ABI - Erwartungswert diskreter Zufallsgrößen verstehen

Einleitung

Ein Los kostet Geld, ein Glücksrad verspricht Gewinne, ein Würfel entscheidet zufällig. Trotzdem kann man vor vielen Wiederholungen mathematisch beschreiben, welcher durchschnittliche Wert langfristig zu erwarten ist: der Erwartungswert.

Mini-Ziel: Du interpretierst Erwartungswerte als langfristige durchschnittliche Werte eines Zufallsexperiments und berechnest sie aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Dabei unterscheidest Du konsequent zwischen Erwartungswert und garantiertem Ergebnis.

Leitfrage: Ein Spiel hat den Erwartungswert $E(X)=-\mathrm{0,40}$ €. Bedeutet das, dass Du bei jedem Spiel genau 40 Cent verlierst? Nein. Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen Durchschnitt, nicht das Ergebnis eines einzelnen Durchgangs.

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Abiturbezug Baden-Württemberg

Dieser aiMOOC ist für die Kursstufe konzipiert und trainiert insbesondere:

1. Zufallsgröße: Ergebnisse eines Zufallsexperiments durch Zahlen beschreiben.
2. Wahrscheinlichkeitsverteilung: mögliche Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten darstellen und interpretieren.
3. Erwartungswert: aus einer diskreten Verteilung berechnen und im Sachzusammenhang deuten.
4. Modellierung: Gewinnspiele, Auszahlungen und Verluste mathematisch abbilden.
5. Argumentation: Rechenwege begründen und typische Fehlinterpretationen erkennen.

Basisfach: verständige Verfahren, sichere Berechnungen und anschauliche Deutungen.

Leistungsfach: zusätzlich präzisere Formalisierung, Modellierung, Begründung und Transfer mit Summenschreibweise.

Prüfungshinweis: Für Deinen konkreten Prüfungsjahrgang gelten der jeweils aktuelle Facherlass und die dort genannten Hilfsmittel. Digitale Werkzeuge in diesem aiMOOC dienen dem Lernen und sind nicht automatisch in der Abiturprüfung zugelassen.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

1. eine diskrete Zufallsgröße definieren,
2. prüfen, ob eine Tabelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt,
3. $E(X)$ als gewichteten Mittelwert erklären,
4. $E(X)=\sum _i{x}_i\cdot P(X=x_i)$ berechnen,
5. Gewinne und Verluste einschließlich Einsatz modellieren,
6. faire und für Spielende langfristig ungünstige Spiele unterscheiden,
7. Simulationsergebnisse mit dem theoretischen Erwartungswert vergleichen,
8. begründen, warum der Erwartungswert kein garantiertes Einzelergebnis ist.

Vorwissen-Check

Ohne Taschenrechner:

1. Prüfe: Gilt $\mathrm{0,2}+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,5}=1$?
2. Berechne: $4\cdot \mathrm{0,25}$.
3. Erkläre den Unterschied zwischen absoluter und relativer Häufigkeit.
4. Nenne bei einem Würfelwurf eine mögliche Zufallsgröße.
5. Entscheide: Ist $-3$ € als Wert einer Gewinn-Zufallsgröße möglich?

Feedback: $\mathrm{0,2}+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,5}=1$; $4\cdot \mathrm{0,25}=1$. Relative Häufigkeiten nähern bei vielen Wiederholungen Wahrscheinlichkeiten an. Eine Zufallsgröße kann z. B. die Augenzahl oder der Nettogewinn sein. Ein negativer Gewinnwert beschreibt einen Verlust.

Diskrete Zufallsgrößen

Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu.

Beispiel Glücksrad:

1. Hauptgewinn: $X=6$
2. kleiner Gewinn: $X=1$
3. Verlust: $X=-2$

Die Werte von $X$ müssen nicht gleich wahrscheinlich sein.

Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x$	$P(X=x)$
$-2$	$\mathrm{0,7}$
$1$	$\mathrm{0,2}$
$6$	$\mathrm{0,1}$

Kontrolle: $\mathrm{0,7}+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1}=1$.

Erwartungswert als gewichteter Mittelwert

Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße ist

$E(X)=\sum _i{x}_i\cdot P(X=x_i)$.

