ABI LF - Varianz und Standardabweichung als Abiturvoraussetzung 2027

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ABI LF - Varianz und Standardabweichung als Abiturvoraussetzung 2027

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ABI LF - Varianz und Standardabweichung als Abiturvoraussetzung 2027

Mini-Beschreibung: Sichere Berechnung und Bedeutung von Varianz und Standardabweichung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen als für 2027 ausdrücklich vorausgesetzte Kenntnisse; Zielgruppe: Leistungsfach. Du arbeitest mit Verteilungen, Histogrammen und Vergleichssimulationen und interpretierst Streuung, statt lediglich Formeln einzusetzen.

Übergreifend: Mathematik-Abitur, Baden-Württemberg, Stochastik, Leistungsfach

Stand: 28. September 2026

Einleitung

Zwei diskrete Zufallsgrößen können denselben Erwartungswert besitzen und sich trotzdem deutlich unterscheiden: Bei der einen liegen die möglichen Werte dicht beim Erwartungswert, bei der anderen weit davon entfernt. Genau diese Streuung erfassen Varianz und Standardabweichung.

Für das Mathematik-Abitur 2027 in Baden-Württemberg werden im Leistungsfach grundlegende Kenntnisse zu Standardabweichung und Varianz bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausdrücklich vorausgesetzt. Genannt werden sowohl die Berechnung mittels Formel als auch das Verständnis der Kenngröße. Maßgeblich ist der Facherlass 2027 in Verbindung mit dem Bildungsplan 2016.

Offizieller Facherlass für die Abiturprüfung 2027

Bildungsplan 2016 – Leitidee Daten und Zufall

Prüfungshinweis: GeoGebra, Videos, LearningApps und KI-Systeme sind hier Lern- und Übungswerkzeuge. Sie sind nicht automatisch als Hilfsmittel in der schriftlichen Prüfung zugelassen. Im Leistungsfach beträgt die schriftliche Prüfung 2027 insgesamt 300 Minuten. Teil A wird ohne Formelsammlung und WTR bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben; danach stehen im Teil B das IQB-Formeldokument und der eingeführte wissenschaftliche Taschenrechner zur Verfügung.

KI-Hinweis: KI-Ausgaben können Rechenwege erklären oder Varianten erzeugen. Du musst Ergebnisse mathematisch prüfen. Eine KI ersetzt weder eine Begründung noch einen Beweis.

Mehrere Binomialverteilungen können sehr unterschiedliche Lage und Streuung besitzen. Das Bild ist auf Wikimedia Commons als gemeinfrei gekennzeichnet.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Wahrscheinlichkeitsverteilungen lesen: Werte und zugehörige Wahrscheinlichkeiten sicher erfassen.
2. Erwartungswerte bestimmen: $\mu =E(X)$ als Bezugspunkt der Streuung berechnen.
3. Varianz berechnen: die Definition und die Kurzformel korrekt anwenden.
4. Standardabweichung berechnen: aus der Varianz $\sigma$ bestimmen und die Einheit richtig deuten.
5. Histogramme interpretieren: größere und kleinere Streuung visuell erkennen.
6. Binomialverteilungen untersuchen: $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=np(1-p)$ und $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ sinnvoll verwenden.
7. mehrschrittig modellieren: aus einem Sachkontext eine Zufallsgröße, eine Verteilung und eine Streuungsinterpretation entwickeln.
8. begründen und prüfen: Rechenwege, Formeln und Aussagen über Streuung formal nachvollziehbar kontrollieren.

Vorwissen-Check

Beantworte die Fragen zunächst ohne Hilfsmittel.

