ABI LF - Gebrochen-rationale Funktionen in einfachen Fällen untersuchen

Kurzbeschreibung: Du untersuchst geeignete gebrochen-rationale Funktionen auf Definitionsmenge, Definitionslücken, Nullstellen, senkrechte und waagrechte Asymptoten sowie auf ihr Ableitungs- und Monotonieverhalten. Im Leistungsfach stehen begründete Rechenwege, Grenzwertargumente, Fehleranalyse und die selbstständige Wahl geeigneter Verfahren im Mittelpunkt.

Einleitung

Gebrochen-rationale Funktionen verbinden bekannte Werkzeuge aus Algebra, Differentialrechnung und Grenzwertbetrachtungen:

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$ mit $Q (x) \neq 0$ .

Die Leitfrage lautet nicht nur „Wie sieht der Graph aus?“, sondern:

Term → Definitionsmenge → Nullstellen → Asymptoten → Ableitung → Graph

Lernziele

Nach dem aiMOOC kannst Du

Definitionsmenge: Ausschlussstellen aus den Nullstellen des Nenners bestimmen.
Definitionslücke: hebbare Lücken und Polstellen sicher unterscheiden.
Nullstelle: Zählernullstellen nur dann als Nullstellen übernehmen, wenn sie im Definitionsbereich liegen.
Asymptote: senkrechte und waagrechte Asymptoten rechnerisch begründen.
Grenzwert: das Verhalten an Definitionslücken und für $x \to \pm \infty$ beschreiben.
Quotientenregel: Ableitungen gebrochen-rationaler Funktionen bestimmen und auswerten.
Monotonie: das Vorzeichen von $f^{'}$ auf den einzelnen Intervallen des Definitionsbereichs untersuchen.
Mathematisches Argumentieren: Graphen, Terme, Grenzwerte und Ableitungen zu einer nachvollziehbaren Begründung verbinden.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Stand: September 2026. Für den Prüfungsjahrgang Abitur 2027 im allgemein bildenden Gymnasium gilt im Leistungsfach Mathematik der Bildungsplan 2016 in der Fassung von 2024. Dort wird ausdrücklich verlangt, Graphen von Funktionen in einfachen Fällen auf waagrechte und senkrechte Asymptoten sowie Nullstellen zu untersuchen, wenn der Funktionsterm als Quotient bereits behandelter Funktionstypen gebildet werden kann.

Für die schriftliche Abiturprüfung 2027 sind laut aktuellem Facherlass 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit vorgesehen. Teil A wird ohne Hilfsmittel bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben. Erst danach stehen die zugelassene mathematisch-naturwissenschaftliche Formelsammlung des IQB und der eingeführte wissenschaftliche Taschenrechner zur Verfügung.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Mathematik Leistungsfach, Funktionaler Zusammenhang

Informationen des Kultusministeriums zum Abitur

Wichtig: GeoGebra, LearningApps, YouTube, CAS-Systeme und KI sind hier Übungswerkzeuge. Sie sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel. Maßgeblich ist immer der Facherlass Deines Prüfungsjahrgangs.

KI-Regel: Prüfe KI-Ausgaben rechnerisch und logisch. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine Begründung.

Vorwissen-Check

1. Faktorisiere: $x^{2} - 4$ .

Lösung: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .

2. Bestimme die Nullstellen von $P (x) = x^{2} - 1$ .

Lösung: $x = - 1$ und $x = 1$ .

3. Leite ab: $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

Lösung: $g^{'} (x) = 2 x + 3$ .

4. Ergänze den Grenzwert:

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = ?$

Lösung: $0$ .

Wenn Dir mindestens drei Aufgaben sicher gelingen, kannst Du direkt mit der Funktionsuntersuchung beginnen.

Kernidee: Vom Term zum Graphen

Für

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$

arbeitest Du in dieser Reihenfolge:

Definitionsmenge: Löse $Q (x) = 0$ und schließe diese Stellen zunächst aus.
Faktorisieren und kürzen: Prüfe gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner.
Definitionslücken klassifizieren: Entscheide zwischen hebbarer Lücke und Polstelle.
Nullstellen: Löse $P (x) = 0$ , aber kontrolliere den Definitionsbereich.
Asymptoten: Untersuche das Verhalten an Polstellen und für $x \to \pm \infty$ .
Ableitung: Bestimme $f^{'}$ und analysiere Vorzeichen, Monotonie und Extremstellen.
Plausibilitätskontrolle: Vergleiche Rechnung und Graph.

