Volumen und Oberfläche einer Kugel

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Volumen und Oberfläche einer Kugel

Einleitung

Eine Kugel ist ein runder Körper. Alle Punkte ihrer Oberfläche haben den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. Dieser Abstand heißt Radius.

Für Rechnungen brauchst Du meist den Radius $r$. Der Durchmesser $d$ ist doppelt so groß:

$d=2r$

$r=\frac{d}{2}$

Lernbereiche

1. Mathematik: Geometrie, Kugel, Oberfläche und Volumen
2. Klasse 8-13: Formeln anwenden, Einheiten unterscheiden und Größen vergleichen

Das Lernvideo

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Das Video von Planet Schule zeigt Beispiele zum Volumen, zur Oberfläche und zum Durchmesser einer Kugel.

Als frei nutzbare Version ist das Video auch auf Wikimedia Commons verfügbar:

Datei:Volumen und Oberfläche einer Kugel - kolleg24 Mathematik.webm

Aufgaben zum Video

1. Radius und Durchmesser: Notiere, warum ein gegebener Durchmesser zuerst halbiert wird.
2. Kugelvolumen: Schreibe die Formel aus dem Video auf und erkläre die Einheit.
3. Kugeloberfläche: Schreibe die Formel aus dem Video auf und erkläre die Einheit.
4. Beispielaufgabe: Stoppe das Video bei einem Beispiel. Notiere Gegeben, Gesucht, Rechnung und Antwort.
5. Fehlerkontrolle: Suche im Video eine Stelle, an der gerundet wird. Erkläre, warum das Ergebnis dann nur ungefähr gilt.

Oberfläche einer Kugel

Die Oberfläche ist die äußere Hülle der Kugel.

$O=4\cdot \pi \cdot r^2$

Mit dem Durchmesser gilt auch:

$O=\pi \cdot d^2$

Die Einheit ist immer eine Quadrateinheit, zum Beispiel $c{m}^2$ oder $m^2$.

Volumen einer Kugel

Das Volumen gibt an, wie viel Raum die Kugel einnimmt.

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$

Mit dem Durchmesser gilt auch:

$V=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot d^3$

Die Einheit ist immer eine Kubikeinheit, zum Beispiel $c{m}^3$ oder $m^3$.

Kurzes Beispiel

Eine Kugel hat den Radius $r=4cm$.

$O=4\cdot \pi \cdot 4^2\approx \mathrm{201,1}c{m}^2$

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 4^3\approx \mathrm{268,1}c{m}^3$

Merke: Schreibe bei der Oberfläche eine Quadrateinheit und beim Volumen eine Kubikeinheit.

Vergrößern und Verkleinern

Wird der Radius verdoppelt, wird die Oberfläche viermal so groß. Das Volumen wird achtmal so groß.

Archimedes untersuchte schon in der Antike den Zusammenhang zwischen Kugel und Zylinder.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt der Abstand vom Mittelpunkt bis zur Kugeloberfläche? (Radius) (!Durchmesser) (!Umfang) (!Höhe)

Wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? (Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius) (!Der Durchmesser ist halb so groß wie der Radius) (!Der Durchmesser ist genauso groß wie der Radius) (!Der Durchmesser ist dreimal so groß wie der Radius)

Welche Formel berechnet die Oberfläche einer Kugel? (O gleich 4 mal Pi mal r Quadrat) (!O gleich 4 Drittel mal Pi mal r hoch drei) (!O gleich Pi mal r) (!O gleich 2 mal Pi mal r)

Welche Formel berechnet das Volumen einer Kugel? (V gleich 4 Drittel mal Pi mal r hoch drei) (!V gleich 4 mal Pi mal r Quadrat) (!V gleich Pi mal r Quadrat) (!V gleich 2 mal Pi mal r)

Welche Einheit passt zu einer Kugeloberfläche? (Quadratzentimeter) (!Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Liter pro Sekunde)

Welche Einheit passt zu einem Kugelvolumen? (Kubikmeter) (!Quadratmeter) (!Meter) (!Grad)

Eine Kugel hat den Durchmesser 10 Zentimeter. Wie groß ist der Radius? (5 Zentimeter) (!10 Zentimeter) (!20 Zentimeter) (!2 Zentimeter)

Was geschieht mit der Oberfläche, wenn der Radius verdoppelt wird? (Sie wird viermal so groß) (!Sie wird doppelt so groß) (!Sie wird achtmal so groß) (!Sie bleibt gleich)