1. Eine diskrete Zufallsgröße nimmt die Werte $0,1,2$ mit den Wahrscheinlichkeiten $\mathrm{0,2}$, $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,3}$ an. Prüfe, ob eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung vorliegt.
2. Berechne den Erwartungswert.
3. Erkläre in einem Satz, weshalb zwei Verteilungen denselben Erwartungswert, aber unterschiedliche Streuung besitzen können.
4. Entscheide, ob eine Standardabweichung negativ sein kann.
5. Nenne die Einheit der Standardabweichung, wenn $X$ in Sekunden gemessen wird.

Kurzfeedback anzeigen

Die Wahrscheinlichkeiten müssen nichtnegativ sein und sich zu $1$ summieren. Hier gilt $\mathrm{0,2}+\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}=1$. Der Erwartungswert ist $E(X)=0\cdot \mathrm{0,2}+1\cdot \mathrm{0,5}+2\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{1,1}$. Eine Standardabweichung ist nie negativ. Sie hat dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße.

Kernidee: Streuung als Abstand vom Erwartungswert

Sei $X$ eine diskrete Zufallsgröße mit möglichen Werten $x_1,\dots ,x_n$ und Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,p_n$.

Der Erwartungswert ist

$\mu =E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i.$

Die Abweichung eines Wertes vom Erwartungswert ist

$x_i-\mu .$

Positive und negative Abweichungen würden sich beim bloßen Addieren teilweise aufheben. Deshalb werden sie quadriert.

Die Varianz ist

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2{p}_i.$

Gleichwertig gilt

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2.$

Die Standardabweichung ist

$\sigma =\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)}.$

Interpretation: Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert. Die Standardabweichung übersetzt dieses Streuungsmaß zurück in die ursprüngliche Einheit von $X$.

Einheitencheck: $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ besitzt die quadrierte Einheit von $X$. $\sigma$ besitzt dieselbe Einheit wie $X$.

Die Abstände $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$ machen Streuung sichtbar. Die Grafik ist gemeinfrei.

Interaktives Beispiel 1: Vom Verteilungstisch zur Standardabweichung

Gegeben sei

$x_i$	$1$	$2$	$5$
$P(X=x_i)$	$\mathrm{0,2}$	$\mathrm{0,5}$	$\mathrm{0,3}$

Schritt 1 – Erwartungswert

$\mu =1\cdot \mathrm{0,2}+2\cdot \mathrm{0,5}+5\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{2,7.}$

Schritt 2 – zweites Moment

$E(X^2)=1^2\cdot \mathrm{0,2}+2^2\cdot \mathrm{0,5}+5^2\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{9,7.}$

Schritt 3 – Varianz

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\mathrm{9,7}-\mathrm{2,}{7}^2=\mathrm{2,41.}$

Schritt 4 – Standardabweichung

$\sigma =\sqrt{\mathrm{2,41}}\approx \mathrm{1,552.}$

Deutung: Die möglichen Werte streuen mit einer Standardabweichung von ungefähr $\mathrm{1,55}$ Einheiten um den Erwartungswert $\mathrm{2,7}$. Das bedeutet nicht, dass jeder Einzelwert genau $\mathrm{1,55}$ vom Erwartungswert entfernt ist.

Arbeitsauftrag am Modell: Verändere die Verteilungen. Suche zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und möglichst unterschiedlicher Standardabweichung. Formuliere eine Begründung anhand der Abstände zum Erwartungswert.

Interaktives Beispiel 2: Gleicher Erwartungswert, andere Streuung

Vergleiche zwei Zufallsgrößen.

Verteilung	Werte	Wahrscheinlichkeiten	$\mu$	$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}$	$\sigma$
$X$	$1,2,3$	$\mathrm{0,25};\mathrm{0,5};\mathrm{0,25}$	$2$	$\mathrm{0,5}$	$\sqrt{\mathrm{0,5}}$
$Y$	$-2,2,6$	$\mathrm{0,25};\mathrm{0,5};\mathrm{0,25}$	$2$	$8$	$\sqrt{8}$

Beide Verteilungen haben denselben Erwartungswert $2$. Bei $Y$ liegen die äußeren Werte jedoch vier Einheiten vom Erwartungswert entfernt, bei $X$ nur eine Einheit. Durch das Quadrieren wirken große Abstände besonders stark.

