ABI - Exponentielles Wachstum und Zerfall modellieren

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ABI - Exponentielles Wachstum und Zerfall modellieren

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ABI - Exponentielles Wachstum und Zerfall modellieren

Mini-Beschreibung: Entwickle und interpretiere exponentielle Modelle aus Anfangswert und Änderungsparameter. Zielgruppe ist die Kursstufe mit Blick auf das Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg.

Einleitung

Exponentielle Modelle passen, wenn sich eine Größe in gleichen Zeitschritten jeweils mit demselben Faktor verändert oder – im kontinuierlichen Modell – die momentane Änderungsrate proportional zum aktuellen Bestand ist. Du sollst Modelle aufstellen, Parameter deuten, Rechnungen nachvollziehbar begründen und die Grenzen eines Modells erkennen.

Prüfungshinweis Baden-Württemberg: Basisfach und Leistungsfach verfolgen gemeinsame mathematische Kompetenzen; das Leistungsfach arbeitet mit größerer Tiefe, Präzision und Formalisierung. Verbindlich sind immer der für Deinen Prüfungsjahrgang geltende Bildungsplan und Facherlass. Übungswerkzeuge wie GeoGebra, CAS oder KI sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel. Prüfe deshalb die Vorgaben Deines Jahrgangs: Bildungspläne Baden-Württemberg · Landesbildungsserver: Prüfungsvorbereitung

KI-Regel: Lass Dir Rechenideen erklären, aber prüfe Terme, Einheiten, Parameter und Schlussfolgerungen selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. aus Anfangswert und Änderungsparameter ein exponentielles Modell bilden,
2. zwischen diskreten und kontinuierlichen Modellannahmen unterscheiden,
3. Wachstumsfaktor, relative Änderungsrate, Verdopplungszeit und Halbwertszeit ineinander überführen,
4. Parameter aus Daten bestimmen und sinnvoll interpretieren,
5. Exponentialgleichungen mit Logarithmen lösen,
6. Modellgrenzen erkennen und Ergebnisse im Sachzusammenhang prüfen,
7. im Leistungsfach zusätzlich Modellgleichungen stärker formalisieren und begründen.

Vorwissen-Check

Prüfe ohne Taschenrechner:

1. Was bedeutet $a^0$ für $a>0$?
2. Wie wandelst Du $8\mathrm{\%}$ in einen Faktor für eine Zunahme um?
3. Was ist $\ln (e^x)$?
4. Woran erkennst Du in einer Wertetabelle eher lineares und woran eher exponentielles Verhalten?

Sofort-Feedback: Du solltest auf $1$, $\mathrm{1,08}$, $x$ und auf konstante Differenzen versus konstante Quotienten kommen.

Kernidee: Faktor statt Differenz

Bei linearem Wachstum ist die Differenz konstant. Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant.

$B_{n+1}=q\cdot B_n$

Daraus folgt für diskrete Zeitschritte:

$B_n=B_0\cdot q^n$

Dabei ist $B_0$ der Anfangswert und $q$ der Wachstums- oder Zerfallsfaktor.

$q=1+p$

Hier ist $p$ die relative Änderung als Dezimalzahl. Bei Abnahme ist $p<0$ und damit $0<q<1$.

Dynamischer Graph: Einfluss der Basis

Verändere im Applet den Parameter und beobachte den Graphen. Formuliere danach selbst die Fälle $a>1$, $0<a<1$ und $a=1$.

Denkfrage: Was bleibt bei $f(x)=a^x$ trotz verschiedener positiver Basen gleich?

Feedback: Alle diese Graphen gehen durch $(0|1)$. Für $a>1$ wächst der Graph, für $0<a<1$ fällt er.

Diskretes und kontinuierliches Modell

Diskret: Das Modell beschreibt feste Zeitschritte.

$B_n=B_0\cdot q^n$

Kontinuierlich: Die Zeitvariable darf jeden reellen Wert annehmen.