Dynamischer Grundgraph

Verändere die Parameter und beobachte, wie sich senkrechte und waagrechte Asymptoten verschieben.

Denkfrage: Welche Parameter verändern nur die Lage der Asymptoten, welche verändern zusätzlich den Verlauf der Hyperbel?

Definitionsmenge und Definitionslücken

Für

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$

gilt zunächst:

$D_{f} = {x \in ℝ ∣ Q (x) \neq 0}$ .

Eine Nennernullstelle ist nicht automatisch eine senkrechte Asymptote.

Betrachte lokal

$f (x) = \frac{(x - a)^{k} A (x)}{(x - a)^{m} B (x)}$

mit

$A (a) \neq 0$ und $B (a) \neq 0$ .

Dann gilt:

$k \geq m \Rightarrow$ hebbare Definitionslücke,

$k < m \Rightarrow$ Polstelle mit senkrechter Asymptote $x = a$ .

Beispiel 1: Hebbare Lücke

Gegeben:

$p (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

Schritt 1: Definitionsmenge

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

$D_{p} = ℝ ∖ {1}$ .

Schritt 2: Faktorisieren

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .

Für $x \neq 1$ gilt daher:

$p (x) = x + 1$ .

Schritt 3: Grenzwert

$lim_{x \to 1} p (x) = 2$ .

Bei $x = 1$ liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Der Graph entspricht der Geraden $y = x + 1$ mit einem fehlenden Punkt bei $(1 | 2)$ .

Wichtig: Durch das Kürzen wird $x = 1$ nicht nachträglich Teil des Definitionsbereichs der ursprünglichen Funktion.

Nullstellen

Für

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$

ist $x_{0}$ genau dann eine Nullstelle, wenn

$P (x_{0}) = 0$

und gleichzeitig

$Q (x_{0}) \neq 0$ .

Merksatz: Zähler null genügt nur, wenn die Stelle im Definitionsbereich liegt.

Senkrechte Asymptoten

Bleibt nach vollständigem Kürzen im Nenner der Faktor $x - a$ erhalten, liegt bei $x = a$ eine Polstelle vor.

Eine senkrechte Asymptote wird durch die Gerade

$x = a$

beschrieben.

Für eine genaue Beschreibung untersuchst Du die einseitigen Grenzwerte:

$lim_{x \to a^{-}} f (x)$

und

$lim_{x \to a^{+}} f (x)$ .

Bei gerader Polstellenordnung kann das Grenzverhalten auf beiden Seiten dasselbe Vorzeichen besitzen; bei ungerader Restordnung tritt typischerweise ein Vorzeichenwechsel auf.

Grenzverhaltensanimation

Nutze die Schieberegler für Polstelle, Vielfachheit sowie Zähler- und Nennergrad.

Arbeitsauftrag: Erzeuge zuerst eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel und danach eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Formuliere jeweils eine Vermutung über die Vielfachheit des verbleibenden Nennerfaktors.

Waagrechte Asymptoten

Für

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$

mit Polynomgraden $\deg P$ und $\deg Q$ gilt:

$\deg P < \deg Q \Rightarrow y = 0$

$\deg P = \deg Q \Rightarrow y = \frac{a_{n}}{b_{n}}$

wobei $a_{n}$ und $b_{n}$ die Leitkoeffizienten sind.

Für $\deg P > \deg Q$ gibt es keine waagrechte Asymptote.

Die Aussage wird durch Grenzwerte begründet:

$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L \Rightarrow y = L$ ist eine waagrechte Asymptote.

Achtung: Eine waagrechte Asymptote darf vom Graphen geschnitten werden.

Mini-Beispiel: Asymptote wird geschnitten

$r (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Da

$\deg P < \deg Q$ ,

ist $y = 0$ waagrechte Asymptote.

Gleichzeitig gilt

$r (0) = 0$ .

Der Graph schneidet also seine waagrechte Asymptote im Ursprung.

