Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Kosinussatz - Dreiecke berechnen

Einleitung

Mit dem Kosinussatz kannst Du unbekannte Seiten und Winkel in einem Dreieck berechnen. Er gilt für jedes Dreieck. Du brauchst ihn besonders bei den Fällen SWS und SSS.

Bezeichnungen im Dreieck

Die Seite $a$ liegt dem Winkel $α$ gegenüber. Entsprechend liegt $b$ gegenüber von $β$ und $c$ gegenüber von $γ$ .

Die drei Formeln

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)$

Merke: In jeder Formel gehören der Winkel und die allein stehende Seite zusammen.

Wann brauchst Du den Kosinussatz?

SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind bekannt. Du berechnest die dritte Seite.
SSS: Alle drei Seiten sind bekannt. Du berechnest einen Winkel.

Beispiel: Eine Seite berechnen

Gegeben sind $a = 7 cm$ , $b = 5 cm$ und $γ = 6 0^{\circ}$ .

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)}$

$c = \sqrt{7^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos (6 0^{\circ})}$

$c = \sqrt{39} \approx 6,2 cm$

Beispiel: Einen Winkel berechnen

Gegeben sind $a = 5 cm$ , $b = 6 cm$ und $c = 7 cm$ .

$\cos (γ) = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

$γ = \arccos (\frac{5^{2} + 6^{2} - 7^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 6}) \approx 78, 5^{\circ}$

Stelle Deinen Taschenrechner auf Grad oder DEG.

Verbindung zum Satz des Pythagoras

Ist $γ = 9 0^{\circ}$ , dann gilt $\cos (9 0^{\circ}) = 0$ . Aus dem Kosinussatz wird:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

Der Satz des Pythagoras ist also ein Sonderfall des Kosinussatzes.

Video

Das Video erklärt, wann Du den Kosinussatz brauchst und wie Du Seiten und Winkel berechnest.

Aufgaben zum Video

Videoanalyse: Notiere die drei Formen des Kosinussatzes aus dem Video.
SWS-Fall: Erkläre in einem Satz, woran Du den SWS-Fall erkennst.
SSS-Fall: Beschreibe, wie aus einem Kosinuswert ein Winkel wird.
Rechenweg: Pausiere bei einem Beispiel und rechne jeden Schritt selbst nach.
Fehlerkontrolle: Prüfe, ob der berechnete Winkel kleiner als $18 0^{\circ}$ und die Seitenlänge positiv ist.
Zusammenfassung: Erkläre den Kosinussatz nach dem Video in höchstens drei Sätzen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel berechnet die Seite c? (c² = a² + b² − 2ab cos γ) (!c² = a² + b² + 2ab cos γ) (!c² = a² − b² − 2ab cos γ) (!c² = a + b − 2ab cos γ)

Für welche Dreiecke gilt der Kosinussatz? (Für alle Dreiecke) (!Nur für rechtwinklige Dreiecke) (!Nur für gleichseitige Dreiecke) (!Nur für spitzwinklige Dreiecke)

Was kannst Du im SWS-Fall direkt berechnen? (Die dritte Seite) (!Nur den Flächeninhalt) (!Nur die Höhe) (!Nur den Umfang)

Was kannst Du im SSS-Fall direkt berechnen? (Einen Winkel) (!Eine unbekannte Seite) (!Nur die Höhe) (!Nur den Schwerpunkt)

Welche Taschenrechnerfunktion liefert aus einem Kosinuswert den Winkel? (Arkuskosinus) (!Quadratwurzel) (!Logarithmus) (!Tangens)

Welche Einstellung braucht der Taschenrechner bei Winkelangaben in Grad? (Gradmodus) (!Bogenmaßmodus) (!Statistikmodus) (!Bruchmodus)

Welche Seite gehört zum Winkel gamma? (Die Seite c) (!Die Seite a) (!Die Seite b) (!Die längste Seite in jedem Dreieck)

Was entsteht bei gamma gleich 90 Grad aus dem Kosinussatz? (Der Satz des Pythagoras) (!Der Sinussatz) (!Die Winkelsumme) (!Die binomische Formel)

Wie lang ist c bei a gleich 3, b gleich 4 und gamma gleich 90 Grad? (5) (!6) (!7) (!12)

