Schnittpunkte von Geraden - Lineare Funktionen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Zwei lineare Funktionen können sich in einem Punkt treffen. Dieser gemeinsame Punkt heißt Schnittpunkt. An dieser Stelle haben beide Funktionen denselben x-Wert und denselben y-Wert.

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Du lernst hier, wie Du einen Schnittpunkt zeichnerisch erkennst und rechnerisch bestimmst.

Das brauchst Du

1. Lineare Funktion: Eine Funktion der Form $f(x)=mx+b$.
2. Steigung: Die Zahl $m$.
3. y-Achsenabschnitt: Die Zahl $b$.
4. Koordinatensystem: Dort werden die Geraden gezeichnet.

Schnittpunkt berechnen

Für zwei Geraden $f(x)$ und $g(x)$ gehst Du so vor:

1. Gleichsetzen: $f(x)=g(x)$
2. Nach x lösen: Du erhältst die x-Koordinate.
3. x einsetzen: Setze den Wert in eine Funktionsgleichung ein.
4. Punkt angeben: Schreibe $S(x_S\mid y_S)$.

Beispiel

Gegeben sind:

$f(x)=2x+1$

$g(x)=-x+7$

1. Gleichsetzen:

$2x+1=-x+7$

2. Nach x lösen:

$3x=6$

$x=2$

3. x einsetzen:

$f(2)=2\cdot 2+1=5$

4. Ergebnis:

$S(2\mid 5)$

Drei mögliche Fälle

Geraden	Ergebnis
Unterschiedliche Steigungen	Genau ein Schnittpunkt
Gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte	Kein Schnittpunkt: Die Geraden sind parallel
Gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt	Unendlich viele Schnittpunkte: Die Geraden sind identisch

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Lernvideo

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es an wichtigen Rechenschritten.

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Aufgaben zum Video

1. Beobachtungsauftrag: Notiere die beiden Funktionsgleichungen eines Beispiels aus dem Video.
2. Gleichsetzen: Schreibe auf, an welcher Stelle die Funktionsterme gleichgesetzt werden.
3. Rechenweg: Rechne ein Beispiel aus dem Video selbst. Vergleiche danach Deinen Weg.
4. Begründung: Erkläre in einem Satz, warum man die Funktionsterme gleichsetzen darf.
5. Probe: Setze den berechneten x-Wert in beide Funktionen ein.
6. Fehlerliste: Notiere zwei Fehler, die beim Berechnen eines Schnittpunkts passieren können.

Zusatzvideo: Gibt es einen Schnittpunkt?

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist ein Schnittpunkt zweier Geraden? (Ein gemeinsamer Punkt beider Geraden) (!Der höchste Punkt einer Geraden) (!Der Schnittpunkt mit der x-Achse) (!Der y-Achsenabschnitt)

Was ist der erste Rechenschritt beim Bestimmen eines Schnittpunkts? (Die Funktionsterme gleichsetzen) (!Beide Steigungen addieren) (!Den x-Wert verdoppeln) (!Das Koordinatensystem löschen)

Welche x-Koordinate hat der Schnittpunkt von f gleich 2x plus 1 und g gleich minus x plus 7? (2) (!1) (!3) (!5)

Welche y-Koordinate gehört im Beispiel zum x-Wert 2? (5) (!2) (!6) (!7)

Wie viele Schnittpunkte haben zwei Geraden mit unterschiedlichen Steigungen? (Genau einen) (!Keinen) (!Genau zwei) (!Unendlich viele)

Was gilt bei gleicher Steigung und verschiedenen y-Achsenabschnitten? (Die Geraden sind parallel) (!Die Geraden sind identisch) (!Die Geraden schneiden sich zweimal) (!Die Geraden sind immer senkrecht)

Was gilt bei zwei gleichen Funktionsgleichungen? (Es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte) (!Es gibt keinen gemeinsamen Punkt) (!Es gibt genau einen gemeinsamen Punkt) (!Es gibt genau drei gemeinsame Punkte)

Wie prüfst Du einen berechneten Schnittpunkt? (Du setzt die Koordinaten in beide Funktionen ein) (!Du addierst nur die Steigungen) (!Du vertauschst x und y) (!Du rundest beide Koordinaten)

Welche Form hat der Graph einer linearen Funktion? (Eine Gerade) (!Einen Kreis) (!Eine Parabel) (!Ein Dreieck)

Wie liegen die Geraden f gleich 3x minus 2 und g gleich 3x plus 4? (Parallel) (!Identisch) (!Senkrecht) (!Sie schneiden sich bei x gleich 0)