Interaktives Leitbeispiel

Untersuche

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ .

Schritt 1: Definitionsmenge

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$D_{f} = ℝ ∖ {2}$ .

Da kein gemeinsamer Faktor gekürzt werden kann, bleibt bei $x = 2$ eine Polstelle.

Schritt 2: Nullstelle

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$ .

Da $- 1 \in D_{f}$ , besitzt der Graph die Nullstelle

$N (- 1 | 0)$ .

Schritt 3: Senkrechte Asymptote

$x = 2$ .

Einseitige Grenzwerte:

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x - 2} = - \infty$

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 1}{x - 2} = + \infty$ .

Schritt 4: Waagrechte Asymptote

Zähler- und Nennergrad sind gleich und beide Leitkoeffizienten sind $1$ .

Damit:

$lim_{x \to \pm \infty} \frac{x + 1}{x - 2} = 1$ .

Die waagrechte Asymptote lautet

$y = 1$ .

Besonders anschaulich:

$f (x) = 1 + \frac{3}{x - 2}$ .

Schritt 5: Ableitung

Mit der Quotientenregel

$(\frac{u}{v}) = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

folgt:

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot (x - 2) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 2)^{2}}$

$f^{'} (x) = \frac{- 3}{(x - 2)^{2}}$ .

Für alle $x \in D_{f}$ gilt

$(x - 2)^{2} > 0$ ,

also

$f^{'} (x) < 0$ .

Folgerung:

$f$ ist auf $(- \infty, 2)$ streng fallend und auf $(2, \infty)$ streng fallend.

Präzision fürs Leistungsfach: Wegen der Definitionslücke darfst Du daraus nicht unkritisch „auf ganz $D_{f}$ streng fallend“ folgern. Die Monotonie wird auf den zusammenhängenden Definitionsintervallen untersucht.

Zweites Leitbeispiel: Zwei Polstellen und Ableitungsverhalten

Gegeben:

$h (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$ .

Definitionsmenge und Nullstellen

$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$

$D_{h} = ℝ ∖ {- 2, 2}$ .

Zähler:

$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .

Damit liegen Nullstellen bei

$x = - 1$ und $x = 1$ .

Asymptoten

Da keine Faktoren gekürzt werden:

$x = - 2$ und $x = 2$

sind senkrechte Asymptoten.

Da Zähler- und Nennergrad gleich sind und die Leitkoeffizienten beide $1$ sind:

$y = 1$

ist waagrechte Asymptote.

Ableitung und Vorzeichen

$h^{'} (x) = \frac{2 x (x^{2} - 4) - (x^{2} - 1) 2 x}{(x^{2} - 4)^{2}}$

$h^{'} (x) = \frac{- 6 x}{(x^{2} - 4)^{2}}$ .

Weil der Nenner im Definitionsbereich positiv ist, entscheidet allein $- 6 x$ über das Vorzeichen.

$x < 0 \Rightarrow h^{'} (x) > 0$

$x > 0 \Rightarrow h^{'} (x) < 0$ .

Daraus:

Auf $(- \infty, - 2)$ und $(- 2, 0)$ steigt $h$ .
Auf $(0, 2)$ und $(2, \infty)$ fällt $h$ .
Bei $x = 0$ liegt ein lokales Maximum mit $h (0) = \frac{1}{4}$ .

Ableitungsverhalten systematisch untersuchen

Für

$f (x) = \frac{P (x)}{Q (x)}$

gilt:

$f^{'} (x) = \frac{P^{'} (x) Q (x) - P (x) Q^{'} (x)}{Q (x)^{2}}$ .

Da

$Q (x)^{2} > 0$

für alle $x \in D_{f}$ , wird das Vorzeichen von $f^{'} (x)$ allein durch

$P^{'} (x) Q (x) - P (x) Q^{'} (x)$

bestimmt.

Das ist häufig die schnellste Strategie für eine Vorzeichentabelle.

Interaktive Übung mit sofortiger Graphkontrolle

Arbeitsauftrag: Bestimme zuerst ohne Graph Definitionsmenge, Nullstellen, Grenzverhalten und Asymptoten. Öffne die grafische Kontrolle erst danach.

