Kurvenscharen und Funktionenscharen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Eine Kurvenschar oder Funktionenschar ist eine Menge ähnlicher Funktionen. In der Funktionsgleichung steht neben der Variablen $x$ ein Parameter, zum Beispiel $a$. Für jeden Wert des Parameters entsteht eine andere Funktion und damit ein anderer Graph.

Beispiel: $f_a(x)=x^2+a$. Der Parameter $a$ verschiebt die Parabel nach oben oder unten.

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Lernziele

Du kannst Parameter und Variable unterscheiden, Einzelfunktionen bilden und die Wirkung eines Parameters auf einen Graphen beschreiben.

Grundwissen

Variable und Parameter

Bei $f_a(x)=a\cdot x^2$ ist $x$ die Variable und $a$ der Parameter. Für einen festen Parameterwert entsteht eine Einzelfunktion.

Ein Parameter kann einen Graphen verschieben, strecken, stauchen oder spiegeln.

Typische Untersuchungen

Bei Funktionenscharen untersuchst Du zum Beispiel Nullstellen, Extrempunkte, gemeinsame Punkte und Ortskurven. Beim Ableiten nach $x$ behandelst Du den Parameter wie eine feste Zahl.

Aufgaben zum Video

Sieh das Video an und bearbeite die Aufgaben.

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1. Videoanalyse: Erkläre in zwei Sätzen, was eine Funktionenschar ist.
2. Parameter: Notiere den Parameter aus einem Beispiel im Video.
3. Einzelfunktion: Setze einen Parameterwert ein und schreibe die entstehende Funktion auf.
4. Graph: Beschreibe die Veränderung des Graphen beim Ändern des Parameters.
5. Vergleich: Erkläre den Unterschied zwischen Variable und Parameter.
6. Transfer: Erfinde eine eigene einfache Funktionenschar und zeichne drei Graphen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist eine Funktionenschar? (Eine Menge von Funktionen mit einem Parameter) (!Eine einzelne Zahl) (!Eine Tabelle ohne Variablen) (!Ein Winkel im Dreieck)

Welche Größe ist in der Funktion f mit Index a der Parameter? (a) (!x) (!f) (!y)

Welche Einzelfunktion entsteht bei a gleich drei? (Die Funktion x Quadrat plus drei) (!Die Funktion drei x Quadrat) (!Die Funktion x Quadrat minus drei) (!Die Funktion x plus drei)

Wie wirkt a in x Quadrat plus a? (Die Parabel wird nach oben oder unten verschoben) (!Die Parabel wird zu einer Geraden) (!Die x Achse wird verschoben) (!Die Variable verschwindet)

Was tust Du zur Berechnung einer Nullstelle? (Du setzt den Funktionswert gleich null) (!Du setzt x immer gleich eins) (!Du addierst alle Funktionswerte) (!Du streichst den Parameter)

Wie wird ein Parameter beim Ableiten nach x behandelt? (Wie eine feste Zahl) (!Wie eine zweite Variable) (!Wie eine Einheit) (!Wie ein Bruchstrich)

Welcher Punkt liegt auf allen Geraden der Form k mal x? (Der Ursprung) (!Der Punkt eins eins) (!Der Punkt null eins) (!Der Punkt eins null)

Was verbindet eine Ortskurve? (Besondere Punkte einer Funktionenschar) (!Alle Zahlen einer Tabelle) (!Nur die Koordinatenachsen) (!Alle Parameter ohne Graphen)

Welche Wirkung kann ein Parameter haben? (Er kann einen Graphen verschieben oder strecken) (!Er löscht immer den Graphen) (!Er macht jede Funktion konstant) (!Er ersetzt das Koordinatensystem)

Welche Aussage ist richtig? (Kurvenschar und Funktionenschar werden oft gleichbedeutend verwendet) (!Eine Kurvenschar enthält keine Funktionen) (!Eine Funktionenschar hat nie einen Parameter) (!Eine Kurvenschar besteht nur aus Kreisen)

Memory

Parameter	Kennzeichnet ein Mitglied der Schar
Variable	Veränderliche Größe
Scharfunktion	Funktion mit Parameter
Einzelfunktion	Funktion mit festem Parameterwert
Ortskurve	Verbindet besondere Punkte
Nullstelle	Schnittpunkt mit der x Achse

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Parameter	Fester Wert in einer Einzelfunktion
Variable	Veränderliche Eingabe
Scharfunktion	Formel mit freiem Parameter
Nullstelle	Funktionswert ist null
Ortskurve	Verbindet besondere Punkte

Kreuzworträtsel

Parameter	Welche Größe unterscheidet die Funktionen einer Schar?
Variable	Welche Größe wird meist mit x bezeichnet?
Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Nullstelle	Wie heißt ein Schnittpunkt mit der x Achse?
Ortskurve	Welche Kurve verbindet besondere Punkte einer Schar?
Ableitung	Welches Werkzeug nutzt Du für Extrempunkte?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Funktionenschar enthält einen . Für einen festen Parameterwert entsteht eine . Die Größe x heißt meistens . Für Nullstellen setzt Du den Funktionswert gleich . Eine Kurve durch besondere Punkte heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte zu Parameter, Variable und Einzelfunktion.
2. Wertetabelle: Erstelle drei Wertetabellen zu $f_a(x)=x^2+a$.
3. Graph zeichnen: Zeichne drei Graphen einer einfachen Schar.
4. Video-Zusammenfassung: Fasse das Video in fünf Sätzen zusammen.

Standard

1. Parameterwirkung: Untersuche $g_k(x)=k\cdot x^2$ für vier Werte von $k$.
2. Nullstellen: Bestimme Nullstellen von $h_a(x)=x^2-a$ für drei Parameterwerte.
3. Gemeinsamer Punkt: Prüfe $p_t(x)=t\cdot x+2$ auf einen gemeinsamen Punkt.
4. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Video zu Variable und Parameter.

Schwer

1. Kurvendiskussion: Untersuche $f_a(x)=x^3-3ax$ auf Extremstellen.
2. Ortskurve: Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte von $g_t(x)=(x-t{)}^2+t$.
3. Modellierung: Entwickle eine Funktionenschar für Flugbahnen.
4. Digitale Mathematik: Stelle eine Schar mit einem Schieberegler dar.

Lernkontrolle

1. Parameter und Wirkung: Vergleiche einen Parameter als Summand und als Faktor.
2. Fehleranalyse: Erkläre, warum ein Parameter beim Ableiten nach x als konstant gilt.
3. Gemeinsamer Punkt: Untersuche $h_t(x)=t(x-1)+3$ auf einen gemeinsamen Punkt.
4. Darstellungswechsel: Beschreibe den Weg von der Scharformel zu mehreren Graphen.
5. Transfer: Erfinde eine lineare Schar durch den Punkt $(2|1)$.
6. Ortskurve verstehen: Erkläre die Bedeutung einer Ortskurve an einem Beispiel.

Lernnachweis

Du solltest eine Funktionenschar lesen, Parameterwerte einsetzen, Graphen vergleichen und den Einfluss des Parameters begründen können.

Links

Kurvenscharen und Funktionenscharen Funktion Parameter (Mathematik) Variable (Mathematik) Kurvenschar Nullstelle Extrempunkt Ortskurve