Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 9-10, G-Niveau

Substitution - Gleichungen umformen und lösen

Einleitung

Mit einer Substitution ersetzt Du einen schwierigen Term vorübergehend durch eine neue Variable. So wird eine komplizierte Gleichung oft zu einer bekannten Gleichung.

Ziel: Du kannst eine passende Substitution wählen, die neue Gleichung lösen und danach rücksubstituieren.

Grundidee

Beispiel:

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Da $x^{2}$ mehrfach vorkommt, setzt Du:

$z = x^{2}$

Dann gilt $x^{4} = (x^{2})^{2} = z^{2}$ . Die neue Gleichung lautet:

$z^{2} - 5 z + 4 = 0$

Äquivalenzumformungen verändern beide Seiten einer Gleichung passend.

Die vier Schritte

Term wählen: Suche einen Term, der mehrfach vorkommt.
Substitution durchführen: Setze zum Beispiel $z = x^{2}$ .
Neue Gleichung lösen: Löse die einfachere Gleichung nach $z$ .
Rücksubstitution: Ersetze $z$ wieder durch den ursprünglichen Term.

Beispiel vollständig lösen

$z^{2} - 5 z + 4 = 0$

$(z - 1) (z - 4) = 0$

Also gilt:

$z_{1} = 1$ oder $z_{2} = 4$

Nun setzt Du zurück:

$x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

$x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Die Lösungsmenge ist:

$L = {- 2; - 1; 1; 2}$

Häufige Substitutionen

Ausgangsterme	Sinnvolle Substitution	Bedingung
$x^{4}$ und $x^{2}$	$z = x^{2}$	$z \geq 0$
$x^{6}$ und $x^{3}$	$z = x^{3}$	alle reellen $z$
$e^{2 x}$ und $e^{x}$	$z = e^{x}$	$z > 0$

Wichtig: Prüfe bei der Rücksubstitution den erlaubten Zahlenbereich.

Der Graph einer quadratischen Funktion zeigt mögliche Nullstellen der substituierten Gleichung.

Video: Substitution einfach erklärt

Aufgaben zum Video

Videonotizen: Schreibe die Erklärung des Begriffs Substitution in einem Satz auf.
Vier Schritte: Notiere die vier Arbeitsschritte in der richtigen Reihenfolge.
Potenzgesetz: Erkläre, warum aus $x^{4}$ der Term $z^{2}$ wird, wenn $z = x^{2}$ gilt.
Parallelaufgabe: Löse während oder nach dem Video $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ .
Fehler finden: Erkläre, warum ein negativer Wert für $z$ bei $z = x^{2}$ keine reelle Lösung liefert.

Merksatz

Substituieren – lösen – rücksubstituieren – Probe machen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet Substitution? (Einen Term vorübergehend ersetzen) (!Eine Gleichung nur abschreiben) (!Alle Variablen löschen) (!Nur Zahlen addieren)

Welche Substitution passt zu x⁴ und x²? (z = x²) (!z = x) (!z = x⁴) (!z = 2x)

Was wird aus x⁴ bei z = x²? (z²) (!2z) (!z⁴) (!x²z)

Was folgt nach dem Lösen der Gleichung in z? (Die Rücksubstitution) (!Das Weglassen der Lösungen) (!Das Vertauschen aller Vorzeichen) (!Das Zeichnen eines Dreiecks)

Welche Bedingung gilt bei z = x² im Bereich der reellen Zahlen? (z ist größer oder gleich null) (!z ist immer kleiner als null) (!z muss genau eins sein) (!z darf keine Zahl sein)

Welche Lösungen hat x² = 4? (x = 2 und x = minus 2) (!Nur x = 2) (!Nur x = minus 2) (!x = 4 und x = minus 4)

Welche Gleichung entsteht aus x⁴ minus 5x² plus 4 gleich null bei z = x²? (z² minus 5z plus 4 gleich null) (!z⁴ minus 5z² plus 4 gleich null) (!z minus 5 plus 4 gleich null) (!x² minus 5z plus 4 gleich null)

