ABI - Dynamische Mathematiksoftware zur Graphanalyse nutzen

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ABI - Dynamische Mathematiksoftware zur Graphanalyse nutzen

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ABI - Dynamische Mathematiksoftware zur Graphanalyse nutzen

Mini-Beschreibung: Nutze dynamische Mathematiksoftware zum Explorieren von Parametern, Ableitungen, Integralen und Funktionsscharen. Formuliere aus Beobachtungen Vermutungen und begründe sie anschließend mathematisch.

Zielgruppe: Kursstufe, Mathematik-Abitur Baden-Württemberg, Basisfach und Leistungsfach.

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Einleitung

Dynamische Software wie GeoGebra kann einen Graphen sofort verändern, wenn Du einen Parameter verschiebst. Das ist ideal zum Entdecken. Für eine mathematische Begründung reicht ein Bild aber nicht.

Arbeitsprinzip: Beobachten → Vermuten → Rechnen → Begründen → Prüfen

Wichtig: Eine Softwareausgabe, ein numerischer Näherungswert oder eine KI-Antwort ist kein Beweis. Prüfe Ergebnisse durch Rechnung, Definitionen, Ableitungen, Fallunterscheidungen oder andere geeignete mathematische Argumente.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Diese Fassung orientiert sich am Abitur 2027 für allgemein bildende Gymnasien in Baden-Württemberg und am Bildungsplan 2016.

Im Leistungsfach beträgt die schriftliche Prüfung nach dem Facherlass 2027 insgesamt 300 Minuten. Teil A wird ohne die später ausgegebenen Hilfsmittel bearbeitet; spätestens nach 110 Minuten wird Teil A abgegeben. Danach stehen für Teil B unter anderem die mathematisch-naturwissenschaftliche Formelsammlung des IQB und der im Kurs eingeführte zugelassene wissenschaftliche Taschenrechner zur Verfügung.

Dynamische Graphensoftware ist deshalb ein Übungs- und Erkenntniswerkzeug, aber nicht automatisch ein zugelassenes Prüfungshilfsmittel.

Im Basisfach steht verständiges Anwenden und anschauliches Begründen im Vordergrund. Im Leistungsfach werden Begründung, Formalisierung, Fallunterscheidung und Modellierung stärker vertieft.

Aktuelle Abiturinformationen des Kultusministeriums Baden-Württemberg

Hinweis: Wenn Du in einem anderen Prüfungsjahrgang Abitur machst, prüfe immer den für Deinen Jahrgang gültigen Facherlass.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Parameter mit Schiebereglern variieren und Invarianten sowie Veränderungen eines Graphen beschreiben.
2. aus einem Graphen Vermutungen über Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte entwickeln.
3. den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und $f^{\prime }(x)$ dynamisch untersuchen und rechnerisch begründen.
4. bestimmte Integrale als orientierte Flächenbilanz deuten und vom geometrischen Flächeninhalt unterscheiden.
5. Funktionsscharen systematisch untersuchen und Sonderfälle erkennen.
6. Software- und KI-Ergebnisse mathematisch kontrollieren.

Vorwissen-Check

Bearbeite zuerst ohne dynamische Software.

1. Bestimme für $f(x)=x^3-3x$ die Ableitung.
2. Löse $f^{\prime }(x)=0$.
3. Berechne ${\int }_0^{2}xdx$.
4. Beschreibe die Bedeutung eines Parameters in $g_a(x)=a(x-1{)}^2-2$.
5. Erkläre, warum ein auffälliger Punkt im Graphen allein noch kein bewiesener Extrempunkt ist.

Kurzcheck:

$f^{\prime }(x)=3x^2-3$

$3x^2-3=0⟺x=\pm 1$

${\int }_0^{2}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^2=2$

Dynamisch arbeiten: fünf Schritte

1. Modell eingeben: Funktion und Parameter eindeutig definieren.
2. Variieren: Schieberegler langsam verändern und besondere Werte testen.
3. Beobachten: Lage, Anzahl und Art besonderer Punkte notieren.
4. Vermuten: Aussage mit Bedingungen formulieren.
5. Begründen: Vermutung symbolisch oder argumentativ prüfen.

