ABI LF - Spiegelungen und geometrische Probleme mit Ebenen lösen

Einleitung

ABI LF - Spiegelungen und geometrische Probleme mit Ebenen lösen

Mini-Beschreibung: Bearbeite Spiegelungen von Punkten an Ebenen und weitere räumliche Modellierungsprobleme mithilfe von Vektoren, Lotgeraden und Schnittpunkten.

Zielgruppe: Mathematik-Leistungsfach, gymnasiale Oberstufe, Baden-Württemberg. Der Kurs trainiert vor allem Analytische Geometrie, Vektorrechnung, Ebenen, Geraden, Normalenvektoren und Orthogonalprojektionen.

Das zentrale Bild ist einfach: Vom Punkt $P$ führt die Lotgerade senkrecht zur Ebene $E$. Ihr Schnittpunkt $F$ mit $E$ ist der Lotfußpunkt. Der Spiegelpunkt $P^{\prime }$ liegt auf derselben Geraden, und $F$ ist Mittelpunkt von $\overline{P{P}^{\prime }}$.

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Prüfungsbezug 2027: Für das Leistungsfach gelten der Bildungsplan 2016 und der Facherlass zur Abiturprüfung 2027. Im schriftlichen Abitur 2027 sind „Beweise mit Vektoren“ ausdrücklich nicht Prüfungsgegenstand. Präzise Begründungen, Kontrollen und mehrschrittiges Modellieren bleiben dennoch wesentlich. Die Bearbeitungszeit beträgt 300 Minuten; Teil A wird ohne Formelsammlung und WTR bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben. Danach stehen die für Teil B zugelassenen Hilfsmittel zur Verfügung. Übungswerkzeuge wie GeoGebra sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel.

Offizielle Informationen zum Abitur Baden-Württemberg

Facherlass Abitur 2027

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Lotgeraden zu Ebenen sicher aufstellen und Schnittpunkte berechnen.
2. Punkte an Ebenen spiegeln und das Ergebnis geometrisch kontrollieren.
3. zwischen Lotfußpunkt $F$ und Spiegelpunkt $P^{\prime }$ unterscheiden.
4. die direkte Spiegelungsformel herleiten und anwenden.
5. räumliche Modellierungsprobleme mit Ebenen, Geraden und Spiegelungen in Teilprobleme zerlegen.
6. Ergebnisse mit Kontrollbedingungen, 3D-Modellen und geeigneter Software prüfen.
7. Rechenwege fachsprachlich begründen und fehlerhafte Lösungen analysieren.

Vorwissen-Check

Du solltest sicher mit Vektoren, Skalarprodukt, Ebenengleichungen und Geraden umgehen können.

Kurzer Check: Ergänze die passenden mathematischen Objekte.

Aus $E:2x_1-x_2+3x_3=7$ liest Du einen Normalenvektor ab.

Eine Gerade durch $P$ senkrecht zu $E$ verwendet diesen Normalenvektor als .

Der Schnitt dieser Geraden mit $E$ heißt .

Das Grundverfahren

Schritt 1: Normalenvektor erkennen

Für eine Ebene

$E:a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=d$

ist

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$

ein Normalenvektor.

Schritt 2: Lotgerade durch den Punkt

Für $P(p_1|p_2|p_3)$ lautet die Lotgerade

$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{n}$.

Sie steht senkrecht auf $E$.

Schritt 3: Lotfußpunkt bestimmen

Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein. Der erhaltene Parameter $t_F$ liefert

$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{p}+t_F\overrightarrow{n}$.

Schritt 4: Spiegelpunkt berechnen

Weil $F$ der Mittelpunkt von $P$ und $P^{\prime }$ ist, gilt

$\overrightarrow{f}=\frac{\overrightarrow{p}+{\overrightarrow{p}}^{\prime }}{2}$

und damit

${\overrightarrow{p}}^{\prime }=2\overrightarrow{f}-\overrightarrow{p}$.

Kontrollidee: Erst wenn $F\in E$ gilt und $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ parallel zu $\overrightarrow{n}$ ist, passt die Konstruktion geometrisch.