Rechenweg als visuelle Schrittfolge

Beispiel:

$g (x) = \frac{2 x - 3}{x + 1}$

1. Nenner null:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$

2. Definitionsmenge:

$D_{g} = ℝ ∖ {- 1}$

3. Nullstelle:

$2 x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

4. Waagrechte Asymptote:

$\deg P = \deg Q \Rightarrow y = \frac{2}{1} = 2$

5. Umformen:

$g (x) = 2 - \frac{5}{x + 1}$

6. Ableitung:

$g^{'} (x) = \frac{5}{(x + 1)^{2}} > 0$

Ergebnis: Der Graph steigt auf beiden Definitionsintervallen, besitzt die senkrechte Asymptote $x = - 1$ und die waagrechte Asymptote $y = 2$ .

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A: Basisanalyse

Untersuche vollständig:

$f (x) = \frac{3}{x - 4}$ .

Bestimme Definitionsmenge, Nullstellen, senkrechte und waagrechte Asymptote sowie $f^{'}$ .

Hilfe: Es gibt keine Zählernullstelle. Schreibe für das Verhalten im Unendlichen direkt einen Grenzwert auf.

Feedback: $D_{f} = ℝ ∖ {4}$ , keine Nullstelle, senkrechte Asymptote $x = 4$ , waagrechte Asymptote $y = 0$ , $f^{'} (x) = - \frac{3}{(x - 4)^{2}} < 0$ .

Übung B: Lücke oder Polstelle?

Untersuche

$g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .

Hilfe: Faktorisiere den Zähler vollständig.

Feedback: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ . Für $x \neq 2$ gilt $g (x) = x + 2$ . Bei $x = 2$ liegt eine hebbare Lücke mit Grenzwert $4$ vor, keine senkrechte Asymptote.

Übung C: Leistungsfach

Untersuche

$k (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1}$

auf Definitionsmenge, Nullstellen, senkrechte und waagrechte Asymptoten, Ableitung und Monotonie.

Hilfe 1: Faktorisiere $x^{2} + 2 x = x (x + 2)$ und $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ .

Hilfe 2: Für die Ableitung erhältst Du nach dem Zusammenfassen im Zähler einen quadratischen Term.

Feedback: $D_{k} = ℝ ∖ {- 1, 1}$ , Nullstellen $x = - 2$ und $x = 0$ , senkrechte Asymptoten $x = - 1$ und $x = 1$ , waagrechte Asymptote $y = 1$ . Weiter gilt $k^{'} (x) = \frac{- 2 (x^{2} + x + 1)}{(x^{2} - 1)^{2}}$ . Da $x^{2} + x + 1 > 0$ für alle reellen $x$ , ist $k^{'} (x) < 0$ auf jedem Definitionsintervall.

Fehleranalyse

Fehler 1: „Nenner gleich null bedeutet immer Polstelle.“

Korrektur: Erst vollständig faktorisieren und kürzen. Ein vollständig verschwindender gemeinsamer Faktor kann zu einer hebbaren Lücke führen.

Fehler 2: „Jede Zählernullstelle ist eine Nullstelle der Funktion.“

Korrektur: Die Stelle muss im Definitionsbereich liegen.

Fehler 3: „Eine Asymptote darf nie geschnitten werden.“

Korrektur: Waagrechte Asymptoten dürfen geschnitten werden. Entscheidend ist das Grenzverhalten für $x \to \pm \infty$ .

Fehler 4: „Nach dem Kürzen gehört die ausgeschlossene Stelle wieder zur Definitionsmenge.“

Korrektur: Die ursprüngliche Definitionsmenge bleibt bestehen.

Fehler 5: „Wenn $f^{'} (x) < 0$ , ist die Funktion automatisch auf der ganzen Definitionsmenge streng fallend.“

Korrektur: Bei Definitionslücken werden die zusammenhängenden Definitionsintervalle getrennt untersucht.

Fehler 6: „Der Rechner oder die KI zeigt den Graphen, also ist die Aussage bewiesen.“

Korrektur: Ein Graph liefert Evidenz und Kontrolle. Eine prüfungsfähige Begründung benötigt Termumformungen, Grenzwerte, Ableitungen oder andere mathematische Argumente.

