Das Koordinatensystem kennenlernen - Funktionen

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, wie ein Koordinatensystem aufgebaut ist und wie Du damit Punkte, Wertetabellen und Funktionen verstehen kannst. Besonders wichtig ist dabei das kartesische Koordinatensystem: Es besteht aus zwei senkrecht aufeinander stehenden Achsen, der x-Achse und der y-Achse. Mit ihrer Hilfe kannst Du jeden Punkt in der Ebene eindeutig durch ein Zahlenpaar beschreiben. Wenn Du später lineare Funktionen, quadratische Funktionen oder andere Funktionsgraphen untersuchst, brauchst Du diese Grundlagen immer wieder.

Ein Koordinatensystem ist wie eine mathematische Landkarte. Die x-Achse zeigt in der üblichen Darstellung waagerecht nach rechts, die y-Achse senkrecht nach oben. Der Punkt, an dem sich beide Achsen schneiden, heißt Koordinatenursprung oder kurz Ursprung. Er hat die Koordinaten $(0 | 0)$ . Ein Punkt wird häufig in der Form $P (x | y)$ notiert. Dabei bedeutet der erste Wert, wie weit Du auf der x-Achse nach rechts oder links gehst. Der zweite Wert bedeutet, wie weit Du anschließend nach oben oder unten gehst.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=m66AGfvdVjs |500|center}}

Das kartesische Koordinatensystem

Achsen, Ursprung und Einteilung

Das kartesische Koordinatensystem wird in der Schule meistens als zweidimensionales Koordinatensystem verwendet. Zweidimensional bedeutet: Es gibt zwei Richtungen. Die erste Richtung wird durch die x-Achse beschrieben, die zweite durch die y-Achse. Beide Achsen stehen im rechten Winkel zueinander. Dadurch entsteht ein klares Gitternetz, in dem Punkte genau eingezeichnet und abgelesen werden können.

Die Achsen teilen die Ebene in vier Bereiche. Diese Bereiche heißen Quadranten. Im ersten Quadranten sind beide Koordinaten positiv. Im zweiten Quadranten ist die x-Koordinate negativ und die y-Koordinate positiv. Im dritten Quadranten sind beide Koordinaten negativ. Im vierten Quadranten ist die x-Koordinate positiv und die y-Koordinate negativ. Die Punkte auf den Achsen selbst gehören normalerweise zu keinem Quadranten.

Punkte eintragen und ablesen

Um einen Punkt in ein Koordinatensystem einzutragen, liest Du zuerst die x-Koordinate und dann die y-Koordinate. Der Punkt $A (3 | 2)$ bedeutet: Gehe vom Koordinatenursprung aus drei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Der Punkt $B (- 4 | 1)$ bedeutet: Gehe vier Einheiten nach links und eine Einheit nach oben. Der Punkt $C (2 | - 3)$ bedeutet: Gehe zwei Einheiten nach rechts und drei Einheiten nach unten.

Wichtig ist die Reihenfolge: erst x, dann y. Viele Fehler entstehen, wenn diese Reihenfolge vertauscht wird. Der Punkt $(2 | 5)$ liegt an einer anderen Stelle als der Punkt $(5 | 2)$ . Beim Ablesen gehst Du umgekehrt vor: Du schaust zuerst, wo der Punkt über oder unter der x-Achse steht, und liest die x-Koordinate ab. Danach schaust Du, wie hoch oder tief der Punkt liegt, und liest die y-Koordinate ab.

Von Punkten zu Funktionen

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Das bedeutet: Jedem erlaubten x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Man schreibt zum Beispiel $f (x) = 2 x + 1$ . Der Ausdruck $f (x)$ bedeutet: der Funktionswert der Funktion $f$ an der Stelle $x$ . Wenn Du für $x$ die Zahl $3$ einsetzt, erhältst Du $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ . Der zugehörige Punkt im Koordinatensystem heißt dann $(3 | 7)$ .

Eine Funktion kann auf verschiedene Arten dargestellt werden: durch eine Funktionsgleichung, durch eine Wertetabelle, durch einen Graphen oder durch eine sprachliche Beschreibung. Diese Darstellungsformen gehören zusammen. Wenn Du eine Darstellungsform verstehst, kannst Du oft in eine andere Darstellungsform wechseln.

Wertetabelle und Graph

Eine Wertetabelle hilft Dir, aus einer Funktionsgleichung Punkte zu gewinnen. Dazu wählst Du mehrere x-Werte aus, setzt sie in die Funktionsgleichung ein und berechnest die passenden y-Werte. Jeder Zahlenpaar-Eintrag der Tabelle wird anschließend als Punkt in das Koordinatensystem eingetragen. Verbindest Du die Punkte passend, entsteht der Funktionsgraph.

