ABI - Bedingte Wahrscheinlichkeiten verstehen

ABI - Bedingte Wahrscheinlichkeiten verstehen

Mini-Beschreibung: Du interpretierst $P(A\mid B)$ als Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$. Der Schwerpunkt liegt darauf, $P(A\mid B)$ sicher von $P(B\mid A)$ zu unterscheiden. Mengenbilder, Baumdiagramme und Vierfeldertafeln helfen Dir dabei.

Einleitung

Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit wird der Blick auf einen Teil der möglichen Fälle eingeschränkt.

Leitidee:

$P(A\mid B)$

bedeutet:

Wie wahrscheinlich ist $A$, wenn bereits bekannt ist, dass $B$ eingetreten ist?

Nicht vertauschen:

$P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$

im Allgemeinen.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. bedingte Wahrscheinlichkeiten sprachlich und mathematisch deuten.
2. $P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ sicher unterscheiden.
3. bedingte Wahrscheinlichkeiten aus einer Vierfeldertafel ablesen und berechnen.
4. zwischen Vierfeldertafel, Mengenbild und Baumdiagramm wechseln.
5. typische Fehlinterpretationen erkennen und begründen.
6. im Basisfach verständige Verfahren anwenden und anschaulich argumentieren.
7. im Leistungsfach zusätzlich formaler begründen, modellieren und Zusammenhänge vertiefen.

Vorwissen-Check

Bevor Du startest, solltest Du diese Begriffe sicher beherrschen:

$A\cap B$ bedeutet: $A$ und $B$ treten ein.

$A\cup B$ bedeutet: $A$ oder $B$ tritt ein.

$\bar{A}$ bedeutet: $A$ tritt nicht ein.

$P(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von $A$ ohne zusätzliche Bedingung.

Mini-Check:

Für $P(A)=\mathrm{0,6}$, $P(B)=\mathrm{0,5}$ und $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$ gilt

$P(A\mid B)=\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{0,6}$.

Denkfrage: Was fällt Dir auf?

Hier gilt $P(A\mid B)=P(A)$. Das ist ein Kennzeichen dafür, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Kernidee: Die Bedingung verändert den Bezugsraum

Die Bedingung $B$ sagt: Betrachte nur noch die Fälle in $B$.

Innerhalb dieses verkleinerten Bezugsraums interessiert der Anteil, der zusätzlich zu $A$ gehört.

Daraus folgt für $P(B)>0$:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Visuelle Lesart:

$B$ ist der neue Grundraum.

$A\cap B$ ist darin der günstige Teil.

Interaktives Mengenbild

Verändere in diesem dynamischen Modell die Wahrscheinlichkeiten und beobachte, wie sich die Flächen verändern:

Arbeitsauftrag: Stelle verschiedene Werte für $P(A)$, $P(B)$ und $P(A\cap B)$ ein. Prüfe jeweils, ob Du $P(A\mid B)$ aus dem Verhältnis der Flächen erklären kannst.

Das wichtigste Gegenbeispiel: Nicht vertauschen

Nehmen wir eine Gruppe mit 100 Personen.

$A$: Person besteht einen Test.

$B$: Person hat einen Vorbereitungskurs besucht.

	$A$	$\bar{A}$	Gesamt
$B$	36	4	40
$\bar{B}$	30	30	60
Gesamt	66	34	100

Frage 1: Wie wahrscheinlich ist Bestehen unter den Kursteilnehmenden?

Die Bedingung ist $B$.

Also betrachten wir nur die Zeile mit insgesamt $40$ Personen.

$P(A\mid B)=\frac{36}{40}=\mathrm{0,9}$

Ergebnis: $90\mathrm{\%}$.

Frage 2: Wie wahrscheinlich ist Kursbesuch unter den Personen, die bestanden haben?

Jetzt ist die Bedingung $A$.

Also betrachten wir nur die Spalte mit insgesamt $66$ Personen.

$P(B\mid A)=\frac{36}{66}\approx \mathrm{0,545}$

Ergebnis: ungefähr $\mathrm{54,5}\mathrm{\%}$.

Merksatz: Gleicher Schnitt $A\cap B$, aber anderer Nenner.

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Vierfeldertafel als Werkzeug

Eine Vierfeldertafel zeigt zwei Ereignisse und ihre Gegenereignisse gleichzeitig.

Vorgehen:

1. Bedingung identifizieren.
2. Passende Zeile oder Spalte als neuen Bezugsraum markieren.
3. Schnittmenge im Zähler verwenden.
4. Randwert der Bedingung in den Nenner setzen.
5. Ergebnis im Sachzusammenhang formulieren.

