Dezimalzahlen verstehen und darstellen - aiMOOC 1

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Dezimalzahlen verstehen und darstellen bedeutet, Zahlen mit Komma, Stellenwertsystem, Zahlenstrahl, Dezimalbrüchen und passenden Alltagsbezügen sicher zu deuten. Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, die im Dezimalsystem geschrieben wird. Das Dezimalsystem arbeitet mit der Basis zehn. Du kennst es bereits von ganzen Zahlen: In der Zahl $472$ steht die $4$ für vier Hunderter, die $7$ für sieben Zehner und die $2$ für zwei Einer. Bei Dezimalzahlen wird dieses bekannte Stellenwertsystem rechts vom Komma fortgesetzt: Nach den Einern kommen die Zehntel, danach die Hundertstel, dann die Tausendstel und so weiter.

In Deutschland, Österreich und vielen anderen Ländern verwendet man das Komma als Dezimaltrennzeichen. Eine Zahl wie $\mathrm{3,47}$ liest Du meistens als „drei Komma vier sieben“. Mathematisch bedeutet sie aber mehr: $\mathrm{3,47}=3+\frac{4}{10}+\frac{7}{100}$. Die Ziffern nach dem Komma sind also keine „angehängten Ziffern“, sondern sie haben feste Stellenwerte.

Grundidee der Dezimalzahlen

Vom Ganzen zum Teil

Natürliche Zahlen wie $1$, $2$ oder $15$ beschreiben ganze Anzahlen. Im Alltag brauchst Du aber häufig auch Teile eines Ganzen: ein halber Liter, $\mathrm{1,5}$ Kilometer, $\mathrm{2,75}$ Euro oder $\mathrm{3,2}$ Kilogramm. Dezimalzahlen helfen Dir, solche Werte genau und übersichtlich zu schreiben.

Eine Dezimalzahl besteht meistens aus zwei Teilen:

1. Ganzzahliger Teil: Er steht links vom Komma und gibt ganze Einheiten an.
2. Nachkommastellen: Sie stehen rechts vom Komma und geben Teile der Einheit an.

Beispiel: Bei $\mathrm{18,36}$ ist $18$ der ganzzahlige Teil. Die $3$ steht an der Zehntelstelle, die $6$ steht an der Hundertstelstelle. Deshalb gilt: $\mathrm{18,36}=18+\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$.

Das Komma als Grenze

Das Komma trennt den ganzen Teil vom gebrochenen Teil. Links vom Komma werden die Stellenwerte immer zehnmal größer, wenn Du eine Stelle nach links gehst. Rechts vom Komma werden die Stellenwerte immer zehnmal kleiner, wenn Du eine Stelle nach rechts gehst.

Stelle	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer	Komma	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel
Stellenwert	$1000$	$100$	$10$	$1$	,	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{100}$	$\frac{1}{1000}$
Beispiel bei $\mathrm{5,372}$				$5$	,	$3$	$7$	$2$

Die Zahl $\mathrm{5,372}$ bedeutet also: $\mathrm{5,372}=5+\frac{3}{10}+\frac{7}{100}+\frac{2}{1000}$.

Dezimalzahlen als Dezimalbrüche

Jede endliche Dezimalzahl kann als Bruch mit dem Nenner $10$, $100$, $1000$ oder einer anderen Zehnerpotenz geschrieben werden. Darum nennt man viele Dezimalzahlen auch Dezimalbrüche.

Dezimalzahl	Bedeutung	Bruchschreibweise
$\mathrm{0,7}$	sieben Zehntel	$\frac{7}{10}$
$\mathrm{0,25}$	fünfundzwanzig Hundertstel	$\frac{25}{100}$
$\mathrm{1,08}$	ein Ganzes und acht Hundertstel	$1+\frac{8}{100}$
$\mathrm{3,125}$	drei Ganze und einhundertfünfundzwanzig Tausendstel	$3+\frac{125}{1000}$

Du erkennst den passenden Nenner an der Anzahl der Nachkommastellen. Eine Nachkommastelle bedeutet Zehntel, zwei Nachkommastellen bedeuten Hundertstel, drei Nachkommastellen bedeuten Tausendstel.