Selbstkontrolle

Prüfe ohne digitale Hilfe:

Warum ist $x = 1$ bei $\frac{x - 1}{(x - 1)^{2}}$ eine Polstelle und keine hebbare Lücke?
Warum reicht für eine waagrechte Asymptote die Betrachtung der höchsten Potenzen?
Welche Rolle spielt das Quadrat $Q (x)^{2}$ beim Vorzeichen von $f^{'}$ ?
Kann eine Funktion zwei verschiedene waagrechte Asymptoten besitzen, eine für $x \to - \infty$ und eine für $x \to + \infty$ ?

Kurzfeedback: Bei der ersten Funktion bleibt nach dem Kürzen $\frac{1}{x - 1}$ ; der Nenner wird weiter null. Bei rationalen Funktionen bestimmen die höchsten Potenzen das Verhalten für große Beträge von $x$ . Das Nennerquadrat der Ableitung ist positiv und beeinflusst daher das Vorzeichen nicht. Unterschiedliche waagrechte Asymptoten in beiden Richtungen sind bei allgemeineren Funktionstypen möglich; bei rationalen Funktionen aus Polynomen ist der Grenzwert für $+ \infty$ und $- \infty$ im Fall einer waagrechten Asymptote gleich.

Transfer: Ein Modell interpretieren

Eine vereinfachte Sättigungsfunktion sei

$S (t) = \frac{80 t}{t + 4}$

mit dem sachlich sinnvollen Bereich

$t \geq 0$ .

Mathematische Analyse:

$S^{'} (t) = \frac{80 (t + 4) - 80 t}{(t + 4)^{2}} = \frac{320}{(t + 4)^{2}} > 0$ .

Für $t \geq 0$ steigt $S$ .

Weiter:

$lim_{t \to \infty} S (t) = 80$ .

Die waagrechte Asymptote lautet

$y = 80$ .

Die mathematische Polstelle $t = - 4$ liegt außerhalb des Modellbereichs und besitzt daher in der Sachsituation keine direkte Bedeutung.

Transferfrage: Warum ist es im Modellieren falsch, jede mathematisch vorhandene Eigenschaft des Funktionsterms automatisch sachlich zu interpretieren?

Kompetenzcheck

Bewerte Dich selbst mit 0 = noch unsicher, 1 = teilweise sicher, 2 = sicher.

Ich bestimme Definitionsmengen vor allen weiteren Rechnungen.
Ich unterscheide hebbare Lücken und Polstellen durch Faktorisieren.
Ich begründe Nullstellen mit Zählerbedingung und Definitionsbereich.
Ich bestimme waagrechte Asymptoten über Grenzwerte oder Gradvergleich.
Ich bestimme senkrechte Asymptoten über verbleibende Nennernullstellen.
Ich nutze die Quotientenregel korrekt.
Ich untersuche das Vorzeichen von $f^{'}$ intervallweise.
Ich kann einen digitalen Graphen kritisch mit meiner Rechnung vergleichen.
Ich kann einen mehrschrittigen Lösungsweg in Abitursprache begründen.

Orientierung: Wiederhole gezielt jeden Punkt, bei dem Du weniger als 2 Punkte vergibst.

Reflexion

Begründung: Welcher Schritt Deiner Funktionsuntersuchung ist am stärksten begründungsbedürftig?
Darstellungswechsel: Welche Information erkennst Du im Graphen schneller als im Term – und welche im Term sicherer als im Graphen?
Fehlerkultur: Welcher typische Fehler könnte Dir unter Zeitdruck im Abitur passieren, und welche Kontrollfrage verhindert ihn?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich:

ABI LF - Zusammengesetzte Funktionen untersuchen

Danach:

ABI LF - Funktionsscharen untersuchen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Wann gehört eine reelle Zahl nicht zur Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion? (Wenn der Nenner dort null wird) (!Wenn der Zähler dort null wird) (!Wenn die Ableitung dort null wird) (!Wenn der Graph dort die x-Achse schneidet)

Wann liegt nach vollständigem Kürzen eine hebbare Definitionslücke vor? (Wenn der problematische Nennerfaktor vollständig verschwindet) (!Wenn im Nenner weiterhin ein problematischer Faktor bleibt) (!Wenn der Zählergrad größer als der Nennergrad ist) (!Wenn die Ableitung positiv ist)