$B(t)=B_0\cdot e^{kt}$

Beide Schreibweisen lassen sich pro Zeiteinheit ineinander überführen:

$q=e^k$

$k=\ln (q)$

Wichtig: Eine Zunahme um $8\mathrm{\%}$ pro Zeiteinheit bedeutet im diskreten Modell $q=\mathrm{1,08}$. Das äquivalente kontinuierliche Modell hat

$k=\ln (\mathrm{1,08})\approx \mathrm{0,07696}$.

Dagegen bedeutet $k=\mathrm{0,08}$ eine kontinuierliche relative Änderungsrate von $8\mathrm{\%}$; der Faktor nach einer Zeiteinheit ist dann $e^{\mathrm{0,08}}\approx \mathrm{1,0833}$.

Basisfach und Leistungsfach

Basisfach: Stelle Modelle verständig auf, deute Parameter, löse typische Gleichungen und argumentiere anschaulich am Graphen und Sachkontext.

Leistungsfach: Begründe zusätzlich formaler, untersuche Parameterabhängigkeiten, leite Zusammenhänge her und verknüpfe das Modell – soweit für Deinen Jahrgang vorgesehen – mit der Differentialgleichung

$B^{\prime }(t)=k\cdot B(t)$.

Eine Lösung mit Anfangswert $B(0)=B_0$ ist

$B(t)=B_0{e}^{kt}$.

Modell aus Anfangswert und Änderungsparameter

Beispiel 1: Modellpopulation

Eine Modellpopulation startet mit $P_0=5000$ Einheiten und wächst pro Zeitschritt um $3\mathrm{\%}$.

$q=1+\mathrm{0,03}=\mathrm{1,03}$

$P(n)=5000\cdot \mathrm{1,0}{3}^n$

Nach zehn Schritten:

$P(10)=5000\cdot \mathrm{1,0}{3}^{10}\approx \mathrm{6719,6}$

Interpretation: Der Faktor $\mathrm{1,03}$ wirkt in jedem modellierten Zeitschritt auf den jeweils aktuellen Bestand.

Modellgrenze: Ein konstantes relatives Wachstum ist eine Annahme. Reale Populationen können durch begrenzte Ressourcen, wechselnde Bedingungen oder andere Einflüsse abweichen.

Beispiel 2: Medikamentenkonzentration als reines Mathematikmodell

In einem rein mathematischen Modell seien anfangs $20$ Einheiten einer Konzentration vorhanden. Pro Stunde bleiben $82\mathrm{\%}$ des vorherigen Wertes übrig.

$C(t)=20\cdot \mathrm{0,8}{2}^t$

Äquivalent:

$C(t)=20\cdot e^{\ln (\mathrm{0,82})t}$

mit

$k=\ln (\mathrm{0,82})\approx -\mathrm{0,198}$.

Die Halbwertszeit erfüllt

$\mathrm{0,5}=\mathrm{0,8}{2}^{t_{1/2}}$

also

$t_{1/2}=\frac{\ln (\mathrm{0,5})}{\ln (\mathrm{0,82})}\approx \mathrm{3,49}$.

Hinweis: Das ist ausschließlich ein mathematisches Modellbeispiel und keine medizinische Aussage oder Dosierungsanweisung.

Beispiel 3: Temperatur als mathematisches Abkühlungsmodell

Eine Umgebung habe konstant $20^{\circ }\mathrm{C}$. Ein Körper starte im Modell bei $80^{\circ }\mathrm{C}$. Nicht die Temperatur selbst, sondern die Differenz zur Umgebung werde exponentiell kleiner.

$T(t)=20+60e^{-\mathrm{0,25}t}$

Nach vier Zeiteinheiten:

$T(4)=20+60e^{-1}\approx \mathrm{42,1}$

Interpretation: Die Differenz $T(t)-20$ wird exponentiell modelliert. Das Modell setzt eine konstante Umgebung und einen konstanten Parameter voraus.

Beispiel 4: Zerfall als mathematisches Halbwertszeitmodell

Ein abstrakter Bestand starte bei $N_0=640$ und halbiere sich im Modell alle sechs Zeiteinheiten.

