ABI LF - Den natürlichen Logarithmus verstehen

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ABI LF - Den natürlichen Logarithmus verstehen

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ABI LF - Den natürlichen Logarithmus verstehen

Der natürliche Logarithmus $\ln (x)$ ist die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$. In diesem aiMOOC untersuchst Du Definitionsmenge, Wertemenge, Graph, Spiegelung an $y=x$ und die Ableitung $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$. Ziel ist nicht bloß Rechnen, sondern begründetes Arbeiten auf Leistungsfach-Niveau.

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Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du

1. Umkehrfunktionen formal über vertauschte Definitions- und Wertemengen beschreiben.
2. $\ln (x)$ aus $e^x$ als Spiegelung an $y=x$ deuten.
3. Definitionsmenge, Wertemenge, Nullstelle, Monotonie und Grenzverhalten von $\ln (x)$ begründen.
4. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ aus der Umkehrregel herleiten und auf Verkettungen anwenden.
5. mehrschrittige Abituraufgaben selbstständig modellieren, Verfahren auswählen und Ergebnisse prüfen.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Stand: 28.09.2026. Für das allgemein bildende Gymnasium nennt der Facherlass zur Abiturprüfung 2027 im Leistungsfach Mathematik grundlegende Kenntnisse zu Umkehrfunktionen ausdrücklich als vorausgesetzt; dazu gehören Definitions- und Wertemenge, Graph und Funktionsterm. Die schriftliche Prüfung hat 300 Minuten Bearbeitungszeit einschließlich Auswahlzeit. Maßgeblich bleibt immer der Facherlass Deines konkreten Prüfungsjahrgangs.

Wichtig: GeoGebra, LearningApps, YouTube und andere Werkzeuge dieses Kurses sind Übungsmedien. Daraus folgt nicht, dass sie in einer Abiturprüfung als Hilfsmittel zugelassen sind. Für die Prüfung gelten ausschließlich die aktuellen amtlichen Vorgaben.

Kurzer Einstieg

Die Exponentialfunktion beantwortet die Frage:

$x⟼e^x$

Der natürliche Logarithmus stellt die Umkehrfrage:

$e^{?}=y$

und liefert

$\ln (y)=x⟺e^x=y$.

Denkfrage: Warum darf bei $\ln (x)$ kein $x\le 0$ eingesetzt werden? Beantworte zuerst über die Wertemenge von $e^x$, nicht über eine auswendig gelernte Regel.

Vorwissen-Check

Löse ohne Taschenrechner.

1. Exponentialfunktion: Bestimme $e^0$ und $e^1$.
2. Bijektivität: Erkläre, warum eine streng monoton steigende Funktion höchstens einen Urbildwert zu jedem Funktionswert besitzt.
3. Umkehrfunktion: Was geschieht beim Übergang von $(a,b)$ zu einem Punkt des Umkehrgraphen?
4. Ableitung: Gib die Ableitung von $e^x$ an.
5. Kettenregel: Leite $e^{3x-2}$ ab.

Kurzfeedback anzeigen

1. $e^0=1$, $e^1=e$.
2. Strenge Monotonie liefert Eindeutigkeit der Zuordnung.
3. Die Koordinaten werden vertauscht: $(a,b)\mapsto (b,a)$.
4. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$.
5. $(e^{3x-2}{)}^{\prime }=3e^{3x-2}$.

Vom Exponentialgraphen zum Logarithmusgraphen

Betrachte

$f:ℝ\to (0,\mathrm{\infty }),f(x)=e^x.$

$f$ ist streng monoton steigend und nimmt jeden positiven Wert genau einmal an. Deshalb besitzt $f$ die Umkehrfunktion

$f^{-1}:(0,\mathrm{\infty })\to ℝ,f^{-1}(x)=\ln (x).$

Damit werden Definitions- und Wertemenge vertauscht:

$D_{e^x}=ℝ,W_{e^x}=(0,\mathrm{\infty })$

$D_{\ln }=(0,\mathrm{\infty }),W_{\ln }=ℝ.$

Spiegelung an $y=x$

Zu jedem Punkt

$P=(a,e^a)$

des Exponentialgraphen gehört auf dem Logarithmusgraphen

$P^{\prime }=(e^a,a).$

Der Koordinatentausch ist geometrisch genau die Spiegelung an

$y=x.$

Spiegelanimation: Ziehe einen Punkt bzw. starte die Animation und beobachte, wie aus Exponential- und Logarithmusgraph Spiegelbilder werden.

