Winkelgeschwindigkeit - Physik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Physik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich ein Körper dreht oder wie schnell sich ein Punkt auf einer Kreisbahn um einen Winkel weiterbewegt. Ihr Formelzeichen ist $\omega$ – der griechische Buchstabe Omega. Du begegnest ihr bei Rädern, Ventilatoren, Zeigern, Karussells, Planeten und vielen Maschinen.

Anders als die Bahngeschwindigkeit betrachtet die Winkelgeschwindigkeit nicht zuerst den zurückgelegten Weg, sondern die Änderung des Drehwinkels pro Zeit. In diesem aiMOOC lernst Du die wichtigsten Formeln, Einheiten und Zusammenhänge der Kreisbewegung kennen und wendest sie auf einfache Beispiele an.

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Grundlagen

Drehwinkel und Bogenmaß

Eine volle Umdrehung entspricht $360^{\circ }$. In der Physik wird der Drehwinkel meist im Bogenmaß angegeben. Dabei gilt:

$360^{\circ }=2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

$180^{\circ }=\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

$90^{\circ }=\frac{\pi }{2}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$

Das Bogenmaß verbindet den Drehwinkel $\phi$, den Radius $r$ und die Bogenlänge $s$:

$s=r\cdot \phi$

Diese Formel gilt, wenn $\phi$ im Bogenmaß eingesetzt wird.

Definition der Winkelgeschwindigkeit

Die mittlere Winkelgeschwindigkeit ist die Winkeländerung geteilt durch die dafür benötigte Zeit:

$\omega =\frac{\Delta \phi }{\Delta t}$

Bei einer gleichförmigen Drehbewegung ist $\omega$ konstant. Der Körper überstreicht dann in gleichen Zeitabschnitten gleich große Winkel.

Die SI-Einheit lautet:

$[\omega ]=\frac{\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{\mathrm{s}}$

Da der Radiant dimensionslos ist, findet man auch die Schreibweise ${\mathrm{s}}^{-1}$. Für Schulaufgaben ist $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$ meist anschaulicher.

Umlaufdauer und Frequenz

Die Umlaufdauer $T$ ist die Zeit für eine vollständige Umdrehung. Die Frequenz $f$ gibt an, wie viele Umdrehungen pro Sekunde stattfinden.

$f=\frac{1}{T}$

Bei einer vollen Umdrehung wird der Winkel $2\pi$ überstrichen. Deshalb gilt:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

Mit $f=\frac{1}{T}$ folgt:

$\omega =2\pi f$

Die Frequenz wird in Hertz angegeben. Es gilt $1\mathrm{H}\mathrm{z}=1{\mathrm{s}}^{-1}$. Winkelgeschwindigkeit und Frequenz haben zwar verwandte Einheiten, sind aber nicht dieselbe physikalische Größe.

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Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit

Ein Punkt am Rand eines rotierenden Rades legt in derselben Zeit einen längeren Weg zurück als ein Punkt nahe an der Achse. Beide Punkte haben bei einem starren Körper jedoch dieselbe Winkelgeschwindigkeit.

Der Zusammenhang lautet:

$v=\omega r$

Damit wächst die Bahngeschwindigkeit $v$ bei gleicher Winkelgeschwindigkeit proportional mit dem Radius $r$.

Größe	Bedeutung	Einheit
$\phi$	Drehwinkel	$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit	$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$
$T$	Umlaufdauer	$\mathrm{s}$
$f$	Frequenz	$\mathrm{H}\mathrm{z}$
$r$	Radius	$\mathrm{m}$
$v$	Bahngeschwindigkeit	$\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Rechnen mit der Winkelgeschwindigkeit

Beispiel: Sekundenzeiger

Ein Sekundenzeiger benötigt für eine Umdrehung $T=60\mathrm{s}$.

$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{60\mathrm{s}}=\frac{\pi }{30}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$

Der Sekundenzeiger überstreicht also pro Sekunde einen Winkel von ungefähr $\mathrm{0,105}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ beziehungsweise $6^{\circ }$.

Beispiel: Drehzahl in Umdrehungen pro Minute

Ein Rad dreht sich mit $120$ Umdrehungen pro Minute.