Beispiel für eine gute Vermutung: Für $a>0$ besitzt $f_a(x)=x^3-3ax$ zwei stationäre Stellen.

Noch kein Beweis: „Ich sehe im Graphen zwei Hoch- oder Tiefpunkte.“

Begründung:

$f{\text{'}}_a(x)=3x^2-3a$

$f{\text{'}}_a(x)=0⟺x^2=a$

Für $a>0$ gilt daher

$x=\pm \sqrt{a}$.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Ableitung als Tangentensteigung

Verschiebe im Modell den Berührpunkt der Tangente. Vergleiche die Tangentensteigung mit dem Wert der Ableitungsfunktion.

Für

$f(x)=x^3-3x$

gilt

$f^{\prime }(x)=3x^2-3$.

Bei $x=1$ erhältst Du

$f^{\prime }(1)=3-3=0$.

Damit ist die Tangente dort waagerecht.

Denkfrage: Reicht $f^{\prime }(1)=0$ schon aus, um einen Tiefpunkt zu beweisen?

Antwort: Nein. Eine stationäre Stelle kann auch anders beschaffen sein. Prüfe zum Beispiel einen Vorzeichenwechsel von $f^{\prime }$ oder weitere geeignete Kriterien.

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Beispiel 2: Funktionsschar mit Schieberegler

Untersuche

$g_a(x)=a(x-1{)}^2-2$.

Variiere $a$.

Beobachtung: Der Punkt $S(1|-2)$ bleibt fest.

Vermutung: Für jedes $a\ne 0$ ist $S(1|-2)$ der Scheitelpunkt.

Begründung: Der Funktionsterm liegt bereits in Scheitelpunktform vor:

$g_a(x)=a(x-1{)}^2-2$.

Da

$(x-1{)}^2\ge 0$

und der quadratische Term bei $x=1$ verschwindet, bleibt die Scheitellage unabhängig von $a$.

Sonderfall:

$a=0⟹g_0(x)=-2$.

Dann liegt keine Parabel mehr vor. Genau solche Sonderfälle können beim bloßen Verschieben eines Reglers leicht übersehen werden.

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Beispiel 3: Funktionsschar und Extrempunkte

Betrachte

$f_a(x)=x^3-3ax$.

Für stationäre Stellen gilt

$f{\text{'}}_a(x)=3x^2-3a=0$.

Damit folgt

$x^2=a$.

Fallunterscheidung:

$a>0⟹x_{1,2}=\pm \sqrt{a}$

$a=0⟹x=0$

Für $a<0$ gibt es keine reelle Lösung von $f{\text{'}}_a(x)=0$.

Leistungsfach-Vertiefung:

$f^{\prime }{\text{'}}_a(x)=6x$.

Für $a>0$ folgt

$f^{\prime }{\text{'}}_a(-\sqrt{a})<0$

und

$f^{\prime }{\text{'}}_a(\sqrt{a})>0$.

Damit liegt links ein Hochpunkt und rechts ein Tiefpunkt.

Beispiel 4: Bestimmtes Integral und Flächeninhalt

Untersuche

$f(x)=x^2-1$

im Intervall $[-1;2]$.

Das bestimmte Integral ist

${\int }_{-1}^2(x^2-1)dx$.

Eine Stammfunktion ist

$F(x)=\frac{x^3}{3}-x$.

Schritt für Schritt:

${\int }_{-1}^2(x^2-1)dx=F(2)-F(-1)$

$=(\frac{8}{3}-2)-(-\frac{1}{3}+1)$

$=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$.

Aber: Der geometrische Flächeninhalt ist nicht null. Flächen unterhalb der $x$-Achse gehen im bestimmten Integral negativ ein.

Für den gesamten geometrischen Flächeninhalt musst Du an den Nullstellen trennen:

$A={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx$

$A=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$.

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Beispiel 5: Sekante wird Tangente

Die mittlere Änderungsrate zwischen $x_0$ und $x_0+h$ lautet

$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Wenn $h$ gegen null geht, nähert sich die Sekante der Tangente.