Dezimalzahlen lesen und schreiben

Sprechweise

In der Schule liest Du Dezimalzahlen meist Ziffer für Ziffer nach dem Komma. Die Zahl $\mathrm{4,308}$ liest Du also als „vier Komma drei null acht“. Diese Sprechweise hilft, weil jede Ziffer an ihrer Stelle wichtig ist. Die $0$ in $\mathrm{4,308}$ darf nicht verschwinden, denn sie zeigt, dass an der Hundertstelstelle kein Hundertstel steht.

Eine zweite Sprechweise beschreibt den Stellenwert genauer: $\mathrm{4,308}$ bedeutet „vier Ganze und dreihundertacht Tausendstel“. Beide Sprechweisen sind sinnvoll. Beim Rechnen und Darstellen ist die Stellenwert-Sicht oft besonders hilfreich.

Nullen richtig verstehen

Nullen können bei Dezimalzahlen verschiedene Bedeutungen haben. Am Ende einer endlichen Dezimalzahl verändern Nullen den Wert nicht: $\mathrm{2,5}=\mathrm{2,50}=\mathrm{2,500}$. Diese Schreibweisen stellen denselben Wert dar, aber nicht immer dieselbe Genauigkeit. Bei Geldbeträgen schreibt man zum Beispiel $\mathrm{2,50}$ Euro, weil es um zwei Nachkommastellen für Cent geht.

Zwischen anderen Ziffern sind Nullen sehr wichtig. Die Zahlen $\mathrm{3,05}$ und $\mathrm{3,5}$ sind nicht gleich. Es gilt: $\mathrm{3,05}=3+\frac{5}{100}$, aber $\mathrm{3,5}=3+\frac{5}{10}$. Da $\frac{5}{10}$ größer ist als $\frac{5}{100}$, ist $\mathrm{3,5}$ größer als $\mathrm{3,05}$.

Stellenwerttafel nutzen

Eine Stellenwerttafel hilft Dir, Dezimalzahlen genau zu schreiben und zu vergleichen.

Zahl	Zehner	Einer	Komma	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel
$\mathrm{12,4}$	$1$	$2$	,	$4$	$0$	$0$
$\mathrm{12,04}$	$1$	$2$	,	$0$	$4$	$0$
$\mathrm{12,004}$	$1$	$2$	,	$0$	$0$	$4$

Die Tabelle zeigt: Die Ziffer $4$ hat je nach Stelle einen anderen Wert. In $\mathrm{12,4}$ bedeutet sie vier Zehntel. In $\mathrm{12,04}$ bedeutet sie vier Hundertstel. In $\mathrm{12,004}$ bedeutet sie vier Tausendstel.

Dezimalzahlen darstellen

Darstellung auf dem Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl zeigt Zahlen der Größe nach. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie. Um Dezimalzahlen darzustellen, teilst Du die Strecke zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen in gleich große Teile.

Wenn Du die Strecke von $0$ bis $1$ in zehn gleiche Teile teilst, entsteht eine Einteilung in Zehntel. Der erste Strich nach $0$ steht für $\mathrm{0,1}$, der zweite für $\mathrm{0,2}$, der fünfte für $\mathrm{0,5}$ und der zehnte für $\mathrm{1,0}$. Wenn Du noch genauer arbeiten möchtest, kannst Du jedes Zehntel wieder in zehn gleiche Teile teilen. Dann erhältst Du Hundertstel.

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Darstellung als Fläche

Du kannst Dezimalzahlen auch als Teile einer Fläche darstellen. Ein Quadrat kann ein Ganzes darstellen. Wenn Du es in zehn gleich große Streifen teilst, steht jeder Streifen für $\mathrm{0,1}$. Wenn Du es in einhundert kleine Felder teilst, steht jedes Feld für $\mathrm{0,01}$.

Beispiel: $\mathrm{0,37}$ bedeutet siebenunddreißig Hundertstel. In einem Hunderterfeld würdest Du also $37$ von $100$ gleich großen Kästchen markieren. Als Bruch lautet das $\frac{37}{100}$.

