Geraden im Raum aufstellen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Eine Gerade im Raum wird mit Vektoren beschrieben. Du brauchst einen bekannten Punkt, einen Richtungsvektor und einen Parameter. Die Form heißt Parameterform.

Datei:3D Cartesian coordinates.PNG

Das Grundmodell

Eine Gerade hat die Form:

$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\cdot \overrightarrow{u},t\in ℝ$

Dabei ist:

1. Stützvektor $\overrightarrow{a}$: Er zeigt zu einem bekannten Punkt der Geraden.
2. Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$: Er zeigt die Richtung der Geraden.
3. Parameter $t$: Er bestimmt, wie weit Du auf der Geraden gehst.

Der Richtungsvektor darf nicht der Nullvektor sein.

Gerade durch zwei Punkte

Gegeben sind zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$.

1. Nutze den Ortsvektor von $A$ als Stützvektor.
2. Berechne den Differenzvektor $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$.
3. Setze beide Vektoren in die Geradengleichung ein.

Beispiel:

$A(1|2|-1),B(4|0|5)$

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$

Für $t=0$ erhältst Du den Punkt $A$. Für $t=1$ erhältst Du den Punkt $B$.

Datei:Vector-cartesian-components.svg

Merksatz

Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor.

Eine Gerade kann mehrere richtige Gleichungen haben. Du darfst einen anderen Punkt der Geraden als Stützpunkt wählen. Du darfst auch ein von null verschiedenes Vielfaches des Richtungsvektors nutzen.

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Videoanalyse: Schreibe beim Ansehen die allgemeine Geradengleichung auf.
2. Stützvektor: Notiere bei der ersten Beispielgeraden den Stützvektor.
3. Richtungsvektor: Pausiere bei einer Rechnung mit zwei Punkten und berechne den Richtungsvektor selbst.
4. Parameter: Setze in eine Gleichung aus dem Video die Werte $t=0$ und $t=1$ ein.
5. Fehleranalyse: Erkläre, warum die Reihenfolge bei $\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$ zur Wahl des Stützpunktes passen muss.
6. Transfer: Erfinde zwei eigene Punkte und stelle eine Gerade durch beide Punkte auf.

Zweites Erklärvideo

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Form beschreibt eine Gerade im Raum? (Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor) (!Stützvektor mal Richtungsvektor) (!Parameter plus Nullvektor) (!Zwei Punkte ohne Vektoren)

Was zeigt der Stützvektor? (Zu einem bekannten Punkt der Geraden) (!Immer zum Ursprung) (!Senkrecht von der Geraden weg) (!Nur in Richtung der x-Achse)

Was beschreibt der Richtungsvektor? (Die Richtung der Geraden) (!Die Farbe der Geraden) (!Nur den Startpunkt) (!Die Länge des Koordinatensystems)

Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei Punkten A und B? (B minus A) (!A plus B) (!A mal B) (!B geteilt durch A)

Welche Werte darf der Parameter t annehmen? (Alle reellen Zahlen) (!Nur positive Zahlen) (!Nur ganze Zahlen) (!Nur die Zahlen null und eins)

Was erhält man meistens für t gleich null? (Den Stützpunkt) (!Den Nullvektor) (!Den Richtungsvektor) (!Einen Punkt außerhalb der Geraden)

Welche Bedingung gilt für den Richtungsvektor? (Er darf nicht der Nullvektor sein) (!Er muss nur positive Einträge haben) (!Er muss die Länge eins haben) (!Er muss zum Ursprung zeigen)

Wie viele Koordinaten hat ein Punkt im Raum? (Drei) (!Eine) (!Zwei) (!Vier)

Woran erkennt man eine Parametergleichung? (Sie enthält einen veränderlichen Parameter) (!Sie enthält keine Vektoren) (!Sie besteht nur aus einer Zahl) (!Sie enthält immer einen Winkel)

Welche Aussage über Geradengleichungen ist richtig? (Eine Gerade kann mehrere richtige Parameterformen haben) (!Jede Gerade hat nur eine mögliche Gleichung) (!Der Stützvektor muss immer der Nullvektor sein) (!Der Parameter darf nicht negativ sein)

Memory

Stützvektor	Startpunkt der Beschreibung
Richtungsvektor	Bewegungsrichtung
Parameter	Schrittzahl auf der Geraden
Ortsvektor	Verbindung vom Ursprung
Differenzvektor	Endvektor minus Startvektor
Punktprobe	Prüfung durch Einsetzen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Stützvektor	Ortsvektor eines bekannten Geradenpunktes
Richtungsvektor	Differenz aus zwei Punktvektoren
Parameter	Veränderliche reelle Zahl
Geradengleichung	Stützvektor plus Vielfaches des Richtungsvektors
Punktprobe	Prüfen durch Einsetzen

...

