Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 9-10, G-Niveau

Längenkontraktion - Physik

Einleitung

Die Längenkontraktion ist ein Effekt der speziellen Relativitätstheorie. Sie bedeutet: Ein Körper, der sich relativ zu Dir bewegt, wird in Bewegungsrichtung kürzer gemessen als in seinem eigenen Ruhesystem. Seine Länge im Ruhesystem heißt Eigenlänge oder Ruhelänge.

Dabei wird der Körper in seinem eigenen Bezugssystem nicht zusammengedrückt. Die verkürzte Länge entsteht durch die Art, wie Raum, Zeit und Gleichzeitigkeit in verschiedenen Bezugssystemen zusammenhängen.

Die Grafik veranschaulicht die verkürzte Länge eines bewegten Stabes.

Lernziele

Eigenlänge: Du kannst erklären, was die Eigenlänge eines Körpers ist.
Lorentz-Faktor: Du kannst den Lorentz-Faktor bestimmen und deuten.
Längenkontraktion: Du kannst kontrahierte Längen berechnen.
Gleichzeitigkeit: Du kannst begründen, warum die Endpunkte gleichzeitig gemessen werden müssen.
Spezielle Relativitätstheorie: Du kannst die Längenkontraktion in größere Zusammenhänge einordnen.

Physikalische Grundlagen

Bezugssysteme und Eigenlänge

Eine Länge ist in der Relativitätstheorie nicht unabhängig vom Beobachter. Entscheidend ist das verwendete Inertialsystem.

Die Eigenlänge $L_{0}$ wird in dem Bezugssystem gemessen, in dem der Körper ruht. Sie ist die größte Länge, die für diesen Körper in einem Inertialsystem gemessen wird.

Die Länge $L$ wird von einem Beobachter bestimmt, relativ zu dem sich der Körper mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt. In Bewegungsrichtung gilt dann:

$L < L_{0}$

Die Länge hängt davon ab, welche Ereignisse im jeweiligen Bezugssystem als gleichzeitig gelten.

Warum Gleichzeitigkeit entscheidend ist

Um die Länge eines bewegten Zuges zu bestimmen, musst Du die Position seiner Spitze und seines Endes zum selben Zeitpunkt in Deinem Bezugssystem messen.

In einem anderen bewegten Bezugssystem können dieselben beiden Messereignisse jedoch nicht gleichzeitig sein. Diese Relativität der Gleichzeitigkeit ist der Schlüssel zum Verständnis der Längenkontraktion.

Das animierte Raumzeitdiagramm zeigt, wie unterschiedliche Gleichzeitigkeitslinien zu unterschiedlichen Längen führen.

Die Formel der Längenkontraktion

Für eine Bewegung entlang der gemessenen Länge gilt:

$L = \frac{L_{0}}{γ} = L_{0} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$

Der Lorentz-Faktor lautet:

$γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Größe	Bedeutung	Einheit
$L$	gemessene Länge des bewegten Körpers	Meter
$L_{0}$	Eigenlänge im Ruhesystem	Meter
$v$	Relativgeschwindigkeit	Meter pro Sekunde
$c$	Lichtgeschwindigkeit mit ungefähr $3,00 \cdot 1 0^{8} m / s$	Meter pro Sekunde
$γ$	Lorentz-Faktor	ohne Einheit

Je näher $v$ an die Lichtgeschwindigkeit herankommt, desto kleiner wird $L$ . Für Alltagsgeschwindigkeiten ist der Effekt verschwindend gering.

Der Graph zeigt, wie die gemessene Länge bei wachsender Geschwindigkeit abnimmt.

Rechenbeispiel

Ein Raumschiff besitzt die Eigenlänge

$L_{0} = 100 m$

und bewegt sich mit

$v = 0,8 c$ .

Dann gilt:

$L = 100 m \cdot \sqrt{1 - 0, 8^{2}}$

$L = 100 m \cdot 0,6 = 60 m$

Vom ruhenden Bezugssystem aus wird das Raumschiff in Bewegungsrichtung nur mit 60 Metern Länge gemessen. Im Raumschiff selbst bleibt seine Länge 100 Meter.

