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Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen verstehen - Zahlen

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Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen verstehen - Zahlen




Einleitung

Dezimalzahlen begegnen Dir überall: bei Preisen, Längen, Gewichten, Zeiten, Sportleistungen, Temperaturen und beim Messen. Du kennst bereits natürliche Zahlen wie 0, 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter. Mit ihnen kannst Du zählen: drei Äpfel, zwölf Stifte oder fünfundzwanzig Schülerinnen und Schüler. Manchmal reicht Zählen aber nicht aus. Wenn ein Gegenstand 1 Meter und noch ein Stück länger ist, brauchst Du feinere Zahlen. Genau hier helfen Dezimalzahlen.

Eine Dezimalzahl erweitert die bekannte Schreibweise der natürlichen Zahlen. Links vom Dezimalzeichen stehen die ganzen Anteile, rechts davon stehen die kleineren Teile eines Ganzen: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und weitere Nachkommastellen. Dadurch kannst Du Zahlen zwischen zwei natürlichen Zahlen ausdrücken, zum Beispiel 2,4 zwischen 2 und 3 oder 7,05 zwischen 7 und 8.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen verstanden werden können. Du erkennst, dass natürliche Zahlen weiterhin vorkommen, aber durch Nachkommastellen verfeinert werden. Du lernst die Stellenwerttafel, den Zahlenstrahl, das Vergleichen und Ordnen von Dezimalzahlen sowie typische Alltagsanwendungen kennen.

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Lernziele

Am Ende dieses aiMOOCs kannst Du erklären, warum Dezimalzahlen eine sinnvolle Erweiterung der natürlichen Zahlen sind. Du kannst Dezimalzahlen lesen, schreiben, in einer Stellenwerttafel darstellen, am Zahlenstrahl einordnen und in Alltagssituationen deuten.

  1. Natürliche Zahlen: Du wiederholst, dass natürliche Zahlen zum Zählen verwendet werden.
  2. Dezimalzahl: Du verstehst Dezimalzahlen als Zahlen mit möglichen Nachkommastellen.
  3. Stellenwertsystem: Du erkennst, dass jede Ziffer je nach Stelle einen anderen Wert hat.
  4. Zahlenstrahl: Du ordnest Dezimalzahlen zwischen natürlichen Zahlen ein.
  5. Vergleichen: Du vergleichst Dezimalzahlen sicher und vermeidest typische Fehler.
  6. Alltag: Du nutzt Dezimalzahlen in Situationen mit Geld, Längen, Massen und Messwerten.


Vorwissen: Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die Du zuerst beim Zählen kennenlernst. Je nach Vereinbarung beginnt die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 oder mit 1. Im Schulunterricht wird häufig auch die 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt. Natürliche Zahlen können auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Jede Zahl liegt an einer festen Stelle: 0, 1, 2, 3 und so weiter.

Natürliche Zahlen sind besonders gut geeignet, wenn es um ganze Anzahlen geht. Du kannst sagen: Ich habe 5 Hefte. Oder: Im Regal stehen 12 Bücher. Sobald Du aber messen möchtest, entstehen oft Werte, die nicht genau einer natürlichen Zahl entsprechen. Ein Bleistift kann 14,7 cm lang sein. Eine Flasche kann 0,5 Liter enthalten. Ein Preis kann 2,99 € betragen. Solche Zahlen liegen zwischen natürlichen Zahlen und werden als Dezimalzahlen geschrieben.


Das Dezimalsystem

Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 10. Das bedeutet: Es verwendet die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Der Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie steht. In der Zahl 444 hat jede Ziffer zwar denselben Ziffernwert 4, aber einen anderen Stellenwert: 4 Hunderter, 4 Zehner und 4 Einer.

Zahl Bedeutung Zerlegung
444 vierhundertvierundvierzig 4 Hunderter + 4 Zehner + 4 Einer
40 vierzig 4 Zehner + 0 Einer
4 vier 4 Einer

Das Besondere am Dezimalsystem ist, dass die Stellen nach links immer zehnmal so groß werden. Gehst Du eine Stelle nach links, wird der Stellenwert mit 10 multipliziert. Gehst Du eine Stelle nach rechts, wird der Stellenwert durch 10 geteilt. Genau diese Idee wird bei Dezimalzahlen fortgesetzt.


Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen

Eine Dezimalzahl entsteht, wenn die Stellenwerttafel nach rechts über die Einerstelle hinaus erweitert wird. Zwischen der Einerstelle und den kleineren Stellen steht im deutschsprachigen Raum meistens ein Dezimalkomma. Links vom Komma steht der ganzzahlige Teil. Rechts vom Komma steht der Nachkommateil.

Hunderter Zehner Einer Komma Zehntel Hundertstel Tausendstel
0 1 2 , 3 4 5

Die Zahl 12,345 bedeutet: 1 Zehner, 2 Einer, 3 Zehntel, 4 Hundertstel und 5 Tausendstel. Sie ist also größer als 12, aber kleiner als 13. Die natürlichen Zahlen verschwinden nicht. Sie sind weiterhin enthalten: 7 kann auch als 7,0 oder 7,00 geschrieben werden. Die zusätzlichen Nullen nach dem Komma verändern den Wert nicht.

Merksatz: Eine natürliche Zahl kann als Dezimalzahl mit Nachkommastellen geschrieben werden, zum Beispiel 8 = 8,0 = 8,00. Dezimalzahlen erweitern die natürlichen Zahlen, weil sie auch Werte zwischen natürlichen Zahlen darstellen können.


Die Stellen rechts vom Komma

Die Stellen rechts vom Komma heißen Nachkommastellen. Sie beschreiben Teile eines Ganzen. Die erste Stelle rechts vom Komma sind die Zehntel, die zweite Stelle die Hundertstel, die dritte Stelle die Tausendstel.

Dezimalzahl Sprechweise Bedeutung
0,1 ein Zehntel ein Ganzes wird in 10 gleich große Teile geteilt
0,01 ein Hundertstel ein Ganzes wird in 100 gleich große Teile geteilt
0,001 ein Tausendstel ein Ganzes wird in 1000 gleich große Teile geteilt
2,5 zwei Ganze und fünf Zehntel 2 + 5 Zehntel
3,47 drei Ganze und siebenundvierzig Hundertstel 3 + 47 Hundertstel

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Beim Lesen von Dezimalzahlen gibt es zwei sinnvolle Möglichkeiten. Du kannst 4,25 als vier Komma zwei fünf lesen. Du kannst aber auch mathematisch genauer sagen: vier Ganze und fünfundzwanzig Hundertstel. Beide Sprechweisen helfen Dir in unterschiedlichen Situationen.


Dezimalzahlen am Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl macht sichtbar, dass Dezimalzahlen zwischen natürlichen Zahlen liegen können. Zwischen 0 und 1 liegen zum Beispiel 0,1, 0,2, 0,3 und viele weitere Zahlen. Wenn Du den Abschnitt zwischen 0 und 1 in zehn gleich große Teile teilst, erhältst Du Zehntel. Teilst Du jeden dieser Abschnitte wieder in zehn gleich große Teile, erhältst Du Hundertstel.

Um eine Dezimalzahl am Zahlenstrahl einzutragen, gehst Du schrittweise vor. Zuerst suchst Du den Bereich zwischen den natürlichen Zahlen. Danach achtest Du auf die erste Nachkommastelle. Wenn nötig, unterteilst Du den Abschnitt weiter in Hundertstel oder Tausendstel. Die Zahl 2,7 liegt zwischen 2 und 3, näher bei 3. Die Zahl 2,07 liegt ebenfalls zwischen 2 und 3, aber sehr nah bei 2.

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Der Zahlenstrahl zeigt auch, dass zwischen zwei natürlichen Zahlen viele Dezimalzahlen liegen. Zwischen 1 und 2 findest Du zum Beispiel 1,1, 1,2, 1,25, 1,333 und 1,999. Damit erweitert sich Dein Blick auf Zahlen: Nicht nur ganze Schritte sind möglich, sondern auch feinere Abstufungen.


Dezimalzahlen vergleichen und ordnen

Beim Vergleichen von Dezimalzahlen hilft Dir die Stellenwerttafel. Vergleiche zuerst den ganzzahligen Teil. Ist dieser unterschiedlich, entscheidet er sofort. Bei 12,4 und 9,99 ist 12,4 größer, weil 12 größer als 9 ist. Sind die ganzen Teile gleich, vergleichst Du die Nachkommastellen von links nach rechts: zuerst Zehntel, dann Hundertstel, dann Tausendstel.