Welche Definitionsmenge besitzt f von x gleich eins durch x minus zwei? (Alle reellen Zahlen außer zwei) (!Alle reellen Zahlen außer eins) (!Nur positive reelle Zahlen) (!Alle reellen Zahlen)

Welche waagrechte Asymptote entsteht bei gleichen Graden von Zähler und Nenner? (Der Quotient der Leitkoeffizienten) (!Immer die x Achse) (!Immer die y Achse) (!Die Summe der Leitkoeffizienten)

Welche Regel wird zum Ableiten eines Quotienten verwendet? (Quotientenregel) (!Produktregel) (!Mitternachtsformel) (!Additionssatz)

Welche senkrechte Asymptote hat f von x gleich x plus eins durch x minus zwei? (x gleich zwei) (!x gleich minus eins) (!y gleich zwei) (!y gleich eins)

Welche Nullstelle hat f von x gleich x plus eins durch x minus zwei? (x gleich minus eins) (!x gleich zwei) (!x gleich eins) (!x gleich null)

Was bestimmt bei der Quotientenregel im Definitionsbereich das Vorzeichen der Ableitung, wenn der Nenner quadriert ist? (Der Zähler der Ableitung) (!Nur der ursprüngliche Nenner) (!Nur der Leitkoeffizient) (!Nur die Definitionsmenge)

Darf ein Graph eine waagrechte Asymptote schneiden? (Ja das ist möglich) (!Nein niemals) (!Nur an einer Polstelle) (!Nur wenn keine Nullstelle existiert)

Ist GeoGebra im Abitur automatisch als Hilfsmittel zugelassen? (Nein maßgeblich ist der gültige Facherlass) (!Ja immer) (!Ja im gesamten Teil A) (!Ja sobald eine Funktion gezeichnet werden soll)

Memory

Definitionsmenge	Nenner ungleich null
Hebbare Lücke	Gemeinsamer Faktor vollständig kürzbar
Polstelle	Senkrechte Asymptote
Nullstelle	Zähler null und Nenner nicht null
Waagrechte Asymptote	Grenzwert im Unendlichen
Quotientenregel	Ableitung eines Quotienten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Senkrechte Asymptote	Verbleibende Nennernullstelle
Nullstelle	Zählernullstelle im Definitionsbereich
Waagrechte Asymptote y gleich null	Zählergrad kleiner als Nennergrad
Quotient der Leitkoeffizienten	Zählergrad gleich Nennergrad
Hebbare Lücke	Problematischer gemeinsamer Faktor vollständig gekürzt

Kreuzworträtsel

Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph im Grenzverhalten annähert?
Quotientenregel	Welche Ableitungsregel nutzt man für einen Quotienten zweier Funktionen?
Definitionsluecke	Wie heißt eine ausgeschlossene Stelle der Definitionsmenge?
Polstelle	Wie heißt eine nicht hebbare Definitionslücke mit unbeschränktem Funktionsverhalten?
Grenzwert	Welcher Begriff beschreibt das Annäherungsverhalten einer Funktion?
Nullstelle	Wie heißt eine Stelle, an der der Funktionswert null ist?

LearningApps

Lückentext

Die Menge aller zulässigen x-Werte heißt

.

Eine Nullstelle einer gebrochen-rationalen Funktion entsteht durch eine geeignete Nullstelle des

.

Bleibt nach dem Kürzen ein problematischer Nennerfaktor erhalten, entsteht eine

Asymptote.

Bei gleichem Zähler- und Nennergrad wird der Quotient der Leitkoeffizienten zur

Asymptote.

Zum Ableiten eines Quotienten verwendet man die

.

Eine Definitionslücke kann hebbar sein, wenn ein gemeinsamer Faktor vollständig

ist.

Das Verhalten für sehr große Beträge von x wird mit einem

beschrieben.