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)=16\cdot \mathrm{0,25}+0+16\cdot \mathrm{0,25}=8.$

Entscheidende Aussage: Der Erwartungswert beschreibt die Lage. Varianz und Standardabweichung beschreiben die Streuung. Eine Lageangabe allein bestimmt die Form einer Verteilung nicht.

Histogramme lesen statt nur Formeln einsetzen

Bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt ein Säulendiagramm oder Histogramm, wie sich die Wahrscheinlichkeitsmasse auf die möglichen Werte verteilt.

Achte auf drei Fragen:

1. Wo liegt der Schwerpunkt der Verteilung?
2. Wie weit liegen wahrscheinliche Werte vom Erwartungswert entfernt?
3. Verändert sich beim Parameterwechsel vor allem die Lage, die Streuung oder beides?

Wahrscheinlichkeitsmassen verschiedener Binomialverteilungen. Datei auf Wikimedia Commons unter CC0.

Experiment: Stelle zuerst $n=50$ ein. Variiere $p$. Beobachte dabei gleichzeitig

$\mu =np$

und

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}.$

Denkfrage: Warum ist bei festem $n$ die Standardabweichung für $p=\mathrm{0,5}$ maximal?

Hilfe

Untersuche das Produkt $p(1-p)$. Es ist eine nach unten geöffnete quadratische Funktion.

Feedback

$p(1-p)=p-p^2$ besitzt bei $p=\mathrm{0,5}$ sein Maximum. Deshalb sind auch Varianz und Standardabweichung einer Binomialverteilung bei festem $n$ dort maximal.

Spezialfall Binomialverteilung

Für $X\sim B(n,p)$ gelten

$E(X)=np$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=np(1-p)$

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}.$

Beispiel: $X\sim B(100,\mathrm{0,3})$.

$\mu =100\cdot \mathrm{0,3}=30.$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=100\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}=21.$

$\sigma =\sqrt{21}\approx \mathrm{4,58.}$

Interpretation: Die Trefferzahl liegt im Modell um den Erwartungswert $30$; die Standardabweichung von etwa $\mathrm{4,58}$ beschreibt die typische Größenordnung der Streuung. Sie ist keine Garantie für ein bestimmtes Intervall und keine Wahrscheinlichkeit.

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Formale Eigenschaften für das Leistungsfach

Für Konstanten $a,b\in ℝ$ gilt

$E(aX+b)=aE(X)+b.$

Für die Varianz gilt

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(aX+b)=a^2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X).$

Für die Standardabweichung folgt

${\sigma }_{aX+b}=|a|{\sigma }_X.$

Begründung der Verschiebungsinvarianz:

Bei $Y=X+b$ ist

$E(Y)=E(X)+b.$

Damit gilt

$Y-E(Y)=X+b-E(X)-b=X-E(X).$

Also ändert eine reine Verschiebung die Abstände vom Erwartungswert nicht.

Begründung der Skalierung:

Bei $Y=aX$ gilt

$Y-E(Y)=aX-aE(X)=a(X-E(X)).$

Nach dem Quadrieren entsteht der Faktor $a^2$.

Transfer: Eine Umrechnung von Metern in Zentimeter multipliziert alle Werte mit $100$. Die Standardabweichung wird ebenfalls mit $100$ multipliziert; die Varianz mit $10000$.

Fehleranalyse

Fehler 1: $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-E(X)$

Korrektur:

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2.$

Fehler 2: Die Standardabweichung kann negativ sein, weil Abweichungen negativ sein können.

Korrektur: Varianz ist eine Summe gewichteter Quadrate und daher nichtnegativ. Die Standardabweichung ist die nichtnegative Quadratwurzel.

Fehler 3: Bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch $n-1$ geteilt.

