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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Quadratische Funktionen und Normalparabel

Einleitung

Bei einer quadratischen Funktion ist $x^{2}$ die höchste Potenz. Ihr Graph heißt Parabel. Die einfachste Parabel ist die Normalparabel mit $f (x) = x^{2}$ .

Du lernst hier:

Normalparabel erkennen und zeichnen
Scheitelpunkt und Symmetrieachse ablesen
Parabeln strecken, stauchen, spiegeln und verschieben
einfache Aufgaben mit Wertetabellen lösen

Die Normalparabel

Die Normalparabel hat die Gleichung $f (x) = x^{2}$ . Ihr Scheitelpunkt ist $S (0 | 0)$ . Sie ist zur y-Achse symmetrisch.

Wichtige Punkte sind $(- 2 | 4)$ , $(- 1 | 1)$ , $(0 | 0)$ , $(1 | 1)$ und $(2 | 4)$ .

Video: Quadratische Funktionen und Normalparabel

Video bei Planet Schule suchen

Aufgaben zum Video

Grundidee: Schreibe in einem Satz auf, woran Du eine quadratische Funktion erkennst.
Wertetabelle: Erstelle für $f (x) = x^{2}$ eine Tabelle mit den x-Werten von -3 bis 3.
Zeichnung: Übertrage die Punkte aus Deiner Tabelle in ein Koordinatensystem und verbinde sie zu einer Parabel.
Verschiebung: Erkläre mit eigenen Worten, was bei $f (x) = x^{2} + 2$ passiert.
Transfer: Bestimme den Scheitelpunkt von $f (x) = (x - 2)^{2} + 1$ und begründe Deine Antwort.

Form und Lage einer Parabel

In der Scheitelpunktform $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ kannst Du viel direkt ablesen:

Scheitelpunkt: $S (d | e)$
Öffnung: Bei $a > 0$ nach oben, bei $a < 0$ nach unten
Breite: Bei $| a | > 1$ schmaler, bei $0 < | a | < 1$ breiter
Verschiebung: $d > 0$ bedeutet rechts und $d < 0$ links; $e > 0$ bedeutet oben und $e < 0$ unten

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Verschobene Parabeln

Bei $f (x) = (x - 3)^{2} + 2$ liegt der Scheitelpunkt bei $S (3 | 2)$ . Die Normalparabel wurde drei Schritte nach rechts und zwei Schritte nach oben verschoben.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Allgemeine Form und Nullstellen

Die allgemeine Form lautet $f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a \neq 0$ . Nullstellen sind die Stellen, an denen die Parabel die x-Achse schneidet oder berührt. Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei reelle Nullstellen haben.

Datei:Function x^2+bx.svg

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion? (Parabel) (!Gerade) (!Kreis) (!Hyperbel)

Wie lautet die Gleichung der Normalparabel? (f von x gleich x²) (!f von x gleich x) (!f von x gleich 2x) (!f von x gleich eins durch x)

Wo liegt der Scheitelpunkt der Normalparabel? (Im Ursprung) (!Bei x gleich eins) (!Bei y gleich eins) (!Im Punkt eins eins)

Zu welcher Achse ist die Normalparabel symmetrisch? (Zur y-Achse) (!Zur x-Achse) (!Zu keiner Achse) (!Zu beiden Achsen)

Welchen Wert hat f von 3 bei der Normalparabel? (9) (!6) (!3) (!12)

Was bewirkt plus 2 bei x² plus 2? (Eine Verschiebung nach oben) (!Eine Verschiebung nach unten) (!Eine Verschiebung nach rechts) (!Eine Spiegelung)

Was bewirkt die 3 bei der Funktion x minus 3 zum Quadrat? (Eine Verschiebung nach rechts) (!Eine Verschiebung nach links) (!Eine Verschiebung nach oben) (!Eine Streckung)

Wie ist eine Parabel bei negativem a geöffnet? (Nach unten) (!Nach oben) (!Nach rechts) (!Nach links)

Wie verändert sich die Parabel bei einem Betrag von a zwischen null und eins? (Sie wird breiter) (!Sie wird schmaler) (!Sie wird zu einer Geraden) (!Sie verschwindet)