Dynamische Vierfeldertafel

Beobachtung: Wenn Du Werte veränderst, verändern sich gleichzeitig Randwahrscheinlichkeiten, Schnittmengen und bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit

Im Baumdiagramm steht eine bedingte Wahrscheinlichkeit typischerweise an einem Ast nach einer bereits eingetretenen Bedingung.

Beispiel:

$P(B)$ beschreibt den ersten Schritt.

$P(A\mid B)$ beschreibt danach die Wahrscheinlichkeit für $A$, wenn $B$ bereits feststeht.

Für den gemeinsamen Pfad gilt:

$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)$

Damit erhältst Du wieder:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Dynamischer Rechenweg im Baumdiagramm

Auftrag: Suche im Baumdiagramm gezielt nach bedingten Wahrscheinlichkeiten. Erkläre anschließend, warum die Reihenfolge der Ereignisse für die Beschriftung der Äste wichtig ist.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

Gegeben:

$P(B)=\mathrm{0,4}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,28}$

Gesucht:

$P(A\mid B)$

Schritt 1: Bedingung erkennen

Die Bedingung ist $B$.

Schritt 2: Formel wählen

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Schritt 3: Werte einsetzen

$P(A\mid B)=\frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,4}}$

Schritt 4: Berechnen

$P(A\mid B)=\mathrm{0,7}$

Schritt 5: Deuten

Unter der Bedingung $B$ tritt $A$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $70\mathrm{\%}$ ein.

Interaktive Beispiele mit Hilfen und Feedback

Beispiel A: Vierfeldertafel lesen

In einer Erhebung gilt:

	$A$	$\bar{A}$	Gesamt
$B$	24	16	40
$\bar{B}$	18	42	60
Gesamt	42	58	100

Berechne $P(A\mid B)$.

Hilfe 1

Die Bedingung ist $B$. Dein neuer Bezugsraum enthält also 40 Fälle.

Hilfe 2

Im Zähler stehen die Fälle, die zugleich zu $A$ und $B$ gehören.

Feedback

$P(A\mid B)=\frac{24}{40}=\mathrm{0,6}$. Unter der Bedingung $B$ liegt $A$ also mit $60\mathrm{\%}$ vor.

Beispiel B: Richtung erkennen

Eine Aussage lautet:

Von den Personen mit Merkmal $A$ besitzen 30 Prozent auch Merkmal $B$.

Gesucht ist nicht $P(A\mid B)$, sondern

$P(B\mid A)=\mathrm{0,3}$.

Feedback

Das Wort „von den Personen mit $A$“ legt $A$ als Bedingung fest. Die Bedingung steht rechts vom Strich.

Fehleranalyse

Fehler 1: Bedingung und Ziel vertauschen

Falsch gedacht:

„$A$ unter $B$“ wird als $P(B\mid A)$ notiert.

Richtig:

$P(A\mid B)$

Die Bedingung steht rechts vom Strich.

Fehler 2: Falscher Nenner

Falsch:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Richtig:

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Fehler 3: Prozentangaben ohne Bezugsgruppe

Eine Prozentangabe ist nur sinnvoll, wenn klar ist, worauf sie sich bezieht.

Fehler 4: Kausalität hineinlesen

Aus $P(A\mid B)>P(A)$ folgt nicht automatisch, dass $B$ die Ursache von $A$ ist.

Basisfach und Leistungsfach

Basisfach: Im Mittelpunkt stehen sichere Interpretation, anschauliche Begründung, Vierfeldertafel, Baumdiagramm und verständige Anwendung.

Leistungsfach: Zusätzlich solltest Du Zusammenhänge formaler darstellen, Modelle begründen und auch Umformungen sicher beherrschen.

Aus

$P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B)$

und

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$

folgt für geeignete Wahrscheinlichkeiten:

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$

Das ist die Grundidee des Satzes von Bayes.

Stochastische Unabhängigkeit

Sind $A$ und $B$ unabhängig, dann verändert die Information $B$ die Wahrscheinlichkeit von $A$ nicht:

$P(A\mid B)=P(A)$

äquivalent zu

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Denkfrage: Warum ist das eine sinnvolle Definition von Unabhängigkeit?

Antwortidee

Wenn die Kenntnis von $B$ den Wert von $P(A)$ nicht verändert, liefert $B$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ keine zusätzliche Information.