Beispiel zur Funktion $f (x) = x + 2$ :

x	f(x)	Punkt
-2	0	0)
-1	1	1)
0	2	2)
1	3	3)
2	4	4)

Die Punkte liegen auf einer Geraden. Deshalb handelt es sich um eine lineare Funktion. Der Graph steigt, weil größere x-Werte auch größere y-Werte ergeben.

Lineare Funktionen im Koordinatensystem

Funktionsgleichung einer linearen Funktion

Eine lineare Funktion hat häufig die Form $f (x) = m x + b$ . Der Buchstabe $m$ steht für die Steigung, der Buchstabe $b$ steht für den y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet. Da auf der y-Achse immer $x = 0$ gilt, ist dieser Punkt besonders leicht zu finden.

Wenn $m$ positiv ist, steigt die Gerade von links nach rechts. Wenn $m$ negativ ist, fällt die Gerade von links nach rechts. Wenn $m = 0$ ist, verläuft die Gerade waagerecht. Die Steigung sagt also, wie stark sich der y-Wert verändert, wenn der x-Wert um eine Einheit wächst.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=TKK-25nz-cE |500|center}}

Steigung verstehen

Die Steigung beschreibt das Verhältnis aus Veränderung in y-Richtung und Veränderung in x-Richtung. Man kann sich merken: Steigung ist Hochgehen geteilt durch Weitergehen. Mathematisch schreibt man bei zwei Punkten $P_{1} (x_{1} | y_{1})$ und $P_{2} (x_{2} | y_{2})$ :

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Ein Beispiel: Die Punkte $A (1 | 2)$ und $B (4 | 8)$ liegen auf einer Geraden. Von $x = 1$ bis $x = 4$ gehst Du drei Schritte nach rechts. Von $y = 2$ bis $y = 8$ gehst Du sechs Schritte nach oben. Die Steigung ist deshalb $m = \frac{6}{3} = 2$ . Pro Schritt nach rechts steigt der Graph um zwei Einheiten.

Graphen lesen und deuten

Ein Funktionsgraph ist nicht nur eine Zeichnung. Er zeigt Zusammenhänge. Wenn der Graph steigt, werden die Funktionswerte größer. Wenn der Graph fällt, werden die Funktionswerte kleiner. Wenn der Graph die x-Achse schneidet, liegt dort eine Nullstelle. Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem der Funktionswert gleich null ist. Wenn der Graph die y-Achse schneidet, erkennst Du den y-Achsenabschnitt.

Graphen können reale Situationen beschreiben. Zum Beispiel kann die x-Achse die Zeit darstellen und die y-Achse eine Entfernung, eine Temperatur, einen Preis oder eine Füllhöhe. Dann hilft Dir der Graph zu erkennen, wann etwas zunimmt, abnimmt, gleich bleibt oder einen bestimmten Wert erreicht.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=dW09ChZc_78 |500|center}}

Häufige Fehler und sichere Strategien

Typische Fehler vermeiden

Beim Arbeiten mit Koordinatensystemen treten bestimmte Fehler besonders häufig auf. Manche Lernende vertauschen x- und y-Koordinate. Andere vergessen die negativen Bereiche links und unterhalb des Ursprungs. Wieder andere verbinden Punkte zu ungenau oder lesen die Skalierung falsch ab. Achte deshalb immer auf die Beschriftung der Achsen und auf die Abstände zwischen den Markierungen.

Eine sichere Strategie ist der Dreischritt: lesen, gehen, prüfen. Lies zuerst die Koordinaten genau. Gehe dann im Koordinatensystem zuerst in x-Richtung und anschließend in y-Richtung. Prüfe am Ende, ob der Punkt im erwarteten Quadranten liegt. Bei Funktionen hilft Dir zusätzlich eine Wertetabelle, weil Du damit mehrere Punkte kontrollieren kannst.