Für das Beispiel:

$E(X)=(-2)\cdot \mathrm{0,7}+1\cdot \mathrm{0,2}+6\cdot \mathrm{0,1}$

$E(X)=-\mathrm{1,4}+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,6}=-\mathrm{0,6}$.

Interpretation: Bei sehr vielen gleichartigen Spielen liegt der durchschnittliche Nettogewinn pro Spiel langfristig ungefähr bei $-\mathrm{0,60}$ €.

Nicht erlaubt als Interpretation: „Man verliert bei jedem Spiel genau 60 Cent.“

Visuelle Schrittfolge

Schritt 1: Werte $x_i$ notieren.

Schritt 2: Zu jedem Wert die Wahrscheinlichkeit $p_i$ zuordnen.

Schritt 3: Produkte bilden: $x_i\cdot p_i$.

Schritt 4: Produkte addieren: $E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i$.

Schritt 5: Einheit und Sachbedeutung nennen.

Dynamisches Modell: Gewichte verändern

Verändere im Applet die Wahrscheinlichkeiten. Beobachte, wie sich der Erwartungswert verschiebt.

Denkfrage: Warum bewegt sich der Erwartungswert in Richtung eines Ergebnisses, wenn dessen Wahrscheinlichkeit größer wird?

Der Erwartungswert ist kein Versprechen

Ein einzelner Versuch kann weit vom Erwartungswert entfernt liegen.

Bei einem fairen Würfel gilt:

$E(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}=\mathrm{3,5}$.

Trotzdem kann bei einem einzelnen Wurf niemals $\mathrm{3,5}$ fallen.

Merksatz: Der Erwartungswert muss kein möglicher Einzelwert der Zufallsgröße sein.

Je häufiger ein Experiment unter gleichen Bedingungen wiederholt wird, desto aussagekräftiger wird der Vergleich zwischen beobachtetem Durchschnitt und theoretischem Erwartungswert.

Animation: langfristige Stabilisierung

Beobachtung: Anfangs schwankt der Mittelwert stark. Bei vielen Wiederholungen stabilisiert er sich typischerweise in der Nähe des Erwartungswerts.

Interaktive Simulation

1. Starte mit wenigen Würfen.
2. Notiere den beobachteten Durchschnitt.
3. Erhöhe die Zahl der Versuche.
4. Vergleiche mit dem theoretischen Erwartungswert.
5. Beschreibe, was sich stabilisiert und was zufällig bleibt.

Gewinnspiele modellieren

Bei Gewinnspielen ist entscheidend, ob $X$ eine Auszahlung oder einen Nettogewinn beschreibt.

Wenn $Y$ die Auszahlung und $s$ der Einsatz ist, dann gilt:

$X=Y-s$.

Daraus folgt:

$E(X)=E(Y)-s$.

Beispiel A: Losbude

Ein Spiel kostet $2$ €. Die Auszahlungen sind:

Auszahlung	Wahrscheinlichkeit
$10$ €	$\mathrm{0,1}$
$3$ €	$\mathrm{0,2}$
$0$ €	$\mathrm{0,7}$

Erwartete Auszahlung:

$E(Y)=10\cdot \mathrm{0,1}+3\cdot \mathrm{0,2}+0\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{1,6}$ €.

Erwarteter Nettogewinn:

$E(X)=\mathrm{1,6}-2=-\mathrm{0,4}$ €.

Deutung: Langfristig verliert eine spielende Person im Durchschnitt ungefähr $\mathrm{0,40}$ € pro Spiel.

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Beispiel B: Faires Spiel

Ein Spiel liefert $X=-2$ € mit $P=\mathrm{0,75}$ und $X=6$ € mit $P=\mathrm{0,25}$.

$E(X)=(-2)\cdot \mathrm{0,75}+6\cdot \mathrm{0,25}$

$E(X)=-\mathrm{1,5}+\mathrm{1,5}=0$.

Ein Spiel heißt in diesem mathematischen Sinn fair, wenn der erwartete Nettogewinn $0$ beträgt.

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Interaktives Glücksrad

Auftrag: Berechne zuerst theoretisch den Erwartungswert. Simuliere anschließend viele Drehungen. Vergleiche Simulation und Rechnung.

Leistungsfach: Formalisierung

Für eine diskrete Zufallsgröße $X$ mit möglichen Werten $x_1,x_2,\mathrm{...},x_n$ und Wahrscheinlichkeiten $p_i=P(X=x_i)$ gilt:

$E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$.