Transfer: Medizinischer Test

Ein Test kann positiv sein, obwohl eine Person die untersuchte Eigenschaft nicht besitzt. Deshalb darfst Du

$P(\text{positiv}\mid \text{Eigenschaft})$

nicht mit

$P(\text{Eigenschaft}\mid \text{positiv})$

verwechseln.

Gerade bei seltenen Ereignissen können sich diese Wahrscheinlichkeiten stark unterscheiden.

Transferauftrag: Erstelle für ein selbst gewähltes Beispiel mit 1000 hypothetischen Fällen eine Vierfeldertafel. Verwende ausschließlich erfundene Daten und keine personenbezogenen Informationen.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Stand September 2026: Für den Abiturjahrgang 2027 verweist der Facherlass Mathematik auf den Bildungsplan 2016. Im Leistungsfach gehört die Stochastik zu den Sachgebieten des schriftlichen Prüfungsteils mit Hilfsmitteln. Im Basisfach kann Stochastik Teil der mündlichen Prüfung sein.

Vor Deiner konkreten Prüfung musst Du immer den Facherlass und die zugelassenen Hilfsmittel Deines Prüfungsjahrgangs prüfen.

Digitale Übungswerkzeuge wie GeoGebra, Lernapps oder KI sind Lernhilfen. Daraus folgt nicht, dass sie in einer Abiturprüfung zugelassen sind.

Eine KI-Ausgabe kann einen Rechenweg unterstützen, ersetzt aber keinen mathematischen Beweis und keine eigene Prüfung auf Plausibilität.

Offizielle Informationen des Kultusministeriums Baden-Württemberg

Selbstkontrolle

Prüfe Dich ohne Hilfsmittel:

1. Kannst Du in einem Satz erklären, was $P(A\mid B)$ bedeutet?
2. Kannst Du in einer Vierfeldertafel sofort den richtigen Nenner bestimmen?
3. Kannst Du $P(A\mid B)$ von $P(B\mid A)$ unterscheiden?
4. Kannst Du erklären, warum die Schnittmenge in beiden Formeln gleich ist?
5. Kannst Du erkennen, wann $P(A\mid B)=P(A)$ auf Unabhängigkeit hinweist?

Kompetenzcheck

Stufe 1: Sicher

Du kannst eine bedingte Wahrscheinlichkeit aus einer Vierfeldertafel berechnen.

Stufe 2: Vernetzt

Du kannst dieselbe Situation als Vierfeldertafel, Baumdiagramm und Formel darstellen.

Stufe 3: Abiturniveau

Du kannst eine Sachsituation modellieren, die richtige Bedingung begründen, den Rechenweg darstellen und das Ergebnis sprachlich korrekt interpretieren.

Leistungsfach-Plus

Du kannst Beziehungen wie

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$

herleiten und in Modellierungsaufgaben begründet einsetzen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet $P(A\mid B)$? (Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B) (!Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A) (!Wahrscheinlichkeit von A oder B) (!Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von B)

Welche Formel gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B? (Schnittwahrscheinlichkeit von A und B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B) (!Schnittwahrscheinlichkeit von A und B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von A) (!Wahrscheinlichkeit von A plus Wahrscheinlichkeit von B) (!Wahrscheinlichkeit von A minus Wahrscheinlichkeit von B)

Wo steht die Bedingung in $P(A\mid B)$? (Rechts vom Strich) (!Links vom Strich) (!Im Zähler) (!Außerhalb der Klammer)

Welcher Wert ist in der Vierfeldertafel der passende Nenner für $P(A\mid B)$? (Die Gesamtzahl der Fälle in B) (!Die Gesamtzahl der Fälle in A) (!Die Gesamtzahl aller Fälle unabhängig von B) (!Die Anzahl der Fälle außerhalb von B)

Was ist bei $P(A\mid B)$ der neue Bezugsraum? (B) (!A) (!Die leere Menge) (!Nur das Gegenereignis von A)

Welche Aussage kennzeichnet bei positiver Wahrscheinlichkeit von B stochastische Unabhängigkeit? (Die Wahrscheinlichkeit von A bleibt unter der Bedingung B unverändert) (!Die Wahrscheinlichkeit von A wird unter der Bedingung B immer größer) (!A und B müssen dasselbe Ereignis sein) (!A und B dürfen nie gemeinsam eintreten)