Kurze Herleitung mit der Lorentz-Transformation

Ein Stab ruht im System $S^{'}$ . Dort ist seine Länge:

$L_{0} = Δ x^{'}$

Die Lorentz-Transformation für Ortsabstände lautet:

$Δ x^{'} = γ (Δ x - v Δ t)$

Im System $S$ müssen beide Endpunkte gleichzeitig gemessen werden. Deshalb gilt:

$Δ t = 0$

Damit folgt:

$L_{0} = γ L$

und daher:

$L = \frac{L_{0}}{γ}$

Ein Minkowski-Diagramm stellt Raum, Zeit, Weltlinien und Gleichzeitigkeit gemeinsam dar.

Nur in Bewegungsrichtung

Die Längenkontraktion wirkt ausschließlich parallel zur Relativbewegung. Die Höhe und Breite eines längs fahrenden Zuges bleiben unverändert.

Bewegt sich ein Stab in x-Richtung, wird nur seine Länge in x-Richtung kontrahiert. Abmessungen senkrecht dazu werden nicht verkürzt.

Gegenseitigkeit ohne Widerspruch

Beobachter A misst den bewegten Maßstab von B verkürzt. Beobachter B misst ebenso den bewegten Maßstab von A verkürzt.

Das ist kein Widerspruch. Beide verwenden unterschiedliche Gleichzeitigkeitsdefinitionen. Keine der beiden Beschreibungen ist grundsätzlich bevorzugt, solange sich beide Systeme gleichförmig bewegen.

Anwendungen und Deutungen

Myonen in der Atmosphäre

Myonen entstehen durch kosmische Strahlung in großer Höhe. Im Bezugssystem der Erde erklärt die Zeitdilatation, warum viele Myonen die Erdoberfläche erreichen.

Im Ruhesystem der Myonen vergeht ihre Eigenzeit normal. Dafür erscheint ihnen die Atmosphäre in Bewegungsrichtung längenkontrahiert. Beide Sichtweisen beschreiben dasselbe physikalische Geschehen.

Das Raumzeitdiagramm verbindet die Sicht der Erde mit der Sicht eines schnellen Myons.

Das Garagenparadoxon

Beim Garagenparadoxon fährt ein sehr schneller Stab auf eine Garage zu, die in ihrem Ruhesystem kürzer als der Stab ist. Aus Sicht der Garage ist der Stab kontrahiert und kann für einen Moment vollständig hineinpassen.

Im Ruhesystem des Stabes ist dagegen die Garage kontrahiert. Der scheinbare Widerspruch löst sich auf, weil das gleichzeitige Schließen beider Garagentore in einem System im anderen System nicht gleichzeitig erfolgt.

Messen ist nicht dasselbe wie Fotografieren

Die Längenkontraktion beschreibt eine Messung gleichzeitig bestimmter Endpunkte. Ein Foto sammelt dagegen Licht, das von verschiedenen Punkten zu unterschiedlichen Zeiten ausgesendet wurde.

Darum sieht ein sehr schneller Körper auf einem Foto nicht einfach nur gestaucht aus. Lichtlaufzeiten und die sogenannte Terrell-Rotation verändern den optischen Eindruck.

Historischer Hintergrund

George Francis FitzGerald und Hendrik Antoon Lorentz entwickelten im späten 19. Jahrhundert eine Kontraktionshypothese, um das Ergebnis des Michelson-Morley-Experiments zu erklären.

Albert Einstein leitete die Längenkontraktion 1905 aus der speziellen Relativitätstheorie ab. Seitdem wird sie nicht mehr als Bewegung relativ zu einem Äther gedeutet, sondern als Folge der Struktur von Raum und Zeit.

Die Animation veranschaulicht die erwarteten Lichtlaufzeiten beim Michelson-Morley-Experiment.

Albert Einstein und Hendrik Antoon Lorentz im Jahr 1921.