Kreuzworträtsel

Vektor	Mathematischer Pfeil mit Richtung und Länge
Parameter	Veränderliche Zahl in der Geradengleichung
Gerade	Unendlich lange Linie ohne Krümmung
Raum	Dreidimensionaler Bereich
Koordinate	Einzelne Zahl zur Lagebeschreibung
Differenz	Ergebnis einer Subtraktion

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Gerade im Raum wird in der beschrieben. Der feste Vektor heißt . Er zeigt zu einem bekannten der Geraden. Der zweite Vektor heißt . Aus zwei Punkten wird er durch eine berechnet. Der veränderliche Buchstabe heißt . Für den Parameterwert null erhält man den . Der Richtungsvektor darf nicht der sein.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Grundform: Schreibe die allgemeine Form einer Geradengleichung auf und beschrifte ihre drei Teile.
2. Markieren: Markiere in drei vorgegebenen Geradengleichungen Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter.
3. Parameter einsetzen: Berechne für eine Gerade die Punkte zu $t=0$, $t=1$ und $t=-1$.
4. Skizze: Zeichne ein räumliches Koordinatensystem und markiere einen Stützpunkt mit einem Richtungspfeil.

Standard

1. Zwei-Punkte-Form: Stelle die Gerade durch $A(2|1|0)$ und $B(5|3|-2)$ auf.
2. Video erklären: Fasse die wichtigste Rechenregel aus dem Lernvideo in höchstens vier Sätzen zusammen.
3. Vergleichen: Prüfe, ob zwei verschiedene Parameterformen dieselbe Gerade beschreiben können.
4. Fehler finden: Erstelle eine falsche Geradengleichung und erkläre den Fehler.

Schwer

1. Modellierung: Beschreibe die Flugbahn einer Drohne mit einem Startpunkt und einem Richtungsvektor.
2. Punktprobe: Untersuche, ob ein gegebener Punkt auf einer Raumgeraden liegt, und begründe jeden Rechenschritt.
3. Beweisidee: Erkläre, warum ein von null verschiedenes Vielfaches eines Richtungsvektors dieselbe Richtung beschreibt.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes eigenes Video, in dem Du eine Gerade durch zwei Punkte aufstellst.

Lernkontrolle

1. Zusammenhang erklären: Begründe, warum zwei verschiedene Punkte nötig sind, um eine eindeutige Gerade festzulegen.
2. Darstellungen vergleichen: Entscheide, ob zwei Geradengleichungen dieselbe Gerade beschreiben, und begründe Deine Entscheidung.
3. Fehler übertragen: Erkläre, wie sich ein Vorzeichenfehler im Richtungsvektor auf berechnete Punkte auswirkt.
4. Modell entwickeln: Formuliere eine reale Bewegung im Raum als Geradengleichung und erkläre die Bedeutung aller Größen.
5. Strategie wählen: Beschreibe, wie Du aus zwei Punkten möglichst sicher eine Geradengleichung aufstellst und kontrollierst.
6. Rückwärtsaufgabe: Erfinde zu einer Geradengleichung zwei passende Punkte und zeige rechnerisch, dass beide auf der Geraden liegen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. eine Gerade in Parameterform erklären können,
2. Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter sicher erkennen,
3. aus zwei Punkten einen Differenzvektor bilden,
4. eine vollständige Geradengleichung aufstellen,
5. Punkte durch Einsetzen eines Parameterwertes bestimmen,
6. eigene Rechenwege verständlich begründen.

Links

Geraden im Raum aufstellen Analytische Geometrie Gerade Geradengleichung Parameterform Vektor Stützvektor Richtungsvektor Ortsvektor Differenzvektor Punktprobe