Memory

Schnittpunkt	gemeinsamer Punkt
Gleichsetzen	f von x ist gleich g von x
x-Koordinate	Lösung der Gleichung
y-Koordinate	Ergebnis nach dem Einsetzen
parallel	kein gemeinsamer Punkt
identisch	unendlich viele gemeinsame Punkte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Gleichsetzen	Erster Schritt der Rechnung
x berechnen	Gleichung nach der Variablen lösen
Einsetzen	y-Koordinate bestimmen
Probe	Ergebnis in beiden Funktionen prüfen
Schnittpunkt	Gemeinsame Koordinate angeben

Kreuzworträtsel

Gerade	Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
Steigung	Welche Größe wird meist mit m bezeichnet?
Schnittpunkt	Wie heißt der gemeinsame Punkt zweier Geraden?
Parallel	Wie liegen Geraden mit gleicher Steigung und verschiedenen Achsenabschnitten?
Gleichsetzen	Welcher Rechenschritt steht am Anfang?
Koordinate	Wie heißt eine Zahl zur Beschreibung der Lage eines Punktes?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der gemeinsame Punkt zweier Geraden heißt . Zum Berechnen werden die beiden Funktionsterme . Die Lösung der Gleichung liefert zuerst die . Durch Einsetzen erhältst Du danach die . Gleiche Steigungen und verschiedene Achsenabschnitte führen zu Geraden. Zwei gleiche Funktionsgleichungen beschreiben Geraden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Skizze: Zeichne zwei Geraden mit genau einem Schnittpunkt und markiere ihn.
2. Video-Notizen: Fasse den Rechenweg aus dem Lernvideo in vier kurzen Sätzen zusammen.
3. Probe: Prüfe den Punkt $S(2\mid 5)$ für die Funktionen aus dem Beispiel.
4. Mathematik im Alltag: Fotografiere oder zeichne zwei sich kreuzende gerade Linien und markiere ihren Schnittpunkt.

Standard

1. Erklärvideo: Produziere ein Erklärvideo von höchstens 90 Sekunden zum Gleichsetzungsverfahren.
2. Fehleranalyse: Erfinde einen falschen Rechenweg und erkläre anschließend den Fehler.
3. GeoGebra: Zeichne zwei lineare Funktionen digital und überprüfe den berechneten Schnittpunkt.
4. Sachaufgabe: Erfinde zwei Kostenmodelle und deute ihren Schnittpunkt.

Schwer

1. Parameter: Untersuche, wie sich der Schnittpunkt verändert, wenn Du einen y-Achsenabschnitt veränderst.
2. Sonderfälle: Erstelle je ein Beispiel für schneidende, parallele und identische Geraden.
3. Modellierung: Vergleiche zwei Tarife mit linearen Funktionen und begründe, wann welcher günstiger ist.
4. Lernprodukt: Gestalte ein digitales Lernplakat mit Beispiel, Rechenweg, Probe und Sonderfällen.

Lernkontrolle

1. Tarifvergleich: Zwei Tarife kosten $A(x)=2x+10$ und $B(x)=3x+4$. Berechne den Schnittpunkt und erkläre seine Bedeutung.
2. Fehler finden: Eine Person setzt zwei Funktionen gleich, berechnet x richtig, nennt x aber als vollständigen Schnittpunkt. Erkläre, was noch fehlt.
3. Sonderfall erkennen: Entscheide ohne Zeichnung, ob $f(x)=4x+1$ und $g(x)=4x-3$ einen Schnittpunkt haben. Begründe.
4. Funktionen erfinden: Stelle zwei verschiedene lineare Funktionen auf, die sich im Punkt $S(3\mid 7)$ schneiden.
5. Graph und Rechnung: Erkläre, warum ein ungenau gezeichneter Graph einen anderen Schnittpunkt vermuten lassen kann als die Rechnung.
6. Transfer: Beschreibe, wie Du allein an Steigung und y-Achsenabschnitt erkennst, ob zwei Geraden keinen, einen oder unendlich viele Schnittpunkte haben.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. zwei lineare Funktionsterme gleichsetzen kannst,
2. eine Gleichung sicher nach x lösen kannst,
3. die y-Koordinate durch Einsetzen bestimmst,
4. einen Schnittpunkt korrekt angibst,
5. das Ergebnis mit einer Probe kontrollierst,
6. parallele und identische Geraden erkennst,
7. einen Schnittpunkt in einer Sachaufgabe deuten kannst.

Links

Schnittpunkte von Geraden - Lineare Funktionen Lineare Funktion Schnittpunkt Gleichsetzungsverfahren Lineares Gleichungssystem Steigung y-Achsenabschnitt Parallele Geraden Koordinatensystem