Korrektur: Hier wird die Varianz einer diskreten Zufallsgröße aus ihrer gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet. Die Formel mit $n-1$ gehört zur Schätzung einer Varianz aus Stichprobendaten und ist ein anderer Kontext.

Fehler 4: Große Standardabweichung bedeutet großer Erwartungswert.

Korrektur: Lage und Streuung sind unterschiedliche Eigenschaften. Verteilungen können denselben Erwartungswert und verschiedene Standardabweichungen besitzen.

Fehler 5: $\sigma =2$ bedeutet, dass alle Werte höchstens zwei Einheiten vom Erwartungswert entfernt sind.

Korrektur: Die Standardabweichung ist ein Streuungsmaß, keine harte Schranke.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A: Direkte Berechnung

$X$ nehme die Werte $-1,1,4$ mit den Wahrscheinlichkeiten $\mathrm{0,25}$, $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,25}$ an.

1. Berechne $E(X)$.
2. Berechne $E(X^2)$.
3. Bestimme Varianz und Standardabweichung.
4. Deute das Ergebnis in einem Satz.

Hilfe

Nutze nacheinander $E(X)=\sum x_i{p}_i$, $E(X^2)=\sum x_i^2{p}_i$, $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$.

Feedback

$E(X)=\mathrm{1,25}$, $E(X^2)=\mathrm{4,75}$, $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\mathrm{3,1875}$, $\sigma \approx \mathrm{1,785}$.

Übung B: Verteilungen vergleichen

Verteilung A legt fast die gesamte Wahrscheinlichkeit nahe bei $\mu$. Verteilung B legt einen erheblichen Anteil weit weg von $\mu$. Beide besitzen denselben Erwartungswert.

Aufgabe: Begründe ohne vollständige Rechnung, welche Verteilung voraussichtlich die größere Varianz besitzt. Berechne anschließend zur Kontrolle.

Feedback

Entscheidend sind die gewichteten quadrierten Abstände $(x_i-\mu {)}^2{p}_i$. Große Abstände können die Varianz stark erhöhen.

Übung C: Parameterwirkung bei Binomialverteilungen

Für $X\sim B(80,p)$ vergleiche $p=\mathrm{0,1}$, $p=\mathrm{0,5}$ und $p=\mathrm{0,9}$.

1. Berechne jeweils $\mu$ und $\sigma$.
2. Vergleiche die Histogramme im GeoGebra-Modell.
3. Begründe die Symmetrie der Streuung zwischen $p$ und $1-p$.

Feedback

Für $p$ und $1-p$ ist $p(1-p)$ gleich. Deshalb stimmen Varianz und Standardabweichung überein, obwohl die Erwartungswerte verschieden sind.

Vergleichssimulation

Nutze das interaktive Binomialmodell und führe folgende Beobachtungsreihe durch:

1. Fixiere $n=100$.
2. Stelle nacheinander $p=\mathrm{0,1}$, $\mathrm{0,3}$, $\mathrm{0,5}$, $\mathrm{0,7}$ und $\mathrm{0,9}$ ein.
3. Notiere jeweils $\mu$ und $\sigma$.
4. Beschreibe die Verschiebung des Histogramms.
5. Beschreibe die Veränderung seiner Breite.
6. Formuliere eine allgemeine Aussage über die Streuung bei festem $n$.

Datenschutz: Verwende nur simulierte oder anonymisierte Daten. Für diese Lernaufgabe sind keine personenbezogenen Daten nötig.

Transfer: Von diskret zu kontinuierlich

Varianz und Standardabweichung sind nicht auf diskrete Verteilungen beschränkt. Bei kontinuierlichen Modellen haben sie dieselbe Grundidee: Lage und Streuung werden getrennt beschrieben.