Zusammenfassung

Eigenlänge: Die Eigenlänge $L_{0}$ wird im Ruhesystem des Körpers gemessen.
Längenkontraktion: Ein bewegter Körper wird parallel zur Bewegungsrichtung kürzer gemessen.
Lorentz-Faktor: Die Stärke des Effekts hängt von $γ$ und damit von der Relativgeschwindigkeit ab.
Gleichzeitigkeit: Beide Endpunkte müssen im messenden Bezugssystem gleichzeitig bestimmt werden.
Relativitätstheorie: Die Längenkontraktion ist eng mit Zeitdilatation und relativer Gleichzeitigkeit verbunden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist die Eigenlänge eines Körpers? (Die Länge im Ruhesystem des Körpers) (!Die kleinste mögliche Länge des Körpers) (!Die Länge senkrecht zur Bewegung) (!Die auf einem Foto sichtbare Länge)

Welche Formel beschreibt die Längenkontraktion? (L gleich L null durch gamma) (!L gleich L null mal gamma) (!L gleich Lichtgeschwindigkeit durch Zeit) (!L gleich Masse mal Geschwindigkeit)

In welcher Richtung tritt die Längenkontraktion auf? (In Richtung der Relativbewegung) (!Senkrecht zur Relativbewegung) (!In allen Richtungen gleich stark) (!Nur in vertikaler Richtung)

Was muss bei einer Längenmessung eines bewegten Körpers gleichzeitig bestimmt werden? (Die Positionen beider Endpunkte) (!Die Massen beider Endpunkte) (!Die Temperaturen beider Endpunkte) (!Die Beschleunigungen beider Endpunkte)

Wie lang wird ein Körper mit 100 Metern Eigenlänge bei 0,8 Lichtgeschwindigkeit gemessen? (60 Meter) (!80 Meter) (!100 Meter) (!166 Meter)

Wann ist die Längenkontraktion im Alltag meist vernachlässigbar? (Bei Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit) (!Bei jeder Bewegung im Vakuum) (!Nur bei fallenden Körpern) (!Nur bei beschleunigten Körpern)

Was geschieht mit dem Lorentz-Faktor bei wachsender Geschwindigkeit? (Er wird größer) (!Er wird immer kleiner) (!Er bleibt stets null) (!Er wechselt sein Vorzeichen)

Warum können zwei Beobachter gegenseitig den Maßstab des anderen verkürzt messen? (Weil Gleichzeitigkeit vom Bezugssystem abhängt) (!Weil einer der Maßstäbe wirklich zerbricht) (!Weil Licht unterschiedlich schnell ist) (!Weil nur ein Beobachter Uhren besitzt)

Warum zeigt ein Foto nicht einfach die reine Längenkontraktion? (Weil Licht von verschiedenen Punkten unterschiedlich lange unterwegs ist) (!Weil Kameras keine schnellen Körper aufnehmen können) (!Weil bewegte Körper unsichtbar werden) (!Weil die Lichtgeschwindigkeit null wird)

Welche Beschreibung passt im Ruhesystem schneller Myonen? (Die bewegte Atmosphäre ist längenkontrahiert) (!Die Erde besitzt keine Atmosphäre) (!Die Myonen bewegen sich schneller als Licht) (!Die Lichtgeschwindigkeit wird kleiner)

Memory

Eigenlänge	Länge im Ruhesystem
Lorentz-Faktor	Maß für relativistische Effekte
Gleichzeitigkeit	abhängig vom Bezugssystem
Bewegungsrichtung	Richtung der Kontraktion
Minkowski-Diagramm	Darstellung von Raum und Zeit
Myon	kurzlebiges Elementarteilchen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Eigenlänge	Ruhesystem des Körpers
Kontrahierte Länge	bewegtes Bezugssystem
Lorentz-Faktor	Stärke des relativistischen Effekts
Gleichzeitigkeit	gleichzeitige Endpunktmessung
Bewegungsrichtung	Richtung der Verkürzung

Kreuzworträtsel

Eigenlänge	Wie heißt die Länge eines Körpers in seinem Ruhesystem?
Lorentzfaktor	Welche Größe beschreibt die Stärke relativistischer Effekte?
Gleichzeitigkeit	Welches Konzept ist für die Messung beider Endpunkte entscheidend?
Bewegungsrichtung	In welcher Richtung tritt die Kontraktion auf?
Bezugssystem	Wovon hängt eine gemessene Länge in der Relativitätstheorie ab?
Lichtgeschwindigkeit	Welche Naturkonstante bildet die obere Geschwindigkeitsgrenze?

