Gemeinsame Vielfache finden - Bruchrechnen

Einleitung

Gemeinsame Vielfache finden ist eine wichtige Grundlage der Bruchrechnung. Du brauchst diese Fähigkeit immer dann, wenn Du Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, subtrahieren, vergleichen oder ordnen möchtest. Der zentrale Begriff ist das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV. Es ist die kleinste positive Zahl, die gleichzeitig ein Vielfaches aller betrachteten Zahlen ist. In der Bruchrechnung ist das kgV der Nenner meistens der beste Hauptnenner, weil es Brüche gleichnamig macht, ohne die Zahlen unnötig groß werden zu lassen.

Grundlagen

Was ist ein Vielfaches?

Ein Vielfaches einer Zahl entsteht, wenn Du diese Zahl mit einer natürlichen Zahl multiplizierst. Die Vielfachen von 4 sind zum Beispiel 4, 8, 12, 16, 20, 24 und so weiter. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24, 30, 36 und so weiter. Zahlen wie 12 und 24 kommen in beiden Reihen vor. Deshalb sind sie gemeinsame Vielfache von 4 und 6.

Das kleinste dieser gemeinsamen Vielfachen ist besonders wichtig: Bei 4 und 6 ist es 12. Man schreibt: kgV von 4 und 6 ist 12. Dieses kgV hilft Dir, Brüche mit den Nennern 4 und 6 auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Warum sind gemeinsame Vielfache beim Bruchrechnen wichtig?

Ein Bruch beschreibt einen Anteil. Der Nenner zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes zerlegt wurde. Wenn zwei Brüche unterschiedliche Nenner haben, sind ihre Teile unterschiedlich groß. Du kannst sie deshalb nicht direkt addieren oder subtrahieren. Zuerst musst Du sie gleichnamig machen.

Beispiel: Bei $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ haben die Nenner 4 und 6 das kgV 12. Deshalb wird 12 als Hauptnenner verwendet. Aus $\frac{1}{4}$ wird $\frac{3}{12}$ , weil 4 mit 3 zu 12 erweitert wird. Aus $\frac{1}{6}$ wird $\frac{2}{12}$ , weil 6 mit 2 zu 12 erweitert wird. Dann kannst Du die Zähler addieren: $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ .

Wichtige Begriffe

Vielfaches: Eine Zahl, die durch Multiplikation einer Ausgangszahl mit einer natürlichen Zahl entsteht.
Gemeinsames Vielfaches: Eine Zahl, die in mehreren Vielfachenreihen vorkommt.
kgV: Das kleinste positive gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen.
Nenner: Die Zahl unter dem Bruchstrich; sie gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist.
Hauptnenner: Ein gemeinsamer Nenner, auf den mehrere Brüche gebracht werden.
Erweitern: Zähler und Nenner eines Bruchs werden mit derselben Zahl multipliziert.
Kürzen: Zähler und Nenner eines Bruchs werden durch dieselbe Zahl dividiert.

Methoden zum Finden gemeinsamer Vielfacher

Methode 1: Vielfachenreihen aufschreiben

Die einfachste Methode ist das Aufschreiben von Vielfachenreihen. Diese Methode ist besonders hilfreich, wenn die Zahlen klein sind.

Beispiel: kgV von 6 und 8

Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24, 30, 36 und so weiter. Die Vielfachen von 8 sind 8, 16, 24, 32, 40 und so weiter. Die erste gemeinsame Zahl in beiden Reihen ist 24. Also ist das kgV von 6 und 8 gleich 24.

In der Bruchrechnung bedeutet das: Wenn Brüche die Nenner 6 und 8 haben, kannst Du 24 als Hauptnenner verwenden. Zum Beispiel wird $\frac{1}{6}$ zu $\frac{4}{24}$ und $\frac{3}{8}$ zu $\frac{9}{24}$ .