Darstellung im Stellenwertsystem

Die sicherste Darstellung ist oft die Stellenwerttafel. Sie zeigt, welchen Wert jede Ziffer hat. Für $\mathrm{8,64}$ gilt:

$\mathrm{8,64}=8\cdot 1+6\cdot \frac{1}{10}+4\cdot \frac{1}{100}$

Das bedeutet: $\mathrm{8,64}=8+\mathrm{0,6}+\mathrm{0,04}$. Diese Zerlegung hilft Dir beim Vergleichen, Runden und Rechnen.

Dezimalzahlen vergleichen und ordnen

Schrittweise vergleichen

Beim Vergleichen von Dezimalzahlen vergleichst Du zuerst die ganzzahligen Teile. Wenn sie verschieden sind, ist die Zahl mit dem größeren ganzen Teil größer. Wenn die ganzen Teile gleich sind, vergleichst Du die Nachkommastellen von links nach rechts: zuerst die Zehntel, dann die Hundertstel, dann die Tausendstel.

Beispiel: Vergleiche $\mathrm{4,68}$ und $\mathrm{4,7}$. Du kannst $\mathrm{4,7}$ als $\mathrm{4,70}$ schreiben. Nun vergleichst Du $\mathrm{4,68}$ und $\mathrm{4,70}$. Beide haben den ganzen Teil $4$. Bei den Zehnteln steht $6$ gegen $7$. Deshalb gilt: $\mathrm{4,68}<\mathrm{4,70}$, also $\mathrm{4,68}<\mathrm{4,7}$.

Häufige Denkfehler

Ein häufiger Fehler ist, nur die Anzahl der Nachkommastellen zu betrachten. Die Zahl $\mathrm{2,345}$ sieht länger aus als $\mathrm{2,8}$, ist aber kleiner. Denn $\mathrm{2,8}=\mathrm{2,800}$. Beim Vergleich von $\mathrm{2,345}$ und $\mathrm{2,800}$ ist bereits die Zehntelstelle entscheidend: $3$ Zehntel sind weniger als $8$ Zehntel.

Ein weiterer Fehler ist, das Komma zu ignorieren. Die Zahlen $\mathrm{0,9}$ und $\mathrm{0,09}$ unterscheiden sich deutlich. $\mathrm{0,9}$ sind neun Zehntel, $\mathrm{0,09}$ sind neun Hundertstel. Daher gilt: $\mathrm{0,9}>\mathrm{0,09}$.

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Dezimalzahlen runden

Warum rundet man?

Beim Runden ersetzt Du eine Zahl durch eine näherungsweise Zahl, die einfacher zu verwenden ist. Das ist im Alltag nützlich, wenn eine genaue Zahl zu lang oder zu unübersichtlich ist. Ein Messergebnis wie $\mathrm{1,973}$ Meter kann zum Beispiel auf $\mathrm{1,97}$ Meter oder auf $\mathrm{2,0}$ Meter gerundet werden, je nachdem, welche Genauigkeit benötigt wird.

Rundungsregel

Beim Runden schaust Du auf die Stelle rechts neben der Stelle, auf die gerundet werden soll. Ist diese Ziffer $0$, $1$, $2$, $3$ oder $4$, bleibt die Rundungsstelle gleich. Ist sie $5$, $6$, $7$, $8$ oder $9$, wird die Rundungsstelle um $1$ erhöht.

Beispiele:

1. Runden auf Zehntel: $\mathrm{3,46}\approx \mathrm{3,5}$, weil die Hundertstelstelle $6$ ist.
2. Runden auf Hundertstel: $\mathrm{7,284}\approx \mathrm{7,28}$, weil die Tausendstelstelle $4$ ist.
3. Runden auf Einer: $\mathrm{9,51}\approx 10$, weil die Zehntelstelle $5$ ist.

Dezimalzahlen im Alltag

Geld, Längen und Gewichte

Dezimalzahlen begegnen Dir täglich. Bei Geld beschreibt $\mathrm{4,99}$ Euro vier Euro und neunundneunzig Cent. Bei Längen beschreibt $\mathrm{1,25}$ Meter einen Meter und fünfundzwanzig Zentimeter. Bei Gewichten beschreibt $\mathrm{0,5}$ Kilogramm ein halbes Kilogramm.