Zuerst wird in Umdrehungen pro Sekunde umgerechnet:

$f=\frac{120}{60\mathrm{s}}=2\mathrm{H}\mathrm{z}$

Dann folgt:

$\omega =2\pi f=4\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}\approx \mathrm{12,6}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$

Bei einem Radius von $r=\mathrm{0,25}\mathrm{m}$ beträgt die Bahngeschwindigkeit am Rand:

$v=\omega r\approx \mathrm{12,6}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}\cdot \mathrm{0,25}\mathrm{m}\approx \mathrm{3,15}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

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Praktische Messung

Du kannst die Winkelgeschwindigkeit eines Rades mit einer Stoppuhr oder einer Zeitlupenaufnahme bestimmen. Markiere einen Punkt am Rand und miss die Zeit $t$ für $N$ vollständige Umdrehungen.

$T=\frac{t}{N}$

$f=\frac{N}{t}$

$\omega =\frac{2\pi N}{t}$

Mehrere Umdrehungen zu messen ist meist genauer als nur eine einzelne. Achte darauf, rotierende Geräte nur in sicherem Abstand zu beobachten.

Richtung der Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit kann als Vektor $\overrightarrow{\omega }$ dargestellt werden. Seine Richtung liegt entlang der Drehachse. Mit der Rechte-Hand-Regel bestimmst Du die Richtung: Krümme die Finger der rechten Hand in Drehrichtung. Der ausgestreckte Daumen zeigt dann in Richtung von $\overrightarrow{\omega }$.

Für viele Schulaufgaben genügt der Betrag $\omega$. Die Vektorrichtung wird besonders wichtig, wenn Drehungen im Raum untersucht werden.

Verbindung zur Kreisbewegung

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bleibt der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant, ihre Richtung ändert sich aber fortlaufend. Deshalb liegt eine Beschleunigung zur Kreismitte vor: die Zentripetalbeschleunigung.

$a_{\mathrm{z}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^{2}r$

Diese Formel zeigt: Bei gleicher Winkelgeschwindigkeit ist die Zentripetalbeschleunigung weiter außen größer.

Die gleichförmige Kreisbewegung ist außerdem eng mit harmonischen Schwingungen verbunden. Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung auf eine Achse ergibt eine sinusförmige Bewegung.

Typische Fehler vermeiden

Häufiger Fehler	Richtig ist
Grad direkt in $\omega =\Delta \phi /\Delta t$ einsetzen	Für die Einheit $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$ den Winkel im Bogenmaß verwenden.
Frequenz und Winkelgeschwindigkeit gleichsetzen	Es gilt $\omega =2\pi f$.
Umdrehungen pro Minute wie Hertz behandeln	Erst durch $60$ teilen.
Gleiche Winkelgeschwindigkeit bedeutet gleiche Bahngeschwindigkeit	Bei gleichem $\omega$ gilt $v=\omega r$; weiter außen ist $v$ größer.
Bei doppelter Umlaufdauer bleibt $\omega$ gleich	Aus $\omega =2\pi /T$ folgt: Doppelte Umlaufdauer bedeutet halbe Winkelgeschwindigkeit.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die Winkelgeschwindigkeit? (Die Winkeländerung pro Zeit) (!Den Radius pro Zeit) (!Die Masse pro Umdrehung) (!Die Kraft entlang der Drehachse)

Welche Formel definiert die mittlere Winkelgeschwindigkeit? (Omega gleich Winkeländerung durch Zeitänderung) (!Omega gleich Radius durch Zeit) (!Omega gleich Weg mal Zeit) (!Omega gleich Frequenz durch zwei Pi)

Welche Einheit wird für die Winkelgeschwindigkeit verwendet? (Radiant pro Sekunde) (!Meter pro Sekunde) (!Newton pro Meter) (!Kilogramm pro Sekunde)

Welcher Winkel gehört zu einer vollständigen Umdrehung? (Zwei Pi Radiant) (!Pi halbe Radiant) (!Ein Radiant) (!Vier Pi Radiant)