Was ist eine Nullstelle einer quadratischen Funktion? (Ein Schnittpunkt mit der x-Achse) (!Ein Schnittpunkt mit der y-Achse) (!Der höchste x-Wert) (!Die Symmetrieachse)

Memory

Normalparabel	f(x)=x²
Scheitelpunkt	Tiefster oder höchster Punkt
Symmetrieachse	Gerade durch den Scheitelpunkt
Positives a	Öffnung nach oben
Negatives a	Öffnung nach unten
Nullstelle	Schnittpunkt mit der x-Achse

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Quadratische Funktionen
Öffnung nach oben	positives a
Öffnung nach unten	negatives a
Verschiebung nach rechts	Minus in der Klammer
Verschiebung nach oben	Plus außerhalb der Klammer
Scheitelpunktform	Lage direkt ablesbar

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Scheitelpunkt	Wie heißt der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel?
Normalparabel	Wie heißt der Graph von f(x)=x²?
Symmetrieachse	Welche Gerade teilt eine Parabel in zwei spiegelgleiche Hälften?
Nullstelle	Wie heißt ein Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse?
Wertetabelle	Womit ordnest Du x-Werten passende Funktionswerte zu?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Wertetabelle: Berechne für $f (x) = x^{2}$ die Werte zu $x = - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ .
Parabelzeichnung: Zeichne die Normalparabel sauber in ein Koordinatensystem.
Symmetrie: Markiere an Deiner Zeichnung Punkte mit gleichem Funktionswert.
Video-Notizen: Notiere drei wichtige Aussagen aus dem Planet-Schule-Video.

Standard

Funktionsvergleich: Zeichne $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 0,5 x^{2}$ in dasselbe Koordinatensystem und vergleiche die Breite.
Scheitelpunktform: Erfinde drei Funktionen mit verschiedenen Scheitelpunkten und gib die Punkte an.
Alltagsparabel: Suche eine parabelähnliche Form in Deiner Umgebung, fotografiere oder skizziere sie und erkläre die Ähnlichkeit.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du die Verschiebung von $x^{2}$ zu $(x - 2)^{2} + 1$ erklärst.

Schwer

Modellierung: Beschreibe eine Flugbahn näherungsweise mit einer quadratischen Funktion und deute den Scheitelpunkt.
Parameteruntersuchung: Untersuche systematisch, wie verschiedene Werte von $a$ , $d$ und $e$ den Graphen verändern.
Fehleranalyse: Eine Person behauptet, $(x - 4)^{2}$ sei vier Schritte nach links verschoben. Widerlege die Aussage mit einer Zeichnung und einer Erklärung.
Mini-Forschungsprojekt: Vergleiche allgemeine Form und Scheitelpunktform an drei Beispielen und bewerte, welche Form für welche Frage günstiger ist.

Lernkontrolle

Brückenbogen: Ein Bogen wird durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben. Erkläre, welche Bedeutung Scheitelpunkt und Nullstellen im Modell haben.
Funktionswahl: Entscheide, welche der Funktionen $x^{2} + 3$ , $(x - 3)^{2}$ und $- x^{2} + 3$ zu drei vorgegebenen Skizzen passt. Begründe über Lage und Öffnung.
Fehlerdiagnose: Prüfe die Aussage „Je größer a ist, desto breiter ist die Parabel“ und formuliere eine richtige Regel.
Darstellungswechsel: Überführe $f (x) = (x - 2)^{2} - 4$ in eine Wertetabelle und erkläre, wie der Scheitelpunkt in beiden Darstellungen sichtbar wird.
Entwurf: Plane eine Parabel mit Scheitelpunkt $S (- 1 | 3)$ , Öffnung nach unten und zwei Nullstellen. Gib eine mögliche Funktion an und prüfe sie.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

eine Normalparabel zeichnen können
Scheitelpunkt, Symmetrieachse und Nullstellen erkennen
die Wirkung der Parameter $a$ , $d$ und $e$ erklären
allgemeine Form und Scheitelpunktform unterscheiden und ihre Vorteile beschreiben
eine quadratische Funktion auf eine einfache Sachsituation übertragen