Direkte Spiegelungsformel

Für

$E:\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{x}=d$

und den Ortsvektor $\overrightarrow{p}$ von $P$ gilt

${\overrightarrow{p}}^{\prime }=\overrightarrow{p}-2\cdot \frac{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{p}-d}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n}}\overrightarrow{n}$.

Die Formel ist kein Ersatz für das Verständnis des Lotgeradenverfahrens. Im Abitur ist es oft günstiger, ein Verfahren zu wählen, das Du sicher begründen und kontrollieren kannst.

Interaktives 3D-Kontrollmodell

Bewege im folgenden Modell Punkt, Ebene und Lotfußpunkt. Achte darauf, was invariant bleibt: Der Lotfußpunkt liegt stets in der Ebene, und die Verbindung von Urbild und Spiegelbild ist normal zur Ebene.

Arbeitsauftrag:

1. Verändere den Ausgangspunkt.
2. Beobachte Lotgerade, Lotfußpunkt und Spiegelpunkt.
3. Formuliere zwei geometrische Eigenschaften, die bei jeder Lage erhalten bleiben.
4. Prüfe anschließend eine selbst berechnete Spiegelung im Modell.

Interaktives Beispiel

Gegeben seien

$E:2x_1+x_2-x_3=4$

und

$P(-3|0|2)$.

1. Normalenvektor

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

2. Lotgerade

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right)$

3. Schnitt mit der Ebene

Einsetzen liefert

$2(-3+2t)+t-(2-t)=4$

und damit

$6t=12$

also

$t=2$.

4. Lotfußpunkt

$F(1|2|0)$.

5. Spiegelpunkt

${\overrightarrow{p}}^{\prime }=2\overrightarrow{f}-\overrightarrow{p}$

und damit

$P^{\prime }(5|4|-2)$.

6. Kontrolle

$\frac{\overrightarrow{p}+{\overrightarrow{p}}^{\prime }}{2}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\overrightarrow{f}$.

Außerdem gilt $F\in E$.

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Dynamische Geometrie: selbst konstruieren

Nutze den GeoGebra-3D-Rechner als Kontrollmodell. Ersetze die Beispielwerte durch eigene Daten.

Gib nacheinander geeignete Objekte für $E$, $P$, die Lotgerade, den Lotfußpunkt und den Spiegelpunkt ein.

Kontrollfragen:

1. Liegt der Lotfußpunkt wirklich in der Ebene?
2. Ist die Lotgerade parallel zu einem Normalenvektor?
3. Haben $P$ und $P^{\prime }$ denselben Abstand von $E$?
4. Ist $F$ Mittelpunkt von $\overline{P{P}^{\prime }}$?

Leistungsfach-Vertiefung

Spiegelung einer Geraden an einer Ebene

Eine Gerade wird durch zwei verschiedene Punkte bestimmt. Für

$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+r\overrightarrow{u}$

kannst Du zwei Punkte $A$ und $B$ auf $g$ wählen, beide an $E$ spiegeln und die Bildgerade durch $A^{\prime }$ und $B^{\prime }$ aufstellen.

Sonderfall: Schneidet $g$ die Spiegelebene in $S$, bleibt $S$ bei der Spiegelung fest.

Spiegelung einer räumlichen Figur

Für ein Dreieck oder einen Körper spiegelst Du genügend charakteristische Punkte. Danach verbindest Du die Bildpunkte entsprechend der ursprünglichen Struktur.

Modellierungsidee: Statt sofort zu rechnen, entscheide zuerst:

1. Welche Punkte bestimmen das Objekt?
2. Welche Punkte liegen bereits in der Spiegelebene?
3. Welche Bildpunkte müssen wirklich berechnet werden?
4. Welche Symmetrien sparen Rechenarbeit?

Spiegelung als affine Abbildung

Für eine durch den Ursprung verlaufende Ebene mit Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ lässt sich die Spiegelung auch als lineare Abbildung beschreiben. Für beliebige Ebenen kommt eine Translation hinzu.

Dieses Modell ist besonders geeignet, um Zusammenhänge zwischen Matrizen, linearen Abbildungen und räumlicher Geometrie zu untersuchen.