Die Grafik veranschaulicht die 68-95-99,7-Regel einer Normalverteilung. Sie ist unter CC BY-SA 4.0 veröffentlicht. Die Regel darf nicht ungeprüft auf beliebige diskrete Verteilungen übertragen werden.

Wichtig: Die bekannte Sigma-Regel der Normalverteilung ist keine Definition der Standardabweichung. Für beliebige diskrete Verteilungen kann die Wahrscheinlichkeitsmasse innerhalb von $\mu \pm \sigma$ deutlich anders verteilt sein.

Selbstkontrolle

Prüfe jede Aussage mit richtig oder falsch und begründe kurz.

1. Eine Varianz kann negativ sein.
2. Eine Standardabweichung besitzt dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße.
3. Zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert müssen dieselbe Standardabweichung besitzen.
4. Eine Verschiebung aller Werte um $5$ verändert die Varianz nicht.
5. Eine Verdopplung aller Werte vervierfacht die Varianz.
6. Für $X\sim B(n,p)$ ist bei festem $n$ die Varianz bei $p=\mathrm{0,5}$ maximal.

Lösung

Falsch, richtig, falsch, richtig, richtig, richtig.

Kompetenzcheck

Du bist abiturfest in diesem Teilbereich, wenn Du ohne Musterlösung

1. aus einer gegebenen diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung $E(X)$, $E(X^2)$, Varianz und Standardabweichung korrekt berechnest;
2. zwischen Varianz und Standardabweichung einschließlich Einheiten unterscheiden kannst;
3. Histogramme hinsichtlich Lage und Streuung vergleichst;
4. eine größere Standardabweichung nicht mit einem größeren Erwartungswert verwechselst;
5. die Kurzformel $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ begründen oder aus der Definition nachvollziehen kannst;
6. für Binomialverteilungen die Parameterwirkung auf $\mu$ und $\sigma$ erläuterst;
7. Ergebnisse im Sachkontext interpretierst und rechnerisch wie grafisch plausibilisierst.

Reflexion

1. Welche Darstellung hilft Dir stärker beim Verständnis von Streuung: Formel, Tabelle oder Histogramm? Begründe.
2. An welcher Stelle eines Rechenwegs ist ein Einheitencheck besonders hilfreich?
3. Woran würdest Du eine mathematisch plausible, aber inhaltlich falsche KI-Antwort erkennen?
4. Welche Information über eine Verteilung fehlt, wenn nur ihr Erwartungswert genannt wird?
5. Warum ist es im Leistungsfach wichtig, ein Verfahren selbst auszuwählen und nicht nur eine vorgegebene Formel einzusetzen?

Folgekurs

Vertiefe anschließend

1. Binomialverteilungen unter Abiturbedingungen
2. Standardabweichung interpretieren
3. Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung
4. Normalverteilung und Sigma-Umgebungen
5. Hypothesentests mit Binomialverteilungen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was misst die Varianz einer diskreten Zufallsgröße? (Die gewichtete mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert) (!Den größten möglichen Abstand vom Erwartungswert) (!Nur den Erwartungswert der Zufallsgröße) (!Die Wahrscheinlichkeit des häufigsten Wertes)

Welche Formel ist für die Varianz korrekt? (Varianz gleich Erwartungswert von X Quadrat minus Quadrat des Erwartungswertes) (!Varianz gleich Erwartungswert von X Quadrat minus Erwartungswert von X) (!Varianz gleich Quadratwurzel aus dem Erwartungswert) (!Varianz gleich Erwartungswert plus Standardabweichung)

Welche Einheit besitzt die Standardabweichung? (Die gleiche Einheit wie die Zufallsgröße) (!Immer eine quadrierte Einheit) (!Keine Einheit) (!Immer Prozent)

Was gilt für die Varianz? (Sie ist immer größer oder gleich null) (!Sie ist immer strikt größer als null) (!Sie kann beliebig negativ sein) (!Sie ist immer kleiner als der Erwartungswert)