$N(t)=640\cdot 2^{-t/6}$

Denn nach sechs Zeiteinheiten gilt:

$N(6)=640\cdot 2^{-1}=320$

und nach zwölf Zeiteinheiten:

$N(12)=640\cdot 2^{-2}=160$.

Modelle aus zwei Datenpunkten bestimmen

Sind $B(0)=B_0$ und $B(t_1)=B_1$ bekannt, kann im diskreten Faktor-Modell gelten:

$B_1=B_0{q}^{t_1}$

Daraus folgt:

$q={\left(\frac{B_1}{B_0}\right)}^{1/t_1}$

Beispiel: $B(0)=120$ und $B(4)=300$.

$q={\left(\frac{300}{120}\right)}^{1/4}=\mathrm{2,}{5}^{1/4}\approx \mathrm{1,257}$

Damit:

$B(t)\approx 120\cdot \mathrm{1,25}{7}^t$

Hilfe: Prüfe zuerst, ob beide Werte positiv sind und ob dieselbe Zeiteinheit verwendet wird.

Feedback: Ein Faktor größer als $1$ passt hier zur Zunahme von $120$ auf $300$.

Visueller Modellvergleich

Verändere die Basis und entscheide jeweils: Wachstum, Zerfall oder konstantes Modell.

Verdopplungszeit und Halbwertszeit

Für ein kontinuierliches Wachstumsmodell

$B(t)=B_0{e}^{kt}$

gilt bei $k>0$ für die Verdopplungszeit:

$T_2=\frac{\ln 2}{k}$

Bei $k<0$ gilt für die Halbwertszeit:

$T_{1/2}=\frac{\ln (1/2)}{k}$

Da Zähler und Nenner im zweiten Ausdruck negativ sind, ist $T_{1/2}>0$.

Exponentialgleichungen lösen

Gesucht sei $t$ in

$150\cdot \mathrm{1,1}{2}^t=300$.

Schritt 1: Durch $150$ teilen.

$\mathrm{1,1}{2}^t=2$

Schritt 2: Logarithmieren.

$t\ln (\mathrm{1,12})=\ln 2$

Schritt 3: Nach $t$ auflösen.

$t=\frac{\ln 2}{\ln (\mathrm{1,12})}\approx \mathrm{6,12}$

Plausibilitätscheck: Bei $12\mathrm{\%}$ Wachstum pro Schritt ist eine Verdopplung nach etwas mehr als sechs Schritten plausibel.

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Interaktives Beispiel mit Hilfe und Feedback

Aufgabe: Ein Modell startet bei $240$ und besitzt den kontinuierlichen Parameter $k=-\mathrm{0,18}$. Bestimme den Wert nach fünf Zeiteinheiten und die Halbwertszeit.

Hilfe 1: Verwende $B(t)=B_0{e}^{kt}$.

Hilfe 2: Für die Halbwertszeit löse $e^{kT}=\mathrm{0,5}$.

Rechenweg:

$B(5)=240e^{-\mathrm{0,9}}\approx \mathrm{97,6}$

$T_{1/2}=\frac{\ln (\mathrm{0,5})}{-\mathrm{0,18}}\approx \mathrm{3,85}$

Feedback: Beide Ergebnisse passen zum Zerfall: Der Bestand sinkt und die Halbwertszeit ist positiv.

Fehleranalyse

1. Prozent und Faktor verwechselt: Aus $5\mathrm{\%}$ Wachstum wird $q=\mathrm{1,05}$, nicht $\mathrm{0,05}$.
2. Zerfall falsch notiert: Bei $12\mathrm{\%}$ Abnahme ist $q=\mathrm{0,88}$, nicht $-\mathrm{0,12}$.
3. Diskret und kontinuierlich vermischt: $q$ und $k$ sind durch $q=e^k$ verbunden, aber nicht gleich.
4. Logarithmus zu früh eingesetzt: Isoliere zuerst den Exponentialterm.
5. Sachkontext vergessen: Ein rechnerisch korrektes Ergebnis kann außerhalb des sinnvollen Modellbereichs liegen.