Methode 2: Primfaktorzerlegung verwenden

Bei größeren Zahlen ist die Primfaktorzerlegung oft übersichtlicher. Dabei zerlegst Du jede Zahl in Primzahlen. Für das kgV nimmst Du alle vorkommenden Primfaktoren mit der jeweils höchsten Potenz.

Beispiel: kgV von 18 und 24

Die Zahl 18 zerlegst Du in $2 \cdot 3^{2}$ . Die Zahl 24 zerlegst Du in $2^{3} \cdot 3$ . Für das kgV brauchst Du die höchste Potenz von 2 und die höchste Potenz von 3. Das ergibt $2^{3} \cdot 3^{2} = 8 \cdot 9 = 72$ . Also ist das kgV von 18 und 24 gleich 72.

Diese Methode ist besonders nützlich, wenn mehrere Nenner gleichzeitig vorkommen, zum Beispiel bei $\frac{5}{18} + \frac{7}{24}$ . Der Hauptnenner ist dann 72.

Methode 3: Teilbarkeitsregeln nutzen

Teilbarkeitsregeln helfen Dir, gemeinsame Vielfache schneller zu erkennen. Wenn eine Zahl durch beide Nenner teilbar ist, ist sie ein gemeinsames Vielfaches. Wenn Du den kleinsten passenden Kandidaten findest, hast Du das kgV.

Beispiel: Du suchst ein gemeinsames Vielfaches von 9 und 12. Du prüfst die Vielfachen von 12: 12, 24, 36. Die Zahl 36 ist durch 9 teilbar und durch 12 teilbar. Also ist 36 das kgV von 9 und 12.

Vom kgV zum Hauptnenner

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Nenner erkennen: Schau Dir die Nenner der Brüche genau an.
kgV bestimmen: Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner.
Hauptnenner festlegen: Verwende das kgV als gemeinsamen Nenner.
Erweiterungszahl berechnen: Frage Dich, mit welcher Zahl der alte Nenner zum Hauptnenner wird.
Erweitern: Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben Erweiterungszahl.
Rechnen mit Brüchen: Addiere, subtrahiere oder vergleiche die gleichnamigen Brüche.
Kürzen prüfen: Vereinfache das Ergebnis, wenn es möglich ist.

Beispiel: Brüche addieren

Aufgabe: $\frac{2}{9} + \frac{5}{12}$

Die Nenner sind 9 und 12. Das kgV von 9 und 12 ist 36. Deshalb ist 36 der Hauptnenner. Der Bruch $\frac{2}{9}$ wird mit 4 erweitert: $\frac{2}{9} = \frac{8}{36}$ . Der Bruch $\frac{5}{12}$ wird mit 3 erweitert: $\frac{5}{12} = \frac{15}{36}$ . Nun addierst Du die Zähler: $\frac{8}{36} + \frac{15}{36} = \frac{23}{36}$ . Das Ergebnis ist bereits vollständig gekürzt.

Beispiel: Brüche vergleichen

Aufgabe: Vergleiche $\frac{3}{8}$ und $\frac{5}{12}$ .

Die Nenner 8 und 12 haben das kgV 24. Du erweiterst $\frac{3}{8}$ mit 3 und erhältst $\frac{9}{24}$ . Du erweiterst $\frac{5}{12}$ mit 2 und erhältst $\frac{10}{24}$ . Weil 10 größer ist als 9, gilt: $\frac{5}{12}$ ist größer als $\frac{3}{8}$ .

Lernvideo

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Video zum Gleichnamigmachen von Brüchen

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Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Nenner addieren: Addiere bei gleichnamigen Brüchen nur die Zähler, nicht die Nenner.
Hauptnenner zu groß wählen: Ein gemeinsames Vielfaches funktioniert zwar, aber das kgV macht die Rechnung meist einfacher.
Erweiterungszahl vergessen: Der Zähler muss immer mit derselben Zahl erweitert werden wie der Nenner.
Kürzen übersehen: Prüfe am Ende, ob das Ergebnis noch gekürzt werden kann.
Vielfachenreihe zu kurz aufschreiben: Wenn Du noch kein gemeinsames Vielfaches gefunden hast, musst Du die Reihen fortsetzen.
Primfaktorzerlegung unvollständig durchführen: Achte darauf, alle Primfaktoren mit der höchsten vorkommenden Potenz zu verwenden.