Hinweis fürs Leistungsfach: Diese Vertiefung fördert Strukturverständnis. Für die schriftliche Abiturprüfung 2027 sind „Beweise mit Vektoren“ laut Facherlass nicht Gegenstand der Prüfung.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Punkt spiegeln

Gegeben sind

$E:x_1-2x_2+2x_3=5$

und

$P(4|1|3)$.

Bestimme $P^{\prime }$.

Hilfe 1: Verwende $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ als Richtungsvektor einer Lotgeraden.

Hilfe 2: Bestimme zuerst den Lotfußpunkt $F$. Berechne erst danach $P^{\prime }$.

Feedback/Kontrolle: Dein Ergebnis ist nur plausibel, wenn der Mittelpunkt von $P$ und $P^{\prime }$ in $E$ liegt und die Verbindungsrichtung parallel zu $\overrightarrow{n}$ ist.

Übung 2: Verfahren wählen

Gegeben sind

$E:3x_1+4x_3=12$

und

$Q(5|-2|1)$.

Löse die Spiegelung auf zwei Wegen:

1. Lotgerade und Lotfußpunkt.
2. Direkte Spiegelungsformel.

Vergleiche anschließend Rechenaufwand und Fehlerrisiko.

Übung 3: Modellierung

Eine ebene Glasfassade wird durch

$E:2x_1-x_2+2x_3=8$

modelliert. Ein Sensor befindet sich in

$S(6|1|5)$.

Bestimme die Lage des gespiegelten Sensorpunkts $S^{\prime }$. Erkläre anschließend, welche geometrische Bedeutung die Strecke $\overline{S{S}^{\prime }}$ besitzt.

Fehleranalyse

Prüfe jede Aussage und korrigiere sie fachlich.

1. Fehler A: „Der Lotfußpunkt ist schon der Spiegelpunkt.“ — Falsch. Der Lotfußpunkt ist der Mittelpunkt zwischen Urbild und Spiegelbild.
2. Fehler B: „Für die Lotgerade darf irgendein Richtungsvektor verwendet werden.“ — Falsch. Er muss parallel zu einem Normalenvektor der Ebene sein.
3. Fehler C: „Wenn das Softwarebild symmetrisch aussieht, ist die Rechnung bewiesen.“ — Falsch. Eine Visualisierung ist eine Kontrolle, kein mathematischer Nachweis.
4. Fehler D: „Ein negatives Vielfaches des Normalenvektors ist falsch.“ — Falsch. Auch $-\overrightarrow{n}$ ist ein Normalenvektor.
5. Fehler E: „KI-Ausgabe und CAS-Ergebnis kann man ungeprüft übernehmen.“ — Falsch. Prüfe mindestens Einsetzen, Mittelpunkt und Orthogonalität.

Selbstkontrolle

Bevor Du eine Spiegelungsaufgabe abschließt, kontrolliere:

1. $F\in E$.
2. $\overrightarrow{PF}$ ist parallel zu $\overrightarrow{n}$.
3. $\overrightarrow{f}=\frac{\overrightarrow{p}+{\overrightarrow{p}}^{\prime }}{2}$.
4. $d(P,E)=d(P^{\prime },E)$.
5. Der Rechenweg beantwortet genau die gestellte Modellierungsfrage.

Transfer

Situation: Ein virtueller Punkt $L$ soll an einer ebenen Projektionsfläche gespiegelt werden. Anschließend soll eine Gerade vom Spiegelpunkt zu einem Beobachtungspunkt $B$ gelegt werden. Ihr Schnittpunkt mit der Ebene modelliert einen geometrisch relevanten Auftreffpunkt.

Vorgehen:

1. Spiegele $L$ an $E$ zu $L^{\prime }$.
2. Stelle die Gerade durch $L^{\prime }$ und $B$ auf.
3. Schneide diese Gerade mit $E$.
4. Prüfe, ob der Schnittpunkt im gewünschten Bereich der modellierten Fläche liegt.

Damit wird aus einer Spiegelung eine mehrschrittige Modellierungsaufgabe aus Spiegelung, Gerade-Ebene-Schnitt und Plausibilitätsprüfung.