Jede Wahrscheinlichkeit ist nicht negativ. Außerdem gilt:

$\sum _{i=1}^n{p}_i=1$.

Für Konstanten $a$ und $b$ gilt:

$E(aX+b)=aE(X)+b$.

Begründung:

$E(aX+b)=\sum _i(a{x}_i+b)p_i$

$=a\sum _i{x}_i{p}_i+b\sum _i{p}_i$

$=aE(X)+b$.

Weil $\sum _i{p}_i=1$, folgt die Behauptung.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Welche Rechnung passt?

Ein Spiel hat die Verteilung:

$P(X=-3)=\mathrm{0,5}$, $P(X=1)=\mathrm{0,3}$, $P(X=8)=\mathrm{0,2}$.

Berechne $E(X)$.

Hilfe 1: Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Hilfe 2: $E(X)=(-3)\cdot \mathrm{0,5}+1\cdot \mathrm{0,3}+8\cdot \mathrm{0,2}$.

Feedback: $E(X)=-\mathrm{1,5}+\mathrm{0,3}+\mathrm{1,6}=\mathrm{0,4}$. Der langfristige durchschnittliche Gewinn beträgt etwa $\mathrm{0,40}$ Geldeinheiten pro Spiel.

Beispiel 2: Fehlende Wahrscheinlichkeit

Gegeben:

$P(X=0)=\mathrm{0,35}$, $P(X=2)=\mathrm{0,40}$, $P(X=5)=p$.

Bestimme $p$ und danach $E(X)$.

Hilfe: $\mathrm{0,35}+\mathrm{0,40}+p=1$.

Feedback: $p=\mathrm{0,25}$ und $E(X)=0\cdot \mathrm{0,35}+2\cdot \mathrm{0,40}+5\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{2,05}$.

Beispiel 3: Fairer Einsatz

Ein Spiel zahlt $12$ € mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,1}$, $4$ € mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,3}$ und sonst $0$ € aus.

Welcher Einsatz $s$ macht das Spiel fair?

Hilfe: Für ein faires Spiel soll $E(Y)-s=0$ gelten.

Feedback: $E(Y)=12\cdot \mathrm{0,1}+4\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{2,4}$. Also ist $s=\mathrm{2,40}$ €.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A: Drei Gewinne

$X$ nimmt die Werte $-4$, $2$ und $10$ mit den Wahrscheinlichkeiten $\mathrm{0,6}$, $\mathrm{0,3}$ und $\mathrm{0,1}$ an.

1. Prüfe die Verteilung.
2. Berechne $E(X)$.
3. Interpretiere das Ergebnis.

Hilfe: $E(X)=(-4)\cdot \mathrm{0,6}+2\cdot \mathrm{0,3}+10\cdot \mathrm{0,1}$.

Feedback: $E(X)=-\mathrm{0,8}$. Langfristig beträgt der durchschnittliche Nettogewinn etwa $-\mathrm{0,8}$ Einheiten pro Spiel.

Übung B: Unbekannter Gewinn

Ein Spiel liefert $-2$ € mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,8}$ und $g$ € mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,2}$. Bestimme $g$, sodass das Spiel fair ist.

Hilfe: $(-2)\cdot \mathrm{0,8}+g\cdot \mathrm{0,2}=0$.

Feedback: $g=8$. Kontrolle: $-\mathrm{1,6}+\mathrm{1,6}=0$.

Übung C: Auszahlung oder Gewinn?

Ein Los kostet $3$ €. Mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,25}$ werden $8$ € ausgezahlt, sonst nichts.

1. Berechne die erwartete Auszahlung.
2. Berechne den erwarteten Nettogewinn.
3. Erkläre den Unterschied.

Feedback: $E(Y)=8\cdot \mathrm{0,25}=2$ €. $E(X)=2-3=-1$ €. Der Einsatz muss beim Nettogewinn berücksichtigt werden.

Fehleranalyse

Fehler 1: Erwartungswert als sicheres Ergebnis

Falsch: „$E(X)=\mathrm{3,5}$, also fällt beim nächsten Würfelwurf $\mathrm{3,5}$.“

Korrektur: $\mathrm{3,5}$ ist der theoretische langfristige Durchschnitt der Augenzahl.

