: $0=2x+4$. Daraus folgt $x=-2$.

Lineare Funktionen im Alltag

Lineare Funktionen können Kosten beschreiben. Eine Grundgebühr ist der y-Achsenabschnitt. Ein Preis pro Einheit ist die Steigung.

Beispiel: $K(x)=2x+5$ bedeutet 5 Euro Grundgebühr und 2 Euro pro Einheit.

Freies Erklärvideo zur Vertiefung

Datei:Lineare Funktionen - kolleg24 Mathematik.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die Grundform einer linearen Funktion? (y = m mal x plus b) (!y = x hoch zwei plus b) (!y = m geteilt durch x) (!y = b hoch x)

Was beschreibt m in einer linearen Funktion? (Die Steigung) (!Die Nullstelle) (!Die x-Achse) (!Die Wertetabelle)

Was beschreibt b in der Gleichung y = m mal x plus b? (Den y-Achsenabschnitt) (!Die Länge der x-Achse) (!Die Anzahl der Punkte) (!Die Breite des Koordinatensystems)

Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus? (Als Gerade) (!Als Kreis) (!Als Parabel) (!Als Dreieck)

Was gilt bei einer positiven Steigung? (Die Gerade steigt von links nach rechts) (!Die Gerade fällt von links nach rechts) (!Die Gerade ist senkrecht) (!Die Gerade ist ein Kreis)

Was gilt bei m gleich null? (Die Gerade ist waagerecht) (!Die Gerade ist senkrecht) (!Die Gerade ist eine Parabel) (!Die Gerade hat keinen Graphen)

Wo schneidet die Funktion y gleich 3x plus 2 die y-Achse? (Bei 2) (!Bei 3) (!Bei minus 2) (!Bei 6)

Welcher Punkt liegt auf y gleich 2x plus 1? (Der Punkt 1 und 3) (!Der Punkt 1 und 1) (!Der Punkt 0 und 0) (!Der Punkt 2 und 2)

Wie findest Du eine Nullstelle? (Du setzt y gleich null) (!Du setzt m gleich null) (!Du setzt b gleich eins) (!Du löschst die x-Achse)

Was bedeutet die Funktion K gleich 4x plus 10 bei Kosten? (10 Grundgebühr und 4 pro Einheit) (!4 Grundgebühr und 10 pro Einheit) (!Keine Grundgebühr und 14 pro Einheit) (!10 Grundgebühr und keine weiteren Kosten)

Memory

Steigung	m
Y-Achsenabschnitt	b
Funktionsgleichung	y = mx + b
Graph	Gerade
Nullstelle	Schnitt mit der x-Achse
Wertetabelle	geordnete Wertepaare

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Steigende Gerade	positive Steigung
Fallende Gerade	negative Steigung
Waagerechte Gerade	Steigung null
Schnitt mit der y-Achse	Achsenabschnitt
Schnitt mit der x-Achse	Nullstelle

Kreuzworträtsel

Gerade	Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
Steigung	Welche Größe wird meist mit m bezeichnet?
Achsenabschnitt	Wie heißt die Zahl b?
Wertetabelle	Welche Tabelle zeigt zusammengehörige x- und y-Werte?
Koordinatensystem	Wo wird der Graph gezeichnet?
Nullstelle	Wie heißt der Schnittpunkt mit der x-Achse?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine . Die allgemeine Gleichung lautet y gleich m mal x plus . Die Zahl m heißt . Die Zahl b heißt y- . Bei positiver Steigung verläuft die Gerade nach rechts . Bei negativer Steigung verläuft sie nach rechts . Für eine Nullstelle setzt Du y gleich . Zwei Punkte reichen aus, um eine zu zeichnen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Videonotizen: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Lernvideo auf.
2. Wertetabelle: Erstelle für $y=x+2$ eine Tabelle mit vier x-Werten.
3. Gerade zeichnen: Zeichne den Graphen von $y=2x-1$.
4. Alltagsbeispiel: Erfinde eine Situation mit Grundgebühr und Preis pro Einheit.

Standard

1. Video erklären: Wähle eine Stelle aus dem Video und erkläre sie mit eigenen Worten.
2. Zwei Punkte: Bestimme die Steigung der Geraden durch $A(1|3)$ und $B(4|9)$.
3. Tarifvergleich: Vergleiche $A(x)=2x+8$ und $B(x)=3x+2$ in einer Tabelle.
4. Fehler finden: Jemand zeichnet $y=-2x+3$ als steigende Gerade. Erkläre den Fehler.

Schwer

1. Modell entwickeln: Miss die Füllhöhe eines Gefäßes in gleichen Zeitabständen und prüfe, ob ein linearer Zusammenhang passt.
2. Erklärvideo: Produziere ein eigenes kurzes Video über Steigung und y-Achsenabschnitt.
3. Parameter untersuchen: Verändere m und b mit einer dynamischen Geometriesoftware und dokumentiere Deine Beobachtungen.
4. Schnittpunkt: Bestimme rechnerisch und zeichnerisch den Schnittpunkt von $y=2x+1$ und $y=-x+7$.

Lernkontrolle

1. Handytarife: Tarif A kostet 10 Euro Grundgebühr und 2 Euro je Einheit. Tarif B kostet 4 Euro Grundgebühr und 3 Euro je Einheit. Stelle beide Funktionen auf und entscheide, wann welcher Tarif günstiger ist.
2. Wassertank: Ein Tank enthält zuerst 120 Liter. Pro Minute fließen 8 Liter ab. Stelle eine Funktion auf und erkläre die Bedeutung von Steigung und Achsenabschnitt.
3. Graph deuten: Eine Gerade steigt stark und schneidet die y-Achse unterhalb von null. Beschreibe mögliche Vorzeichen von m und b.
4. Fehleranalyse: Prüfe die Aussage: „Je größer b ist, desto steiler ist die Gerade.“ Begründe Deine Entscheidung.
5. Daten prüfen: Die Punkte $(0|2)$, $(1|5)$, $(2|8)$ und $(3|12)$ sind gegeben. Prüfe, ob alle Punkte zu einer linearen Funktion gehören.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. die Form $y=m\cdot x+b$ erklären,
2. Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmen,
3. Wertetabellen erstellen,
4. Geraden zeichnen und lesen,
5. Nullstellen berechnen,
6. einfache Alltagssituationen als lineare Funktionen darstellen,
7. Deine Rechenwege verständlich begründen.

Links

Lineare Funktionen - Einfach erklärt Lineare Funktion Funktion Funktionsgleichung Steigung Steigungsdreieck Y-Achsenabschnitt Wertetabelle Koordinatensystem Graph einer Funktion Nullstelle