ABI - Baumdiagramme sicher nutzen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Du modellierst mehrstufige Zufallsexperimente mit Baumdiagrammen, nutzt die Pfadregeln sicher, vergleichst Wahrscheinlichkeiten mit relativen Häufigkeiten und interpretierst Ergebnisse im Kontext.

Zielgruppe: Mathematik-Abitur Baden-Württemberg, gemeinsamer Kurs für Basisfach und Leistungsfach.

Ein Baumdiagramm macht aus einer Situation eine Folge klarer Entscheidungen:

Situation → Stufen → Zweige → Pfade → Rechnung → Kontextsatz

Die Grundidee ist kompakt:

Für einen vollständigen Pfad mit Zweigwahrscheinlichkeiten $p_1,p_2,\dots ,p_n$ gilt:

$P(P)=p_1\cdot p_2\cdot \dots \cdot p_n$

Für mehrere passende, sich gegenseitig ausschließende Pfade $P_1,P_2,\dots$ gilt:

$P(E)=P(P_1)+P(P_2)+\dots$

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Prüfungshinweis Baden-Württemberg: Prüfe immer den Facherlass Deines eigenen Prüfungsjahrgangs. Für den aktuell veröffentlichten Prüfungsjahrgang 2027 sind Bildungsplan und Facherlass die maßgeblichen Quellen. Digitale Übungswerkzeuge wie GeoGebra, LearningApps oder Videos sind Lernhilfen und nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

Offizielle Informationen zum Abitur Baden-Württemberg

Bildungspläne Baden-Württemberg

Lernziele

Du kannst ...	Schwerpunkt
ein mehrstufiges Zufallsexperiment als Baum darstellen	Basis und Leistung
Zweigwahrscheinlichkeiten korrekt bestimmen	Basis und Leistung
die Produktregel entlang eines Pfades anwenden	Basis und Leistung
Wahrscheinlichkeiten mehrerer passender Pfade addieren	Basis und Leistung
Ziehen mit und ohne Zurücklegen unterscheiden	Basis und Leistung
relative Häufigkeiten berechnen und deuten	Basis und Leistung
Modellannahmen wie Unabhängigkeit begründen oder kritisch prüfen	besonders Leistung
bedingte Wahrscheinlichkeiten formal auswerten	vertieft Leistung

Basisfach und Leistungsfach

Basisfach	Leistungsfach
sichere Verfahren, anschauliche Begründungen, Kontextdeutung	zusätzlich stärkere Formalisierung, Modellkritik und vertiefte Begründungen
Baumdiagramm lesen und erstellen	komplexere Bäume analysieren und umkehren
Pfadregeln anwenden	Pfadregeln mit bedingten Wahrscheinlichkeiten verknüpfen

Gemeinsamer Kern: Eine richtige Rechnung genügt im Abitur nicht. Du musst erklären können, welches Ereignis berechnet wurde und was das Ergebnis in der Situation bedeutet.

Vorwissen-Check

Rechne zuerst selbst. Öffne danach die Rückmeldung.

Kurzcheck	Deine Aufgabe
Gegenwahrscheinlichkeit	Berechne $1-\mathrm{0,37}$.
Relative Häufigkeit	Bei 80 Versuchen tritt ein Ereignis 48-mal ein. Bestimme $h_{80}(E)$.
Produkt	Berechne $\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}$.
Kontrollregel	Ergänze $\mathrm{0,28}+x=1$.

Lösungen anzeigen

$1-\mathrm{0,37}=\mathrm{0,63}$
$h_{80}(E)=\frac{48}{80}=\mathrm{0,6}$
$\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,2}$
$x=\mathrm{0,72}$

Wenn Dir mehr als eine Aufgabe schwerfällt, wiederhole kurz Gegenereignis, Relative Häufigkeit und das Multiplizieren von Brüchen.

Baumdiagramme lesen

Jede Stufe steht für einen Teilschritt des Zufallsexperiments. Jeder vollständige Weg von links nach rechts ist ein Pfad.

Kontrollregel an jedem Knoten:

$p_1+p_2+\dots +p_k=1$

Bei zwei Gegenereignissen gilt insbesondere:

$P(\bar{A})=1-P(A)$

Pfadregel 1: entlang eines Pfades multiplizieren

Für den Pfad $A\to B$ gilt:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$

Bei unabhängigen Ereignissen vereinfacht sich das zu:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

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Pfadregel 2: passende Pfade addieren

Besteht ein Ereignis aus mehreren disjunkten Pfaden, werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.