Zweite dynamische Sicht: Hier kannst Du eine Funktion an der ersten Winkelhalbierenden drehen und die Entstehung des Umkehrgraphen verfolgen.

Merkpunkte am Graphen

$e^0=1⟺\ln (1)=0$

$e^1=e⟺\ln (e)=1$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln (x)=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln (x)=\mathrm{\infty }$

Da $\frac{1}{x}>0$ für $x>0$, ist $\ln (x)$ streng monoton steigend.

Die Ableitung verstehen

Für Umkehrfunktionen gilt an passenden Stellen:

$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}.$

Setze $f(x)=e^x$. Dann ist $f^{\prime }(x)=e^x$ und $f^{-1}(x)=\ln (x)$.

Visueller Rechenweg $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{e^{\ln x}}$

$e^{\ln x}=x$

also

$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x>0).$

Alternativ kannst Du implizit argumentieren:

$y=\ln (x)⟺x=e^y.$

Ableiten nach $x$ ergibt

$1=e^y\cdot y^{\prime }$

und damit

$y^{\prime }=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.$

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Dynamisches Modell: Umkehrfunktion und Tangenten

Bewege den Punkt auf dem Ausgangsgraphen. Vergleiche die Tangentensteigungen von Funktion und Umkehrfunktion. Die Spiegelung erklärt, warum sich die Steigungen reziprok verhalten.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Gleichung umkehren

Löse

$\ln (x)=2.$

Schritt 1 Wende die Umkehrbeziehung an: $x=e^2.$

Kontrolle $\ln (e^2)=2.$

Beispiel 2: Spiegelpunkt

Auf $y=e^x$ liegt

$P=(2,e^2).$

Der Spiegelpunkt an $y=x$ ist

$P^{\prime }=(e^2,2).$

Also liegt $P^{\prime }$ auf $y=\ln (x)$.

Beispiel 3: Definitionsmenge und Ableitung

Gegeben ist

$g(x)=\ln (3x-2).$

Zuerst muss das Argument positiv sein:

$3x-2>0⟺x>\frac{2}{3}.$

Dann folgt mit der Kettenregel:

$g^{\prime }(x)=\frac{3}{3x-2}.$

Prüfreihenfolge: Definitionsmenge vor Ableitung.

Beispiel 4: Tangente

Für $f(x)=\ln (x)$ am Punkt mit $x=e$ gilt

$f(e)=1,f^{\prime }(e)=\frac{1}{e}.$

Tangente:

$y-1=\frac{1}{e}(x-e)$

und damit

$y=\frac{x}{e}.$

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A: Definitionsmenge

Bestimme die Definitionsmenge von

$f(x)=\ln (x-4).$

Hilfe Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Feedback $x-4>0⟺x>4$. Also $D_f=(4,\mathrm{\infty })$.

Übung B: Umkehrfunktion

Bestimme die Umkehrfunktion von

$f(x)=e^{2x}.$

Hilfe Setze $y=e^{2x}$, logarithmiere und löse nach $x$.

Feedback $\ln (y)=2x$, also $x=\frac{1}{2}\ln (y)$. Daher $f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\ln (x)$ für $x>0$.

Übung C: Verkettung

Untersuche

$h(x)=\ln (x^2-1)$

auf Definitionsmenge und Ableitung.

Hilfe Löse zuerst $x^2-1>0$.

Feedback $D_h=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,\mathrm{\infty })$ und $h^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2-1}$.

Übung D: Begründungsaufgabe

Zeige für $x>0$:

$\ln (x)\le x-1.$

Hilfe Untersuche $q(x)=x-1-\ln (x)$ auf Extremstellen.

Feedback $q^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$. Die Funktion fällt auf $(0,1)$ und steigt auf $(1,\mathrm{\infty })$. Somit besitzt sie bei $x=1$ ihr Minimum. Weil $q(1)=0$, gilt $q(x)\ge 0$.

Fehleranalyse

Prüfe jeweils die Behauptung und korrigiere sie.

