ABI - Nullstellen rechnerisch und graphisch bestimmen

Mini-Beschreibung: Bestimme Nullstellen geeigneter Funktionen durch Faktorisieren, Gleichungslösen und graphische Kontrolle. Vergleiche exakte und näherungsweise Ergebnisse und entscheide passend zum Funktionstyp über das Verfahren. Der Kurs richtet sich an die Kursstufe und verbindet Basisfach und Leistungsfach im Mathematik-Abitur Baden-Württemberg 2027.

Einleitung

Eine Nullstelle ist ein Wert $x_{0}$ mit

$f (x_{0}) = 0$ .

Im Graphen liegt dort ein Punkt auf der $x$ -Achse. Der zugehörige Punkt heißt Nullpunkt:

$N (x_{0} ∣ 0)$ .

Merke: Eine graphisch abgelesene Nullstelle ist meist nur näherungsweise bestimmt. Eine algebraisch hergeleitete Lösung kann dagegen exakt sein.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Nullstellen als Lösungen von $f (x) = 0$ deuten.
passende Verfahren für lineare, quadratische, ganzrationale, gebrochen-rationale, exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen auswählen.
Terme faktorisieren und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
quadratische Gleichungen durch Faktorisieren oder Lösungsformel lösen.
biquadratische Gleichungen durch Substitution bearbeiten.
exakte Ergebnisse wie $\sqrt{2}$ oder $\ln (3)$ von Dezimalnäherungen unterscheiden.
Nullstellen graphisch kontrollieren und Grenzen graphischer Verfahren erklären.
Definitionsmengen und ausgeschlossene Werte beachten.
Rechenwege begründen und Ergebnisse kritisch prüfen.
Basisfach und Leistungsfach hinsichtlich Tiefe, Begründung und Prüfungsbezug unterscheiden.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg 2027

Für den Prüfungsjahrgang 2027 gelten der Bildungsplan 2016 in der aktuellen Fassung und der Facherlass 2027.

Leistungsfach: Im schriftlichen Abitur 2027 sind laut Facherlass unter anderem Näherungsverfahren kein Gegenstand der schriftlichen Prüfung. Das schließt das im Bildungsplan vorgesehene iterative Verfahren zur näherungsweisen Nullstellenbestimmung für diese schriftliche Prüfung aus. Das Vergleichen exakter und graphisch beziehungsweise rechnerisch angenäherter Nullstellen bleibt für Verständnis und Kontrolle sinnvoll.

Prüfungsorganisation im Leistungsfach: Die schriftliche Prüfung dauert 300 Minuten. Teil A wird ohne Formelsammlung und wissenschaftlichen Taschenrechner bearbeitet und spätestens nach 110 Minuten abgegeben. Erst danach stehen für Teil B die zugelassenen Hilfsmittel zur Verfügung.

Basisfach: Grundlage sind die im Bildungsplan ausgewiesenen Inhalte und Kompetenzen. Der Schwerpunkt liegt stärker auf verständigem Verfahren, anschaulicher Argumentation und sicherer Anwendung.

Leistungsfach: Zusätzlich wird ein höherer Grad an Präzisierung, Formalisierung, Begründung und Modellierung erwartet.

Wichtig: GeoGebra, LearningApps, Videos und andere Werkzeuge dieses aiMOOCs sind Übungsmedien. Sie sind nicht automatisch Prüfungshilfsmittel. Maßgeblich sind der jeweils gültige Facherlass, die Vorgaben des Kultusministeriums und die Hinweise Deiner Schule.

Offizielle Informationen des Kultusministeriums Baden-Württemberg zum Abitur

Bildungspläne Baden-Württemberg

Vorwissen-Check

Löse zuerst ohne digitale Hilfsmittel.

A: Löse $3 x - 12 = 0$ .

Kontrolle: $x = 4$ .

B: Faktorisiere $x^{2} - 9$ .

Kontrolle: $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

C: Löse $(x - 2) (x + 5) = 0$ .

Kontrolle: $x = 2$ oder $x = - 5$ .

D: Welche Bedingung muss für $\ln (x)$ gelten?

Kontrolle: $x > 0$ .

Selbsteinschätzung: Wenn Dir A bis C sicher gelingen, kannst Du direkt in die Kursbeispiele einsteigen. Bei Unsicherheiten wiederhole Äquivalenzumformung, Binomische Formel und Satz vom Nullprodukt.