Wichtig ist: Die Bedeutung einer Dezimalzahl hängt auch von der Einheit ab. $\mathrm{0,75}$ Liter sind drei Viertel Liter. $\mathrm{0,75}$ Meter sind fünfundsiebzig Zentimeter. $\mathrm{0,75}$ Euro sind fünfundsiebzig Cent.

Messen und Genauigkeit

Wenn Du misst, verwendest Du oft Dezimalzahlen. Ein Lineal zeigt Zentimeter und Millimeter. Misst Du $\mathrm{6,4}$ cm, bedeutet das sechs Zentimeter und vier Millimeter. Schreibst Du $\mathrm{6,40}$ cm, kann das anzeigen, dass auf Hundertstel Zentimeter genau angegeben wurde. Dadurch erkennst Du: Nullen am Ende können bei Messwerten etwas über die Genauigkeit aussagen, auch wenn der Zahlenwert gleich bleibt.

Strategien zum sicheren Umgang

Drei hilfreiche Fragen

Wenn Du eine Dezimalzahl verstehen möchtest, helfen Dir drei Fragen:

1. Stellenwert: Welche Stelle hat jede Ziffer?
2. Darstellung: Kann ich die Zahl auf dem Zahlenstrahl, in der Stellenwerttafel oder als Bruch zeigen?
3. Vergleich: Welche Zahl ist größer, kleiner oder gleich groß?

Beispiel: $\mathrm{0,305}$ hat $3$ Zehntel, $0$ Hundertstel und $5$ Tausendstel. Als Bruch ist das $\frac{305}{1000}$. Auf dem Zahlenstrahl liegt die Zahl zwischen $\mathrm{0,3}$ und $\mathrm{0,31}$.

Merksätze

Merksatz 1: Das Komma trennt Ganze von Teilen eines Ganzen.

Merksatz 2: Nach dem Komma stehen zuerst Zehntel, dann Hundertstel, dann Tausendstel.

Merksatz 3: Beim Vergleichen helfen angehängte Nullen: $\mathrm{2,4}=\mathrm{2,40}=\mathrm{2,400}$.

Merksatz 4: Eine längere Nachkommastellenfolge bedeutet nicht automatisch eine größere Zahl.

Merksatz 5: Jede endliche Dezimalzahl kann als Dezimalbruch geschrieben werden.

Beispiele mit der MediaWiki-Extension Math

In diesem aiMOOC werden mathematische Schreibweisen mit der MediaWiki-Extension Math dargestellt. Dadurch erscheinen Brüche, Gleichungen und Vergleichszeichen sauber im Wikitext.

Beispiele:

1. Zerlegung: $\mathrm{6,28}=6+\frac{2}{10}+\frac{8}{100}$
2. Bruchschreibweise: $\mathrm{0,45}=\frac{45}{100}$
3. Vergleich: $\mathrm{0,7}=\mathrm{0,70}>\mathrm{0,07}$
4. Runden: $\mathrm{5,486}\approx \mathrm{5,49}$
5. Zahlenstrahl: $\mathrm{1,25}$ liegt genau in der Mitte zwischen $\mathrm{1,2}$ und $\mathrm{1,3}$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt die Zahl 3,47 richtig? (3 Ganze, 4 Zehntel und 7 Hundertstel) (!3 Ganze, 47 Zehntel und 0 Hundertstel) (!3 Ganze, 4 Hundertstel und 7 Zehntel) (!347 Ganze)

Welche Stelle kommt direkt rechts vom Komma? (Zehntelstelle) (!Einerstelle) (!Zehnerstelle) (!Tausendstelstelle)

Welche Dezimalzahl ist gleich groß wie 2,5? (2,50) (!2,05) (!2,005) (!25,0)

Welche Zahl ist größer? (4,7) (!4,68) (!4,609) (!4,06)

Welche Bruchschreibweise passt zu 0,25? (25 Hundertstel) (!25 Zehntel) (!2 Hundertstel) (!250 Ganze)