Was passiert mit der Varianz, wenn zu allen Werten dieselbe Konstante addiert wird? (Sie bleibt unverändert) (!Sie steigt um diese Konstante) (!Sie sinkt um diese Konstante) (!Sie wird immer null)

Was geschieht mit der Standardabweichung, wenn alle Werte mit drei multipliziert werden? (Sie wird mit drei multipliziert) (!Sie wird mit neun multipliziert) (!Sie bleibt unverändert) (!Sie wird durch drei geteilt)

Welche Varianz besitzt eine binomialverteilte Zufallsgröße? (n mal p mal eins minus p) (!n mal p) (!n plus p) (!p mal eins minus n)

Wann ist bei festem n die Varianz einer Binomialverteilung maximal? (Bei p gleich 0 Komma 5) (!Bei p gleich 0) (!Bei p gleich 1) (!Bei jedem p gleich groß)

Was folgt aus gleichem Erwartungswert zweier Verteilungen? (Über ihre Streuung folgt daraus noch nichts) (!Ihre Varianzen sind automatisch gleich) (!Ihre Histogramme sind identisch) (!Ihre Standardabweichungen sind null)

Was fordert der Facherlass 2027 im Leistungsfach zu Varianz und Standardabweichung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen? (Berechnung mittels Formel und Verständnis der Kenngröße) (!Nur das Auswendiglernen der Begriffe) (!Nur eine graphische Skizze ohne Berechnung) (!Ausschließlich die Normalverteilung)

Memory

Erwartungswert	Lagezentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung
Varianz	gewichtete quadratische Abweichung
Standardabweichung	Quadratwurzel der Varianz
Histogramm	grafische Darstellung einer Verteilung
Binomialverteilung	Modell für Trefferzahlen einer Bernoulli-Kette
Verschiebung	verändert die Streuung nicht
Skalierung	verändert die Varianz quadratisch

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Erwartungswert	Lage
Varianz	quadratische Streuung
Standardabweichung	Streuung in Originaleinheit
Verschiebung	unveränderte Varianz
Skalierung	quadratischer Varianzfaktor

Kreuzworträtsel

Varianz	Welche Kenngröße ist das Quadrat der Standardabweichung?
Streuung	Welcher Begriff beschreibt die Verteilung der Werte um ihre Lage?
Histogramm	Welche grafische Darstellung zeigt Wahrscheinlichkeitsmassen als Säulen?
Erwartungswert	Wie heißt das Lagezentrum einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Binomial	Welcher Verteilungstyp entsteht aus einer Bernoulli-Kette?
Quadratwurzel	Welche Operation führt von der Varianz zur Standardabweichung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Erwartungswert beschreibt vor allem die einer Verteilung. Die Varianz misst gewichtete Abweichungen vom Erwartungswert. Die Standardabweichung ist die der Varianz. Sie besitzt dieselbe wie die Zufallsgröße. Für eine Binomialverteilung gilt für die Varianz . Eine Verschiebung aller Werte um eine Konstante verändert die nicht. Werden alle Werte mit einem Faktor multipliziert, wird die Varianz mit dem dieses Faktors multipliziert. Im Abitur 2027 werden neben der Berechnung auch das der Kenngrößen vorausgesetzt. Ein Histogramm hilft, Lage und gleichzeitig zu beurteilen. KI-Ausgaben müssen mathematisch werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Histogramm zeichnen: Erstelle zu einer kleinen diskreten Verteilung ein Säulendiagramm und markiere den Erwartungswert.
2. Streuung beschreiben: Formuliere für zwei selbst gewählte Verteilungen mit gleichem Erwartungswert einen sprachlichen Vergleich ihrer Streuung.
3. Einheitencheck: Sammle fünf reale Größen und gib jeweils die Einheit der Varianz und der Standardabweichung an.
4. Fehlerkarte: Gestalte eine Lernkarte zu einem typischen Fehler bei der Varianzberechnung mit falschem und korrigiertem Rechenweg.