Fehlerdetektiv

Eine Lösung behauptet:

$500\cdot \mathrm{0,}{9}^t=250$

also

$t=\frac{\ln (\mathrm{0,9})}{\ln (\mathrm{0,5})}$.

Finde den Fehler.

Feedback: Nach dem Teilen durch $500$ gilt $\mathrm{0,}{9}^t=\mathrm{0,5}$. Daher ist

$t=\frac{\ln (\mathrm{0,5})}{\ln (\mathrm{0,9})}$.

Zähler und Nenner dürfen nicht vertauscht werden.

Selbstkontrolle

1. Kannst Du aus einer Prozentangabe den Faktor bilden?
2. Kannst Du $q$ und $k$ ineinander umrechnen?
3. Kannst Du aus zwei Punkten einen Exponentialterm bestimmen?
4. Kannst Du eine Halbwerts- oder Verdopplungszeit herleiten?
5. Kannst Du erklären, warum ein Modell nur in einem bestimmten Bereich sinnvoll sein kann?
6. Kannst Du eine KI-Rechnung durch Einsetzen und Größenordnung prüfen?

Transfer

Population: Begründe, warum konstantes relatives Wachstum über lange Zeiträume oft nur eine Näherung ist.

Medikament: Vergleiche ein diskretes Restfaktor-Modell mit einem kontinuierlichen Modell, ohne medizinische Empfehlungen abzuleiten.

Temperatur: Erkläre, warum bei einem Abkühlungsmodell häufig die Differenz zur Umgebung exponentiell modelliert wird.

Zerfall: Zeige rechnerisch, dass bei einem Halbwertszeitmodell nach jeder weiteren Halbwertszeit erneut die Hälfte des dann vorhandenen Bestands übrig bleibt.

Kompetenzcheck Basisfach / Leistungsfach

Basisfach – Du solltest sicher können:

1. Modellterm aus Anfangswert und Faktor bilden.
2. Prozentuale Änderung und Faktor übersetzen.
3. Parameter am Graphen und im Kontext deuten.
4. Exponentialgleichungen in Standardsituationen lösen.
5. Ergebnisse anschaulich begründen.

Leistungsfach – zusätzlich vertiefen:

1. Zwischen $q$, $k$, Verdopplungszeit und Halbwertszeit systematisch umrechnen.
2. Modelle aus Bedingungen herleiten und formal begründen.
3. Die Beziehung $B^{\prime }=kB$ mit der Exponentialfunktion verknüpfen.
4. Modellannahmen, Parameteränderungen und Gültigkeitsbereiche differenziert diskutieren.

Reflexion

Beantworte schriftlich:

1. Welche Information brauchst Du mindestens, um ein einfaches exponentielles Modell eindeutig festzulegen?
2. Wann ist $B_0{q}^t$ nur eine kontinuierliche Fortsetzung eines ursprünglich diskreten Modells?
3. Welche Prüfungsschritte helfen Dir, einen von KI oder CAS erzeugten Modellterm zu kontrollieren?

Folgekurs

Vertiefe anschließend Logarithmen, Exponentialfunktionen, Differentialgleichungen und die mathematische Modellierung.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welcher Faktor gehört zu einer Zunahme um 7 Prozent pro Zeitschritt? (1,07) (!0,07) (!0,93) (!7)

Welcher Faktor beschreibt eine Abnahme um 18 Prozent pro Zeitschritt? (0,82) (!1,18) (!0,18) (!0,88)

Welche Größe ist bei einem ideal exponentiellen diskreten Modell konstant? (Quotient aufeinanderfolgender Werte) (!Differenz aufeinanderfolgender Werte) (!Summe aufeinanderfolgender Werte) (!Ableitung an jedem Punkt)

Wie hängen kontinuierlicher Parameter und Faktor pro Zeiteinheit zusammen? (q ist e hoch k) (!q ist k plus 1) (!q ist k geteilt durch e) (!q ist der Kehrwert von k)