Was geschieht beim Berechnen einer Seite zuletzt? (Die Quadratwurzel wird gezogen) (!Der Winkel wird verdoppelt) (!Die Seiten werden addiert) (!Der Kosinus wird weggelassen)

Memory

Kosinussatz	Beziehung zwischen Seiten und Winkeln
SWS-Fall	dritte Seite bestimmen
SSS-Fall	unbekannten Winkel bestimmen
Arkuskosinus	Kosinuswert zurück in einen Winkel
Gradmodus	Einstellung für Winkel in Grad
Pythagoras	Sonderfall bei einem rechten Winkel

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
SWS-Fall	dritte Seite suchen
SSS-Fall	Winkel suchen
Eingeschlossener Winkel	liegt zwischen den gegebenen Seiten
Arkuskosinus	Kosinuswert in einen Winkel umwandeln
Gradmodus	Winkel in Grad berechnen

Kreuzworträtsel

Kosinus	Welche Winkelfunktion steht im Kosinussatz?
Dreieck	Für welche geometrische Figur wird der Satz verwendet?
Arkuskosinus	Welche Umkehrfunktion berechnet einen Winkel?
Seitenlaenge	Welche Größe kann im SWS-Fall berechnet werden?
Winkelsumme	Welche Größe beträgt im ebenen Dreieck insgesamt 180 Grad?
Pythagoras	Welcher Satz ist ein Sonderfall des Kosinussatzes?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Formelkarte: Gestalte eine Karte mit den drei Formen des Kosinussatzes.
Dreieck beschriften: Zeichne ein Dreieck und beschrifte Seiten und Winkel richtig.
Video-Notizen: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Video auf.
Pythagoras-Vergleich: Markiere, welcher Teil des Kosinussatzes bei einem rechten Winkel verschwindet.

Standard

Rechenbeispiel: Berechne eine fehlende Seite bei zwei selbst gewählten Seiten und einem eingeschlossenen Winkel.
Winkelberechnung: Wähle drei passende Seitenlängen und berechne einen Winkel.
Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Fehler beim Einsetzen und verbessere ihn.
Erklärplakat: Gestalte ein Plakat zum Unterschied zwischen SWS und SSS.

Schwer

Sachaufgabe: Erfinde eine Aufgabe aus Vermessung, Navigation oder Technik und löse sie.
Begründung: Erkläre rechnerisch, warum der Satz des Pythagoras ein Sonderfall ist.
Dreiecksprüfung: Untersuche, wie sich die Seite c verändert, wenn der Winkel gamma größer wird.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video mit einer vollständigen Winkelberechnung.

Lernkontrolle

Methodenwahl: Entscheide bei drei verschiedenen Dreiecken, ob Du den Kosinussatz, den Sinussatz oder den Satz des Pythagoras verwendest. Begründe jede Wahl.
Fehlerdiagnose: Eine Person ordnet dem Winkel gamma die Seite b zu. Erkläre die Folgen für die Rechnung und korrigiere den Ansatz.
Parameteränderung: Zwei Seiten bleiben gleich. Beschreibe, wie sich die dritte Seite verändert, wenn der eingeschlossene Winkel wächst.
Modellierung: Plane eine indirekte Entfernungsmessung auf dem Schulhof. Lege fest, welche Längen und Winkel gemessen werden müssen.
Plausibilitätsprüfung: Entwickle mindestens drei Regeln, mit denen Du ein Ergebnis zu einer Dreiecksberechnung prüfen kannst.
Transfer: Erkläre, warum der Kosinussatz auch bei stumpfwinkligen Dreiecken funktioniert, der Satz des Pythagoras allein aber nicht genügt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

die Seiten und Winkel eines Dreiecks richtig zuordnen,
den SWS-Fall und den SSS-Fall unterscheiden,
eine fehlende Seite vollständig berechnen,
einen fehlenden Winkel mit dem Arkuskosinus bestimmen,
den Taschenrechner richtig einstellen,
Ergebnisse auf Plausibilität prüfen,
den Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras erklären.

OERs zum Thema

Mediennachweise

Links

Kosinussatz - Dreiecke berechnen

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.