Standard

1. Vergleichssimulation: Nutze ein dynamisches Binomial-Histogramm und dokumentiere, wie sich $\mu$ und $\sigma$ bei verändertem $p$ verhalten.
2. Modellieren: Entwickle eine eigene diskrete Zufallsgröße aus einem Alltagsexperiment und bestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du nicht nur die Formel, sondern die Bedeutung der quadrierten Abweichungen erklärst.
4. KI-Prüfung: Lass ein KI-System eine Varianzaufgabe lösen und überprüfe jeden Rechenschritt selbstständig. Dokumentiere mindestens einen möglichen Prüfpunkt.

Schwer

1. Beweis zur Verschiebung: Beweise formal, dass $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X+b)=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ gilt.
2. Beweis zur Skalierung: Beweise formal $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(aX)=a^2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ und leite daraus die Formel für die Standardabweichung ab.
3. Optimierung der Binomialstreuung: Zeige für festes $n$, dass die Varianz $np(1-p)$ bei $p=\mathrm{0,5}$ maximal ist.
4. Abituraufgabe entwerfen: Entwickle eine mehrschrittige Leistungsfach-Aufgabe mit Modellwahl, Rechnung, Histogramminterpretation und einer Begründungsaufgabe. Erstelle einen Erwartungshorizont.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl: Eine diskrete Verteilung ist tabellarisch gegeben. Entscheide begründet, ob Du die Definitionsformel oder die Kurzformel der Varianz verwendest, und führe die Rechnung durch.
2. Vergleich ohne Vollrechnung: Zwei Histogramme besitzen denselben Erwartungswert. Begründe zunächst visuell, welches die größere Standardabweichung erwarten lässt, und überprüfe anschließend rechnerisch.
3. Modellkritik: Beurteile die Aussage „Eine Standardabweichung von 3 bedeutet, dass alle Werte höchstens 3 Einheiten vom Erwartungswert entfernt sind“.
4. Parameteranalyse: Untersuche bei einer Binomialverteilung getrennt den Einfluss von $n$ und $p$ auf Erwartungswert und Standardabweichung.
5. Transformation: Eine Zufallsgröße wird durch $Y=-2X+7$ transformiert. Leite aus den Eigenschaften von Varianz und Standardabweichung ab, wie sich die Streuung verändert.
6. Transfer: Entwickle zwei unterschiedliche diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit demselben Erwartungswert, aber deutlich verschiedener Varianz, und begründe Deine Konstruktion.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du berechnest Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung fehlerfrei aus einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung.
2. Du beherrschst sowohl die Definitionsformel als auch die Kurzformel der Varianz.
3. Du deutest die Standardabweichung im Sachkontext und gibst Einheiten korrekt an.
4. Du vergleichst Verteilungen anhand von Histogramm, Lage und Streuung.
5. Du nutzt bei Binomialverteilungen $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=np(1-p)$ und $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ sachgerecht.
6. Du begründest die Wirkung von Verschiebung und Skalierung auf die Streuungsmaße.
7. Du erkennst typische Fehlvorstellungen und kannst sie mathematisch widerlegen.
8. Du prüfst digitale oder KI-gestützte Ergebnisse eigenständig auf mathematische Richtigkeit.
9. Du kannst ein mehrschrittiges Modellierungsproblem selbstständig strukturieren und das verwendete Verfahren begründen.

OERs zum Thema

Freie Medien in diesem aiMOOC:

1. – Wikimedia Commons, gemeinfrei.
2. – Wikimedia Commons, CC0.
3. – Wikimedia Commons, gemeinfrei.
4. – Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0.

Verknüpfte Lernbereiche

Varianz und Standardabweichung Diskrete Zufallsgröße Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert Varianz Standardabweichung Histogramm Binomialverteilung Normalverteilung Stochastik