Substitution - Gleichungen umformen und lösen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Mit einer Substitution ersetzt Du einen schwierigen Term vorübergehend durch eine neue Variable. So wird eine komplizierte Gleichung oft zu einer bekannten Gleichung.

Eine Gleichung bleibt bei richtigen Umformungen im Gleichgewicht.

Ziel: Du kannst eine passende Substitution wählen, die neue Gleichung lösen und danach rücksubstituieren.

Grundidee

Beispiel:

$x^4-5x^2+4=0$

Da $x^2$ mehrfach vorkommt, setzt Du:

$z=x^2$

Dann gilt $x^4=(x^2{)}^2=z^2$. Die neue Gleichung lautet:

$z^2-5z+4=0$

Äquivalenzumformungen verändern beide Seiten einer Gleichung passend.

Die vier Schritte

1. Term wählen: Suche einen Term, der mehrfach vorkommt.
2. Substitution durchführen: Setze zum Beispiel $z=x^2$.
3. Neue Gleichung lösen: Löse die einfachere Gleichung nach $z$.
4. Rücksubstitution: Ersetze $z$ wieder durch den ursprünglichen Term.

Beispiel vollständig lösen

$z^2-5z+4=0$

$(z-1)(z-4)=0$

Also gilt:

$z_1=1$ oder $z_2=4$

Nun setzt Du zurück:

$x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

$x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

Die Lösungsmenge ist:

$L=\{-2;-1;1;2\}$

Eine quadratische Gleichung kann nach der Substitution mit bekannten Verfahren gelöst werden.

Häufige Substitutionen

Ausgangsterme	Sinnvolle Substitution	Bedingung
$x^4$ und $x^2$	$z=x^2$	$z\ge 0$
$x^6$ und $x^3$	$z=x^3$	alle reellen $z$
$e^{2x}$ und $e^x$	$z=e^x$	$z>0$

Wichtig: Prüfe bei der Rücksubstitution den erlaubten Zahlenbereich.

Der Graph einer quadratischen Funktion zeigt mögliche Nullstellen der substituierten Gleichung.

Video: Substitution einfach erklärt

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Aufgaben zum Video

1. Videonotizen: Schreibe die Erklärung des Begriffs Substitution in einem Satz auf.
2. Vier Schritte: Notiere die vier Arbeitsschritte in der richtigen Reihenfolge.
3. Potenzgesetz: Erkläre, warum aus $x^4$ der Term $z^2$ wird, wenn $z=x^2$ gilt.
4. Parallelaufgabe: Löse während oder nach dem Video $x^4-5x^2+4=0$.
5. Fehler finden: Erkläre, warum ein negativer Wert für $z$ bei $z=x^2$ keine reelle Lösung liefert.

Nullstellen einer quadratischen Funktion.

Merksatz

Substituieren – lösen – rücksubstituieren – Probe machen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet Substitution? (Einen Term vorübergehend ersetzen) (!Eine Gleichung nur abschreiben) (!Alle Variablen löschen) (!Nur Zahlen addieren)

Welche Substitution passt zu x⁴ und x²? (z = x²) (!z = x) (!z = x⁴) (!z = 2x)

Was wird aus x⁴ bei z = x²? (z²) (!2z) (!z⁴) (!x²z)

Was folgt nach dem Lösen der Gleichung in z? (Die Rücksubstitution) (!Das Weglassen der Lösungen) (!Das Vertauschen aller Vorzeichen) (!Das Zeichnen eines Dreiecks)

Welche Bedingung gilt bei z = x² im Bereich der reellen Zahlen? (z ist größer oder gleich null) (!z ist immer kleiner als null) (!z muss genau eins sein) (!z darf keine Zahl sein)

Welche Lösungen hat x² = 4? (x = 2 und x = minus 2) (!Nur x = 2) (!Nur x = minus 2) (!x = 4 und x = minus 4)

Welche Gleichung entsteht aus x⁴ minus 5x² plus 4 gleich null bei z = x²? (z² minus 5z plus 4 gleich null) (!z⁴ minus 5z² plus 4 gleich null) (!z minus 5 plus 4 gleich null) (!x² minus 5z plus 4 gleich null)

