ABI - Varianz als Streuungsmaß verstehen

ABI - Varianz als Streuungsmaß verstehen

Mini-Beschreibung: Du verstehst die Varianz als gewichtete quadratische Abweichung vom Erwartungswert, berechnest sie für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen und vergleichst Verteilungen mithilfe von Punktwolken, Diagrammen und dynamischen Modellen.

Einleitung

Der Erwartungswert sagt, wo eine Verteilung liegt. Die Varianz sagt, wie stark ihre möglichen Werte um dieses Zentrum streuen.

Für eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit Werten $x_1,\dots ,x_n$ und Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,p_n$ gilt:

$\mu =E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\sum _{i=1}^n{p}_i(x_i-\mu {)}^2$

Kernidee: Jede quadratische Abweichung $(x_i-\mu {)}^2$ wird mit ihrer Wahrscheinlichkeit $p_i$ gewichtet.

Warum quadrieren? Die gewichteten einfachen Abweichungen heben sich auf:

$\sum _{i=1}^n{p}_i(x_i-\mu )=0$

Durch das Quadrieren werden Abweichungen nicht negativ und große Abstände wirken besonders stark.

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Lernziele

1. Varianz: Du deutest sie als gewichtete quadratische Abweichung vom Erwartungswert.
2. Diskrete Zufallsvariable: Du berechnest Erwartungswert und Varianz aus einer Verteilung.
3. Wahrscheinlichkeitsverteilung: Du vergleichst zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlicher Streuung.
4. Punktwolke: Du beschreibst grafisch, wie sich größere Abstände vom Zentrum auf die Varianz auswirken.
5. Standardabweichung: Du unterscheidest $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ und $\sigma =\sqrt{\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)}$.

Abitur Baden-Württemberg

Stand 27.09.2026: Für den Abiturjahrgang 2027 nennt der Facherlass im Mathematik-Leistungsfach die Kenngrößen Varianz und Standardabweichung bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausdrücklich als vorausgesetzte Kenntnisse: Berechnung mit Formel und Verständnis der Kenngröße.

Offizielle Abiturinformationen Baden-Württemberg

Wichtig: Prüfe immer Deinen eigenen Prüfungsjahrgang und den dafür gültigen Facherlass. GeoGebra, Lernapps, Videos und andere Werkzeuge dieses aiMOOCs sind Übungswerkzeuge und nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

Basisfach: Schwerpunkt auf verständigem Rechnen, Deuten von Verteilungen und anschaulicher Argumentation.

Leistungsfach: zusätzlich vertiefte Formalisierung, Begründungen, Umformungen und Modellierung.

Vorwissen-Check

Kurztest vor dem Start

1. Wahrscheinlichkeiten: Gilt für eine vollständige diskrete Verteilung $\sum p_i=1$?

Feedback: Ja. Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte ergeben zusammen $1$.

1. Erwartungswert: Berechne für $x=0,2,4$ mit $p=\mathrm{0,25};\mathrm{0,5};\mathrm{0,25}$ den Erwartungswert.

Feedback: $E(X)=0\cdot \mathrm{0,25}+2\cdot \mathrm{0,5}+4\cdot \mathrm{0,25}=2$.

1. Quadrat: Was ist $(0-2{)}^2$?

Feedback: $4$.

1. Deutung: Liegen Werte weit vom Erwartungswert entfernt, erwartest Du eher eine kleine oder große Varianz?

Feedback: Eher eine große Varianz, besonders wenn diese entfernten Werte hohe Wahrscheinlichkeiten besitzen.

Die Idee der Varianz

Vom Abstand zum gewichteten Quadrat

Für jeden möglichen Wert läuft derselbe Rechenweg:

$x_i$

$\Downarrow$

$x_i-\mu$

$\Downarrow$

$(x_i-\mu {)}^2$

$\Downarrow$

$p_i(x_i-\mu {)}^2$

$\Downarrow$

alle Beiträge addieren

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\sum p_i(x_i-\mu {)}^2$

Merksatz: Häufige Werte zählen stärker. Weit entfernte Werte zählen durch das Quadrat besonders stark.

Punktwolke und Streuung

Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst Du als Punktwolke aus $(x_i,p_i)$ betrachten. Verschiebt sich Wahrscheinlichkeitsmasse weiter weg von $\mu$, wächst typischerweise die Varianz.

Interaktive Denkfrage: Ziehe Punkte näher an das Zentrum und danach weiter nach außen. Sage jeweils vor dem Verschieben voraus, ob die Streuung steigt oder fällt.