Beispiel: Genau einmal Treffer bei zwei unabhängigen Versuchen mit $p=\mathrm{0,7}$.

$P(TN)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,21}$

$P(NT)=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,21}$

Für das Ereignis $E$ = „genau ein Treffer“ gilt:

$P(E)=\mathrm{0,21}+\mathrm{0,21}=\mathrm{0,42}$

Merksatz: Auf einem Pfad mal, zwischen passenden Pfaden plus.

Interaktives Beispiel 1: Qualitätskontrolle

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,96}$ in Ordnung. Zwei Bauteile werden betrachtet. Als Modellannahme gelten die beiden Prüfungen als unabhängig.

Gesucht: Genau ein Bauteil ist fehlerhaft.

Schritt 1 – Gegenwahrscheinlichkeit

$P(F)=1-\mathrm{0,96}=\mathrm{0,04}$

Schritt 2 – erster passender Pfad

$P(I,F)=\mathrm{0,96}\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,0384}$

Schritt 3 – zweiter passender Pfad

$P(F,I)=\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,96}=\mathrm{0,0384}$

Schritt 4 – Summenregel

Mit $E$ = „genau ein fehlerhaftes Bauteil“ gilt:

$P(E)=\mathrm{0,0384}+\mathrm{0,0384}=\mathrm{0,0768}$

Kontextsatz: Im verwendeten Modell liegt die Wahrscheinlichkeit für genau ein fehlerhaftes Bauteil bei $\mathrm{7,68}\mathrm{\%}$.

Denkfrage

Warum ist die angenommene Unabhängigkeit eine Modellannahme und keine automatische Tatsache? In einer realen Produktion könnten beide Bauteile beispielsweise von derselben Maschine oder derselben Charge beeinflusst werden.

Interaktives Beispiel 2: Ohne Zurücklegen

In einer Stichprobe liegen fünf Bauteile: drei sind in Ordnung, zwei fehlerhaft. Zwei Bauteile werden nacheinander ohne Zurücklegen ausgewählt.

Gesucht: Beide ausgewählten Bauteile sind fehlerhaft.

Erster Zug:

$P(F_1)=\frac{2}{5}$

Nach einem fehlerhaften Bauteil bleiben vier Bauteile, davon noch eines fehlerhaft:

$P(F_2\mid F_1)=\frac{1}{4}$

Damit:

$P(F_1\cap F_2)=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10}=\mathrm{0,1}$

Fehlerwarnung: Ohne Zurücklegen ändern sich Zähler und Nenner nach dem ersten Zug.

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Interaktives Modell: Baumdiagramm verändern

Verändere Wahrscheinlichkeiten im dynamischen Baum und beobachte, wie sich Pfadwahrscheinlichkeiten ändern.

Arbeitsauftrag: Stelle verschiedene Werte ein. Prüfe jedes Mal:

1. Addieren sich die Zweige an einem Knoten zu $1$?
2. Welche Wahrscheinlichkeit steht auf dem Pfad?
3. Welche bedingte Wahrscheinlichkeit kannst Du direkt ablesen?

Datenschutz: Nutze das Modell ohne personenbezogene Angaben.

Mit oder ohne Zurücklegen?

Situation	Folge
mit Zurücklegen	Zusammensetzung bleibt gleich
ohne Zurücklegen	Zusammensetzung verändert sich

Beispiel mit drei roten und zwei blauen Kugeln:

Mit Zurücklegen

$P(RR)=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$

Ohne Zurücklegen

$P(RR)=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$

Die beiden Modelle sehen ähnlich aus, liefern aber verschiedene Wahrscheinlichkeiten.

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses $E$ nach $n$ Beobachtungen ist

$h_n(E)=\frac{H_n(E)}{n}$

mit der absoluten Häufigkeit $H_n(E)$.

Beispiel: In 120 Beobachtungen tritt $E$ 30-mal ein.

$h_{120}(E)=\frac{30}{120}=\mathrm{0,25}$

Wichtig: $\mathrm{0,25}$ ist zunächst eine beobachtete relative Häufigkeit. Sie ist nicht automatisch die exakte theoretische Wahrscheinlichkeit.

Dynamische Simulation

Beobachte, wie relative Häufigkeiten bei vielen Würfen schwanken und sich häufig stabilisieren.