Grundidee: Nullstelle bedeutet Gleichung lösen

Nullstellenbestimmung verbindet drei Darstellungen:

$f (x) = 0$

Termdarstellung → Gleichung lösen

Graphdarstellung → Schnitt oder Berührung mit der $x$ -Achse erkennen

Punktdarstellung → $N (x_{0} ∣ 0)$

Kontrollregel: Setze das gefundene $x_{0}$ in den ursprünglichen Funktionsterm ein. Stimmt $f (x_{0}) = 0$ , ist die rechnerische Probe erfüllt.

Dynamischer Einstieg: Nullstellen und faktorisierte Form

Verändere im GeoGebra-Modell die Faktoren. Beobachte, wie sich die Nullstellen des Graphen verschieben.

Denkfrage: Was geschieht mit dem Graphen, wenn zwei gleiche Linearfaktoren auftreten?

Methode 1: Faktorisieren und Satz vom Nullprodukt

Für Produkte gilt:

$a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0$ oder $b = 0$ .

Beispiel:

$f (x) = 2 (x - 3) (x + 1)$

Nullstellenbedingung:

$2 (x - 3) (x + 1) = 0$

Daraus:

$x - 3 = 0$ oder $x + 1 = 0$

also

$x_{1} = 3, x_{2} = - 1$ .

Graphische Kontrolle: Der Graph muss die $x$ -Achse bei $x = - 1$ und $x = 3$ treffen.

Ausklammern

Beispiel:

$f (x) = x^{3} - 4 x$

Zuerst ausklammern:

$f (x) = x (x^{2} - 4)$

Dann Differenz zweier Quadrate:

$f (x) = x (x - 2) (x + 2)$

Nullstellen:

$x_{1} = - 2, x_{2} = 0, x_{3} = 2$ .

Leistungsfach-Impuls: Begründe, warum eine Faktorisierung die Nullstellen sichtbar macht und warum der Satz vom Nullprodukt nur bei einem Produkt angewendet werden darf.

Vielfachheit von Nullstellen

Bei

$f (x) = (x - a)^{k} \cdot g (x)$

ist $a$ eine Nullstelle der Vielfachheit $k$ , sofern $g (a) \neq 0$ .

Anschaulich:

Bei ungerader Vielfachheit wechselt der Graph typischerweise die Seite der $x$ -Achse.
Bei gerader Vielfachheit berührt der Graph die $x$ -Achse und kehrt um.

Methode 2: Quadratische Gleichungen

Beispiel:

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Faktorisieren:

$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$

also

$x_{1} = 2, x_{2} = 3$ .

Wenn keine einfache Faktorisierung erkennbar ist, kann eine quadratische Lösungsformel verwendet werden.

Für

$a x^{2} + b x + c = 0$

gilt:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Exakt oder näherungsweise?

Beispiel:

$x^{2} - 2 = 0$

Exakt:

$x_{1} = - \sqrt{2}, x_{2} = \sqrt{2}$

Näherungsweise:

$x_{1} \approx - 1,414, x_{2} \approx 1,414$ .

Prüfungsregel: Wenn eine exakte Darstellung möglich und verlangt ist, darf die Dezimalzahl sie nicht ersetzen. Eine Dezimalzahl eignet sich zusätzlich zur Einordnung oder Kontrolle.

Dynamische Parabelkontrolle

Datei:Schnittpunkte von Parabeln mit den Koordinatenachsen - kolleg24 Mathematik.webm

Methode 3: Substitution bei biquadratischen Gleichungen

Beispiel:

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$

Setze

$z = x^{2}$ .

Dann:

$z^{2} - 5 z + 4 = 0$

Faktorisieren:

$(z - 1) (z - 4) = 0$

also

$z_{1} = 1, z_{2} = 4$ .

Rücksubstitution:

$x^{2} = 1$ oder $x^{2} = 4$

liefert

$x = - 2, - 1, 1, 2$ .

Fehlerwarnung: Nach der Substitution musst Du zur ursprünglichen Variablen zurückkehren.

Methode 4: Polynomdivision zur Faktorisierung

Ist bei einem Polynom eine Nullstelle $x_{0}$ bekannt, dann ist

$x - x_{0}$

ein Linearfaktor.