Was gilt bei exponentiellem Zerfall für den Faktor q? (q liegt zwischen 0 und 1) (!q ist größer als 1) (!q ist kleiner als 0) (!q ist immer gleich 0)

Was beschreibt der Anfangswert eines Modells? (Wert zum Startzeitpunkt) (!Steigung im Wendepunkt) (!Halbwertszeit) (!Logarithmus des Faktors)

Welche Rechenoperation hilft beim Lösen einer Exponentialgleichung nach der Zeit? (Logarithmieren) (!Quadrieren) (!Ableiten) (!Addieren einer Konstanten)

Was bedeutet Halbwertszeit in einem exponentiellen Zerfallsmodell? (Zeit bis zur Halbierung) (!Zeit bis zum vollständigen Verschwinden) (!Zeit bis zur Verdopplung) (!Zeit bis zum Anfangswert)

Was sollte bei einem Sachmodell zusätzlich zur Rechnung geprüft werden? (Gültigkeit der Modellannahmen) (!Nur die Anzahl der Nachkommastellen) (!Nur die Schriftgröße des Terms) (!Nur die Reihenfolge der Variablen)

Welche Aussage zu KI Ergebnissen in Mathematik ist angemessen? (Rechenweg und Ergebnis selbst prüfen) (!KI ersetzt einen mathematischen Beweis) (!KI Ergebnisse sind automatisch exakt) (!KI darf ungeprüft in Prüfungen übernommen werden)

Memory

Anfangswert	Modellwert zum Startzeitpunkt
Wachstumsfaktor	Multiplikator pro Zeitschritt
Zerfallsfaktor	Multiplikator zwischen null und eins
Kontinuierlicher Parameter	Koeffizient im Exponenten bei e
Halbwertszeit	Zeitspanne bis zur Hälfte
Verdopplungszeit	Zeitspanne bis zum Doppelten
Logarithmus	Umkehroperation des Exponenzierens

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Konstanter Quotient	Exponentielles diskretes Modell
Konstante Differenz	Lineares Modell
Faktor größer als eins	Wachstum
Faktor zwischen null und eins	Zerfall
Proportionale momentane Änderungsrate	Kontinuierliches Exponentialmodell

Kreuzworträtsel

Faktor	Welcher Multiplikator verändert den Bestand pro Zeitschritt?
Logarithmus	Welche Rechenoperation macht einen Exponenten zugänglich?
Halbwertszeit	Wie heißt die Zeitspanne bis zur Hälfte eines Zerfallsbestands?
Verdopplungszeit	Wie heißt die Zeitspanne bis zum doppelten Wert eines Wachstumsbestands?
Anfangswert	Wie heißt der Modellwert zum Startzeitpunkt?
Zerfall	Wie heißt eine exponentielle Abnahme?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein exponentielles diskretes Modell besitzt in gleichen Zeitschritten einen konstanten . Der Wert bei Beginn heißt . Bei Wachstum ist der Wachstumsfaktor größer als . Bei Zerfall liegt der Faktor zwischen null und . Im kontinuierlichen Modell wird häufig die Basis verwendet. Faktor und kontinuierlicher Parameter sind durch den natürlichen miteinander verbunden. Eine Halbwertszeit beschreibt die Zeit bis zur . Beim Lösen nach einer Zeitvariable hilft das . Ein Modell muss zusätzlich auf seinen geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Wachstumsfaktor: Erfinde drei Prozentangaben und übersetze sie jeweils in einen Wachstums- oder Zerfallsfaktor.
2. Funktionsgraph: Skizziere ohne digitale Hilfe $f(t)=2\cdot \mathrm{1,}{4}^t$ und $g(t)=2\cdot \mathrm{0,}{7}^t$ und markiere den gemeinsamen Anfangswert.
3. Parameterdeutung: Erkläre in drei Sätzen die Bedeutung von $B_0$, $q$ und $k$.
4. Plausibilitätsprüfung: Entwickle zwei schnelle Kontrollen, mit denen Du erkennst, ob ein berechneter Zerfallswert sinnvoll sein kann.