Interaktives Beispiel

Beispiel 1: Ungleich gewichtete Verteilung

Gegeben ist:

$x_i$	$p_i$
1	0,5
3	0,3
6	0,2

Schritt 1: Erwartungswert

$\mu =1\cdot \mathrm{0,5}+3\cdot \mathrm{0,3}+6\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{2,6}$

Schritt 2: Quadratische Abweichungen gewichten

$x_i$	$(x_i-\mu {)}^2$	$p_i(x_i-\mu {)}^2$
1	2,56	1,28
3	0,16	0,048
6	11,56	2,312

Schritt 3: Addieren

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\mathrm{1,28}+\mathrm{0,048}+\mathrm{2,312}=\mathrm{3,64}$

Kontrolle über die Kurzform:

$E(X^2)=1^2\cdot \mathrm{0,5}+3^2\cdot \mathrm{0,3}+6^2\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{10,4}$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\mathrm{10,4}-\mathrm{2,}{6}^2=\mathrm{3,64}$

Leistungsfach: Warum funktioniert die Kurzform?

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E((X-\mu {)}^2)$

$=E(X^2-2\mu X+{\mu }^2)$

$=E(X^2)-2\mu E(X)+{\mu }^2$

Da $E(X)=\mu$, folgt:

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-{\mu }^2$

Beachte: Eine KI kann einen solchen Rechenweg vorschlagen. Du musst ihn mathematisch prüfen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen Beweis.

Verteilungen vergleichen

Gleicher Erwartungswert, andere Streuung

Betrachte zwei symmetrische Verteilungen:

A: $x=0,2,4$ mit $p=\mathrm{0,25};\mathrm{0,5};\mathrm{0,25}$

B: $x=-2,2,6$ mit $p=\mathrm{0,25};\mathrm{0,5};\mathrm{0,25}$

Für beide gilt:

$E(X)=2$

Aber:

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(A)=2$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(B)=8$

Deutung: Bei B liegt dieselbe Wahrscheinlichkeitsmasse weiter vom Erwartungswert entfernt.

Animation: Streuung sehen

Die folgende Animation zeigt am stetigen Modell, wie sich eine Verteilung bei veränderter Standardabweichung verbreitert oder konzentriert. Die Grundidee der Streuung ist dieselbe; in diesem aiMOOC rechnest Du jedoch mit diskreten Verteilungen.

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Übungen mit Hilfe und Feedback

Übung 1: Rechnen

Für $x=0,2,5$ gelten die Wahrscheinlichkeiten $\mathrm{0,2};\mathrm{0,5};\mathrm{0,3}$. Berechne zuerst $E(X)$ und danach $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$.

Hilfe: Beginne mit $\mu =\sum x_i{p}_i$. Bilde danach für jeden Wert $(x_i-\mu {)}^2$.

Feedback: $\mu =\mathrm{2,5}$. Dann $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{6,25}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,25}+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{6,25}=\mathrm{3,25}$.

Übung 2: Vergleichen

Zwei Verteilungen besitzen denselben Erwartungswert. Bei Verteilung A liegen fast alle Werte dicht am Zentrum, bei Verteilung B liegt ein großer Wahrscheinlichkeitsanteil weit außen. Welche Verteilung hat wahrscheinlich die größere Varianz? Begründe ohne Rechnung.

Hilfe: Denke an $p_i(x_i-\mu {)}^2$.

Feedback: B. Große Abstände werden quadriert und bei hoher Wahrscheinlichkeit zusätzlich stark gewichtet.

Übung 3: Parameterwirkung

Sei $Y=3X+2$. Stelle einen Zusammenhang zwischen $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(Y)$ und $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ her.

Hilfe: Eine Verschiebung verändert Abstände zum jeweiligen Erwartungswert nicht. Eine Streckung mit Faktor $3$ verdreifacht die Abstände.

Feedback: $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(3X+2)=3^2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=9\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$.

Fehleranalyse

1. Gewichtung vergessen: $\sum (x_i-\mu {)}^2$ ist im Allgemeinen nicht die Varianz einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es fehlen die Faktoren $p_i$.
2. Erwartungswert falsch: Wenn $\mu$ falsch ist, sind alle Abweichungen falsch.
3. Nicht quadriert: Die gewichteten einfachen Abweichungen summieren sich zu $0$ und messen deshalb die Streuung nicht.
4. Negative Varianz: Eine Varianz kann nicht negativ sein, weil nur nichtnegative Quadrate addiert werden.
5. Einheit verwechselt: Hat $X$ die Einheit Meter, dann hat die Varianz die Einheit Quadratmeter. Die Standardabweichung besitzt wieder die Einheit Meter.

Selbstkontrolle

1. Kannst Du in einem Satz erklären, warum Wahrscheinlichkeiten als Gewichte auftreten?
2. Kannst Du bei zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert allein aus dem Diagramm eine begründete Streuungsvermutung formulieren?
3. Kannst Du $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$ mit beiden Formeln berechnen und das Ergebnis vergleichen?
4. Kannst Du erklären, warum eine Verschiebung $X+c$ die Varianz nicht ändert?
5. Kannst Du begründen, warum eine Streckung mit $a$ die Varianz mit $a^2$ multipliziert?