Beispiel:

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$

Da

$f (1) = 0$ ,

ist $x - 1$ ein Faktor. Nach Division erhältst Du:

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6)$

und weiter:

$f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ .

Damit:

$x_{1} = 1, x_{2} = 2, x_{3} = 3$ .

Leistungsfach: Begründe den Zusammenhang zwischen Nullstelle und Linearfaktor. Nutze die Polynomdivision nicht nur mechanisch.

Methode 5: Exponentialfunktionen

Beispiel:

$f (x) = 3 e^{0,5 x} - 7$

Nullstellenbedingung:

$3 e^{0,5 x} - 7 = 0$

$e^{0,5 x} = \frac{7}{3}$

Logarithmieren:

$0,5 x = \ln (\frac{7}{3})$

also exakt:

$x = 2 \ln (\frac{7}{3})$

und näherungsweise:

$x \approx 1,695$ .

Wichtig: Die Exponentialfunktion $e^{x}$ selbst wird nie null. Nullstellen entstehen hier durch die Verschiebung beziehungsweise weitere Terme.

Methode 6: Logarithmusfunktionen

Beispiel:

$f (x) = \ln (x + 2) - 1$

Definitionsbedingung:

$x + 2 > 0$

also

$x > - 2$ .

Nullstellenbedingung:

$\ln (x + 2) - 1 = 0$

$\ln (x + 2) = 1$

$x + 2 = e$

also exakt:

$x = e - 2$

und näherungsweise:

$x \approx 0,718$ .

Kontrolle: Die Lösung erfüllt die Definitionsbedingung.

Methode 7: Trigonometrische Funktionen

Beispiel im Intervall $[0, 2 π]$ :

$f (x) = \sin (x) - \frac{1}{2}$

Nullstellenbedingung:

$\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Daraus:

$x_{1} = \frac{π}{6}, x_{2} = \frac{5 π}{6}$ .

Achtung: Bei trigonometrischen Gleichungen ist das vorgegebene Intervall entscheidend. Ohne Intervall gibt es periodisch unendlich viele Lösungen.

Methode 8: Gebrochen-rationale Funktionen

Beispiel:

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ .

Eine Nullstelle liegt vor, wenn der Zähler null und der Nenner ungleich null ist.

$x - 1 = 0$

liefert

$x = 1$ .

Die Stelle

$x = - 2$

gehört nicht zur Definitionsmenge und ist keine Nullstelle.

Merke: Zähler null, Nenner nicht null.

Graphische Bestimmung und Kontrolle

Graphisch bestimmst Du Nullstellen als $x$ -Koordinaten von Schnitt- oder Berührpunkten mit der $x$ -Achse.

Stärken: schnelle Übersicht, Plausibilitätsprüfung, näherungsweise Werte.

Grenzen: Zoom und Fensterwahl beeinflussen die Genauigkeit. Eine Berührung kann leicht übersehen werden. Ein Graph ersetzt keine exakte algebraische Begründung.

Beispiel:

$f (x) = x^{3} + x - 1$

hat eine reelle Nullstelle ungefähr bei

$x \approx 0,682$ .

Eine graphische Darstellung kann diesen Wert eingrenzen. Im Leistungsfach 2027 ist ein formales Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung jedoch kein Gegenstand der schriftlichen Abiturprüfung.

Verfahrenswahl

Lineare Funktion: Äquivalenzumformung.

Produktform: Satz vom Nullprodukt.

Quadratische Funktion: Faktorisieren oder Lösungsformel.

Biquadratische Struktur: Substitution.

Polynom höheren Grades mit bekannter Nullstelle: Linearfaktor und Polynomdivision.

Exponentialgleichung: isolieren und logarithmieren.

Logarithmusgleichung: Definitionsmenge prüfen und exponentieren.

Trigonometrische Gleichung: Grundlösungen und Intervall beziehungsweise Periodizität beachten.

Gebrochen-rationale Funktion: Zähler null setzen und Definitionsmenge prüfen.

Interaktive Beispiele mit Hilfen und Feedback

Beispiel 1: Produktform

Bestimme die Nullstellen von

$f (x) = - 3 (x + 4) (x - 2)^{2}$ .

Hilfe 1: Setze jeden variablen Faktor gleich null.