Vom Alltag zur Mathematik

Funktionen begegnen Dir im Alltag häufiger, als es zunächst scheint. Ein Taxipreis hängt von der gefahrenen Strecke ab. Die Füllhöhe einer Flasche hängt von der eingefüllten Wassermenge ab. Die Temperatur kann von der Uhrzeit abhängen. In all diesen Beispielen kann ein Koordinatensystem helfen, Zusammenhänge sichtbar zu machen. Du lernst also nicht nur eine Zeichentechnik, sondern eine Sprache, mit der Du Veränderungen und Abhängigkeiten beschreiben kannst.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt ein kartesisches Koordinatensystem richtig? (Es besteht in der Ebene aus zwei senkrecht zueinander stehenden Achsen) (!Es besteht immer aus drei parallelen Achsen) (!Es besitzt keine negativen Zahlen) (!Es kann nur Punkte auf einer Linie darstellen)

Welche Koordinate wird bei einem Punkt zuerst genannt? (Die x-Koordinate) (!Die y-Koordinate) (!Der Funktionswert) (!Die Steigung)

Welche Koordinaten hat der Ursprung im ebenen Koordinatensystem? (0 Strich 0) (!1 Strich 1) (!0 Strich 1) (!1 Strich 0)

Was bedeutet eine Funktion in der Mathematik? (Jedem erlaubten x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet) (!Einem x-Wert werden immer mehrere y-Werte zugeordnet) (!Jeder Punkt muss auf der x-Achse liegen) (!Jede Zeichnung ist automatisch eine Funktion)

Was zeigt eine Wertetabelle zu einer Funktion? (Sie zeigt passende x-Werte und y-Werte) (!Sie zeigt nur die Namen der Achsen) (!Sie ersetzt jede Rechnung durch Schätzung) (!Sie enthält nur negative Zahlen)

Welche Form hat der Graph einer linearen Funktion? (Eine Gerade) (!Ein Kreis) (!Ein Rechteck) (!Eine Spirale)

Was beschreibt die Steigung einer Geraden? (Wie stark sich der y-Wert bei einer Änderung des x-Werts verändert) (!Wie lang die x-Achse gezeichnet wurde) (!Wie groß das Papier ist) (!Wie viele Quadranten es gibt)

Was ist der y-Achsenabschnitt? (Der Schnittpunkt eines Graphen mit der y-Achse) (!Der höchste Punkt jeder Funktion) (!Der Schnittpunkt zweier x-Achsen) (!Der Abstand zwischen zwei Kästchen)

Wann liegt ein Punkt im ersten Quadranten? (Wenn x und y positiv sind) (!Wenn x positiv und y negativ ist) (!Wenn x und y negativ sind) (!Wenn x negativ und y positiv ist)

Was ist eine Nullstelle einer Funktion? (Ein x-Wert mit Funktionswert null) (!Ein Punkt ohne Koordinaten) (!Der Name der y-Achse) (!Die größte Zahl in der Wertetabelle)

Memory

Koordinatenursprung	Schnittpunkt der beiden Achsen
x-Achse	Waagerechte Achse
y-Achse	Senkrechte Achse
Wertetabelle	Übersicht passender Zahlenpaare
Steigung	Veränderung von y im Verhältnis zu x
Nullstelle	Stelle mit Funktionswert null
Funktionsgraph	Zeichnerische Darstellung einer Funktion

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
x-Achse	waagerechte Orientierung
y-Achse	senkrechte Orientierung
Ursprung	Schnittpunkt der Achsen
Wertetabelle	Vorbereitung für das Zeichnen
Gerade	Graph einer linearen Funktion
Steigung	Maß für die Veränderung

Kreuzworträtsel

Ursprung	Wie heißt der Schnittpunkt von x-Achse und y-Achse?
Abszisse	Wie heißt die x-Koordinate auch?
Ordinate	Wie heißt die y-Koordinate auch?
Quadrant	Wie heißt ein durch die Achsen begrenzter Bereich der Ebene?
Steigung	Welcher Begriff beschreibt die Veränderung einer Geraden?
Gerade	Welche Form hat der Graph einer linearen Funktion?

LearningApps

Lückentext

Ein kartesisches Koordinatensystem besitzt in der Ebene zwei senkrecht zueinander stehende

. Der Schnittpunkt dieser Achsen heißt

. Bei einem Punkt wird zuerst die

genannt. Danach folgt die

. Eine Funktion ordnet jedem erlaubten x-Wert genau einen

zu. Eine Wertetabelle hilft dabei, passende

für den Graphen zu finden. Der Graph einer linearen Funktion ist eine

. Die Steigung beschreibt, wie stark sich der Funktionswert bei Veränderung von

ändert. Der Schnittpunkt mit der y-Achse heißt

. Eine Nullstelle liegt dort, wo der Funktionswert

ist.