Wie liest man 6,308 in der Schule meistens? (sechs Komma drei null acht) (!sechs Komma dreihundertachtzig) (!sechs Komma dreiundachtzig) (!sechs Komma null drei achtzig)

Welche Zahl liegt zwischen 0,3 und 0,4? (0,35) (!0,25) (!0,45) (!3,5)

Welche Aussage zum Runden ist richtig? (Bei 5 oder mehr wird aufgerundet) (!Bei 4 oder weniger wird aufgerundet) (!Beim Runden darf das Komma verschwinden) (!Runden macht jede Zahl exakt)

Welche Darstellung passt zu neun Hundertsteln? (0,09) (!0,9) (!0,90) (!9,0)

Warum ist eine Stellenwerttafel hilfreich? (Sie zeigt den Wert jeder Ziffer) (!Sie macht jede Zahl größer) (!Sie ersetzt das Komma durch einen Punkt) (!Sie ist nur für ganze Zahlen geeignet)

Memory

Komma	Grenze zwischen ganzen Einheiten und Teilen
Zehntel	Erste Stelle rechts vom Komma
Hundertstel	Zweite Stelle rechts vom Komma
Zahlenstrahl	Geordnete Darstellung von Zahlen
Stellenwerttafel	Übersicht über den Wert jeder Ziffer
Runden	Näherungsweise Vereinfachung einer Zahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Komma	Trennzeichen zwischen Ganzem und Bruchteil
Zehntel	Erste Nachkommastelle
Hundertstel	Zweite Nachkommastelle
Tausendstel	Dritte Nachkommastelle
Zahlenstrahl	Darstellung der Größe und Reihenfolge
Stellenwerttafel	Werkzeug zum Einordnen von Ziffern

...

Kreuzworträtsel

Komma	Welches Zeichen trennt den ganzzahligen Teil vom gebrochenen Teil?
Zehntel	Wie heißt die erste Stelle rechts vom Komma?
Hundertstel	Wie heißt die zweite Stelle rechts vom Komma?
Tausendstel	Wie heißt die dritte Stelle rechts vom Komma?
Stellenwert	Was bestimmt die Bedeutung einer Ziffer in einer Zahl?
Zahlenstrahl	Auf welcher Darstellung ordnet man Zahlen von links nach rechts?
Runden	Wie nennt man das Ersetzen durch eine einfachere Näherungszahl?
Bruch	Mit welcher Schreibweise kann man 0,25 als 25 Hundertstel darstellen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Dezimalzahl wird im Dezimalsystem geschrieben und verwendet die Basis . Das Komma trennt den ganzzahligen Teil vom . Direkt rechts vom Komma steht die . Die zweite Stelle rechts vom Komma heißt . Die Zahl 4,08 enthält keine Zehntel, aber acht . Beim Vergleichen von Dezimalzahlen betrachtet man zuerst den Teil. Wenn die ganzen Teile gleich sind, vergleicht man die Nachkommastellen von nach rechts. Eine Stellenwerttafel zeigt den jeder Ziffer. Die Zahl 2,5 ist gleich groß wie . Beim Runden auf Zehntel entscheidet die . Auf dem Zahlenstrahl liegen größere Zahlen weiter . Jede endliche Dezimalzahl kann als geschrieben werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Dezimalzahlen im Alltag: Suche fünf Dezimalzahlen aus Deinem Alltag, zum Beispiel auf Preisschildern, Verpackungen, Messbechern oder Sportergebnissen. Schreibe zu jeder Zahl auf, welche Einheit dazugehört und was die Nachkommastellen bedeuten.
2. Stellenwerttafel gestalten: Zeichne eine Stellenwerttafel mit Einern, Zehnteln, Hundertsteln und Tausendsteln. Trage die Zahlen $\mathrm{3,7}$, $\mathrm{3,07}$, $\mathrm{3,007}$ und $\mathrm{30,7}$ ein.
3. Zahlenstrahl zeichnen: Zeichne einen Zahlenstrahl von $0$ bis $1$ und markiere $\mathrm{0,1}$, $\mathrm{0,25}$, $\mathrm{0,5}$, $\mathrm{0,75}$ und $\mathrm{0,9}$.
4. Dezimalzahlen lesen: Schreibe zehn Dezimalzahlen auf und lies sie einer Partnerin oder einem Partner vor. Prüft gemeinsam, ob die Nullen nach dem Komma richtig gesprochen wurden.