Hilfe 2: Die Potenz $2$ verändert die Nullstelle nicht, aber ihre Vielfachheit.

Feedback und Lösung: $x_{1} = - 4$ ist eine einfache Nullstelle. $x_{2} = 2$ ist eine doppelte Nullstelle. Der Graph kreuzt bei $- 4$ die Achse und berührt sie bei $2$ .

Beispiel 2: Substitution

Bestimme die reellen Nullstellen von

$f (x) = x^{4} - 13 x^{2} + 36$ .

Hilfe: Setze $z = x^{2}$ .

Feedback und Lösung: $z^{2} - 13 z + 36 = (z - 4) (z - 9)$ . Also $z = 4$ oder $z = 9$ . Rücksubstitution liefert $x = - 3, - 2, 2, 3$ .

Beispiel 3: Exakt und näherungsweise

Bestimme die Nullstelle von

$f (x) = 2 e^{x} - 5$ .

Feedback und Lösung: $2 e^{x} = 5$ , also $x = \ln (\frac{5}{2})$ . Näherungsweise gilt $x \approx 0,916$ . Der Logarithmusausdruck ist das exakte Ergebnis.

Beispiel 4: Definitionsmenge

Bestimme die Nullstelle von

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Feedback und Lösung: $x = - 3$ . Der ausgeschlossene Wert $x = 1$ ist keine Nullstelle, sondern eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist.

Fehleranalyse

Fehler A: Aus $x (x - 3) = 5$ wird direkt $x = 0$ oder $x = 3$ geschlossen.

Warum falsch? Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt gleich null ist.

Fehler B: Aus $x^{2} = 9$ wird nur $x = 3$ notiert.

Korrekt: $x = \pm 3$ .

Fehler C: Ein Taschenrechnerwert wie $1,414$ wird als exakt bezeichnet.

Korrekt: $\sqrt{2}$ ist exakt, $1,414$ ist gerundet.

Fehler D: Bei $\ln (x - 4) = 0$ wird die Definitionsbedingung ignoriert.

Korrekt: Zuerst $x > 4$ beachten.

Fehler E: Ein Graph zeigt scheinbar keine Nullstelle und dies wird ohne weitere Prüfung übernommen.

Korrekt: Fenster, Skalierung und mögliche Berührstellen prüfen.

Fehler F: Eine KI-Ausgabe wird ungeprüft übernommen.

Korrekt: Rechenweg, Definitionsmenge, Probe und gegebenenfalls Gegenbeispiel prüfen. KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Ordne Dir pro Aussage 0, 1 oder 2 Punkte zu: 0 = unsicher, 1 = teilweise sicher, 2 = sicher.

Ich kann aus $f (x) = 0$ eine geeignete Gleichung bilden.
Ich erkenne eine Produktform und nutze den Satz vom Nullprodukt korrekt.
Ich kann zwischen exaktem und gerundetem Ergebnis unterscheiden.
Ich beachte Definitionsmengen.
Ich kann graphisch prüfen, ohne den Graphen mit einem Beweis zu verwechseln.
Ich kann bei einem Polynom eine sinnvolle Faktorisierungsstrategie wählen.
Ich kann im Leistungsfach einen Lösungsweg begründen.

Orientierung: 11 bis 14 Punkte: sicher; 7 bis 10 Punkte: gezielt nacharbeiten; 0 bis 6 Punkte: Grundlagen wiederholen und Beispiele erneut bearbeiten.

Transfer

Eine Flugbahn werde näherungsweise beschrieben durch

$h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ .

Die Nullstelle mit $t > 0$ beschreibt modellhaft den Zeitpunkt des Auftreffens auf dem Boden.

Auftrag: Löse $h (t) = 0$ , interpretiere nur die sachlich sinnvolle Lösung und kontrolliere sie graphisch.

Hinweis: Eine mathematisch zulässige Nullstelle kann im Sachkontext unbrauchbar sein, etwa wenn sie eine negative Zeit beschreibt.

Kompetenzcheck Basisfach und Leistungsfach

Basisfach: Bestimme die Nullstellen von $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$ , kontrolliere sie graphisch und erläutere den Zusammenhang zwischen Rechnung und Graph.

Leistungsfach: Untersuche $f_{a} (x) = (x - a)^{2} (x + 2)$ in Abhängigkeit von $a$ . Beschreibe Nullstellen, Vielfachheiten und graphisches Verhalten und begründe Deine Aussagen formal.