Standard

1. Modellbildung: Erstelle aus zwei selbst gewählten positiven Datenpunkten ein exponentielles Modell und dokumentiere jeden Rechenschritt.
2. GeoGebra: Baue ein Schieberegler-Modell für $B(t)=B_0{e}^{kt}$ und beschreibe getrennt den Einfluss von $B_0$ und $k$.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine typische falsche Lösung zu einer Exponentialgleichung, markiere den Fehler und korrigiere sie.
4. Modellvergleich: Modelliere dieselbe prozentuale Änderung einmal diskret und einmal kontinuierlich und erkläre den Parameterunterschied.

Schwer

1. Differentialgleichung: Zeige für $B(t)=B_0{e}^{kt}$, dass $B^{\prime }(t)=kB(t)$ gilt, und erläutere die Bedeutung.
2. Parameterbestimmung: Entwickle aus drei Datenpunkten eine Strategie, mit der Du prüfen kannst, ob ein exponentielles Modell plausibel ist.
3. Temperaturmodell: Variiere Umgebungstemperatur und Parameter in $T(t)=T_U+(T_0-T_U)e^{-kt}$ und untersuche die Graphen systematisch.
4. KI und Mathematik: Lass Dir von einer KI zwei Lösungswege zu einer selbst gewählten Modellierungsaufgabe erzeugen, prüfe beide vollständig und dokumentiere jede gefundene Schwäche.

Lernkontrolle

1. Modellwahl: Eine Wertetabelle zeigt keine exakt konstanten Quotienten. Begründe, unter welchen Bedingungen ein exponentielles Modell trotzdem sinnvoll sein kann.
2. Parameterwechsel: Vergleiche zwei Modelle mit gleichem Anfangswert, aber unterschiedlichen positiven $k$. Erkläre ohne bloßes Einsetzen, welcher Graph langfristig stärker wächst.
3. Halbwertszeit: Leite die Formel für $T_{1/2}$ aus $B(T_{1/2})=\frac{1}{2}{B}_0$ her.
4. Diskret und kontinuierlich: Ein Bestand wächst pro Zeiteinheit um $5\mathrm{\%}$. Bestimme ein diskretes und ein äquivalentes kontinuierliches Modell und erläutere, warum $\mathrm{0,05}$ nicht der kontinuierliche Parameter des äquivalenten Modells ist.
5. Modellkritik: Nenne zu einem selbst gewählten exponentiellen Modell zwei Annahmen und erkläre, wie eine Verletzung dieser Annahmen den Modellwert beeinflussen könnte.
6. Transfer: Entwickle für eine neue Sachsituation einen Exponentialterm, begründe die Parameterwahl, prüfe die Einheit und gib einen sinnvollen Gültigkeitsbereich an.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. aus Text, Tabelle oder Bedingungen ein exponentielles Modell entwickeln kannst,
2. diskrete und kontinuierliche Parameter sicher unterscheidest,
3. Rechenwege mit Potenzgesetzen und Logarithmen nachvollziehbar begründest,
4. Halbwerts- und Verdopplungszeit bestimmen und interpretieren kannst,
5. Graph, Term und Sachkontext miteinander verknüpfst,
6. Modellgrenzen und Annahmen fachlich begründet benennst,
7. digitale oder KI-gestützte Ergebnisse unabhängig mathematisch überprüfst,
8. die für Deinen Prüfungsjahrgang geltenden Hilfsmittelvorgaben beachtest.

OERs zum Thema

Weitere freie bzw. offen zugängliche Lernmedien:

1. Wikimedia Commons: Vergleich linear, Potenz und exponentiell
2. Wikimedia Commons: exponentieller Zerfall und Halbwertszeit
3. GeoGebra: Parameterabhängigkeit der Exponentialfunktion
4. GeoGebra: Halbwerts- und Verdopplungszeit

Verknüpfte Lernbereiche

Exponentielles Wachstum und Zerfall Exponentialfunktion Logarithmus Differentialgleichung Modellierung (Mathematik) Halbwertszeit Verdopplungszeit Abitur Mathematik