Merksatz

Das kgV der Nenner ist beim Bruchrechnen der kleinste sinnvolle Hauptnenner. Es macht Brüche gleichnamig und hält die Zahlen möglichst übersichtlich.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist ein Vielfaches von 6? (18) (!20) (!25) (!14)

Was bedeutet gemeinsames Vielfaches? (Eine Zahl ist Vielfaches aller betrachteten Zahlen) (!Eine Zahl ist kleiner als alle betrachteten Zahlen) (!Eine Zahl ist ein Zähler eines Bruchs) (!Eine Zahl steht immer unter dem Bruchstrich)

Welches ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6? (12) (!10) (!18) (!24)

Warum braucht man gemeinsame Vielfache beim Addieren von Brüchen? (Um einen gemeinsamen Nenner zu finden) (!Um die Zähler zu vertauschen) (!Um die Brüche immer zu kürzen) (!Um aus Brüchen Dezimalzahlen zu machen)

Welcher Nenner ist beim Gleichnamigmachen meist besonders praktisch? (Der kleinste gemeinsame Nenner) (!Der größte der ursprünglichen Zähler) (!Der kleinste der ursprünglichen Zähler) (!Ein beliebiger Zähler)

Welches ist das kgV von 8 und 12? (24) (!20) (!32) (!96)

Welche Aussage stimmt beim Erweitern eines Bruchs? (Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert) (!Nur der Zähler wird multipliziert) (!Nur der Nenner wird multipliziert) (!Zähler und Nenner werden vertauscht)

Womit beginnt die Listenmethode zum Finden des kgV? (Mit den Vielfachenreihen der Nenner) (!Mit dem Addieren der Zähler) (!Mit dem Kürzen des Ergebnisses) (!Mit dem Vertauschen der Brüche)

Was ist der Hauptnenner für Brüche mit den Nennern 6 und 9? (18) (!15) (!27) (!54)

Welche Methode ist bei größeren Zahlen oft besonders übersichtlich? (Primfaktorzerlegung) (!Zählervergleich ohne Nenner) (!Abschreiben der Aufgabe) (!Addieren aller Nenner)

Memory

Vielfaches	Produkt einer Zahl mit einer natürlichen Zahl
Gemeinsames Vielfaches	Zahl in mehreren Vielfachenreihen
kgV	Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Hauptnenner	Gemeinsamer Nenner beim Bruchrechnen
Erweitern	Zähler und Nenner gleich multiplizieren
Kürzen	Zähler und Nenner gleich dividieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Nenner prüfen	Brüche vergleichen
kgV bestimmen	Hauptnenner finden
Erweiterungszahl berechnen	Alter Nenner wird Hauptnenner
Zähler erweitern	Bruchwert bleibt gleich
Zähler zusammenfassen	Gleichnamige Brüche addieren
Ergebnis kürzen	Bruch vereinfachen

Kreuzworträtsel

Vielfaches	Wie heißt eine Zahl, die durch Multiplikation einer Ausgangszahl mit einer natürlichen Zahl entsteht?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Erweitern	Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl?
Gleichnamig	Wie nennt man Brüche mit gleichem Nenner?
Teilbarkeit	Welche Eigenschaft hilft zu prüfen, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl geht?
Hauptnenner	Wie heißt der gemeinsame Nenner, auf den Brüche gebracht werden?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Vielfachenreihe: Schreibe die Vielfachen von 3, 4 und 5 bis mindestens 60 auf und markiere alle gemeinsamen Vielfachen.
Hauptnenner: Finde den Hauptnenner für die Nennerpaare 2 und 5, 3 und 4 sowie 6 und 8.
Bruchstreifen: Zeichne zwei Bruchstreifen zu $\frac{1}{3}$ und $\frac{1}{6}$ und erkläre, warum der Nenner 6 hilfreich ist.
Merkkarte: Gestalte eine Lernkarte mit den Begriffen Vielfaches, gemeinsames Vielfaches, kgV und Hauptnenner.