Transfer

Ein Zufallsspiel A liefert Werte nahe bei $10$. Ein Zufallsspiel B besitzt ebenfalls den Erwartungswert $10$, liefert aber häufiger sehr kleine oder sehr große Werte.

Denkfrage: Warum kann der Erwartungswert allein für eine Entscheidung unzureichend sein?

Transferidee: Der Erwartungswert beschreibt das Zentrum, die Varianz ergänzt die Information über die Schwankung. Zwei Modelle können denselben Erwartungswert und trotzdem sehr unterschiedliche Unsicherheit besitzen.

Kompetenzcheck

1. Basis: Ich kann $E(X)$ aus einer diskreten Verteilung bestimmen.
2. Basis: Ich kann $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\sum p_i(x_i-\mu {)}^2$ sicher anwenden.
3. Basis: Ich kann eine größere oder kleinere Streuung aus einer Punktwolke begründen.
4. Leistungsfach: Ich kann $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ herleiten.
5. Leistungsfach: Ich kann die Varianz bei linearen Transformationen und in Modellierungssituationen begründet einsetzen.

Reflexion

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Tabelle, Punktwolke, Formel oder Animation?
2. An welchem Rechenschritt entstehen bei Dir die meisten Fehler?
3. Kannst Du den Unterschied zwischen Erwartungswert und Varianz ohne Formel erklären?
4. Welche Aussage über eine Verteilung kannst Du erst treffen, wenn Du Lage und Streuung gemeinsam betrachtest?

Folgekurs

Als nächstes passen Standardabweichung, Binomialverteilung, Normalverteilung und Erwartungswert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen? (Die gewichtete quadratische Abweichung vom Erwartungswert) (!Nur den größten möglichen Wert) (!Nur die wahrscheinlichste Ausprägung) (!Die Summe aller möglichen Werte)

Warum werden die Abweichungen vom Erwartungswert quadriert? (Damit sich positive und negative Abweichungen nicht aufheben) (!Damit die Wahrscheinlichkeiten immer größer werden) (!Damit der Erwartungswert verschwindet) (!Damit jede Verteilung symmetrisch wird)

Welche Größe wirkt bei der Varianz als Gewicht? (Die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Werts) (!Die Anzahl der Tabellenzeilen) (!Der Erwartungswert allein) (!Die Reihenfolge der Werte)

Wie groß ist der Erwartungswert im Beispiel mit 1 bei 0,5 sowie 3 bei 0,3 und 6 bei 0,2? (2,6) (!1,8) (!3,0) (!3,64)

Wie groß ist die Varianz dieses Beispiels? (3,64) (!2,6) (!6,76) (!10,4)

Welche Verteilung hat bei gleichem Erwartungswert typischerweise die größere Varianz? (Die Verteilung mit mehr Wahrscheinlichkeit weit vom Erwartungswert entfernt) (!Die Verteilung mit nur positiven Werten) (!Die Verteilung mit dem kleineren Erwartungswert) (!Immer die Verteilung mit weniger möglichen Werten)

Welche Aussage über die Varianz ist immer richtig? (Sie ist nicht negativ) (!Sie ist immer kleiner als eins) (!Sie ist immer gleich dem Erwartungswert) (!Sie kann nur bei symmetrischen Verteilungen berechnet werden)

Welche Kurzform ist zur Varianzberechnung korrekt? (Erwartungswert von X Quadrat minus Quadrat des Erwartungswerts) (!Erwartungswert minus Wahrscheinlichkeit) (!Quadrat des Erwartungswerts plus Erwartungswert) (!Summe der Werte ohne Gewichtung)

Wie verändert sich die Varianz bei einer Streckung aller Werte mit Faktor drei? (Sie wird mit neun multipliziert) (!Sie wird mit drei multipliziert) (!Sie bleibt unverändert) (!Sie wird durch drei geteilt)

Welche Größe besitzt wieder dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable? (Die Standardabweichung) (!Die Varianz) (!Das Quadrat der Varianz) (!Die quadratische Abweichung)

Memory

Erwartungswert	Zentrum der Verteilung
Varianz	gewichtete mittlere Quadratsabweichung
Wahrscheinlichkeit	Gewicht eines möglichen Werts
Quadrat	verhindert Vorzeichenaufhebung
Standardabweichung	Wurzel aus der Varianz
Punktwolke	visuelle Lage der Verteilung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechenschritt
Erwartungswert berechnen	Zentrum bestimmen
Abweichung bilden	Wert minus Zentrum
Quadrat bilden	Vorzeichen beseitigen
Gewichten	Mit Wahrscheinlichkeit multiplizieren
Summieren	Varianz erhalten

Kreuzworträtsel

Varianz	Welches Streuungsmaß verwendet gewichtete quadratische Abweichungen?
Quadrat	Welche Potenz verhindert das Aufheben positiver und negativer Abweichungen?
Gewichtung	Wie nennt man die Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten bei den Abweichungen?
Streuung	Wie nennt man die Verteilung der Werte um ihr Zentrum?
Abweichung	Wie heißt die Differenz zwischen einem Wert und dem Erwartungswert?
Erwartungswert	Wie heißt das Zentrum einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Das Zentrum einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung wird durch den beschrieben.