Denkfrage: Warum ist $h_{20}(E)=\mathrm{0,40}$ kein Widerspruch zu einem Modell mit $P(E)=\mathrm{0,5}$?

Feedback

Relative Häufigkeiten schwanken bei endlichen Stichproben zufällig. Eine einzelne Versuchsreihe muss nicht exakt die Modellwahrscheinlichkeit liefern.

Leistungsfach-Vertiefung: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Im Leistungsfach solltest Du die Zweige eines Baumes auch formal als bedingte Wahrscheinlichkeiten lesen.

$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

für $P(A)>0$.

Beispiel: 60 Prozent der Bauteile kommen von Lieferant A, 40 Prozent von Lieferant B. Bei A sind 2 Prozent fehlerhaft, bei B 5 Prozent.

$P(F)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,05}$

$P(F)=\mathrm{0,012}+\mathrm{0,020}=\mathrm{0,032}$

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Bauteil von B stammt:

$P(B\mid F)=\frac{P(B\cap F)}{P(F)}$

$P(B\mid F)=\frac{\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,05}}{\mathrm{0,032}}=\mathrm{0,625}$

Interpretation: Unter den im Modell als fehlerhaft betrachteten Bauteilen stammen $\mathrm{62,5}\mathrm{\%}$ von Lieferant B.

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Drei Stufen sicher bearbeiten

Bei drei Münzwürfen mit einer fairen Münze besitzt jeder konkrete Pfad die Wahrscheinlichkeit

${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$

Das Ereignis „genau zweimal Kopf“ besteht aus drei Pfaden: $KKZ$, $KZK$ und $ZKK$.

Daher gilt mit $E$ = „genau zweimal Kopf“:

$P(E)=3\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{8}$

Ein dynamischer Drei-Stufen-Baum:

Rechenweg-Animation im Kopf

Nutze bei jeder Abituraufgabe dieselbe sichtbare Schrittfolge:

Schritt	Frage
1	Was sind die Stufen?
2	Welche Zweige gibt es?
3	Ändern sich Wahrscheinlichkeiten?
4	Welche Pfade gehören zum Ereignis?
5	Auf jedem Pfad multiplizieren
6	Passende Pfade addieren
7	Ergebnis im Kontext deuten

Kurzform: Modell → Pfad → Produkt → Summe → Deutung

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A – Basisfach

Ein Onlinedienst verarbeitet eine Anfrage mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,9}$ sofort. Zwei Anfragen werden modellhaft als unabhängig betrachtet.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Anfrage nicht sofort verarbeitet wird.

Hilfe

Nutze das Gegenereignis „beide sofort“.

Feedback und Lösung

Für das Gegenereignis $G$ = „beide sofort“ gilt:
$P(G)=\mathrm{0,}{9}^2=\mathrm{0,81}$
Für $E$ = „mindestens eine Anfrage nicht sofort“ gilt:
$P(E)=1-\mathrm{0,81}=\mathrm{0,19}$
Im Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit $19\mathrm{\%}$.

Übung B – Basis und Leistung

In einer Box liegen vier grüne und zwei gelbe Karten. Zwei Karten werden ohne Zurücklegen gezogen.

Berechne $P(GG)$.

Hilfe

Nach einer grünen Karte bleiben fünf Karten, davon drei grüne.

Feedback und Lösung

$P(GG)=\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}=\frac{12}{30}=\mathrm{0,4}$.

Übung C – Leistungsfach

Ein System erhält 70 Prozent seiner Datenpakete über Kanal A und 30 Prozent über Kanal B. Die Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt bei A $\mathrm{0,01}$, bei B $\mathrm{0,04}$.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes fehlerhaftes Paket über B kam.

Hilfe

Berechne zuerst $P(F)$ und anschließend $P(B\mid F)$.

Feedback und Lösung

$P(F)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,01}+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,019}$
$P(B\mid F)=\frac{\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,04}}{\mathrm{0,019}}\approx \mathrm{0,6316}$
Also stammen im Modell etwa $\mathrm{63,2}\mathrm{\%}$ der fehlerhaften Pakete von Kanal B.