1. Fehler: $\ln (-2)$ sei eine reelle Zahl. Korrektur: $D_{\ln }=(0,\mathrm{\infty })$.
2. Fehler: $\ln (a+b)=\ln (a)+\ln (b)$. Korrektur: Eine solche Summenregel gibt es nicht.
3. Fehler: Die Umkehrfunktion sei $\frac{1}{f(x)}$. Korrektur: Umkehrfunktion und Kehrwertfunktion sind verschiedene Begriffe.
4. Fehler: $(\ln (g(x)){)}^{\prime }=\frac{1}{g(x)}$. Korrektur: Mit Kettenregel gilt $(\ln (g(x)){)}^{\prime }=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$, sofern $g(x)>0$.
5. Fehler: $\ln (x^2)=2\ln (x)$ für alle $x\ne 0$. Korrektur: Allgemein gilt $\ln (x^2)=2\ln |x|$ für $x\ne 0$.

Transfer: Modellieren mit $\ln$

Ein Modell habe die Form

$N(t)=N_0{e}^{-kt}$

mit $N_0>0$ und $k>0$. Soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem ein Anteil $r$ mit $0<r<1$ übrig ist, setze

$N(t)=r{N}_0.$

Dann

$r=e^{-kt}$

und nach Logarithmieren

$\ln (r)=-kt.$

Somit

$t=-\frac{\ln (r)}{k}.$

Transferfrage: Begründe, warum $t>0$ gilt, obwohl vor dem Bruch ein Minuszeichen steht.

Selbstkontrolle

Markiere erst nach eigener Begründung:

1. □ Ich kann aus $e^a=b$ die äquivalente Logarithmusgleichung bilden.
2. □ Ich kann Definitions- und Wertemenge von $e^x$ und $\ln (x)$ sicher vertauschen.
3. □ Ich kann die Spiegelung an $y=x$ mit Koordinatentausch erklären.
4. □ Ich kann $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ herleiten.
5. □ Ich prüfe bei $\ln (g(x))$ zuerst $g(x)>0$.
6. □ Ich kann einen Logarithmus in einem mehrschrittigen Modell gezielt zum Auflösen einer Exponentialgleichung verwenden.

Kompetenzcheck Leistungsfach

1. Begründen: Erkläre ohne Graphik, warum $\ln$ auf $(0,\mathrm{\infty })$ streng monoton steigt.
2. Darstellen: Skizziere $e^x$, $\ln (x)$ und $y=x$ in ein gemeinsames Koordinatensystem und markiere zwei Spiegelpunktpaare.
3. Analysieren: Bestimme für $f(x)=\ln (2x+5)$ Definitionsmenge, Nullstelle und Ableitung.
4. Beweisen: Leite die Ableitung von $\ln (x)$ über die Ableitung der Umkehrfunktion her.
5. Modellieren: Formuliere zu einem exponentiellen Abklingmodell eine Frage, deren Lösung einen Logarithmus erfordert, und löse sie symbolisch.
6. Bewerten: Prüfe eine KI-Lösung zu einer Logarithmusaufgabe Zeile für Zeile auf Definitionsmenge, Äquivalenzumformungen und Ableitung. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Reflexion

1. Grundidee: Welche Aussage verbindet Exponentialfunktion und natürlichen Logarithmus am stärksten?
2. Graphisches Denken: Was wird durch die Spiegelung an $y=x$ sichtbar, das eine reine Termumformung leicht verdeckt?
3. Strategiewahl: In welcher Aufgabensorte würdest Du eher über Umkehrfunktionen, in welcher eher über Logarithmusgesetze argumentieren?
4. Prüfungspraxis: Welche Deiner Lösungszeilen wäre für eine Korrektur noch zu knapp begründet?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Definitionsmenge hat die natürliche Logarithmusfunktion? (Alle positiven reellen Zahlen) (!Alle reellen Zahlen) (!Alle nichtnegativen reellen Zahlen) (!Alle reellen Zahlen außer null)

Welche Wertemenge hat die natürliche Logarithmusfunktion? (Alle reellen Zahlen) (!Alle positiven reellen Zahlen) (!Alle nichtnegativen reellen Zahlen) (!Nur Zahlen größer als eins)

Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von $e^x$? (Der natürliche Logarithmus) (!Die Kehrwertfunktion) (!Die Quadratfunktion) (!Die Betragsfunktion)