Vergleich Begründung
3,8 > 3,45 Beide Zahlen haben 3 Ganze, aber 8 Zehntel sind größer als 4 Zehntel.
2,07 < 2,7 Beide Zahlen haben 2 Ganze, aber 0 Zehntel sind kleiner als 7 Zehntel.
5,40 = 5,4 Eine Endnull nach dem Komma verändert den Wert nicht.
0,9 > 0,12 9 Zehntel sind größer als 1 Zehntel.

Achtung Fehlerfalle: Viele Lernende denken, 0,12 sei größer als 0,9, weil 12 größer als 9 ist. Das ist falsch, denn Du darfst nicht nur die Ziffernfolge nach dem Komma als natürliche Zahl betrachten. Entscheidend sind die Stellenwerte. 0,9 bedeutet 9 Zehntel. 0,12 bedeutet 1 Zehntel und 2 Hundertstel. Deshalb ist 0,9 größer.


Dezimalzahlen und Brüche

Dezimalzahlen hängen eng mit Brüchen zusammen. Eine endliche Dezimalzahl kann als Dezimalbruch geschrieben werden. Bei einem Dezimalbruch ist der Nenner eine Zehnerzahl wie 10, 100 oder 1000.

Dezimalzahl Bruchdarstellung Bedeutung
0,3 3/10 drei Zehntel
0,25 25/100 fünfundzwanzig Hundertstel
1,2 12/10 zwölf Zehntel
4,075 4075/1000 viertausendfünfundsiebzig Tausendstel

Diese Verbindung hilft Dir, Dezimalzahlen zu verstehen. 0,5 ist die Hälfte eines Ganzen, denn 0,5 = 5/10 = 1/2. 0,25 ist ein Viertel, denn 0,25 = 25/100 = 1/4. So erkennst Du: Dezimalzahlen sind nicht nur Schreibweisen mit Komma, sondern beschreiben echte Größen und Anteile.


Dezimalzahlen im Alltag

Dezimalzahlen werden verwendet, wenn etwas genauer angegeben werden muss als mit natürlichen Zahlen. Beim Geld steht 2,50 € für 2 Euro und 50 Cent. Bei Längen kann 1,75 m eine Körpergröße beschreiben. Bei Massen bedeutet 0,5 kg ein halbes Kilogramm. Bei Temperaturen kann 36,7 °C ein Messwert sein.

In verschiedenen Ländern werden Dezimalzahlen unterschiedlich geschrieben. Im deutschsprachigen Raum steht meistens ein Komma als Dezimalzeichen, zum Beispiel 3,14. In vielen englischsprachigen Ländern wird ein Punkt verwendet, zum Beispiel 3.14. Für den Mathematikunterricht ist wichtig: Du musst wissen, welches Zeichen den ganzzahligen Teil vom Nachkommateil trennt.


Typische Denkfehler und gute Strategien

Dezimalzahlen sind gut verständlich, wenn Du auf die Stellenwerte achtest. Fehler entstehen oft, wenn man nur die sichtbaren Ziffern betrachtet und die Bedeutung der Stellen vergisst.

  1. Stellenwert: Vergleiche Dezimalzahlen Stelle für Stelle von links nach rechts.
  2. Endnull: Hänge Nullen am Ende einer Dezimalzahl an, wenn Dir das Vergleichen hilft.
  3. Zahlenstrahl: Zeichne einen Zahlenstrahl, wenn Du nicht sicher bist, wo eine Zahl liegt.
  4. Einheit: Achte bei Sachaufgaben immer auf die passende Einheit.
  5. Sprache: Lies Dezimalzahlen bewusst, zum Beispiel als drei Ganze und fünf Zehntel.

Beispielstrategie: Um 4,6 und 4,58 zu vergleichen, kannst Du 4,6 als 4,60 schreiben. Nun vergleichst Du 4,60 und 4,58. Beide Zahlen haben 4 Ganze und 6 Zehntel beziehungsweise 5 Zehntel. Deshalb ist 4,60 größer als 4,58.