Wie hängt die Winkelgeschwindigkeit von der Umlaufdauer ab? (Omega ist zwei Pi geteilt durch die Umlaufdauer) (!Omega ist Umlaufdauer mal Radius) (!Omega ist Umlaufdauer geteilt durch zwei Pi) (!Omega ist unabhängig von der Umlaufdauer)

Wie lautet der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Frequenz? (Omega ist zwei Pi mal Frequenz) (!Omega ist Frequenz geteilt durch zwei Pi) (!Omega ist Frequenz mal Radius) (!Omega ist zwei Pi minus Frequenz)

Wie lautet der Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit? (Bahngeschwindigkeit ist Omega mal Radius) (!Bahngeschwindigkeit ist Omega geteilt durch Radius) (!Bahngeschwindigkeit ist Radius geteilt durch Omega) (!Bahngeschwindigkeit ist Omega plus Radius)

Welche Aussage gilt für zwei Punkte auf demselben starren rotierenden Rad? (Beide haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit) (!Beide haben immer dieselbe Bahngeschwindigkeit) (!Der äußere Punkt hat die kleinere Winkelgeschwindigkeit) (!Der innere Punkt benötigt eine andere Umlaufdauer)

Was geschieht mit Omega, wenn sich die Umlaufdauer verdoppelt? (Omega halbiert sich) (!Omega verdoppelt sich) (!Omega vervierfacht sich) (!Omega bleibt gleich)

Welcher Frequenz entsprechen 120 Umdrehungen pro Minute? (Zwei Hertz) (!Ein Hertz) (!Sechzig Hertz) (!Hundertzwanzig Hertz)

Memory

Winkelgeschwindigkeit	Winkeländerung pro Zeit
Umlaufdauer	Zeit für eine volle Umdrehung
Frequenz	Umdrehungen pro Sekunde
Bogenmaß	Winkelangabe mit Radiant
Bahngeschwindigkeit	Geschwindigkeit entlang der Kreisbahn
Rechte-Hand-Regel	Richtung des Omega-Vektors
Zentripetalbeschleunigung	Beschleunigung zur Kreismitte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Winkelgeschwindigkeit	Winkeländerung pro Zeit
Umlaufdauer	Zeit für eine vollständige Drehung
Frequenz	Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde
Bogenmaß	Winkelmessung mit Radiant
Bahngeschwindigkeit	Geschwindigkeit auf der Kreisbahn

Kreuzworträtsel

Omega	Welcher griechische Buchstabe ist das Formelzeichen der Winkelgeschwindigkeit?
Bogenmass	Wie heißt die in der Physik bevorzugte Art der Winkelangabe?
Umlaufdauer	Welche Größe beschreibt die Zeit für eine vollständige Umdrehung?
Frequenz	Welche Größe gibt die Zahl der Umdrehungen pro Sekunde an?
Tangente	In welche geometrische Richtung zeigt die Bahngeschwindigkeit am Kreis?
Drehachse	Entlang welcher Linie zeigt der Vektor der Winkelgeschwindigkeit?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Winkelgeschwindigkeit trägt das Formelzeichen . Sie beschreibt die Änderung des pro Zeit. Eine volle Umdrehung entspricht im Bogenmaß Radiant. Die Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist . Die Zeit für eine vollständige Umdrehung heißt . Die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde heißt . Zwischen beiden Größen gilt Omega gleich zwei Pi mal . Die Bahngeschwindigkeit ergibt sich aus Omega mal . Bei einem starren rotierenden Körper besitzen alle Punkte dieselbe . Die Richtung des Omega-Vektors wird mit der bestimmt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Beispiele für Drehbewegungen: Fotografiere oder zeichne vier Gegenstände aus Deinem Alltag, bei denen eine Winkelgeschwindigkeit vorkommt, und markiere jeweils die Drehachse.
2. Bogenmaß: Erstelle eine Lernkarte, auf der Du 90 Grad, 180 Grad, 270 Grad und 360 Grad in Radiant umrechnest.
3. Formelnetz: Zeichne ein übersichtliches Formelnetz mit den Größen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz, Umlaufdauer, Radius und Bahngeschwindigkeit.
4. Sekundenzeiger: Beobachte eine analoge Uhr und erkläre in drei Sätzen, warum alle Punkte des Sekundenzeigers dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber unterschiedliche Bahngeschwindigkeiten haben.