Bei der Interpretation eines Modells muss zusätzlich der sachlich sinnvolle

beachtet werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Graphenskizze: Skizziere $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ ohne digitale Hilfe und markiere beide Asymptoten.
Fehlerkarte: Gestalte eine Lernkarte zum Unterschied zwischen Polstelle und hebbarer Lücke.
Begriffserklärung: Erkläre in höchstens 90 Sekunden als Audio oder Video, warum eine Zählernullstelle nicht automatisch eine Nullstelle der Funktion ist.
Grenzwertvergleich: Vergleiche die Graphen von $\frac{1}{x}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ und beschreibe ihr Verhalten an der Polstelle.

Standard

GeoGebra-Experiment: Erzeuge drei gebrochen-rationale Funktionen mit verschiedenen senkrechten Asymptoten und dokumentiere, wie sich Parameteränderungen auswirken.
Rechenweg-Poster: Erstelle eine visuelle Schrittfolge für die vollständige Untersuchung von $\frac{x + 2}{x - 1}$ .
Fehlerdiagnose: Erfinde drei typische falsche Lösungen zur Asymptotenbestimmung und korrigiere sie begründet.
Modellierung: Entwickle eine einfache Sättigungssituation, die durch $\frac{a x}{x + b}$ beschrieben werden kann, und interpretiere die waagrechte Asymptote.

Schwer

Parameteruntersuchung: Untersuche $f_{a} (x) = \frac{x + a}{x - a}$ für $a \neq 0$ auf Definitionsmenge, Nullstelle, Asymptoten und Ableitungsverhalten.
Beweisaufgabe: Begründe allgemein, warum bei gleichen Graden von Zähler und Nenner der Quotient der Leitkoeffizienten die waagrechte Asymptote bestimmt.
Gegenbeispiel: Konstruiere eine gebrochen-rationale Funktion, deren waagrechte Asymptote vom Graphen geschnitten wird, und beweise beide Eigenschaften.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes anonymes Bildschirmvideo zu einer vollständigen Funktionsuntersuchung. Zeige Term, Grenzwerte, Ableitung und Graphkontrolle. Verwende keine personenbezogenen Daten und prüfe jede mathematische Aussage.

Lernkontrolle

Zusammenhang Term und Graph: Eine Funktion besitzt eine hebbare Lücke bei $x = 2$ und eine Polstelle bei $x = - 1$ . Entwickle einen möglichen Funktionsterm und begründe jede Wahl.
Strategievergleich: Vergleiche Gradvergleich und Termumformung als Methoden zur Bestimmung waagrechter Asymptoten. Zeige an einem Beispiel, wann welche Darstellung besonders transparent ist.
Monotonie und Definitionslücken: Erkläre, warum das Vorzeichen von $f^{'}$ bei einer Funktion mit Polstellen stets intervallweise interpretiert werden muss.
Modellkritik: Ein digitales Werkzeug zeigt für ein Modell eine Polstelle außerhalb des sachlichen Definitionsbereichs. Entscheide, welche mathematische und welche sachliche Aussage daraus folgt.
Begründung prüfen: Prüfe die Aussage „Der Nenner wird bei $x = 3$ null, also ist $x = 3$ eine senkrechte Asymptote.“ Ergänze alle fehlenden Begründungsschritte oder widerlege die Aussage durch ein Gegenbeispiel.
Transferaufgabe: Entwickle aus $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ durch Parameteränderungen eine Funktion mit senkrechter Asymptote $x = 4$ und waagrechter Asymptote $y = 3$ . Begründe Deinen Term.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du

Definitionsmengen korrekt bestimmst und Ausschlussstellen begründest.
hebbare Lücken und Polstellen durch Faktorisieren sicher unterscheidest.
Nullstellen unter Beachtung der Definitionsmenge bestimmst.
senkrechte Asymptoten mit einseitigem Grenzverhalten beschreibst.
waagrechte Asymptoten über Grenzwerte oder den Gradvergleich begründest.
die Quotientenregel sicher anwendest.
Monotonie auf den einzelnen Definitionsintervallen untersuchst.
Graphen aus rechnerischen Eigenschaften plausibel skizzierst.
digitale Ergebnisse kritisch überprüfst.
mehrschrittige Lösungswege formal nachvollziehbar dokumentierst.

Medien- und Lizenzhinweise

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– CC0.
– CC BY-SA 4.0.
– CC BY-SA 3.0 beziehungsweise GFDL.
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