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Nutze die Animation, um die Grenzwertidee zunächst visuell zu erfassen. Die Definition liefert anschließend die mathematische Begründung.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Parameterwirkung

Gegeben ist

$p_a(x)=x^2+ax$.

Auftrag: Erzeuge mehrere Graphen mit einem Schieberegler für $a$. Formuliere eine Vermutung zur Lage der Extremstelle.

Hilfe:

$p{\text{'}}_a(x)=2x+a$.

Feedback:

$2x+a=0⟹x_E=-\frac{a}{2}$.

Die Software hilft beim Entdecken der linearen Abhängigkeit. Die Gleichung begründet sie.

Basisfach: Erkläre die Verschiebung der Extremstelle anschaulich.

Leistungsfach: Bestimme zusätzlich die vollständige Scheitelpunktkoordinate in Abhängigkeit von $a$.

Übung 2: Ableitungsgraph rekonstruieren

Skizziere zuerst ohne Software einen möglichen Verlauf von $f^{\prime }$, wenn $f$ zunächst steigt, dann einen Hochpunkt besitzt, fällt und später einen Tiefpunkt besitzt.

Hilfe: Achte auf das Vorzeichen von $f^{\prime }$.

Feedback: Beim Hochpunkt wechselt $f^{\prime }$ typischerweise von positiv nach negativ, beim Tiefpunkt von negativ nach positiv.

Öffne anschließend ein dynamisches Ableitungsmodell und überprüfe Deine Skizze.

Übung 3: Integral oder Fläche?

Untersuche

$q(x)=x$

auf $[-2;2]$.

Vermutung aus dem Graphen: Die positiven und negativen Beiträge sind symmetrisch.

Rechnung:

${\int }_{-2}^{2}xdx=0$.

Geometrischer Flächeninhalt:

$A={\int }_{-2}^0(-x)dx+{\int }_0^{2}xdx=4$.

Feedback: Integralwert und geometrischer Flächeninhalt beantworten unterschiedliche Fragen.

Übung 4: Funktionsschar mit Sonderfall

Gegeben ist

$r_a(x)=a{x}^2-4x+1$.

Untersuche dynamisch, was bei $a>0$, $a<0$ und $a=0$ geschieht.

Hilfe: Bei $a=0$ verändert sich sogar die Art der Funktion.

Feedback:

$r_0(x)=-4x+1$.

Der Sonderfall ist linear. Eine allgemeine Aussage über „alle Parabeln der Schar“ muss deshalb die Bedingung $a\ne 0$ enthalten.

Fehleranalyse

Beobachtung	Mathematische Kontrolle
Software zeigt scheinbar einen Extrempunkt.	Prüfe $f^{\prime }(x)=0$ und das lokale Verhalten.
Integralwert ist null.	Prüfe, ob positive und negative Flächenanteile sich aufheben.
Regler liefert immer ähnliche Graphen.	Teste Randwerte, Null und Vorzeichenwechsel des Parameters.
Dezimalwert wirkt exakt.	Suche einen exakten Term oder begründe die Näherung.
KI nennt eine Regel.	Prüfe Voraussetzungen, Gegenbeispiele und Rechnung.

Typischer Denkfehler:

$f^{\prime }(x_0)=0$

bedeutet nicht automatisch „Tiefpunkt“.

Typischer Softwarefehler: Ein zu kleines Grafikfenster kann Nullstellen, Asymptoten oder weitere Extrempunkte verbergen.

Typischer KI-Fehler: Eine sprachlich überzeugende Erklärung kann mathematisch falsch sein. Rechne entscheidende Schritte selbst nach.

Selbstkontrolle

Prüfe bei jeder dynamischen Untersuchung diese fünf Fragen:

1. Habe ich Funktion und Parameterbereich eindeutig festgelegt?
2. Habe ich besondere Parameterwerte wie $0$ getestet?
3. Kann ich meine Vermutung als mathematischen Satz formulieren?
4. Habe ich die Vermutung rechnerisch oder logisch begründet?
5. Stimmen Softwarebild, Rechnung und Definitionsbereich miteinander überein?