Fehleranalyse

Typischer Fehler	Korrektur
Wahrscheinlichkeiten auf einem Pfad addieren	Auf einem Pfad multiplizieren
Alternative Pfade multiplizieren	Passende disjunkte Pfade addieren
Ohne Zurücklegen dieselben Brüche verwenden	Bestände nach jedem Zug aktualisieren
Relative Häufigkeit mit Wahrscheinlichkeit gleichsetzen	Beobachtung und Modell unterscheiden
Unabhängigkeit stillschweigend annehmen	Modellannahme prüfen und nennen
Zu früh runden	möglichst exakt weiterrechnen und erst am Ende runden

Plausibilitätscheck:

$0\le P(E)\le 1$

und an jedem vollständigen Knoten:

$\sum p_i=1$

Selbstkontrolle

Aufgabe 1: Zwei unabhängige Treffer mit $p=\mathrm{0,8}$. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer.

Lösung

$(1-\mathrm{0,8}{)}^2=\mathrm{0,}{2}^2=\mathrm{0,04}$

Aufgabe 2: Bei 250 Versuchen tritt ein Ereignis 145-mal ein. Bestimme die relative Häufigkeit.

Lösung

$h_{250}(E)=\frac{145}{250}=\mathrm{0,58}$

Aufgabe 3: In einer Urne liegen fünf rote und drei blaue Kugeln. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme $P(RB)$ für genau diese Reihenfolge.

Lösung

$P(RB)=\frac{5}{8}\cdot \frac{3}{7}=\frac{15}{56}\approx \mathrm{0,2679}$

Transfer: Welches Modell passt?

Entscheide vor jeder Rechnung, welche Annahmen sinnvoll sind.

Situation	Modellfrage
Ziehen von Losen	mit oder ohne Zurücklegen?
zwei technische Prüfungen	unabhängig oder gemeinsam beeinflusst?
empirische Fehlerquote	relative Häufigkeit oder theoretische Wahrscheinlichkeit?
mindestens ein Treffer	direkt rechnen oder Gegenereignis nutzen?

Transferauftrag: Erfinde selbst eine realistische Situation mit zwei Stufen. Zeichne den Baum, berechne mindestens ein Ereignis und formuliere einen Kontextsatz.

Kompetenzcheck

Ich kann ...	Selbstcheck
Stufen und Zweige sinnvoll festlegen	sicher / teilweise / noch üben
Zweigwahrscheinlichkeiten kontrollieren	sicher / teilweise / noch üben
Produkt- und Summenregel unterscheiden	sicher / teilweise / noch üben
mit und ohne Zurücklegen unterscheiden	sicher / teilweise / noch üben
relative Häufigkeit korrekt deuten	sicher / teilweise / noch üben
Ergebnisse im Kontext formulieren	sicher / teilweise / noch üben
Modellannahmen kritisch prüfen	sicher / teilweise / noch üben

Reflexion

Beantworte knapp:

1. Welcher Schritt verhindert bei Dir die meisten Fehler?
2. Wann ist ein Baumdiagramm übersichtlicher als eine lange Rechnung?
3. Welche Modellannahme musst Du besonders häufig prüfen?
4. Woran erkennst Du, dass ein Ergebnis zwar rechnerisch korrekt, aber inhaltlich schlecht interpretiert ist?
5. Wie würdest Du einer anderen Person die beiden Pfadregeln ohne Formel erklären?

KI-Hinweis: KI kann Rechenwege erklären oder alternative Lösungswege vorschlagen. Prüfe aber jede Zweigwahrscheinlichkeit, jede Modellannahme und jede Rechnung selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine Begründung.

Folgekurs

Vertiefe anschließend:

1. ABI - Bedingte Wahrscheinlichkeit sicher nutzen
2. ABI - Vierfeldertafel sicher nutzen
3. ABI - Binomialverteilung sicher anwenden
4. ABI - Stochastik im Mathematik-Abitur
5. ABI - Hypothesentests sicher interpretieren

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was gilt entlang eines vollständigen Pfades im Baumdiagramm? (Die Zweigwahrscheinlichkeiten werden multipliziert) (!Die Zweigwahrscheinlichkeiten werden addiert) (!Die Zweigwahrscheinlichkeiten werden subtrahiert) (!Es wird immer durch die Anzahl der Stufen geteilt)

Was gilt für mehrere disjunkte Pfade, die gemeinsam ein Ereignis bilden? (Die Pfadwahrscheinlichkeiten werden addiert) (!Die Pfadwahrscheinlichkeiten werden multipliziert) (!Nur der größte Pfad wird verwendet) (!Alle Zweige werden auf eins gesetzt)