Zusammenfassung

Dezimalzahlen erweitern die natürlichen Zahlen, weil sie Werte zwischen natürlichen Zahlen darstellen können. Sie nutzen dasselbe Dezimalsystem und dieselbe Grundidee des Stellenwertsystems. Die Stellen links vom Komma beschreiben Ganze, Zehner, Hunderter und weitere größere Einheiten. Die Stellen rechts vom Komma beschreiben Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und weitere kleinere Einheiten. Eine natürliche Zahl kann immer auch als Dezimalzahl geschrieben werden, zum Beispiel 6 = 6,0 = 6,00. Beim Vergleichen von Dezimalzahlen zählt der Stellenwert jeder Ziffer, nicht die Länge der Ziffernfolge.


Interaktive Aufgaben


Quiz: Teste Dein Wissen

Was leisten Dezimalzahlen im Vergleich zu natürlichen Zahlen? (Sie ermöglichen auch Werte zwischen natürlichen Zahlen) (!Sie ersetzen alle natürlichen Zahlen vollständig) (!Sie bestehen immer nur aus ganzen Zahlen) (!Sie dürfen nie am Zahlenstrahl dargestellt werden)




Wie heißt die erste Stelle rechts vom Komma? (Zehntelstelle) (!Einerstelle) (!Zehnerstelle) (!Hundertstelle)




Welche Zahl hat denselben Wert wie 4,5? (4,50) (!4,05) (!45,0) (!0,45)




Welche Dezimalzahl ist am größten? (0,9) (!0,12) (!0,09) (!0,19)




Was ist der ganzzahlige Teil von 13,72? (13) (!72) (!7) (!2)




Welche Bedeutung hat 0,25? (25 Hundertstel) (!25 Zehntel) (!2 Ganze und 5 Zehner) (!25 Tausendstel)




Warum ist 2,07 kleiner als 2,7? (Weil null Zehntel kleiner als sieben Zehntel sind) (!Weil sieben größer als null ist) (!Weil 207 kleiner als 27 ist) (!Weil 2,07 mehr Nachkommastellen hat)




Welche Aussage ist richtig? (3,4 und 3,40 sind gleich groß) (!3,40 ist zehnmal so groß wie 3,4) (!3,4 ist kleiner als 3,40) (!3,40 liegt zwischen 3 und 4, aber 3,4 nicht)




Was beschreibt der Stellenwert einer Ziffer? (Den Wert einer Ziffer abhängig von ihrer Position) (!Die Farbe einer Ziffer im Heft) (!Die Anzahl aller Ziffern einer Zahl) (!Nur den Wert links vom Komma)




Wo liegt die Zahl 5,6 auf dem Zahlenstrahl? (Zwischen 5 und 6, näher bei 6) (!Zwischen 6 und 7, näher bei 6) (!Genau auf der 5) (!Genau auf der 6)





Memory

Natürliche Zahl Zahl ohne Nachkommastellen
Dezimalzahl Zahl mit möglichem Komma
Zehntel erste Nachkommastelle
Hundertstel zweite Nachkommastelle
Zahlenstrahl geordnetes Bild von Zahlen
Endnull verändert den Wert nicht
Stellenwert Wert einer Position





Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu. Stellenwertbeschreibung
Einerstelle Stelle direkt links vom Komma
Zehntelstelle Stelle direkt rechts vom Komma
Hundertstelstelle Stelle nach der Zehntelstelle
Tausendstelstelle Stelle nach der Hundertstelstelle
Stellenwerttafel Übersicht über die Werte der Ziffern





Kreuzworträtsel

Komma Welches Zeichen trennt den ganzen Teil vom Nachkommateil?
Zehntel Wie heißt die erste Stelle rechts vom Komma?
Hundertstel Wie heißt die zweite Stelle rechts vom Komma?
Stellenwert Wie nennt man den Wert einer Ziffer abhängig von ihrer Position?
Zahlenstrahl Auf welchem Modell kannst Du Dezimalzahlen der Größe nach einordnen?
Runden Wie nennt man das Ersetzen durch eine nahe und einfacher geschriebene Zahl?





LearningApps


Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Dezimalzahl erweitert die Schreibweise natürlicher Zahlen, indem rechts neben der Einerstelle ein

gesetzt werden kann. Die Stellen rechts vom Komma heißen

. Die erste Nachkommastelle steht für

. Die zweite Nachkommastelle steht für

. Die dritte Nachkommastelle steht für

. So bedeutet 3,47 drei Ganze und zusätzlich siebenundvierzig

. Beim Vergleichen achtest Du zuerst auf den

. Endnullen verändern den Wert einer Dezimalzahl

.