Transfer

Eine Bewegung werde durch

$s(t)=t^3-6t^2+9t$

beschrieben.

Die Geschwindigkeit ist

$v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t+9$.

Die Beschleunigung ist

$a(t)=v^{\prime }(t)=6t-12$.

Dynamischer Auftrag: Stelle $s$, $v$ und $a$ gemeinsam dar. Verschiebe einen Punkt auf dem Graphen von $s$ und verknüpfe die Steigung von $s$ mit $v(t)$.

Transferfrage: Wie erkennst Du im Graphen von $s$, wann die Bewegung ihre Richtung ändert?

Mathematische Bedingung:

$v(t)=0$

mit geeignetem Vorzeichenwechsel von $v$.

Kompetenzcheck

Basisfach:

1. Du kannst Parameterwirkungen am Graphen beschreiben.
2. Du kannst Ableitungswerte als Tangentensteigungen deuten.
3. Du kannst Integralwert und Flächeninhalt unterscheiden.
4. Du kannst eine Softwarebeobachtung durch eine verständige Rechnung stützen.

Leistungsfach:

1. Du kannst Vermutungen für ganze Parameterbereiche formulieren.
2. Du kannst notwendige Bedingungen und Sonderfälle präzise angeben.
3. Du kannst Ergebnisse durch Ableitungen, Fallunterscheidungen und Modellbezüge begründen.
4. Du kannst Grenzen einer graphischen oder numerischen Exploration erklären.

Reflexion

Beantworte nach einer Untersuchung drei Sätze:

1. Die Software hat mir gezeigt, dass ...
2. Ich vermute deshalb, dass ...
3. Mathematisch begründe ich das durch ...

Ein gutes Ergebnis trennt deutlich zwischen experimenteller Evidenz und Beweis oder Begründung.

Medienkompetenz und Datenschutz

Nutze externe Werkzeuge nach Möglichkeit ohne Anmeldung und ohne personenbezogene Daten einzugeben. Übertrage keine Namen, Prüfungsdaten oder privaten Dokumente in öffentlich zugängliche Systeme.

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien stehen unter den jeweils auf ihrer Dateiseite angegebenen freien Lizenzen. Bei Weiterverwendung beachtest Du die dort genannten Lizenz- und Namensnennungsbedingungen.

YouTube- und GeoGebra-Inhalte werden als externe Lernmedien eingebunden. Für schulische Nutzung gelten zusätzlich die Vorgaben Deiner Schule und des jeweiligen Dienstes.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu dient dynamische Mathematiksoftware in diesem aiMOOC vor allem? (Zum Explorieren und anschließenden mathematischen Begründen) (!Zum Ersetzen jeder Rechnung) (!Zum automatischen Beweisen jeder Vermutung) (!Zum Umgehen von Definitionsbereichen)

Was verändert ein Schieberegler bei einer Funktionsschar besonders sinnvoll? (Einen Parameter) (!Die mathematische Wahrheit einer Aussage) (!Die Definition der Ableitung) (!Die Zulassung von Prüfungshilfsmitteln)

Welche geometrische Bedeutung hat die Ableitung an einer differenzierbaren Stelle? (Sie ist die Steigung der Tangente) (!Sie ist immer der Funktionswert) (!Sie ist immer der Flächeninhalt) (!Sie ist die Länge des Graphen)

Welche Bedingung ist an einer inneren differenzierbaren Extremstelle notwendig? (Die erste Ableitung ist dort null) (!Die Funktion ist dort immer null) (!Die zweite Ableitung ist dort immer null) (!Das Integral bis dorthin ist null)

Welchen Wert hat das Integral von x Quadrat minus eins von minus eins bis zwei? (Null) (!Eins) (!Zwei) (!Acht Drittel)

Warum kann ein bestimmtes Integral null sein, obwohl Flächen vorhanden sind? (Positive und negative Beiträge können sich aufheben) (!Jede Fläche hat den Wert null) (!Ableitungen löschen Flächen) (!Software rundet jede Fläche auf null)