Welche Summe müssen die Zweigwahrscheinlichkeiten an einem vollständigen Knoten ergeben? (1) (!0) (!2) (!100)

Was verändert sich typischerweise beim Ziehen ohne Zurücklegen? (Die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ziehungen) (!Nur die Beschriftung des Baumes) (!Die Anzahl der bereits berechneten Pfade) (!Die Bedeutung der Produktregel)

In einer Urne liegen drei rote und zwei blaue Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal Rot ohne Zurücklegen? (0,3) (!0,36) (!0,6) (!0,12)

Ein Ereignis tritt bei 120 Versuchen 72-mal ein. Wie groß ist die relative Häufigkeit? (0,6) (!0,5) (!0,72) (!0,4)

Für ein Ereignis gilt P von A gleich 0,18. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses? (0,82) (!0,18) (!1,18) (!0,64)

Zwei unabhängige Versuche haben jeweils Trefferwahrscheinlichkeit 0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer? (0,42) (!0,49) (!0,21) (!0,70)

Welche Größe steht in einem Baum nach einem bereits eingetretenen Ereignis häufig auf der nächsten Stufe? (Eine bedingte Wahrscheinlichkeit) (!Eine sichere absolute Häufigkeit) (!Eine Ableitung) (!Eine Funktionsnullstelle)

Eine relative Häufigkeit von 0,49 wird nach vielen Würfen bei einem Modell mit Wahrscheinlichkeit 0,5 beobachtet. Welche Aussage ist angemessen? (Das Ergebnis ist mit zufälliger Schwankung vereinbar) (!Das Modell ist damit sicher falsch) (!Die wahre Wahrscheinlichkeit muss exakt 0,49 sein) (!Relative Häufigkeiten dürfen nie von 0,5 abweichen)

Memory

Produktregel	Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren
Summenregel	Wahrscheinlichkeiten disjunkter passender Pfade addieren
Gegenereignis	Wahrscheinlichkeit mit eins minus Ereigniswahrscheinlichkeit bestimmen
Relative Häufigkeit	Absolute Häufigkeit durch Versuchszahl teilen
Zurücklegen	Zusammensetzung bleibt nach dem Zug gleich
Ohne Zurücklegen	Zweigwahrscheinlichkeiten nach einem Zug anpassen
Bedingte Wahrscheinlichkeit	Wahrscheinlichkeit unter einer bereits bekannten Bedingung
Unabhängigkeit	Gemeinsame Wahrscheinlichkeit als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Multiplizieren	Entlang eines Pfades
Addieren	Zwischen passenden disjunkten Pfaden
Bestand anpassen	Ziehen ohne Zurücklegen
Eins minus Ereignis	Gegenereignis
Summe gleich eins	Zweige an einem vollständigen Knoten

Kreuzworträtsel

Produktregel	Welche Regel nutzt Du entlang eines Pfades?
Summenregel	Welche Regel verbindet mehrere passende disjunkte Pfade?
Gegenereignis	Wie heißt das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn das betrachtete Ereignis nicht eintritt?
Zurücklegen	Welcher Begriff beschreibt das Wiederhineinlegen eines gezogenen Objekts?
Unabhängigkeit	Wie heißt die Eigenschaft, wenn das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert?
Häufigkeit	Welches Wort ergänzt den Begriff relative ...?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Baumdiagramm stellt ein Zufallsexperiment übersichtlich dar.

Entlang eines Pfades werden Zweigwahrscheinlichkeiten .

Mehrere passende disjunkte Pfade werden .

Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändern sich die .

Für ein Gegenereignis gilt die Rechenidee Ereigniswahrscheinlichkeit.

Die relative Häufigkeit ist die absolute Häufigkeit geteilt durch die .

An einem vollständigen Knoten ergibt die Summe aller Zweigwahrscheinlichkeiten .

Im Leistungsfach werden Zweige häufig als Wahrscheinlichkeiten formalisiert.

Ein rechnerisches Ergebnis sollte abschließend im interpretiert werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Baumdiagramm zeichnen: Erstelle zu zwei Würfen einer Münze ein sauberes Baumdiagramm und markiere das Ereignis „genau einmal Kopf“.
2. Pfadregeln erklären: Gestalte eine Mini-Grafik mit der Merkhilfe „auf dem Pfad mal, zwischen Pfaden plus“.
3. Relative Häufigkeit untersuchen: Würfle mindestens 30-mal mit einem Würfel und vergleiche die relative Häufigkeit der Sechs mit $\frac{1}{6}$.
4. Fehlerkarte erstellen: Erstelle eine Karte mit drei typischen Fehlern bei Baumdiagrammen und jeweils einer Korrektur.

