Binomische Formeln - Remake

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Mit den binomischen Formeln kannst Du Klammern schnell ausmultiplizieren und Terme rückwärts faktorisieren. Ein Binom besteht aus zwei Gliedern. Die drei Formeln gehören zur Algebra und beruhen auf dem Distributivgesetz.

Lernvideo: Binomische Formeln REMAKE

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Aufgaben zum Video

1. Formelsammlung: Schreibe die drei Formeln aus dem Video ohne Hilfe auf.
2. Mittelglied: Erkläre in einem Satz, warum bei der ersten Formel der Term $2ab$ entsteht.
3. Vorzeichen: Notiere, welches Vorzeichen das Mittelglied bei der zweiten Formel hat.
4. Beispielrechnung: Rechne $(x+4{)}^2$, $(x-4{)}^2$ und $(x+4)(x-4)$.
5. Fehleranalyse: Erkläre, warum $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ im Allgemeinen falsch ist.

Die drei Formeln

Erste binomische Formel

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Das große Quadrat besteht aus zwei kleinen Quadraten und zwei gleichen Rechtecken.

Beispiel: $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$

Zweite binomische Formel

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Nur das Mittelglied ist negativ.

Beispiel: $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$

Dritte binomische Formel

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Die beiden gemischten Produkte heben sich auf.

Beispiel: $(x+3)(x-3)=x^2-9$

Warum funktionieren die Formeln?

Beim Ausmultiplizieren wird jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multipliziert.

Merkhilfe als Lied

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Häufige Fehler

1. Mittelglied vergessen: Bei den ersten beiden Formeln gehört $2ab$ dazu.
2. Vorzeichenfehler: Bei $(a-b{)}^2$ ist nur das Mittelglied negativ.
3. Faktor quadrieren: Es gilt zum Beispiel $(2x{)}^2=4x^2$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die erste binomische Formel? (a² plus 2ab plus b²) (!a² plus b²) (!a² minus 2ab plus b²) (!a² minus b²)

Wie lautet die zweite binomische Formel? (a² minus 2ab plus b²) (!a² plus 2ab plus b²) (!a² minus b²) (!a² plus ab minus b²)

Was ergibt das Produkt aus Summe und Differenz? (a² minus b²) (!a² plus b²) (!a² plus 2ab plus b²) (!a² minus 2ab plus b²)

Was ist das Mittelglied der ersten Formel? (2ab) (!ab) (!a²) (!b²)

Welches Vorzeichen hat das Mittelglied der zweiten Formel? (Minus) (!Plus) (!Mal) (!Geteilt)

Was ist das Ergebnis von x plus 3 zum Quadrat? (x² plus 6x plus 9) (!x² plus 9) (!x² plus 3x plus 9) (!x² minus 6x plus 9)

Was ist das Ergebnis von x minus 5 zum Quadrat? (x² minus 10x plus 25) (!x² minus 25) (!x² plus 10x plus 25) (!x² minus 5x plus 25)

Was ist das Ergebnis von x plus 4 mal x minus 4? (x² minus 16) (!x² plus 16) (!x² minus 8x plus 16) (!x² plus 8x plus 16)

Welche Regel erklärt die binomischen Formeln? (Distributivgesetz) (!Punkt-vor-Strich-Regel) (!Dreisatz) (!Satz des Thales)

Wozu kann man die Formeln rückwärts nutzen? (Zum Faktorisieren) (!Zum Runden) (!Zum Messen) (!Zum Zeichnen von Winkeln)

Memory

Plusquadrat	$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
Minusquadrat	$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
Plusminusprodukt	$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Gemischtes Glied	$2ab$
Faktorisieren	Summe in ein Produkt umformen
Ausmultiplizieren	Klammern auflösen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Plusquadrat	Klammer mit Pluszeichen und Quadrat
Minusquadrat	Klammer mit Minuszeichen und Quadrat
Plusminusprodukt	Zwei Klammern mit verschiedenen Vorzeichen
Mittelglied	Doppeltes Produkt beider Terme
Quadratische Glieder	Erster und letzter Summand

Kreuzworträtsel

Binom	Wie heißt ein Term aus zwei Gliedern?
Quadrat	Welche Figur veranschaulicht die erste Formel?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Differenz	Wie heißt das Ergebnis einer Subtraktion?
Mittelglied	Wie heißt der Term zwei mal a mal b?
Faktorisieren	Wie heißt das Umformen einer Summe in ein Produkt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Ausdruck mit zwei Gliedern heißt . Bei der ersten Formel lautet das Mittelglied . Bei der zweiten Formel ist das Mittelglied . Die dritte Formel ergibt die Differenz zweier . Alle drei Formeln folgen aus dem . Rückwärts angewendet helfen sie beim .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den drei Formeln.
2. Farbbild: Male die Teilflächen der ersten Formel in verschiedenen Farben.
3. Sprechregel: Sprich jede Formel laut und nimm eine kurze Audiodatei auf.
4. Mini-Quiz: Schreibe drei einfache Fragen für eine Partnerperson.

Standard

1. Erklärvideo: Erstelle ein einminütiges Video zu einer Formel.
2. Fehlersuche: Erfinde drei falsche Lösungen und verbessere sie.
3. Kopfrechnen: Berechne $49^2$ mit einer binomischen Formel.
4. Alltagsmodell: Baue die erste Formel mit Papierflächen nach.

Schwer

1. Beweis: Leite alle drei Formeln mit dem Distributivgesetz her.
2. Rückwärtsaufgabe: Faktorisiere fünf passende Terme und erkläre Deine Wahl.
3. Vergleich: Vergleiche die Flächenbilder der drei Formeln.
4. Transfer: Zeige, wie binomische Formeln bei der quadratischen Ergänzung helfen.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Entscheide bei fünf gemischten Termen, ob eine binomische Formel passt, und begründe jede Entscheidung.
2. Fehleranalyse: Eine Person behauptet $(2x+3{)}^2=4x^2+9$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
3. Darstellungswechsel: Erkläre die erste Formel einmal algebraisch und einmal mit Flächen.
4. Rückwärtsdenken: Finde zwei verschiedene Terme, die sich mit einer binomischen Formel faktorisieren lassen.
5. Anwendung: Berechne $101^2$ ohne schriftliche Multiplikation und erkläre Deinen Rechenweg.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis sollst Du:

1. die drei Formeln sicher nennen,
2. passende Formeln erkennen,
3. Terme korrekt ausmultiplizieren,
4. Ergebnisse rückwärts faktorisieren,
5. typische Fehler erklären,
6. eine Formel mit dem Distributivgesetz oder einer Fläche begründen.

Links

Binomische Formeln Binom Term Ausmultiplizieren Distributivgesetz Faktorisierung Quadratische Ergänzung