Welcher Punkt bleibt bei g a von x gleich a mal x minus eins zum Quadrat minus zwei für a ungleich null Scheitelpunkt? (S bei eins und minus zwei) (!S bei null und minus zwei) (!S bei eins und zwei) (!S bei minus eins und minus zwei)

Was geschieht bei a gleich null in der Schar g a von x gleich a mal x minus eins zum Quadrat minus zwei? (Es entsteht die konstante Funktion minus zwei) (!Es entsteht eine kubische Funktion) (!Der Graph verschwindet vollständig) (!Es entsteht eine Gerade mit Steigung eins)

Wie solltest Du eine mathematische KI-Ausgabe behandeln? (Durch eigene mathematische Prüfung) (!Als automatischen Beweis) (!Als Ersatz für alle Voraussetzungen) (!Als immer exakte Prüfungsquelle)

Welche Aussage zu dynamischer Graphensoftware und Abiturprüfung ist richtig? (Ein Übungswerkzeug ist nicht automatisch ein zugelassenes Prüfungshilfsmittel) (!Jede im Unterricht verwendete App ist automatisch zugelassen) (!YouTube darf in jeder Prüfung verwendet werden) (!Ein Schieberegler ersetzt den wissenschaftlichen Taschenrechner)

Memory

Parameter	veränderbare Größe einer Funktionsschar
Tangentensteigung	Wert der Ableitung an einer Stelle
Riemannsumme	Annäherung eines bestimmten Integrals
Funktionsschar	Menge verwandter Funktionen
Vermutung	aus Beobachtungen entwickelte Aussage
Sonderfall	separat zu prüfender Parameterwert
Begründung	mathematische Absicherung einer Aussage

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Schieberegler	Parameter systematisch variieren
Tangente	lokale Steigung visualisieren
Ableitungsgraph	Steigungswerte als Funktion darstellen
Riemannrechtecke	Integral numerisch und visuell annähern
Fallunterscheidung	unterschiedliche Parameterbereiche begründen

Kreuzworträtsel

Parameter	Welche veränderbare Größe steuert häufig einen Schieberegler?
Tangente	Welche Gerade beschreibt die lokale Steigung eines Funktionsgraphen?
Integral	Welcher Begriff beschreibt die orientierte Flächenbilanz?
Ableitung	Welche Funktion sammelt die lokalen Steigungen?
Extrempunkt	Welcher besondere Punkt kann durch das Vorzeichen der Ableitung untersucht werden?
Vermutung	Wie heißt eine zunächst experimentell gewonnene mathematische Aussage?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Mit einem Schieberegler lässt sich ein dynamisch verändern.

Der Wert der ersten Ableitung entspricht geometrisch der .

Eine graphische Beobachtung kann eine mathematische anregen.

Eine Vermutung muss anschließend mathematisch werden.

Ein bestimmtes Integral beschreibt eine orientierte .

Bei Funktionsscharen müssen besondere Parameterwerte als geprüft werden.

Ein von Software berechneter Dezimalwert sollte mathematisch werden.

Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Parameterexperiment: Erstelle zu $f_a(x)=x^2+a$ einen Schieberegler und dokumentiere drei Beobachtungen mit Screenshots ohne personenbezogene Daten.
2. Tangentenfilm: Nimm eine kurze Bildschirmaufnahme auf, in der ein Punkt entlang eines Graphen bewegt wird und sich die Tangentensteigung verändert.
3. Integralvergleich: Erzeuge einen Graphen, bei dem sich positive und negative Integralanteile teilweise aufheben, und erkläre den Unterschied zwischen Integralwert und Fläche.
4. Fehlersuche: Verändere absichtlich das Grafikfenster so, dass ein wichtiger Teil eines Graphen verborgen bleibt, und beschreibe die dadurch mögliche Fehlinterpretation.