Fehler 2: Wahrscheinlichkeiten nicht prüfen

Eine gültige Verteilung verlangt:

$\sum _{i}P(X=x_i)=1$.

Wenn die Summe nicht $1$ ist, darfst Du den Erwartungswert nicht einfach aus der fehlerhaften Tabelle berechnen.

Fehler 3: Einsatz vergessen

Auszahlung und Nettogewinn sind nicht dasselbe.

Nettogewinn = Auszahlung − Einsatz.

Fehler 4: Simulation mit Beweis verwechseln

Eine Simulation kann eine Vermutung stützen und Verhalten sichtbar machen. Sie ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Auch KI-Ausgaben müssen mathematisch geprüft werden: Stimmen Wahrscheinlichkeiten, Rechenweg, Einheiten und Interpretation?

Selbstkontrolle

Bewerte Dich jeweils mit sicher, teilweise oder noch nicht:

1. Ich kann aus einer Situation eine Zufallsgröße definieren.
2. Ich kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung prüfen.
3. Ich kann $E(X)$ berechnen.
4. Ich kann den Erwartungswert in einem Satz deuten.
5. Ich verwechsle erwarteten Gewinn nicht mit sicherem Gewinn.
6. Ich kann einen fairen Einsatz bestimmen.
7. Ich kann Simulation und theoretischen Wert unterscheiden.

Transfer

Ein Online-Gewinnspiel wirbt mit „durchschnittlich 5 € Gewinn“. Prüfe kritisch:

1. Ist mit „Gewinn“ Auszahlung oder Nettogewinn gemeint?
2. Welche Wahrscheinlichkeiten gehören zu den möglichen Auszahlungen?
3. Welcher Einsatz wird verlangt?
4. Ist die vollständige Verteilung bekannt?
5. Ist der Erwartungswert positiv, null oder negativ?
6. Ist die Werbeaussage eine Aussage über ein Einzelspiel oder über viele Wiederholungen?

Transferformel:

$E(X)=E(Y)-s$.

Kompetenzcheck

Basisfach

Du solltest ohne lange Vorbereitung:

1. eine kleine diskrete Verteilung auswerten,
2. den Erwartungswert berechnen,
3. einen fairen Einsatz bestimmen,
4. eine Interpretation im Kontext formulieren,
5. eine typische Fehlinterpretation korrigieren können.

Leistungsfach

Zusätzlich solltest Du:

1. Erwartungswerte mit Summenschreibweise sicher verwenden,
2. $E(aX+b)=aE(X)+b$ begründen,
3. unbekannte Parameter aus Fairnessbedingungen bestimmen,
4. Modelle kritisch auf Plausibilität prüfen,
5. zwischen rechnerischem Ergebnis, Simulation und Begründung unterscheiden können.

Reflexion

Beantworte schriftlich:

1. Warum ist ein Erwartungswert trotz zufälliger Einzelergebnisse sinnvoll?
2. Wann kann ein negativer Erwartungswert trotzdem mit einzelnen hohen Gewinnen zusammenpassen?
3. Welche Information liefert $E(X)$ nicht?
4. Wie verändert sich Deine Einschätzung eines Gewinnspiels, wenn Du statt des Hauptgewinns den Erwartungswert kennst?
5. Welche Rolle können Simulationen beim Verständnis spielen?

Folgekurs

Sinnvolle nächste Themen sind:

1. Varianz
2. Standardabweichung
3. Binomialverteilung
4. Gesetz der großen Zahlen
5. Normalverteilung
6. Hypothesentest

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße am besten? (Den langfristigen durchschnittlichen Wert bei vielen Wiederholungen) (!Das sichere Ergebnis des nächsten Versuchs) (!Den größten möglichen Wert) (!Die häufigste Zahl in jeder Stichprobe)

Wie wird der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße berechnet? (Man addiert für jeden möglichen Wert das Produkt aus Wert und zugehöriger Wahrscheinlichkeit) (!Man addiert nur alle möglichen Werte) (!Man zieht den kleinsten Wert vom größten Wert ab) (!Man multipliziert alle Wahrscheinlichkeiten miteinander)

Welche Bedingung muss eine Wahrscheinlichkeitsverteilung erfüllen? (Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist eins) (!Die Summe aller Werte ist eins) (!Jeder Wert hat Wahrscheinlichkeit eins) (!Alle Werte müssen positiv sein)