Modellierung: Entscheide bei einer Sachaufgabe, welche Nullstellen mathematisch entstehen und welche davon im Modell sinnvoll sind.

Reflexion

Beantworte schriftlich:

Wann ist eine graphische Nullstelle ausreichend und wann brauchst Du einen exakten Wert?
Welches Verfahren erkennst Du am schnellsten?
Bei welchem Funktionstyp machst Du noch typische Fehler?
Wie kannst Du ein digitales Ergebnis unabhängig prüfen?
Welche zusätzliche Begründung würdest Du im Leistungsfach ergänzen?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was gilt für jede Nullstelle x0 einer Funktion f? (f von x0 ist gleich null) (!x0 ist immer positiv) (!Der Graph hat dort immer einen Hochpunkt) (!Die Ableitung ist dort immer null)

Welche Nullstellen hat f von x gleich x minus 2 mal x plus 5? (x gleich 2 und x gleich minus 5) (!x gleich minus 2 und x gleich 5) (!x gleich 2) (!x gleich minus 5)

Welches Verfahren ist für x hoch 4 minus 5x hoch 2 plus 4 gleich null besonders geeignet? (Substitution) (!Ableiten) (!Integrieren) (!Vektorrechnung)

Was ist die exakte positive Lösung von x hoch 2 gleich 2? (Wurzel aus 2) (!1 Komma 41) (!2) (!Wurzel aus 4)

Wann darf der Satz vom Nullprodukt direkt angewendet werden? (Wenn ein Produkt gleich null ist) (!Wenn eine Summe gleich fünf ist) (!Wenn eine Ableitung gleich null ist) (!Bei jeder quadratischen Gleichung ohne Umformung)

Was muss bei einer gebrochen rationalen Funktion zusätzlich geprüft werden? (Ob der Nenner ungleich null ist) (!Ob der Zähler immer positiv ist) (!Ob die Ableitung konstant ist) (!Ob der Graph symmetrisch ist)

Welche Aussage zu einem graphisch abgelesenen Nullstellenwert ist korrekt? (Er ist häufig nur näherungsweise bestimmt) (!Er ist immer exakt) (!Er ersetzt jede Rechnung) (!Er ist unabhängig von der Skalierung)

Was kennzeichnet eine doppelte Nullstelle bei einem Polynom typischerweise? (Der Graph berührt dort die x Achse) (!Der Graph hat dort zwingend eine Polstelle) (!Der Graph ist dort nicht definiert) (!Der Graph hat dort zwingend den Wert eins)

Welche Gleichung entsteht aus f von x gleich 3e hoch 0 Komma 5x minus 7 für eine Nullstelle? (3e hoch 0 Komma 5x gleich 7) (!3e hoch 0 Komma 5x gleich minus 7) (!e hoch x gleich null) (!0 Komma 5x gleich 7)

Welche Aussage gilt für das Leistungsfach Mathematik im schriftlichen Abitur Baden Württemberg 2027? (Näherungsverfahren sind laut Facherlass kein Gegenstand der schriftlichen Prüfung) (!GeoGebra ist als allgemeines Prüfungshilfsmittel zugelassen) (!Der gesamte schriftliche Teil wird mit Taschenrechner bearbeitet) (!Nullstellen dürfen nur graphisch bestimmt werden)

Memory

Nullstelle	Funktionswert null
Produktform	Satz vom Nullprodukt
Biquadratische Gleichung	Substitution
Dezimalwert	Näherung
Wurzelausdruck	exaktes Ergebnis
Nennernullstelle	ausgeschlossener Wert
doppelte Nullstelle	Berührung der x-Achse

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Faktorisieren	Produktform herstellen
Substitution	Potenzstruktur vereinfachen
Logarithmieren	Exponentialgleichung lösen
Graphische Kontrolle	Nullstellenlage prüfen
Definitionsmenge	ausgeschlossene Werte beachten

Kreuzworträtsel

Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit Funktionswert null?
Faktor	Wie heißt ein Teil eines Produkts?
Substitution	Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
Logarithmus	Welche Umkehrung hilft beim Lösen von Exponentialgleichungen?
Parabel	Wie heißt der typische Graph einer quadratischen Funktion?
Definitionsmenge	Wie heißt die Menge aller zulässigen Eingabewerte?