Standard

1. Urnenmodell entwickeln: Erfinde ein Ziehexperiment mit farbigen Objekten ohne Zurücklegen und löse zwei Ereignisse mit Baumdiagramm.
2. Alltag modellieren: Formuliere eine realitätsnahe Zwei-Stufen-Situation ohne personenbezogene Daten und begründe Deine Zweigwahrscheinlichkeiten.
3. Simulation vergleichen: Simuliere ein Zufallsexperiment digital und vergleiche theoretische Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit.
4. Lösungsweg kommentieren: Nimm einen vollständigen Rechenweg auf Papier oder als Erklärvideo auf und begründe jeden Rechenschritt.

Schwer

1. Bedingte Wahrscheinlichkeit modellieren: Entwickle eine Lieferanten-Situation mit zwei Quellen und unterschiedlichen Fehlerwahrscheinlichkeiten. Berechne eine umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit.
2. Modellkritik: Erfinde eine Situation, in der die Annahme der Unabhängigkeit problematisch ist, und zeige, wie sich das auf den Baum auswirkt.
3. Abituraufgabe entwerfen: Entwickle eine mehrteilige Aufgabe zu Baumdiagramm, relativer Häufigkeit und Kontextinterpretation samt Musterlösung.
4. KI-Lösung prüfen: Lasse Dir zu einer selbst formulierten Baumdiagramm-Aufgabe einen KI-Lösungsweg erzeugen und prüfe jede Zahl, jede Annahme und jeden Schluss mathematisch.

Lernkontrolle

1. Modellwahl begründen: Vergleiche zwei Situationen und entscheide begründet, in welcher ein Baumdiagramm mit konstanten und in welcher mit veränderlichen Zweigwahrscheinlichkeiten sinnvoll ist.
2. Fehlerdiagnose: Analysiere einen Lösungsweg, in dem Pfadwahrscheinlichkeiten addiert statt multipliziert wurden. Erkläre den Denkfehler und korrigiere ihn.
3. Kontextdeutung: Erkläre den Unterschied zwischen einer theoretischen Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{0,3}$ und einer beobachteten relativen Häufigkeit von $\mathrm{0,34}$.
4. Unabhängigkeit bewerten: Beurteile in einer realistischen technischen Situation, ob die Annahme unabhängiger Ereignisse plausibel ist.
5. Strategiewahl: Löse eine Aufgabe zu „mindestens ein Treffer“ einmal direkt über passende Pfade und einmal über das Gegenereignis. Vergleiche beide Wege.
6. Transferleistung: Übertrage ein gegebenes zweistufiges Baumdiagramm auf einen neuen Sachkontext, ohne die mathematische Struktur zu verändern.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. mehrstufige Zufallsexperimente passend modellierst,
2. Baumdiagramme vollständig und korrekt beschriftest,
3. Produkt- und Summenregel sicher unterscheidest,
4. mit und ohne Zurücklegen korrekt behandelst,
5. relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten auseinanderhältst,
6. bedingte Wahrscheinlichkeiten im Leistungsfach formal begründest,
7. Rechenwege nachvollziehbar dokumentierst,
8. Ergebnisse im Sachzusammenhang deutest,
9. Modellannahmen und Plausibilität kritisch prüfst.

OERs zum Thema

Wikimedia Commons: Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Lizenz und Urheberangaben sind jeweils auf der Dateiseite dokumentiert.

Dynamische Lernmedien:

GeoGebra: Baumdiagramm und bedingte Wahrscheinlichkeit

GeoGebra: Übungen zum dreistufigen Baumdiagramm

GeoGebra: Würfeln und relative Häufigkeit

Prüfungsbezug:

Ministerium für Kultus Baden-Württemberg: Abiturinformationen und Facherlasse

Bildungspläne Baden-Württemberg

Verknüpfte Lernbereiche

Stochastik Baumdiagramm Wahrscheinlichkeit Pfadregel Gegenereignis Relative Häufigkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit Unabhängigkeit Urnenmodell Vierfeldertafel Binomialverteilung