Welche Aussage über die beiden Richtungen einer bedingten Wahrscheinlichkeit ist richtig? (Die Wahrscheinlichkeit von A unter B kann sich von der Wahrscheinlichkeit von B unter A unterscheiden) (!Beide Richtungen sind immer gleich groß) (!Die zuerst genannte Richtung ist immer größer) (!Die zweitgenannte Richtung ist immer größer)

Was beschreibt $P(A\cap B)$? (A und B treten gemeinsam ein) (!Nur A tritt ein) (!Nur B tritt ein) (!Weder A noch B tritt ein)

Welche Beziehung verbindet Schnittwahrscheinlichkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit? (Schnittwahrscheinlichkeit gleich Wahrscheinlichkeit der Bedingung mal bedingte Wahrscheinlichkeit) (!Schnittwahrscheinlichkeit gleich Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten) (!Schnittwahrscheinlichkeit gleich Differenz der beiden Wahrscheinlichkeiten) (!Schnittwahrscheinlichkeit gleich Gegenwahrscheinlichkeit der Bedingung)

Was solltest Du bei einer Prozentangabe zuerst klären? (Auf welche Bezugsgruppe sie sich bezieht) (!Ob sie größer als 50 Prozent ist) (!Ob sie aus einem Diagramm stammt) (!Ob sie gerundet wurde)

Memory

Bedingte Wahrscheinlichkeit	Wahrscheinlichkeit unter Zusatzinformation
Schnittmenge	Gemeinsames Eintreten zweier Ereignisse
Vierfeldertafel	Übersicht aus zwei Ereignissen und Gegenereignissen
Bezugsraum	Menge der unter der Bedingung betrachteten Fälle
Unabhängigkeit	Zusatzinformation verändert die Wahrscheinlichkeit nicht
Baumdiagramm	Darstellung mehrstufiger Wahrscheinlichkeiten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Bedingung	steht rechts vom Strich
Schnittmenge	bildet den Zähler
Randwahrscheinlichkeit	bildet den Nenner der Bedingung
Vierfeldertafel	ordnet zwei Ereignisse und Gegenereignisse
Unabhängigkeit	Zusatzinformation ändert die Wahrscheinlichkeit nicht

Kreuzworträtsel

Bedingung	Welcher Begriff bezeichnet die Zusatzinformation rechts vom Strich?
Schnittmenge	Wie heißt das gemeinsame Eintreten zweier Ereignisse?
Vierfeldertafel	Wie heißt die tabellarische Darstellung zweier Ereignisse und ihrer Gegenereignisse?
Bezugsraum	Wie heißt die Menge der Fälle, auf die sich eine Wahrscheinlichkeit bezieht?
Baumdiagramm	Wie heißt die verzweigte Darstellung eines Zufallsvorgangs?
Unabhängigkeit	Wie heißt die Eigenschaft, wenn eine Bedingung die Wahrscheinlichkeit nicht verändert?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei $P(A\mid B)$ ist die Bedingung. Der neue Bezugsraum besteht aus allen Fällen, in denen eingetreten ist. Im Zähler der Formel steht die . Im Nenner steht die Wahrscheinlichkeit der . Die Formel lautet $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Im Allgemeinen darf man $P(A\mid B)$ nicht mit verwechseln. Gilt $P(A\mid B)=P(A)$, so spricht dies bei positiver Bedingungswahrscheinlichkeit für .

Üben mit Hilfen

Aufgabe 1 – Basisfach

Gegeben sind $P(B)=\mathrm{0,25}$ und $P(A\cap B)=\mathrm{0,15}$.

Berechne $P(A\mid B)$.

Tipp

Teile die Schnittwahrscheinlichkeit durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung.

Lösung

$P(A\mid B)=\frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,25}}=\mathrm{0,6}$.

Aufgabe 2 – Basisfach

In einer Vierfeldertafel liegen in der Zeile $B$ insgesamt 80 Fälle. Davon gehören 52 zugleich zu $A$.

Berechne $P(A\mid B)$.

Lösung

$P(A\mid B)=\frac{52}{80}=\mathrm{0,65}$.

Aufgabe 3 – Leistungsfach

Gegeben sind

$P(A)=\mathrm{0,4}$,

$P(B\mid A)=\mathrm{0,75}$,

$P(B)=\mathrm{0,5}$.

Bestimme $P(A\mid B)$.

Hilfe

Bestimme zunächst $P(A\cap B)$ mit $P(A)\cdot P(B\mid A)$.

Lösung

$P(A\cap B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,3}$ und damit $P(A\mid B)=\frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,5}}=\mathrm{0,6}$.