LearningApps

Lückentext

Eine Nullstelle

x_{0}

erfüllt die Gleichung

. Liegt ein Funktionsterm als Produkt vor, hilft der

. Bei einer biquadratischen Gleichung kann die Potenzstruktur durch eine

vereinfacht werden. Ein Ergebnis wie

\sqrt{2}

ist

, während

1,414

eine

ist. Bei gebrochen-rationalen Funktionen muss zusätzlich die

geprüft werden. Eine graphische Lösung liefert häufig nur einen

. Bei einer doppelten Nullstelle

der Graph typischerweise die x-Achse. Zum Lösen einer Exponentialgleichung kann der

verwendet werden. Digitale Werkzeuge dienen im Kurs zur Kontrolle, sind aber nicht automatisch

.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A: Faktorisieren

Bestimme die Nullstellen von

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 8 x$ .

Hilfe: Klammere zunächst $x$ aus.

Feedback: $f (x) = x (x^{2} + 2 x - 8) = x (x + 4) (x - 2)$ . Nullstellen: $- 4, 0, 2$ .

Übung B: Quadratisch

Bestimme die Nullstellen von

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 2$ .

Hilfe: Nutze eine quadratische Lösungsformel oder faktorisiere.

Feedback: $2 x^{2} - 3 x - 2 = (2 x + 1) (x - 2)$ . Also $x_{1} = - \frac{1}{2}$ und $x_{2} = 2$ .

Übung C: Exponentialfunktion

Bestimme die Nullstelle von

$f (x) = 4 e^{2 x} - 9$ .

Hilfe: Isoliere zuerst den Exponentialterm.

Feedback: $e^{2 x} = \frac{9}{4}$ , also $x = \frac{1}{2} \ln (\frac{9}{4}) = \ln (\frac{3}{2})$ .

Übung D: Logarithmus

Bestimme die Nullstelle von

$f (x) = \ln (2 x - 1)$ .

Hilfe: Beachte zuerst $2 x - 1 > 0$ .

Feedback: $\ln (2 x - 1) = 0$ führt zu $2 x - 1 = 1$ . Damit $x = 1$ ; die Definitionsbedingung ist erfüllt.

Übung E: Graph versus Rechnung

Zeichne

$f (x) = x^{2} - 2$

mit einem dynamischen Graphen. Lies die Nullstellen ab und vergleiche sie mit dem exakten Ergebnis.

Feedback: Graphisch erhältst Du ungefähr $\pm 1,414$ . Rechnerisch exakt gilt $x = \pm \sqrt{2}$ .

Medienlabor

Freie Grafik: Polynom dritten Grades

Freie Grafik: Vielfachheiten von Nullstellen

Freie Grafik: Quadratische Nullstellen

Freie Grafik: Exponentialfunktion und Logarithmus

Freie Grafik: Sinus und Kosinus

Freies Erklärvideo auf Wikimedia Commons

Datei:Schnittpunkte von Parabeln mit den Koordinatenachsen - kolleg24 Mathematik.webm

Dynamisches Modell: Nullstellen und Linearfaktoren

Dynamisches Modell: Vielfachheit und Vorzeichenwechsel

Video: drei Lösungswege

Video: Substitution

Video: Polynomdivision

Offene Aufgaben

Leicht

Nullstelle erkennen: Fotografiere oder zeichne drei unterschiedliche Graphen mit null, einer und zwei reellen Nullstellen und markiere die entscheidenden Stellen.
Faktorisieren: Erstelle eine eigene Funktion mit genau drei vorgegebenen ganzzahligen Nullstellen und überprüfe sie rechnerisch.
Graphische Kontrolle: Wähle eine quadratische Funktion, berechne ihre Nullstellen und kontrolliere sie mit einem dynamischen Graphen.
Fehlerkarte: Gestalte eine Lernkarte zu einem typischen Fehler bei der Nullstellenbestimmung.