Offene Aufgaben

Leicht

Koordinatensystem zeichnen: Zeichne ein Koordinatensystem mit x-Achse, y-Achse, Ursprung und gleichmäßiger Skalierung. Beschrifte alle wichtigen Elemente sauber.
Punkte eintragen: Trage die Punkte A(2|3), B(-1|4), C(-3|-2), D(4|-1) und E(0|2) ein und notiere jeweils, in welchem Bereich des Koordinatensystems sie liegen.
Koordinaten ablesen: Lasse eine Mitschülerin oder einen Mitschüler fünf Punkte in ein Koordinatensystem zeichnen und lies die Koordinaten ab. Vergleicht anschließend Eure Ergebnisse.
Fehler finden: Erstelle drei absichtlich falsch eingetragene Punkte und erkläre schriftlich, welcher Fehler jeweils gemacht wurde.

Standard

Wertetabelle erstellen: Erstelle für die Funktion f(x)=x+3 eine Wertetabelle mit mindestens fünf x-Werten und zeichne den Graphen.
Lineare Funktion zeichnen: Zeichne die Funktionen f(x)=2x+1 und g(x)=-x+4 in dasselbe Koordinatensystem und vergleiche ihre Steigungen.
Alltagssituation darstellen: Beschreibe eine Alltagssituation, die durch eine lineare Funktion modelliert werden kann, und stelle sie mit Tabelle, Gleichung und Graph dar.
Graphen beschreiben: Suche in einer Zeitung, App oder Internetgrafik einen einfachen Graphen und beschreibe, was die Achsen und der Verlauf bedeuten.

Schwer

Funktionsgleichung bestimmen: Bestimme aus zwei selbst gewählten Punkten eine lineare Funktionsgleichung und erkläre jeden Rechenschritt.
Schnittpunkt untersuchen: Zeichne zwei lineare Funktionen, die sich schneiden, und bestimme den Schnittpunkt zunächst zeichnerisch und dann rechnerisch.
Mathematisches Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Video oder eine Bildschirmaufnahme, in der Du erklärst, wie man aus einer Wertetabelle einen Funktionsgraphen zeichnet.
Modellierung reflektieren: Wähle ein reales Beispiel mit Messwerten, zeichne einen Graphen und beurteile, ob eine lineare Funktion als Modell sinnvoll ist oder nicht.

type=create break=no preload=CHAT GPT TEXT HIER EINFÜGEN default= width=30 placeholder= Dein MOOC Titel buttonlabel=MOOC erstellen </inputbox>

Lernkontrolle

Darstellungswechsel: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, wie Du von einer Funktionsgleichung zu einer Wertetabelle und von dort zu einem Graphen kommst.
Fehleranalyse: Eine Schülerin zeichnet den Punkt P(-2|5) im vierten Quadranten ein. Erkläre den Fehler und korrigiere ihn mit einer Skizzenbeschreibung.
Graph interpretieren: Beschreibe eine Situation, in der ein steigender Graph sinnvoll ist, und eine Situation, in der ein fallender Graph sinnvoll ist.
Steigung deuten: Vergleiche zwei Geraden mit unterschiedlicher Steigung und erkläre, welche Gerade schneller wächst und woran man das erkennt.
Achsenwahl begründen: Entwickle ein Beispiel aus dem Alltag und entscheide, welche Größe auf die x-Achse und welche auf die y-Achse gehört. Begründe Deine Entscheidung.
Modell prüfen: Beurteile, ob jede Alltagssituation mit einer linearen Funktion beschrieben werden kann. Nenne ein Gegenbeispiel und erkläre Deine Begründung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur einzelne Begriffe auswendig kennst, sondern sie sicher anwenden und erklären kannst. Dein Lernnachweis kann als Heftseite, digitales Portfolio, Lernplakat, Video, Präsentation oder mündliche Erklärung gestaltet werden.

Fachbegriffe: Du verwendest Begriffe wie Koordinatensystem, x-Achse, y-Achse, Ursprung, Quadrant, Funktion, Wertetabelle, Graph, Steigung und y-Achsenabschnitt korrekt.
Zeichengenauigkeit: Du zeichnest Achsen, Skalierung und Punkte sauber und nachvollziehbar.
Punkte und Koordinaten: Du kannst Punkte eintragen, ablesen und ihre Lage im Koordinatensystem beschreiben.
Funktionen darstellen: Du kannst aus einer einfachen Funktionsgleichung eine Wertetabelle erstellen und daraus einen Graphen zeichnen.
Graphen deuten: Du kannst erklären, was steigende, fallende und waagerechte Graphen in einer Sachsituation bedeuten.
Reflexion: Du kannst typische Fehler benennen und Strategien erklären, mit denen Du sie vermeidest.

OERs zum Thema

Links

Das Koordinatensystem kennenlernen - Funktionen

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.