LearningApps

Lückentext

Die Länge eines Körpers in seinem Ruhesystem heißt

. Ein bewegter Körper wird parallel zu seiner Bewegung

gemessen. Die Stärke des Effekts wird mit dem

beschrieben. Für die Messung müssen die Positionen beider Endpunkte

bestimmt werden. Die Kontraktion wirkt nur in

. Bei kleinen Geschwindigkeiten ist der Effekt meist

. Die Längenkontraktion gehört zur speziellen

. Ein Raumzeitdiagramm wird auch

genannt. Im Ruhesystem schneller Myonen erscheint die Atmosphäre

. Ein Foto zeigt wegen unterschiedlicher Lichtlaufzeiten nicht nur die reine

.

Offene Aufgaben

Leicht

Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Eigenlänge, kontrahierte Länge, Lorentz-Faktor und Bezugssystem.
Skizze: Zeichne einen ruhenden und einen bewegten Zug und markiere die Richtung der Längenkontraktion.
Rechenweg: Berechne die Länge eines 20 Meter langen Raumschiffs bei einer Geschwindigkeit von $0,6 c$ .
Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video, in dem Du die Längenkontraktion ohne Formel erklärst.

Standard

Wertetabelle: Berechne den Quotienten $L / L_{0}$ für mehrere Geschwindigkeiten zwischen $0$ und $0,99 c$ .
Diagramm: Zeichne den Verlauf von $L / L_{0}$ in Abhängigkeit von $v / c$ .
Gedankenexperiment: Entwickle ein eigenes Beispiel mit einem schnellen Zug und zwei synchronisierten Uhren.
Medienanalyse: Vergleiche eine Animation mit einem Minkowski-Diagramm und beschreibe, was jeweils gut sichtbar wird.

Schwer

Lorentz-Transformation: Leite die Kontraktionsformel aus der Lorentz-Transformation für $Δ t = 0$ her.
Garagenparadoxon: Erkläre das Paradoxon aus beiden Bezugssystemen und berücksichtige die Relativität der Gleichzeitigkeit.
Myonenexperiment: Vergleiche die Erklärung durch Zeitdilatation im Erdsystem mit der Erklärung durch Längenkontraktion im Myonensystem.
Fotografie: Recherchiere die Terrell-Rotation und erkläre den Unterschied zwischen Messung und optischem Eindruck.

Lernkontrolle

Bezugssystemvergleich: Ein Zug und ein Bahnsteig bewegen sich relativ zueinander. Erkläre, warum beide Beobachter den Maßstab des jeweils anderen verkürzt messen können.
Messvorschrift: Entwickle ein Verfahren, mit dem die Länge eines schnellen Zuges vom Bahnsteig aus bestimmt werden kann.
Fehleranalyse: Beurteile die Aussage „Der Zug wird durch den Fahrtwind relativistisch zusammengedrückt“ und korrigiere sie.
Transferaufgabe: Ein 20 Meter langes Raumschiff wird bei $0,95 c$ mit ungefähr 6,25 Metern gemessen. Erläutere, warum die Besatzung trotzdem 20 Meter misst.
Modellvergleich: Zeige am Myonenbeispiel, wie Zeitdilatation und Längenkontraktion dieselbe Situation aus verschiedenen Bezugssystemen beschreiben.
Paradoxie: Erkläre, weshalb die Auflösung des Garagenparadoxons ohne die Relativität der Gleichzeitigkeit unvollständig bleibt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

die Eigenlänge von einer kontrahierten Länge unterscheiden kannst,
die Größen der Kontraktionsformel sicher zuordnest,
einfache Berechnungen mit dem Lorentz-Faktor durchführst,
die Bedeutung gleichzeitiger Endpunktmessungen erklärst,
zwischen Messung und fotografischem Eindruck unterscheidest,
ein Gedankenexperiment aus zwei Bezugssystemen analysierst,
Längenkontraktion und Zeitdilatation miteinander verknüpfst.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Längenkontraktion

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.