Standard

Verfahrensvergleich: Löse dieselbe kubische Gleichung durch Faktorisieren und graphische Kontrolle und vergleiche die Aussagekraft beider Darstellungen.
Exakt und näherungsweise: Sammle fünf Nullstellen, die sich exakt darstellen lassen, und ergänze jeweils eine sinnvolle Dezimalnäherung.
Funktionstypen: Entwickle je eine Aufgabe zu einer Polynom-, Exponential- und Logarithmusfunktion und verfasse vollständige Lösungen.
GeoGebra-Experiment: Untersuche mit einem Schieberegler, wie sich die Nullstellen von $f_{a} (x) = x^{2} - a$ in Abhängigkeit von $a$ verändern.

Schwer

Parameteraufgabe: Untersuche $f_{a} (x) = x^{2} - 2 a x + a - 1$ hinsichtlich der Anzahl reeller Nullstellen in Abhängigkeit von $a$ .
Modellierung: Entwickle eine realistische Sachaufgabe, in der nur eine von mehreren mathematischen Nullstellen sachlich sinnvoll ist, und begründe die Auswahl.
Beweisidee: Begründe formal, warum aus $f (x_{0}) = 0$ für ein Polynom folgt, dass $x - x_{0}$ ein Faktor ist.
Prüfungscheck 2027: Erstelle aus den offiziellen Vorgaben eine kurze Übersicht, welche Hilfsmittel im Mathematik-Abitur 2027 wann eingesetzt werden dürfen, und trenne Übungssoftware klar von Prüfungshilfsmitteln.

Lernkontrolle

Strategiewahl: Für fünf verschieden strukturierte Funktionsterme sollst Du jeweils ein geeignetes Verfahren zur Nullstellenbestimmung auswählen und Deine Wahl begründen, ohne die Gleichung vollständig zu lösen.
Darstellungswechsel: Zu einem gegebenen Graphen mit einer einfachen und einer doppelten Nullstelle entwickelst Du einen möglichen Funktionsterm und begründest die Vielfachheiten.
Exaktheit: Vergleiche ein exaktes Ergebnis und eine Dezimalnäherung derselben Nullstelle. Erläutere, in welcher Situation welche Darstellung sinnvoller ist.
Fehlerdiagnose: Analysiere einen fehlerhaften Lösungsweg, bei dem der Satz vom Nullprodukt falsch angewendet wird, und korrigiere ihn vollständig.
Definitionsmenge: Untersuche eine gebrochen-rationale und eine logarithmische Funktion. Zeige, wie die Definitionsmenge das Ergebnis der Nullstellenbestimmung beeinflusst.
Modelltransfer: Interpretiere Nullstellen einer Funktion in einem Sachkontext und begründe, welche mathematischen Lösungen im Modell verworfen werden müssen.
Prüfungsargumentation: Erkläre, warum ein mit GeoGebra gefundener Dezimalwert eine algebraische Begründung nicht ersetzt und wie Du das Ergebnis unabhängig überprüfst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

Nullstellen sicher als Lösungen von $f (x) = 0$ zu bestimmen.
Faktorisieren, Nullprodukt, quadratische Lösungsverfahren und Substitution passend einzusetzen.
bei höheren Polynomen einen bekannten Linearfaktor für eine weitere Zerlegung zu nutzen.
Exponential- und Logarithmusgleichungen korrekt umzuformen.
Definitionsmengen und ausgeschlossene Werte zu berücksichtigen.
exakte und näherungsweise Ergebnisse klar zu unterscheiden.
graphische Kontrollen sinnvoll einzusetzen und ihre Grenzen zu benennen.
Rechenwege nachvollziehbar zu begründen.
im Basisfach verständig und anschaulich, im Leistungsfach vertieft und formal zu argumentieren.
digitale und KI-gestützte Ergebnisse mathematisch zu prüfen.

OERs zum Thema

Wikimedia Commons: Polynomial roots multiplicity

Wikimedia Commons: Quadratic roots

Wikimedia Commons: Erklärvideo zu Parabeln und Achsenschnittpunkten

Verknüpfte Lernbereiche

Nullstellen

Folgekurs

Als nächstes bietet sich an:

ABI - Ableitungen und Extrempunkte bestimmen: Nullstellen von Ableitungen zur Bestimmung stationärer Stellen nutzen.
ABI - Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten verbinden.
ABI - Exponentialfunktionen im Abitur: Gleichungen, Ableitungen, Modelle und Wachstumsprozesse vertiefen.
ABI - Integralrechnung und Flächen: Schnittpunkte und Nullstellen als Grenzen von Flächenberechnungen nutzen.

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