Was bedeutet ein Erwartungswert von minus 0,50 Euro bei einem Gewinnspiel? (Langfristig beträgt der durchschnittliche Nettogewinn etwa minus 0,50 Euro pro Spiel) (!Bei jedem Spiel verliert man exakt 0,50 Euro) (!Niemand kann bei dem Spiel gewinnen) (!Der Einsatz beträgt immer 0,50 Euro)

Wann heißt ein Spiel im Erwartungswert-Sinn fair? (Wenn der erwartete Nettogewinn null ist) (!Wenn jeder Versuch Gewinn bringt) (!Wenn Gewinn und Verlust gleich groß sind) (!Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind)

Warum kann der Erwartungswert 3,5 bei einem Würfel sinnvoll sein? (Weil er ein langfristiger Durchschnitt sein kann) (!Weil ein Würfel die Zahl 3,5 zeigt) (!Weil immer abwechselnd 3 und 4 fällt) (!Weil nur halbe Zahlen gewürfelt werden)

Ein Los kostet 2 Euro und die erwartete Auszahlung beträgt 1,60 Euro. Wie groß ist der erwartete Nettogewinn? (Minus 0,40 Euro) (!Plus 0,40 Euro) (!Plus 1,60 Euro) (!Minus 2,00 Euro)

Was zeigt eine Simulation mit sehr vielen Wiederholungen typischerweise? (Der beobachtete Mittelwert stabilisiert sich oft in der Nähe des Erwartungswerts) (!Jede Versuchserie liefert exakt denselben Verlauf) (!Zufall verschwindet vollständig) (!Das nächste Ergebnis wird sicher vorhersagbar)

Was ist bei einer KI-berechneten Erwartungswertaufgabe sinnvoll? (Wahrscheinlichkeiten Rechenweg Einheit und Interpretation prüfen) (!Das Ergebnis ungeprüft übernehmen) (!Nur die letzte Zahl betrachten) (!Simulation als Beweis akzeptieren)

Welche Aussage über digitale Übungswerkzeuge ist für das Abitur korrekt? (Die Zulässigkeit richtet sich nach den Vorgaben des Prüfungsjahrgangs) (!Jedes im Unterricht genutzte Werkzeug ist automatisch erlaubt) (!Jede Simulation darf in der Prüfung verwendet werden) (!Onlinewerkzeuge sind immer verpflichtend)

Memory

Erwartungswert	gewichteter Mittelwert
Zufallsgröße	numerische Zuordnung zu Ergebnissen
Wahrscheinlichkeitsverteilung	Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten
Faires Spiel	erwarteter Nettogewinn null
Stichprobenmittel	beobachteter Durchschnitt
Einsatz	vom Auszahlungsbetrag abzuziehender Betrag

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gewichteter Mittelwert	Erwartungswert
Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben eins	Wahrscheinlichkeitsverteilung
Auszahlung minus Einsatz	Nettogewinn
Sehr viele Wiederholungen	Langfristige Interpretation
Beobachteter Durchschnitt einer Simulation	Stichprobenmittel

Kreuzworträtsel

Erwartungswert	Wie heißt der langfristig gewichtete Mittelwert einer Zufallsgröße?
Zufallsgröße	Was ordnet Versuchsergebnissen Zahlen zu?
Verteilung	Wie nennt man die Zuordnung möglicher Werte zu ihren Wahrscheinlichkeiten?
Simulation	Wie heißt das wiederholte computergestützte Nachbilden eines Zufallsexperiments?
Mittelwert	Welcher beobachtete Kennwert kann sich bei vielen Wiederholungen stabilisieren?
Gewinn	Welches Wort bezeichnet eine positive finanzielle Differenz?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine diskrete ordnet Ergebnissen eines Zufallsexperiments Zahlen zu. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer gültigen Verteilung beträgt . Der Erwartungswert ist ein nach Wahrscheinlichkeiten Mittelwert. Bei einem Gewinnspiel muss für den Nettogewinn der von der Auszahlung abgezogen werden. Ein Erwartungswert von null kennzeichnet im mathematischen Sinn ein Spiel. Der Erwartungswert beschreibt kein garantiertes . Bei vielen Wiederholungen kann sich der beobachtete Mittelwert in der Nähe des theoretischen stabilisieren. Eine Simulation liefert Anschauung, ersetzt aber keinen mathematischen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Gewinnspiel untersuchen: Erfinde ein Spiel mit drei möglichen Nettogewinnen und berechne den Erwartungswert.
2. Erwartungswert visualisieren: Zeichne zu einer kleinen Verteilung ein Säulendiagramm und markiere den Erwartungswert auf der Zahlengeraden.
3. Fehlersuche: Formuliere drei falsche Aussagen zum Erwartungswert und korrigiere sie.
4. Simulation: Würfle mindestens 50-mal digital oder analog und vergleiche den beobachteten Mittelwert mit $\mathrm{3,5}$.