Standard

1. Messung einer Drehbewegung: Filme ein langsam rotierendes Rad, bestimme die Zeit für zehn Umdrehungen und berechne Umlaufdauer, Frequenz und Winkelgeschwindigkeit.
2. Drehzahlvergleich: Vergleiche die Drehzahlen von drei Alltagsgeräten. Rechne die Werte von Umdrehungen pro Minute in Hertz und Radiant pro Sekunde um.
3. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video, in dem Du den Unterschied zwischen Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit mit einem selbst gewählten Gegenstand erklärst.
4. Fehleranalyse: Erfinde zwei typische falsche Lösungen zu einer Aufgabe über Winkelgeschwindigkeit und erkläre, wie die Fehler korrigiert werden.

Schwer

1. Experimentelle Unsicherheit: Wiederhole eine Messung der Winkelgeschwindigkeit mindestens fünfmal, berechne den Mittelwert und untersuche mögliche Ursachen für Abweichungen.
2. Modell Karussell: Plane ein Modellkarussell und berechne für zwei verschiedene Sitzradien die Bahngeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung bei gleicher Winkelgeschwindigkeit.
3. Digitale Simulation: Programmiere oder gestalte eine Animation, in der Radius und Winkelgeschwindigkeit verändert werden können und die Bahngeschwindigkeit sichtbar ausgegeben wird.
4. Transfer zur Schwingung: Zeige mit einer Zeichnung, Animation oder Messreihe, wie die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung eine harmonische Schwingung erzeugt.

Lernkontrolle

1. Vergleich zweier Räder: Zwei Räder drehen sich mit gleicher Frequenz, haben aber unterschiedliche Radien. Erkläre, welche Größen gleich sind und welche sich unterscheiden.
2. Umlaufdauer ändern: Begründe ohne bloßes Einsetzen, warum sich die Winkelgeschwindigkeit halbiert, wenn sich die Umlaufdauer verdoppelt.
3. Sicherheitsanalyse: Erkläre mithilfe von $v=\omega r$, warum schnell rotierende große Scheiben am Rand besonders hohe Geschwindigkeiten erreichen können.
4. Messverfahren bewerten: Vergleiche eine Messung über eine einzelne Umdrehung mit einer Messung über zehn Umdrehungen. Beurteile, welches Verfahren zuverlässiger ist.
5. Diagramm deuten: Skizziere ein Winkel-Zeit-Diagramm für eine gleichförmige und eine beschleunigte Drehbewegung und erläutere den Unterschied der Steigungen.
6. Transferaufgabe: Ein Karussell und ein Plattenspieler besitzen dieselbe Winkelgeschwindigkeit. Erkläre, warum daraus nicht folgt, dass ein Punkt am Rand beider Geräte dieselbe Bahngeschwindigkeit besitzt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Winkelgeschwindigkeit als Winkeländerung pro Zeit erklären kannst,
2. Drehwinkel sicher zwischen Grad und Bogenmaß umrechnen kannst,
3. die Beziehungen $\omega =\frac{\Delta \phi }{\Delta t}$, $\omega =\frac{2\pi }{T}$ und $\omega =2\pi f$ anwenden kannst,
4. Drehzahlen von Umdrehungen pro Minute in Hertz und Radiant pro Sekunde umrechnen kannst,
5. den Zusammenhang $v=\omega r$ erklären und berechnen kannst,
6. zwischen Winkelgeschwindigkeit, Frequenz, Umlaufdauer und Bahngeschwindigkeit unterscheiden kannst,
7. Messwerte zu einer Drehbewegung sinnvoll auswerten und mögliche Fehler benennen kannst,
8. Ergebnisse mit Einheit, Rechenweg und einer verständlichen Begründung darstellen kannst.

OERs zum Thema

1. LEIFIphysik: Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit
2. Wikimedia Commons: Medien zur Winkelgeschwindigkeit
3. Wikipedia: Kreisbewegung

Verknüpfte Lernbereiche

Winkelgeschwindigkeit Kreisbewegung Drehwinkel Bogenmaß Umlaufdauer Frequenz Bahngeschwindigkeit Zentripetalbeschleunigung Harmonische Schwingung