Kompetenzcheck

Bewerte Dich selbst mit sicher – teilweise – noch unsicher.

1. Ich erkenne aus einer Koordinatengleichung einen geeigneten Normalenvektor.
2. Ich stelle eine Lotgerade durch einen gegebenen Punkt auf.
3. Ich berechne den Schnittpunkt von Gerade und Ebene sicher.
4. Ich kann den Spiegelpunkt mit ${\overrightarrow{p}}^{\prime }=2\overrightarrow{f}-\overrightarrow{p}$ bestimmen.
5. Ich kann eine fehlerhafte Lösung mit geometrischen Kontrollbedingungen widerlegen.
6. Ich kann in einer komplexeren Aufgabe selbst entscheiden, ob Spiegelung, Schnitt oder Abstand zuerst benötigt wird.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Kontrolle findest Du am schnellsten: Einsetzen, Mittelpunkt oder Richtungsvergleich?
2. An welcher Stelle entstehen bei Dir die meisten Vorzeichenfehler?
3. Wann hilft Dir ein 3D-Modell, und wann kann es Dich durch eine ungünstige Perspektive täuschen?
4. Welchen Teil würdest Du auch ohne digitale Hilfsmittel sicher bearbeiten?

Folgekurs

Sinnvolle nächste Themen sind ABI LF - Abstände, Winkel und Lagebeziehungen im Raum, Abstand Punkt Ebene, Winkel zwischen Gerade und Ebene, Schnittgerade zweier Ebenen und Räumliche Modellierung mit Vektoren.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene 2x1 plus x2 minus x3 gleich 4? (2 1 -1) (!1 2 -1) (!2 -1 1) (!-2 1 1)

Welchen Richtungsvektor verwendet eine Lotgerade zu einer Ebene? (Einen Normalenvektor der Ebene) (!Einen beliebigen Vektor) (!Einen Ortsvektor des Punktes) (!Einen Vektor innerhalb der Ebene)

Welche Rolle spielt der Lotfußpunkt bei einer Punktspiegelung an einer Ebene? (Er ist Mittelpunkt zwischen Urbild und Spiegelbild) (!Er ist immer der Ursprung) (!Er ist der Spiegelpunkt) (!Er ist ein Normalenvektor)

Welche Beziehung liefert den Spiegelpunkt aus Urbild und Lotfußpunkt? (p Strich gleich 2f minus p) (!p Strich gleich f minus p) (!p Strich gleich p plus f) (!p Strich gleich 2p minus f)

Welche Kontrolle ist für eine korrekte Spiegelung besonders geeignet? (Der Mittelpunkt von Urbild und Spiegelbild liegt in der Ebene) (!Urbild und Spiegelbild haben immer gleiche Koordinaten) (!Der Spiegelpunkt liegt immer im Ursprung) (!Die Lotgerade liegt vollständig in der Ebene)

Was passiert bei der Spiegelung mit einem Punkt, der bereits in der Spiegelebene liegt? (Er bleibt unverändert) (!Er wird zum Ursprung) (!Er wird ins Unendliche verschoben) (!Er wird auf den Normalenvektor abgebildet)

Welcher Ausdruck steht im Nenner der direkten Spiegelungsformel? (Das Skalarprodukt des Normalenvektors mit sich selbst) (!Der Abstand des Punkts vom Ursprung) (!Die Summe der Punktkoordinaten) (!Der Geradenparameter)

Wie kann eine Gerade an einer Ebene gespiegelt werden? (Zwei verschiedene Punkte der Geraden spiegeln und ihre Bildpunkte verbinden) (!Nur den Richtungsvektor verdoppeln) (!Nur einen Punkt spiegeln und die alte Gerade übernehmen) (!Die Ebenengleichung negieren)

Welche Aussage zu GeoGebra im Abitur ist richtig? (Ein Übungswerkzeug ist nicht automatisch als Prüfungshilfsmittel zugelassen) (!GeoGebra ist in jedem Prüfungsteil automatisch erlaubt) (!Jede Online-App ist im Abitur zulässig) (!Digitale Hilfsmittel ersetzen die Begründung)