Standard

Brüche gleichnamig machen: Mache die Brüche $\frac{2}{7}$ und $\frac{3}{14}$ gleichnamig und beschreibe jeden Rechenschritt.
Brüche addieren: Erfinde drei Aufgaben zur Addition ungleichnamiger Brüche und löse sie mit dem kgV der Nenner.
Fehleranalyse: Untersuche eine falsche Rechnung, bei der die Nenner addiert wurden, und erkläre schriftlich, warum das Ergebnis nicht stimmen kann.
Partnerarbeit: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler die Listenmethode und lass Dir anschließend eine eigene Beispielaufgabe geben.

Schwer

Primfaktorzerlegung: Berechne das kgV von 18, 24 und 30 mithilfe der Primfaktorzerlegung und erkläre, warum jede verwendete Primzahl notwendig ist.
Transferaufgabe: Vergleiche $\frac{7}{12}$ , $\frac{5}{8}$ und $\frac{2}{3}$ , indem Du einen gemeinsamen Hauptnenner findest.
Sachaufgabe: Entwickle eine Alltagssituation, in der zwei Ereignisse in unterschiedlichen Abständen stattfinden, und löse sie mithilfe gemeinsamer Vielfacher.
Erklärvideo: Plane ein kurzes Lernvideo, in dem Du zeigst, wie man aus dem kgV der Nenner den Hauptnenner für eine Bruchaufgabe bildet.

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Lernkontrolle

Begründen: Erkläre, warum $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ nicht durch Addieren der Nenner gelöst werden darf.
Vergleichen: Zwei Lernende vergleichen $\frac{3}{10}$ und $\frac{4}{15}$ . Beschreibe einen Lösungsweg mit dem kgV und entscheide, welcher Bruch größer ist.
Modellieren: Beschreibe eine Situation aus dem Alltag, in der gemeinsame Vielfache helfen, wiederkehrende Termine oder Abläufe zu planen.
Strategieauswahl: Entscheide, ob Du bei den Nennern 8 und 12 die Listenmethode oder die Primfaktorzerlegung verwenden würdest, und begründe Deine Wahl.
Fehlerkorrektur: Eine Person erweitert $\frac{2}{9}$ auf den Nenner 36, schreibt aber $\frac{2}{36}$ . Erkläre den Fehler und korrigiere ihn.
Transfer: Entwickle eine Regel, wie man bei drei ungleichnamigen Brüchen vorgehen kann, und teste sie an einem eigenen Beispiel.

Lernnachweis

Fachbegriffe: Du kannst Vielfaches, gemeinsames Vielfaches, kgV, Nenner, Hauptnenner und Erweitern sicher erklären.
Rechenverfahren: Du kannst das kgV mit Vielfachenreihen und mit Primfaktorzerlegung bestimmen.
Bruchrechnung: Du kannst ungleichnamige Brüche mithilfe des Hauptnenners gleichnamig machen.
Anwendung: Du kannst Brüche addieren, subtrahieren und vergleichen, nachdem Du sie gleichnamig gemacht hast.
Begründung: Du kannst erklären, warum das kgV häufig der günstigste Hauptnenner ist.
Fehlerbewusstsein: Du erkennst typische Fehler beim Bruchrechnen und kannst sie nachvollziehbar korrigieren.
Transferleistung: Du kannst das Finden gemeinsamer Vielfacher auf Alltagssituationen übertragen.

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Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.