Warum macht man am Ende eine Probe? (Um die Lösungen zu prüfen) (!Um neue Variablen zu erfinden) (!Um die Gleichung länger zu machen) (!Um alle Ergebnisse zu löschen)

Welche Substitution passt zu e hoch 2x und e hoch x? (z = e hoch x) (!z = 2x) (!z = x²) (!z = e hoch 2)

Was ist das Ziel einer Substitution? (Eine einfachere Gleichung erhalten) (!Die Lösungsmenge vergrößern) (!Alle Potenzen verdoppeln) (!Eine Gleichung ohne Rechnen lösen)

Memory

Substitution	Term ersetzen
Rücksubstitution	Ursprüngliche Variable einsetzen
Äquivalenzumformung	Lösungsmenge bleibt gleich
Nullstelle	Funktionswert ist null
Probe	Ergebnis kontrollieren
Lösungsmenge	Alle gültigen Lösungen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Substitution	Einen schwierigen Term ersetzen
Quadratische Gleichung	Die vereinfachte Gleichung in z
Rücksubstitution	z durch den ursprünglichen Term ersetzen
Probe	Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen
Lösungsmenge	Alle gültigen Ergebnisse sammeln

Kreuzworträtsel

Substitution	Wie heißt das Ersetzen eines Terms durch eine neue Variable?
Variable	Welches Zeichen kann einen Term vorübergehend ersetzen?
Ruecksubstitution	Wie heißt das Zurücksetzen zur ursprünglichen Variablen?
Gleichgewicht	Welches Bild erklärt Äquivalenzumformungen besonders gut?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
Probe	Wie heißt die Kontrolle einer gefundenen Lösung?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Substitution und Rücksubstitution.
Schrittfolge: Schreibe die vier Lösungsschritte auf vier einzelne Zettel und ordne sie.
Mini-Erklärung: Erkläre einem Partner in höchstens drei Sätzen, warum man substituiert.
Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.

Standard

Biquadratische Gleichung: Löse $x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ mit $z = x^{2}$ .
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zu $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ .
Fehleranalyse: Prüfe die Aussage „Aus $x^{2} = 16$ folgt nur $x = 4$ “.
Aufgabenvergleich: Vergleiche das Lösen mit und ohne Substitution.

Schwer

Exponentialgleichung: Löse $e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0$ mit $z = e^{x}$ .
Eigene Aufgabe: Erfinde eine biquadratische Gleichung mit vier reellen Lösungen.
Bedingungen: Erkläre die Unterschiede zwischen $z = x^{2}$ , $z = x^{3}$ und $z = e^{x}$ .
Mathematische Modellierung: Entwickle ein Anwendungsproblem, das zu einer substituierbaren Gleichung führt.

Lernkontrolle

Strategiewahl: Entscheide bei drei Gleichungen, ob eine Substitution sinnvoll ist, und begründe Deine Wahl.
Transfer: Übertrage das Verfahren von $x^{4} + p x^{2} + q = 0$ auf $x^{6} + p x^{3} + q = 0$ .
Fehlerdiagnose: Untersuche einen Lösungsweg, in dem die Rücksubstitution fehlt, und verbessere ihn.
Zahlenbereich: Erkläre, wie die Bedingung $z \geq 0$ die Lösungsmenge beeinflusst.
Methodenvergleich: Vergleiche Substitution, Faktorisieren und die pq-Formel an einem selbst gewählten Beispiel.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis sollst Du zeigen, dass Du:

eine passende Substitution erkennst,
die neue Gleichung korrekt aufstellst,
die Gleichung in der Hilfsvariablen löst,
richtig rücksubstituierst,
Bedingungen des Zahlenbereichs beachtest,
eine Probe durchführst,
Deinen Lösungsweg verständlich erklärst.

OERs zum Thema

Links

Substitution - Gleichungen umformen und lösen

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.