An welcher Geraden spiegeln sich die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion? (An der Geraden y gleich x) (!An der x Achse) (!An der y Achse) (!An der Geraden y gleich minus x)

Welchen Wert hat $\ln (1)$? (Null) (!Eins) (!e) (!Nicht definiert)

Welchen Wert hat $\ln (e)$? (Eins) (!Null) (!e) (!Minus eins)

Wie lautet die Ableitung von $\ln (x)$? (Eins durch x) (!ln von x) (!e hoch x) (!x)

Welche Bedingung muss bei $\ln (g(x))$ gelten? (Das Argument g von x muss positiv sein) (!Das Argument g von x muss negativ sein) (!Das Argument g von x muss eine ganze Zahl sein) (!Das Argument g von x muss größer als eins sein)

Was geschieht mit einem Punkt beim Übergang zum Umkehrgraphen? (Seine Koordinaten werden vertauscht) (!Beide Koordinaten werden negiert) (!Nur die x Koordinate wird negiert) (!Nur die y Koordinate wird verdoppelt)

Welche Aussage folgt aus der Umkehrbeziehung? (ln von e hoch x ist x) (!ln von x ist e hoch x) (!e hoch x ist eins durch x) (!ln von x ist x für alle positiven x)

Memory

Natürlicher Logarithmus	Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion
Definitionsmenge	Positive reelle Zahlen
Wertemenge	Alle reellen Zahlen
Spiegelachse	Erste Winkelhalbierende
Ableitung	Kehrwert des Arguments x
Nullstelle	Argument eins

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Positive reelle Zahlen	Definitionsmenge des Logarithmus
Alle reellen Zahlen	Wertemenge des Logarithmus
Erste Winkelhalbierende	Spiegelgerade der Umkehrgraphen
Koordinatentausch	Punktabbildung zur Umkehrfunktion
Kehrwertfunktion	Form der Ableitung
Exponentialfunktion	Ausgangsfunktion der Umkehrung

Kreuzworträtsel

Logarithmus	Wie heißt die Umkehrung einer Exponentialrechnung?
Exponentialfunktion	Welche Funktion wird durch den natürlichen Logarithmus umgekehrt?
Umkehrfunktion	Wie nennt man eine Funktion, die eine eindeutige Zuordnung rückgängig macht?
Definitionsmenge	Wie heißt die Menge der zulässigen Eingabewerte?
Ableitung	Welcher Begriff beschreibt die lokale Änderungsrate einer Funktion?
Spiegelung	Welche geometrische Operation verbindet Funktionsgraph und Umkehrgraph?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die der natürlichen Exponentialfunktion. Ihre Definitionsmenge besteht aus den reellen Zahlen. Ihre Wertemenge ist die Menge aller Zahlen. Der Graph entsteht durch Spiegelung des Exponentialgraphen an der Geraden . Es gilt $\ln (1)$ gleich . Außerdem gilt $\ln (e)$ gleich . Die Ableitung von $\ln (x)$ ist . Bei einer Verkettung $\ln (g(x))$ muss das Argument sein. Beim Bilden einer Umkehrfunktion werden Definitionsmenge und vertauscht.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Spiegelpunkte: Zeichne $e^x$ und $\ln (x)$, markiere drei Punktpaare und verbinde jedes Paar mit seiner Spiegelung an $y=x$.
2. Definitionsmenge: Erstelle fünf eigene Terme der Form $\ln (g(x))$ und bestimme jeweils die zulässigen x-Werte.
3. Erklärkarte: Gestalte eine kompakte Lernkarte mit $D_{\ln }$, $W_{\ln }$, $\ln (1)$, $\ln (e)$ und $(\ln x{)}^{\prime }$.
4. Fehlersuche: Formuliere zwei typische falsche Aussagen zum Logarithmus und korrigiere sie mit Begründung.

Standard

1. GeoGebra-Untersuchung: Nutze die Spiegelanimation, protokolliere vier Punktpaare und formuliere eine Regel für den Koordinatentausch.
2. Tangentenvergleich: Vergleiche an zwei Spiegelpunkten die Tangentensteigungen von $e^x$ und $\ln (x)$ und erkläre den reziproken Zusammenhang.
3. Ableitungskette: Erfinde drei Funktionen der Form $\ln (g(x))$, leite sie ab und prüfe jeweils die Definitionsmenge.
4. Modellierungsaufgabe: Entwickle eine reale oder fiktive exponentielle Abkling-Situation und bestimme symbolisch den Zeitpunkt für einen vorgegebenen Restanteil.