Wie solltest Du ein von einer KI berechnetes Spiegelungsergebnis behandeln? (Mathematisch prüfen und geometrisch kontrollieren) (!Ohne Kontrolle übernehmen) (!Nur nach dem Aussehen beurteilen) (!Als Beweis verwenden)

Memory

Normalenvektor	senkrechte Richtung zur Ebene
Lotgerade	Gerade durch den Punkt in Normalenrichtung
Lotfußpunkt	Schnittpunkt von Lotgerade und Ebene
Spiegelpunkt	Bildpunkt auf der anderen Seite der Ebene
Mittelpunktbedingung	Lotfußpunkt halbiert die Strecke zwischen Urbild und Bild
Orthogonalprojektion	senkrechte Abbildung auf eine Ebene

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Normalenvektor	liefert die Richtung der Lotgeraden
Lotgerade	führt vom Punkt senkrecht zur Ebene
Schnittpunkt	entsteht beim Schneiden von Lotgerade und Ebene
Lotfußpunkt	ist Mittelpunkt zwischen Urbild und Spiegelbild
Spiegelpunkt	liegt auf der gegenüberliegenden Seite der Ebene

Kreuzworträtsel

Normalenvektor	Welcher Vektor steht senkrecht auf einer Ebene?
Lotgerade	Welche Gerade führt senkrecht von einem Punkt zur Ebene?
Schnittpunkt	Wie heißt ein gemeinsamer Punkt von Gerade und Ebene?
Lotfußpunkt	Wie heißt die orthogonale Projektion eines Punktes auf eine Ebene?
Spiegelpunkt	Wie heißt das Bild eines Punktes bei einer Spiegelung?
Skalarprodukt	Welche Rechenoperation hilft beim Prüfen von Orthogonalität?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Aus der Koordinatengleichung einer Ebene kann ein direkt abgelesen werden.

Die Lotgerade durch einen Punkt besitzt diesen Vektor als .

Der Schnitt von Lotgerade und Ebene heißt .

Bei der Spiegelung ist der Lotfußpunkt der zwischen Urbild und Bild.

Der Spiegelpunkt kann mit der Beziehung p Strich gleich zwei f minus p werden.

Eine wichtige Kontrolle besteht darin, den Lotfußpunkt in die einzusetzen.

Ein dynamisches 3D-Modell unterstützt die .

Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. 3D-Skizze erstellen: Zeichne Punkt, Ebene, Lotgerade, Lotfußpunkt und Spiegelpunkt in einer räumlichen Skizze und markiere die rechten Winkel.
2. Eigene Spiegelungsaufgabe: Erfinde eine Ebene in Koordinatenform und einen Punkt außerhalb der Ebene. Berechne den Spiegelpunkt und kontrolliere ihn.
3. Fehlerkarte gestalten: Erstelle eine Lernkarte mit drei typischen Fehlern beim Spiegeln an Ebenen und jeweils einer passenden Kontrolle.
4. GeoGebra-Kontrolle: Baue Deine eigene Rechnung im 3D-Rechner nach und dokumentiere zwei Beobachtungen.

Standard

1. Zwei Lösungswege vergleichen: Löse dieselbe Spiegelungsaufgabe mit Lotgerade und direkter Formel. Vergleiche Rechenaufwand und Fehleranfälligkeit.
2. Gerade spiegeln: Wähle zwei Punkte einer Geraden, spiegele beide an einer Ebene und bestimme die Bildgerade.
3. Modell einer Glasfassade: Erfinde ein räumliches Fassadenmodell mit Ebene und Sensorpunkt. Formuliere und löse eine passende Spiegelungsfrage.
4. Erklärvideo planen: Produziere ein kurzes Erklärvideo oder Storyboard, das das Lotgeradenverfahren mit einer räumlichen Skizze nachvollziehbar macht.