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Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffsnetz: Erstelle ein kleines Begriffsnetz mit $P(A\mid B)$, Bedingung, Schnittmenge und Bezugsraum.
2. Vierfeldertafel: Erfinde eine Vierfeldertafel mit insgesamt 100 Fällen und berechne zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten.
3. Mengenbild: Zeichne zwei sich überschneidende Mengen und markiere, welcher Teil bei $P(A\mid B)$ betrachtet wird.
4. Fehlerkarte: Gestalte eine Lernkarte zur Verwechslung von $P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$.

Standard

1. Baumdiagramm: Überführe eine selbst erstellte Vierfeldertafel in ein Baumdiagramm.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zur Frage „Warum steht die Bedingung im Nenner?“.
3. Dateninterpretation: Formuliere zu einer Vierfeldertafel drei korrekte und zwei absichtlich falsche Aussagen und lasse sie von anderen prüfen.
4. Modellierung: Entwickle eine alltagsnahe Aufgabe zu bedingten Wahrscheinlichkeiten mit vollständig erfundenen Daten.

Schwer

1. Satz von Bayes: Leite den Satz von Bayes aus zwei Darstellungen von $P(A\cap B)$ her.
2. Unabhängigkeit: Entwickle zwei Beispiele, eines mit unabhängigen und eines mit abhängigen Ereignissen, und begründe den Unterschied.
3. Abiturtraining: Erstelle eine mehrteilige Stochastik-Aufgabe mit Operatoren wie „bestimmen“, „begründen“ und „interpretieren“.
4. Medienkritik: Untersuche eine selbst gewählte öffentliche Statistik auf mögliche Verwechslungen zwischen bedingten Wahrscheinlichkeiten und Grundwahrscheinlichkeiten.

Lernkontrolle

1. Darstellungswechsel: Gegeben ist eine Vierfeldertafel. Überführe sie in ein Baumdiagramm und erkläre, welche Wahrscheinlichkeiten an den zweiten Ästen bedingt sind.
2. Fehlerdiagnose: Eine Person berechnet $P(A\mid B)$ mit dem Nenner $P(A)$. Erkläre den Denkfehler und korrigiere ihn.
3. Transfer: Erkläre an einem Testbeispiel, warum ein hoher Wert von $P(\text{positiv}\mid \text{krank})$ nicht automatisch einen ebenso hohen Wert von $P(\text{krank}\mid \text{positiv})$ bedeutet.
4. Unabhängigkeit prüfen: Entwickle ein Kriterium, mit dem Du aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten entscheiden kannst, ob zwei Ereignisse unabhängig sind.
5. Modellkritik: Beurteile, welche Informationen in einer Sachaufgabe fehlen, wenn nur $P(A\mid B)$, aber keine Größe der Bezugsgruppe angegeben ist.
6. Begründung: Erkläre geometrisch mit einem Mengenbild, weshalb $P(A\mid B)$ als Verhältnis innerhalb von $B$ verstanden werden kann.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du

1. die Bedeutung von $P(A\mid B)$ sprachlich korrekt erklärst.
2. die Bedingung als neuen Bezugsraum identifizierst.
3. Vierfeldertafeln sicher auswertest.
4. $P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ unterscheidest.
5. einen Rechenweg vollständig und nachvollziehbar darstellst.
6. Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretierst.
7. Darstellungen zwischen Formel, Tabelle, Mengenbild und Baumdiagramm wechselst.
8. im Leistungsfach Zusammenhänge formal begründest und modellierst.
9. digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse mathematisch überprüfst.

Reflexion

Beantworte nach dem Lernen:

1. Welcher Satz hilft Dir am meisten, um die Richtung einer bedingten Wahrscheinlichkeit zu erkennen?
2. Welche Darstellung hilft Dir stärker: Mengenbild, Vierfeldertafel oder Baumdiagramm?
3. Bei welchem Schritt machst Du noch Fehler?
4. Kannst Du Deinen Rechenweg so erklären, dass eine andere Person den Nenner nachvollziehen kann?
5. Welche Aufgabe würdest Du noch einmal ohne Hilfsmittel rechnen?

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich an:

1. Stochastische Unabhängigkeit
2. Satz von Bayes
3. Baumdiagramm
4. Vierfeldertafel
5. Binomialverteilung
6. Hypothesentest
7. ABI - Stochastik

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel Baumdiagramm Schnittmenge Stochastische Unabhängigkeit Satz von Bayes Wahrscheinlichkeitsrechnung