Was geschieht mit dem Volumen, wenn der Radius verdoppelt wird? (Es wird achtmal so groß) (!Es wird doppelt so groß) (!Es wird viermal so groß) (!Es bleibt gleich)

Was beschreibt das Volumen einer Kugel? (Den Raum im Inneren der Kugel) (!Nur den Rand eines Kreises) (!Die Länge des Radius) (!Die Farbe der Oberfläche)

Memory

Radius	Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche
Durchmesser	Zweifacher Radius
Kugeloberfläche	Vier mal Pi mal Radiusquadrat
Kugelvolumen	Vier Drittel mal Pi mal Radius hoch drei
Quadrateinheit	Einheit einer Fläche
Kubikeinheit	Einheit eines Rauminhalts

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Radius	Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche
Durchmesser	Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand
Oberfläche	Äußere Hülle der Kugel
Volumen	Raum im Inneren der Kugel
Pi	Kreiszahl in beiden Kugelformeln

Kreuzworträtsel

Radius	Wie heißt der Abstand vom Mittelpunkt zur Kugeloberfläche?
Durchmesser	Welche Strecke geht durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand?
Oberfläche	Wie heißt die äußere Hülle einer Kugel?
Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Kugel	Welcher Körper ist in alle Richtungen gleichmäßig rund?
Quadrateinheit	Welche Art von Einheit nutzt man für eine Fläche?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche heißt .

Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der .

Die Oberfläche wird mit $4\cdot \pi \cdot r^2$ .

Das Volumen wird mit $\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3$ .

Eine Oberfläche wird in einer angegeben.

Ein Volumen wird in einer angegeben.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kugeln im Alltag: Finde fünf kugelförmige Gegenstände und fotografiere oder zeichne sie.
2. Radius messen: Miss den Durchmesser eines Balls und berechne den Radius.
3. Formelkarte: Gestalte eine kleine Karte mit beiden Kugelformeln.
4. Einheiten: Sammle Beispiele für Quadrat- und Kubikeinheiten.

Standard

1. Oberfläche berechnen: Berechne die Oberfläche eines Balls mit selbst gewähltem Radius.
2. Volumen berechnen: Berechne das Volumen desselben Balls.
3. Erklärvideo: Erstelle ein einminütiges Video, in dem Du den Unterschied zwischen Oberfläche und Volumen erklärst.
4. Modellversuch: Vergleiche zwei Kugeln mit verschiedenem Radius und beschreibe die Veränderung ihrer Größen.

Schwer

1. Skalierung: Erkläre mit einem Beispiel, warum sich die Oberfläche quadratisch und das Volumen kubisch verändert.
2. Rückwärts rechnen: Bestimme den Radius einer Kugel aus einem vorgegebenen Volumen.
3. Verpackungsproblem: Plane eine möglichst kleine quaderförmige Verpackung für eine Kugel.
4. Kugel und Zylinder: Untersuche den Zusammenhang zwischen einer Kugel und einem passenden Zylinder.

Lernkontrolle

1. Vergleich zweier Kugeln: Kugel A hat den Radius 5 cm, Kugel B den Radius 10 cm. Vergleiche Oberfläche und Volumen ohne beide Werte vollständig auszurechnen.
2. Materialbedarf: Eine Kugel soll vollständig lackiert werden. Erkläre, welche Größe berechnet werden muss und warum.
3. Füllmenge: Ein kugelförmiger Behälter soll gefüllt werden. Erkläre, welche Größe benötigt wird und welche Einheit sinnvoll ist.
4. Fehleranalyse: Eine Person berechnet die Oberfläche mit $\frac{4}{3}\pi r^3$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
5. Modellbau: Der Radius eines Kugelmodells wird verdreifacht. Begründe, wie sich Oberfläche und Volumen verändern.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. Radius und Durchmesser unterscheiden und umrechnen kannst.
2. die Formel für die Kugeloberfläche sicher anwendest.
3. die Formel für das Kugelvolumen sicher anwendest.
4. passende Quadrat- und Kubikeinheiten verwendest.
5. Ergebnisse sinnvoll rundest und erklärst.
6. Veränderungen bei vergrößerten oder verkleinerten Kugeln begründest.

OERs zum Thema

Das verwendete Video von Planet Schule steht unter einer freien Creative-Commons-Lizenz. Eine freie Kopie befindet sich auf Wikimedia Commons.

Links

Volumen und Oberfläche einer Kugel Kugel Radius Durchmesser Oberfläche Volumen Kreiszahl Pi Geometrie