Offene Aufgaben


Leicht

  1. Dezimalzahlen im Alltag: Sammle zu Hause, in der Schule oder beim Einkaufen zehn Beispiele für Dezimalzahlen und notiere jeweils, welche Einheit dazugehört.
  2. Zahlenstrahl zeichnen: Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 2 und trage die Zahlen 0,5, 1,2, 1,75 und 2,0 ein.
  3. Stellenwerttafel: Erstelle eine Stellenwerttafel mit Zehnern, Einern, Zehnteln, Hundertsteln und Tausendsteln und trage fünf selbst gewählte Dezimalzahlen ein.
  4. Erklärbild: Gestalte ein Bild mit dem Titel Von der natürlichen Zahl zur Dezimalzahl und zeige daran, warum zwischen 1 und 2 weitere Zahlen liegen.


Standard

  1. Preisvergleich: Vergleiche drei Preise mit Dezimalzahlen und erkläre, welcher Preis am kleinsten ist und warum.
  2. Messprojekt: Miss fünf Gegenstände im Klassenraum möglichst genau, schreibe die Ergebnisse als Dezimalzahlen auf und ordne sie der Größe nach.
  3. Fehleranalyse: Erfinde drei falsche Aussagen zu Dezimalzahlen, zum Beispiel 0,12 ist größer als 0,9, und korrigiere sie mit Begründung.
  4. Erklärvideo: Plane ein kurzes Lernvideo, in dem Du erklärst, warum 3,4 und 3,40 gleich groß sind.


Schwer

  1. Zahlendichte: Finde zehn verschiedene Dezimalzahlen zwischen 2,3 und 2,4 und erkläre, warum zwischen zwei Dezimalzahlen immer weitere Dezimalzahlen liegen können.
  2. Lernspiel: Entwickle ein Kartenspiel, bei dem Dezimalzahlen, Stellenwerte und Darstellungen am Zahlenstrahl zusammenpassen müssen.
  3. Mini-Unterricht: Bereite eine fünfminütige Erklärung für jüngere Lernende vor, in der Du Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen verständlich machst.
  4. Runden und Genauigkeit: Untersuche an drei Alltagssituationen, wann gerundete Dezimalzahlen sinnvoll sind und wann genaue Dezimalzahlen gebraucht werden.




Text bearbeiten Bild einfügen Video einbetten Interaktive Aufgaben erstellen



Lernkontrolle

  1. Transfer am Zahlenstrahl: Zeichne einen geeigneten Ausschnitt eines Zahlenstrahls und erkläre, wie Du 4,08, 4,8 und 4,80 einordnest.
  2. Alltagsentscheidung: Zwei Getränke enthalten 0,75 l und 0,7 l. Erkläre, welches mehr enthält, und begründe Deine Entscheidung mit Stellenwerten.
  3. Fehler begründen: Eine Person sagt, 6,12 sei größer als 6,8, weil 12 größer als 8 ist. Erkläre den Denkfehler und formuliere eine richtige Begründung.
  4. Darstellungen verbinden: Stelle die Zahl 2,35 als Dezimalzahl, in Worten, in einer Stellenwerttafel und als Dezimalbruch dar.
  5. Modellieren: Entwickle eine Sachaufgabe, in der natürliche Zahlen nicht ausreichen und eine Dezimalzahl gebraucht wird. Löse die Aufgabe und erkläre den Nutzen der Dezimalzahl.
  6. Vergleichsstrategie: Beschreibe eine allgemeine Strategie zum Vergleichen von Dezimalzahlen und wende sie auf drei selbst gewählte Beispiele an.




Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Denkwege erklären kannst.

  1. Begründen: Du erklärst, warum Dezimalzahlen eine Erweiterung natürlicher Zahlen sind.
  2. Darstellen: Du stellst Dezimalzahlen in einer Stellenwerttafel und am Zahlenstrahl dar.
  3. Vergleichen: Du vergleichst und ordnest Dezimalzahlen mit Bezug auf Stellenwerte.
  4. Anwenden: Du nutzt Dezimalzahlen in Sachsituationen mit passenden Einheiten.
  5. Fehleranalyse: Du erkennst typische Fehlvorstellungen und korrigierst sie verständlich.
  6. Reflexion: Du beschreibst, welche Strategie Dir beim Verstehen von Dezimalzahlen hilft.




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