Für die Varianz werden die Abweichungen vom Zentrum .

Die einzelnen Beiträge werden mit den zugehörigen gewichtet.

Die Summe dieser gewichteten Beiträge ergibt die .

Die Quadratwurzel der Varianz heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Punktwolke: Zeichne zwei Punktwolken mit demselben Zentrum, aber sichtbar unterschiedlicher Streuung.
2. Wahrscheinlichkeitsverteilung: Erfinde eine diskrete Verteilung mit drei Werten und berechne Erwartungswert und Varianz.
3. Fehleranalyse: Erstelle ein Beispiel, in dem jemand die Wahrscheinlichkeiten bei der Varianz vergisst, und korrigiere den Rechenweg.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video oder eine Bildfolge, die den Weg von $x_i$ zu $p_i(x_i-\mu {)}^2$ zeigt.

Standard

1. Verteilungsvergleich: Konstruiere zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und unterschiedlicher Varianz und begründe den Unterschied.
2. GeoGebra: Verändere in einem dynamischen Modell Punkte oder Wahrscheinlichkeiten und protokolliere, wann die Varianz steigt oder fällt.
3. Simulation: Simuliere mit synthetischen Daten zwei Zufallsexperimente und vergleiche Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
4. Mathematik im Alltag: Suche ein sachliches Anwendungsbeispiel, bei dem gleiche Mittelwerte unterschiedliche Risiken oder Schwankungen verdecken. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. Varianzformel: Leite $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ vollständig her und erläutere jeden Umformungsschritt.
2. Lineare Transformation: Beweise $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(aX+b)=a^2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)$.
3. Modellierung: Entwickle eine abiturähnliche Aufgabe, in der zwei diskrete Modelle über Lage und Streuung verglichen werden, und gib einen vollständigen Erwartungshorizont an.
4. Künstliche Intelligenz: Lasse eine KI einen Varianz-Rechenweg erzeugen, prüfe jeden Schritt mathematisch und dokumentiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle. KI-Ausgaben ersetzen keinen Beweis.

Lernkontrolle

1. Modellvergleich: Zwei Glücksspiele besitzen denselben Erwartungswert. Entwickle eine begründete Entscheidung, welche zusätzlichen Informationen zur Beurteilung nötig sind, und nutze die Varianz.
2. Diagrammdeutung: Beschreibe für zwei gegebene Punktwolken ohne vollständige Rechnung, welche die größere Varianz haben dürfte, und begründe Deine Vermutung.
3. Fehlerdiagnose: Analysiere einen Rechenweg mit negativem Varianzergebnis und finde den frühesten mathematischen Fehler.
4. Parameteränderung: Untersuche, wie sich Lage und Streuung verändern, wenn aus $X$ die Zufallsvariable $Y=-2X+5$ wird.
5. Modellierung: Erstelle eine diskrete Verteilung zu einer realistischen, anonymen Situation und begründe, warum der Erwartungswert allein nicht alle relevanten Informationen liefert.
6. Begründung: Erkläre, warum weit vom Erwartungswert entfernte Werte einen überproportionalen Einfluss auf die Varianz besitzen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du kannst eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung korrekt lesen und ihre Wahrscheinlichkeiten prüfen.
2. Du kannst $E(X)$ berechnen und als Zentrum deuten.
3. Du kannst $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\sum p_i(x_i-\mu {)}^2$ nachvollziehbar anwenden.
4. Du kannst Verteilungen mit gleichem Erwartungswert über ihre Streuung vergleichen.
5. Du kannst typische Fehler erkennen und korrigieren.
6. Im Leistungsfach kannst Du die Kurzform $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ begründen und lineare Transformationen untersuchen.
7. Du kannst digitale Werkzeuge zum Lernen nutzen, ohne sie mit zugelassenen Prüfungshilfsmitteln zu verwechseln.

OERs zum Thema

Medienhinweis: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien verweisen auf ihre jeweiligen freien Lizenz- und Urheberangaben. Externe Videos und interaktive Werkzeuge werden eingebettet und nicht als Kopien bereitgestellt.

Verknüpfte Lernbereiche

Varianz Erwartungswert Diskrete Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsverteilung Standardabweichung Binomialverteilung Stochastik