Schwer

1. Spiegelung einer Figur: Modelliere ein Dreieck oder Tetraeder und bestimme sein Spiegelbild an einer geeigneten Ebene.
2. Verfahren selbst wählen: Entwickle eine mehrschrittige Aufgabe, in der Spiegelung und Gerade-Ebene-Schnitt kombiniert werden. Gib einen Erwartungshorizont an.
3. Lösungsbegründung prüfen: Analysiere zwei unterschiedliche Lösungen derselben Aufgabe und entscheide anhand mathematischer Kriterien, welche Schritte gültig sind.
4. Kontrollmodell entwickeln: Erstelle ein dynamisches GeoGebra-Modell mit verschiebbarem Punkt und überprüfbaren Bedingungen für Lotfußpunkt und Spiegelpunkt.

Lernkontrolle

1. Verfahrensentscheidung: Eine Ebene und ein Punkt sind gegeben. Begründe, ob Du für eine konkrete Aufgabe Lotgerade, direkte Formel oder ein anderes Verfahren wählen würdest. Führe die Rechnung durch und reflektiere Deine Wahl.
2. Fehlerdiagnose Spiegelpunkt: Zu einer vorgegebenen Rechnung ist ein falscher Spiegelpunkt angegeben. Finde den ersten fehlerhaften Schritt und widerlege das Ergebnis mit einer geometrischen Kontrolle.
3. Modellierungsproblem Fassade: Übersetze eine räumliche Beschreibung einer reflektierenden Fassadenfläche in ein Koordinatenmodell. Bestimme einen gespiegelten Punkt und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.
4. Gerade an Ebene spiegeln: Entwickle aus zwei geeigneten Punkten einer Geraden die Bildgerade. Begründe, warum zwei Bildpunkte ausreichen.
5. Plausibilitätsprüfung: Ein CAS liefert einen Spiegelpunkt. Prüfe unabhängig davon mit Mittelpunkt, Ebenenzugehörigkeit und Normalenrichtung, ob das Ergebnis korrekt ist.
6. Transferaufgabe: Kombiniere Spiegelung und Gerade-Ebene-Schnitt in einem eigenen räumlichen Problem und erläutere, welche Zwischenergebnisse geometrisch notwendig sind.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. aus einer Ebenengleichung einen Normalenvektor sicher bestimmst,
2. eine Lotgerade korrekt aufstellst,
3. Gerade und Ebene rechnerisch schneidest,
4. den Lotfußpunkt geometrisch interpretierst,
5. einen Spiegelpunkt berechnest und mit mindestens zwei Bedingungen kontrollierst,
6. ein mehrschrittiges räumliches Problem sinnvoll modellierst,
7. Rechenwege verständlich begründest,
8. digitale oder KI-gestützte Ergebnisse eigenständig mathematisch prüfst.

Im Lernnachweis zählen nachvollziehbare Mathematik, Fachsprache und Kontrolle stärker als ein bloßes Endergebnis.

OERs zum Thema

IQB-Abituraufgaben Mathematik

IQB-Beispielaufgabe auf erhöhtem Anforderungsniveau mit Punktspiegelung an einer Ebene

Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Analytische Geometrie

Medien- und Lizenzhinweise

Die eingebundenen Grafiken stammen von Wikimedia Commons. Die jeweiligen Dateiseiten dokumentieren Urheberschaft und Lizenz. Verwendet werden unter anderem CC-BY-SA-, CC0- und gemeinfreie Materialien.

1. Orthogonal Projection qtl5.svg: Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene.
2. Orthogonal Projection qtl2.svg: 3D-Orthogonalprojektion auf eine Ebene.
3. Normal vector.svg: Darstellung eines Normalenvektors.
4. Radius vector - position vector - ortsvektor - radijvektor.svg: Ortsvektor im Raum.
5. Distance-point-plane-3d.svg: Abstand zwischen Punkt und Ebene.

YouTube- und GeoGebra-Inhalte werden eingebettet und nicht neu hochgeladen. Prüfe bei Weiterverwendung die jeweiligen Plattform- und Lizenzangaben. Es werden keine personenbezogenen Daten für die Aufgaben benötigt.

Verknüpfte Lernbereiche

Analytische Geometrie Vektorrechnung Ebene Normalenvektor Lotgerade Orthogonalprojektion Spiegelung Gerade-Ebene-Schnitt Abstand Punkt Ebene Skalarprodukt