Standard

1. Funktionsschar untersuchen: Erforsche $f_a(x)=x^3-3ax$, formuliere zwei Vermutungen und belege sie rechnerisch.
2. Ableitungsrekonstruktion: Zeichne selbst einen Funktionsgraphen, lasse eine andere Person den Ableitungsgraphen vermuten und überprüft ihn anschließend mit Software.
3. Riemann-Animation: Dokumentiere mit mehreren Rechteckzahlen, wie sich eine Riemannsumme dem Integral annähert, und erkläre die Beobachtung.
4. Softwarevergleich: Löse dieselbe Graphanalyse mit zwei unterschiedlichen dynamischen Werkzeugen und vergleiche Darstellung, Bedienung und Kontrollmöglichkeiten.

Schwer

1. Ortskurve: Wähle eine Funktionsschar, untersuche die Lage ihrer Extrempunkte und leite eine mögliche Ortskurve rechnerisch her.
2. Parametergrenzen: Untersuche eine Funktionsschar mit mindestens drei qualitativ unterschiedlichen Parameterbereichen und begründe alle Übergänge.
3. Modellierung: Entwickle ein Bewegungsmodell mit Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktion und visualisiere deren Zusammenhänge dynamisch.
4. KI-Prüfung Mathematik: Lass Dir zu einer selbst gewählten Funktionsschar eine Analyse von einer KI erzeugen, prüfe jeden wesentlichen Schritt mathematisch und dokumentiere mindestens einen Prüfmechanismus oder gefundenen Fehler.

Lernkontrolle

1. Vermutung und Beweis: Eine dynamische Darstellung legt nahe, dass alle Graphen einer Schar durch denselben Punkt verlaufen. Entwickle ein algebraisches Verfahren, mit dem Du diese Vermutung prüfen kannst.
2. Graph und Ableitung: Begründe aus dem Verlauf einer Ableitungsfunktion, in welchen Intervallen die Ausgangsfunktion steigt oder fällt und wo Extremstellen möglich sind.
3. Integral und Kontext: Erkläre an einem Bewegungsmodell, warum das Integral einer Geschwindigkeitsfunktion nicht automatisch die insgesamt zurückgelegte Strecke ist.
4. Parameter und Sonderfall: Entwickle ein Beispiel, bei dem ein bestimmter Parameterwert den Funktionstyp verändert, und erkläre, warum eine Fallunterscheidung nötig ist.
5. Werkzeugkritik: Beschreibe eine Situation, in der ein dynamischer Graph eine falsche Vermutung nahelegen könnte, und zeige, wie Du diese mathematisch überprüfst.
6. Transfer Basis und Leistung: Formuliere zu derselben Funktionsschar eine anschauliche Basisfach-Aufgabe und eine stärker formalisierte Leistungsfach-Aufgabe.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

1. Du kannst dynamische Software zielgerichtet zum Explorieren verwenden.
2. Du kannst aus einer Beobachtung eine präzise Vermutung formulieren.
3. Du kannst eine Vermutung durch Rechnung oder mathematische Argumentation bestätigen oder widerlegen.
4. Du kannst Ableitung, Tangentensteigung und Monotonie miteinander verknüpfen.
5. Du kannst Integralwert und geometrischen Flächeninhalt unterscheiden.
6. Du kannst Funktionsscharen einschließlich wichtiger Sonderfälle untersuchen.
7. Du kannst die Grenzen von Software- und KI-Ausgaben erklären.
8. Du kannst Basisfach-Argumentationen verständlich und Leistungsfach-Argumentationen bei Bedarf formal vertieft darstellen.

OERs zum Thema

Weitere freie dynamische Materialien:

1. Ableitung als Tangentensteigung
2. Riemannsumme mit Schieberegler
3. Funktionsscharen dynamisch untersuchen

Folgekurs

Vertiefe anschließend:

1. ABI - Kurvendiskussion und Funktionsscharen
2. ABI - Ableitungen zur Modellierung nutzen
3. ABI - Integrale und Flächenbilanzen
4. ABI - Extremwertprobleme modellieren und begründen
5. ABI - Analysis ohne Hilfsmittel trainieren

Verknüpfte Lernbereiche

ABI - Dynamische Mathematiksoftware zur Graphanalyse nutzen Analysis Ableitung Integralrechnung Funktionsschar Kurvendiskussion Extrempunkt Parameter GeoGebra Mathematische Modellierung Mathematik-Abitur