Standard

1. Faires Spiel entwickeln: Konstruiere ein Gewinnspiel mit mindestens drei Ausgängen und $E(X)=0$.
2. Losbude analysieren: Erstelle Auszahlung, Einsatz, Nettogewinn und Erwartungswert für ein selbst gewähltes Losmodell.
3. Diagramm erklären: Produziere eine kurze Bildschirmaufnahme oder Bildfolge, die zeigt, wie sich ein Simulationsmittelwert bei wachsender Versuchszahl verändert.
4. Werbeaussage prüfen: Erfinde eine Werbeaussage zu einem Gewinnspiel und erkläre mathematisch, welche Information für eine faire Bewertung fehlt.

Schwer

1. Parameter bestimmen: Entwirf eine Verteilung mit unbekanntem Parameter und bestimme ihn über eine Fairnessbedingung.
2. Lineare Transformation: Begründe an einem eigenen Beispiel die Regel $E(aX+b)=aE(X)+b$.
3. Modellkritik: Vergleiche zwei Gewinnspiele mit gleichem Erwartungswert, aber sehr unterschiedlichen möglichen Ergebnissen. Erkläre, warum der Erwartungswert allein nicht alle Aspekte beschreibt.
4. KI-Prüfung: Lass eine KI eine Erwartungswertaufgabe lösen, prüfe jeden mathematischen Schritt und dokumentiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle oder bestätige nachvollziehbar die Korrektheit.

Lernkontrolle

1. Modellwechsel: Ein Veranstalter gibt nur Auszahlungen an. Formuliere eine Zufallsgröße für den Nettogewinn und erkläre, wie sich deren Erwartungswert aus dem Auszahlungserwartungswert ergibt.
2. Interpretation: Zwei Spiele haben $E(X)=0$. Erkläre, warum einzelne Spielverläufe trotzdem stark verschieden sein können.
3. Simulation und Theorie: Eine Simulation von 30 Spielen liefert Mittelwert $\mathrm{1,2}$, theoretisch gilt $E(X)=0$. Begründe, warum dies kein Widerspruch sein muss.
4. Fairnessbedingung: Entwickle eine Gleichung, mit der ein unbekannter Hauptgewinn so bestimmt werden kann, dass ein Spiel fair ist.
5. Argumentation: Widerlege die Aussage „Wenn der Erwartungswert positiv ist, gewinne ich beim nächsten Versuch wahrscheinlich“ mit einem selbst konstruierten Gegenbeispiel.
6. Transfer: Vergleiche ein Spiel mit seltenem hohen Gewinn und häufigem kleinen Verlust mit einem Spiel mit häufig kleinen Gewinnen. Stelle eine Bedingung auf, unter der beide denselben Erwartungswert besitzen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du definierst eine diskrete Zufallsgröße passend zum Kontext.
2. Du gibst eine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung an.
3. Du berechnest $E(X)$ korrekt und nachvollziehbar.
4. Du nennst die Einheit des Erwartungswerts.
5. Du interpretierst den Wert als langfristigen Durchschnitt.
6. Du unterscheidest Auszahlung und Nettogewinn.
7. Du kannst einen fairen Einsatz oder unbekannten Gewinn bestimmen.
8. Du analysierst typische Fehlinterpretationen.
9. Du trennst Simulation, empirischen Mittelwert und mathematische Begründung.
10. Du prüfst digitale oder KI-gestützte Ergebnisse fachlich.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Erwartungswert Zufallsgröße Wahrscheinlichkeitsverteilung Gesetz der großen Zahlen Varianz Standardabweichung Binomialverteilung Stochastik