Warum macht man am Ende eine Probe? (Um die Lösungen zu prüfen) (!Um neue Variablen zu erfinden) (!Um die Gleichung länger zu machen) (!Um alle Ergebnisse zu löschen)

Welche Substitution passt zu e hoch 2x und e hoch x? (z = e hoch x) (!z = 2x) (!z = x²) (!z = e hoch 2)

Was ist das Ziel einer Substitution? (Eine einfachere Gleichung erhalten) (!Die Lösungsmenge vergrößern) (!Alle Potenzen verdoppeln) (!Eine Gleichung ohne Rechnen lösen)

Memory

Substitution	Term ersetzen
Rücksubstitution	Ursprüngliche Variable einsetzen
Äquivalenzumformung	Lösungsmenge bleibt gleich
Nullstelle	Funktionswert ist null
Probe	Ergebnis kontrollieren
Lösungsmenge	Alle gültigen Lösungen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Substitution	Einen schwierigen Term ersetzen
Quadratische Gleichung	Die vereinfachte Gleichung in z
Rücksubstitution	z durch den ursprünglichen Term ersetzen
Probe	Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen
Lösungsmenge	Alle gültigen Ergebnisse sammeln

Kreuzworträtsel

Substitution	Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
Variable	Welches Zeichen kann einen Term vorübergehend ersetzen?
Ruecksubstitution	Wie heißt das Zurücksetzen zur ursprünglichen Variablen?
Gleichgewicht	Welches Bild erklärt Äquivalenzumformungen besonders gut?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
Probe	Wie heißt die Kontrolle einer gefundenen Lösung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Substitution wird ein schwieriger ersetzt. Als neue Variable wird oft verwendet. Bei $z=x^2$ wird aus $x^4$ der Ausdruck . Danach löst Du die neue . Anschließend folgt die . Aus $x^2=9$ entstehen zwei reelle . Ein negativer Wert für $z$ ist bei $z=x^2$ nicht . Zum Schluss kontrollierst Du das Ergebnis mit einer .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Substitution und Rücksubstitution.
2. Schrittfolge: Schreibe die vier Lösungsschritte auf vier einzelne Zettel und ordne sie.
3. Mini-Erklärung: Erkläre einem Partner in höchstens drei Sätzen, warum man substituiert.
4. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.

Standard

1. Biquadratische Gleichung: Löse $x^4-10x^2+9=0$ mit $z=x^2$.
2. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zu $x^4-13x^2+36=0$.
3. Fehleranalyse: Prüfe die Aussage „Aus $x^2=16$ folgt nur $x=4$“.
4. Aufgabenvergleich: Vergleiche das Lösen mit und ohne Substitution.

Schwer

1. Exponentialgleichung: Löse $e^{2x}-5e^x+6=0$ mit $z=e^x$.
2. Eigene Aufgabe: Erfinde eine biquadratische Gleichung mit vier reellen Lösungen.
3. Bedingungen: Erkläre die Unterschiede zwischen $z=x^2$, $z=x^3$ und $z=e^x$.
4. Mathematische Modellierung: Entwickle ein Anwendungsproblem, das zu einer substituierbaren Gleichung führt.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Entscheide bei drei Gleichungen, ob eine Substitution sinnvoll ist, und begründe Deine Wahl.
2. Transfer: Übertrage das Verfahren von $x^4+p{x}^2+q=0$ auf $x^6+p{x}^3+q=0$.
3. Fehlerdiagnose: Untersuche einen Lösungsweg, in dem die Rücksubstitution fehlt, und verbessere ihn.
4. Zahlenbereich: Erkläre, wie die Bedingung $z\ge 0$ die Lösungsmenge beeinflusst.
5. Methodenvergleich: Vergleiche Substitution, Faktorisieren und die pq-Formel an einem selbst gewählten Beispiel.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis sollst Du zeigen, dass Du:

1. eine passende Substitution erkennst,
2. die neue Gleichung korrekt aufstellst,
3. die Gleichung in der Hilfsvariablen löst,
4. richtig rücksubstituierst,
5. Bedingungen des Zahlenbereichs beachtest,
6. eine Probe durchführst,
7. Deinen Lösungsweg verständlich erklärst.

Links

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