Standard

1. Dezimalzahl und Bruch: Wandle die Dezimalzahlen $\mathrm{0,4}$, $\mathrm{0,08}$, $\mathrm{1,25}$, $\mathrm{2,375}$ und $\mathrm{6,05}$ in Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner um.
2. Vergleich begründen: Ordne die Zahlen $\mathrm{2,9}$, $\mathrm{2,09}$, $\mathrm{2,19}$, $\mathrm{2,901}$ und $\mathrm{2,099}$ der Größe nach. Begründe Deine Reihenfolge mit der Stellenwerttafel.
3. Hunderterfeld darstellen: Zeichne ein Hunderterfeld und färbe $\mathrm{0,37}$, $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,08}$ in drei verschiedenen Feldern ein. Erkläre jeweils den Zusammenhang zwischen Dezimalzahl und Hundertstelbruch.
4. Rundungsplakat: Gestalte ein Lernplakat zum Runden von Dezimalzahlen. Nutze mindestens drei eigene Beispiele und erkläre, welche Stelle über das Aufrunden oder Abrunden entscheidet.

Schwer

1. Fehleranalyse: Erkläre, warum die Aussage „2,345 ist größer als 2,8, weil 345 größer als 8 ist“ falsch ist. Entwickle eine Gegenstrategie, mit der dieser Fehler vermieden werden kann.
2. Messprojekt: Miss fünf Gegenstände im Klassenraum möglichst genau. Notiere die Ergebnisse als Dezimalzahlen, runde sie auf unterschiedliche Stellen und erkläre, wann welche Rundung sinnvoll ist.
3. Erklärvideo planen: Erstelle ein kurzes Drehbuch für ein Erklärvideo zum Thema „Dezimalzahlen am Zahlenstrahl“. Baue mindestens ein Beispiel mit Zehnteln und ein Beispiel mit Hundertsteln ein.
4. Forscherfrage: Untersuche, warum $\mathrm{0,999}\dots$ denselben Wert wie $1$ hat. Formuliere eine Erklärung mit einer Zeichnung, einer Rechnung oder einer Zahlengeraden.

Lernkontrolle

1. Alltagsentscheidung: Ein Getränk kostet $\mathrm{1,79}$ Euro, ein anderes $\mathrm{1,8}$ Euro. Erkläre, welches günstiger ist und warum die Schreibweise mit unterschiedlich vielen Nachkommastellen verwirren kann.
2. Darstellungswechsel: Stelle $\mathrm{0,64}$ als Dezimalzahl, als Bruch, im Hunderterfeld und auf einem Zahlenstrahl dar. Erkläre, was alle Darstellungen gemeinsam haben.
3. Fehler finden: Eine Schülerin behauptet: $\mathrm{5,04}=\mathrm{5,4}$, weil beide Zahlen eine $5$ und eine $4$ enthalten. Widerlege die Aussage mit einer Stellenwerttafel.
4. Transfer Messen: Du misst eine Länge von $\mathrm{12,48}$ cm. Runde sinnvoll für eine grobe Skizze und für eine genaue technische Zeichnung. Begründe Deine Entscheidungen.
5. Vergleichsstrategie: Entwickle eine allgemeine Schritt-für-Schritt-Regel, mit der man beliebige Dezimalzahlen vergleichen kann. Prüfe Deine Regel an drei selbst gewählten Beispielen.
6. Mathematische Kommunikation: Erkläre einer jüngeren Person den Unterschied zwischen $\mathrm{0,6}$, $\mathrm{0,06}$ und $\mathrm{0,006}$. Nutze dabei ein Bild, eine Einheit oder eine Alltagssituation.
7. Problemlösen: Ein Zahlenstrahl von $3$ bis $4$ ist in zehn gleiche Abschnitte geteilt. Beschreibe, wie Du darauf $\mathrm{3,25}$ möglichst genau eintragen kannst, obwohl nur Zehntel markiert sind.

Links

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