Schwer

1. Beweis der Ungleichung: Beweise $\ln (x)\le x-1$ für $x>0$ mit einer geeigneten Hilfsfunktion und deute die Gleichheit.
2. Umkehrregel: Leite allgemein die Formel für die Ableitung einer Umkehrfunktion her und wende sie anschließend auf $e^x$ an.
3. Parameteranalyse: Untersuche $f_a(x)=\ln (x-a)$ in Abhängigkeit von $a$ hinsichtlich Definitionsmenge, Nullstelle, Graphverschiebung und Ableitung.
4. KI-Prüfung: Lass eine KI eine mehrschrittige Logarithmusaufgabe lösen, dokumentiere die Ausgabe ohne personenbezogene Daten und überprüfe jede mathematische Aussage selbstständig. Kennzeichne mindestens eine Stelle, an der eine Begründung erforderlich ist.

Lernkontrolle

1. Zusammenhang Umkehrfunktion und Graph: Erkläre, warum aus der Wertemenge $(0,\mathrm{\infty })$ von $e^x$ die Definitionsmenge von $\ln (x)$ folgt.
2. Ableitung begründen: Leite $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ her, ohne die Regel als gegeben zu verwenden.
3. Strategieentscheidung: Löse $e^{2x-1}=7$ und begründe, an welcher Stelle der natürliche Logarithmus das passende Verfahren ist.
4. Fehlerdiagnose: Beurteile die Lösung $\ln (x^2)=2\ln (x)$ für $x<0$ und korrigiere sie.
5. Transfer: Zeige, wie sich aus $N(t)=N_0{e}^{-kt}$ eine Formel für den Zeitpunkt ableiten lässt, zu dem ein beliebiger positiver Restanteil erreicht wird.
6. Beweiskontrolle: Prüfe, ob eine vorgelegte Argumentation zur Monotonie von $\ln (x)$ Definitionsmenge, Vorzeichen der Ableitung und Schlussfolgerung vollständig verbindet.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du nachweisen können:

1. die Umkehrbeziehung $e^x\leftrightarrow \ln (x)$ formal und graphisch zu erklären.
2. Definitionsmenge und Wertemenge sicher zu bestimmen und zu begründen.
3. Spiegelpunkte an $y=x$ korrekt zu konstruieren.
4. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ herzuleiten und die Kettenregel bei $\ln (g(x))$ anzuwenden.
5. logarithmische Gleichungen in mehrschrittigen Modellierungsaufgaben sinnvoll einzusetzen.
6. fehlerhafte Rechenwege und KI-Ausgaben mathematisch zu prüfen.
7. Lösungen so zu dokumentieren, dass Annahmen, Umformungen und Begründungen nachvollziehbar sind.

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Medien

Wikimedia Commons: Die eingebundenen Dateien verweisen auf ihre jeweilige Commons-Dateiseite mit Lizenz- und Urheberinformationen.

GeoGebra: Die eingebetteten Modelle dienen zum Erkunden von Spiegelung, Umkehrfunktion und Tangenten.

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Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich an:

1. ABI LF - Logarithmusfunktionen anwenden: Gleichungen, Logarithmusgesetze, Kurvendiskussion und Modellierung.
2. ABI LF - Exponentialgleichungen lösen: Exponentialmodelle systematisch mit $\ln$ umformen.
3. ABI LF - Umkehrfunktionen und ihre Ableitungen: allgemeine Theorie und Beweise auf Leistungsfach-Niveau.

Quellen und Prüfungsbezug

1. Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg: Facherlass Abitur 2027, Mathematik
2. Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg: Termine und Informationen zum Abitur
3. GeoGebra: Inverse of the Exponential Function
4. GeoGebra: Umkehrfunktionen und deren Ableitungen

Verknüpfte Lernbereiche

Natürlicher Logarithmus Exponentialfunktion Umkehrfunktion Logarithmusfunktion Definitionsmenge Wertemenge Ableitung Kettenregel Kurvendiskussion Exponentialgleichung Modellierung