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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Quadratische Funktionen · Allgemeine Form und Scheitelpunktform

Einleitung

Eine quadratische Funktion hat als Graphen eine Parabel. Dieselbe Funktion kann verschieden geschrieben werden. In diesem Kurs lernst Du die allgemeine Form und die Scheitelpunktform kennen. Du wandelst beide Formen ineinander um.

Video auf dem Planet-Schule-Kanal suchen

Datei:Allgemeine Form und Scheitelpunktform quadratischer Funktionen - kolleg24 Mathematik.webm

Freies Erklärvideo von ARD kolleg24, Lizenz CC BY-SA 4.0.

Lernziele

Du kannst nach diesem aiMOOC:

quadratische Funktionen erkennen.
die allgemeine Form und die Scheitelpunktform unterscheiden.
den Scheitelpunkt und den y-Achsenabschnitt ablesen.
beide Formen ineinander umwandeln.
eine Umformung durch Einsetzen oder Ausmultiplizieren prüfen.

Lernbereiche

Grundwissen

Die Parabel

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Die einfachste Parabel gehört zu $f (x) = x^{2}$ .

Der Wert $a$ bestimmt die Öffnung:

$a > 0$ : Die Parabel ist nach oben geöffnet.
$a < 0$ : Die Parabel ist nach unten geöffnet.
Ein großer Betrag von $a$ macht die Parabel schmaler.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form lautet:

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a \neq 0$

Der Wert $c$ ist der y-Achsenabschnitt, denn $f (0) = c$ .

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform lautet:

$f (x) = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$

Der Scheitelpunkt ist direkt ablesbar:

$S (x_{S} | y_{S})$

Achte auf das Vorzeichen in der Klammer:

$(x - 3)^{2}$ bedeutet $x_{S} = 3$ .
$(x + 3)^{2}$ bedeutet $x_{S} = - 3$ .

Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form

Du löst die Klammer mit einer binomischen Formel auf und fasst zusammen.

$f (x) = 2 (x - 3)^{2} + 4$

$f (x) = 2 (x^{2} - 6 x + 9) + 4$

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 22$

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Du nutzt die quadratische Ergänzung.

$f (x) = x^{2} - 6 x + 4$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 4$

$f (x) = (x - 3)^{2} - 5$

Damit ist der Scheitelpunkt $S (3 | - 5)$ .

Eine zweite Möglichkeit ist:

$x_{S} = - \frac{b}{2 a}$

Danach berechnest Du $y_{S} = f (x_{S})$ .

Merktabelle

Form	Funktionsterm	Gut ablesbar
Allgemeine Form	$a x^{2} + b x + c$	y-Achsenabschnitt $c$
Scheitelpunktform	$a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$	Scheitelpunkt $S (x_{S} \| y_{S})$

Aufgaben zum Video

Sieh das Planet-Schule-Video an und bearbeite diese Aufgaben:

Darstellungsformen: Schreibe die allgemeine Form und die Scheitelpunktform aus dem Video ab.
Informationen ablesen: Erkläre, welche Information Du aus jeder Form direkt ablesen kannst.
Ausmultiplizieren: Wandle $f (x) = (x - 2)^{2} - 1$ in die allgemeine Form um.
Quadratische Ergänzung: Wandle $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ in die Scheitelpunktform um.
Vorzeichenregel: Erkläre, warum $(x + 3)^{2}$ zum Scheitelwert $x_{S} = - 3$ gehört.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion? (Parabel) (!Gerade) (!Kreis) (!Hyperbel)

Welche Gleichung zeigt die allgemeine Form? (f von x gleich a x Quadrat plus b x plus c) (!f von x gleich m x plus n) (!f von x gleich a geteilt durch x) (!f von x gleich x hoch drei)

Was zeigt der Wert c in der allgemeinen Form direkt? (Den y-Achsenabschnitt) (!Den Scheitelpunkt) (!Die Nullstellen) (!Die Symmetrieachse)

Welche Form zeigt den Scheitelpunkt direkt? (Die Scheitelpunktform) (!Die allgemeine Form) (!Die lineare Form) (!Die Bruchform)

Welchen Scheitelpunkt hat f von x gleich 2 mal x minus 3 zum Quadrat plus 4? (S bei x gleich 3 und y gleich 4) (!S bei x gleich minus 3 und y gleich 4) (!S bei x gleich 2 und y gleich 4) (!S bei x gleich 3 und y gleich minus 4)

Wie ist eine Parabel bei negativem a geöffnet? (Nach unten) (!Nach oben) (!Nach rechts) (!Nach links)

Wie berechnet man die x-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form? (Minus b geteilt durch 2a) (!b geteilt durch a) (!c geteilt durch 2) (!a plus b plus c)

Welche Methode führt von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform? (Quadratische Ergänzung) (!Polynomdivision) (!Dreisatz) (!Kreuzmultiplikation)

Welchen Scheitelpunkt hat f von x gleich x Quadrat minus 6x plus 4? (S bei x gleich 3 und y gleich minus 5) (!S bei x gleich minus 3 und y gleich 5) (!S bei x gleich 6 und y gleich 4) (!S bei x gleich 3 und y gleich 5)

Was entsteht aus x minus 2 zum Quadrat minus 1 nach dem Ausmultiplizieren? (x Quadrat minus 4x plus 3) (!x Quadrat minus 2x minus 1) (!x Quadrat plus 4x plus 3) (!x Quadrat minus 4x minus 3)

Memory

Allgemeine Form	ax² plus bx plus c
Scheitelpunktform	a mal x minus xS zum Quadrat plus yS
Koeffizient c	y-Achsenabschnitt
Koeffizient a	Öffnung und Breite
Quadratische Ergänzung	Umformung zur Scheitelpunktform
Scheitelpunkt	Höchster oder tiefster Punkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Klammer ausmultiplizieren	Scheitelpunktform zur allgemeinen Form
Quadratische Ergänzung	Allgemeine Form zur Scheitelpunktform
Wert c ablesen	y-Achsenabschnitt bestimmen
Werte xS und yS ablesen	Scheitelpunkt bestimmen
Vorzeichen von a prüfen	Öffnungsrichtung bestimmen

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Koeffizient	Wie nennt man eine Zahl vor einer Variablen?
Ergaenzung	Welches Wort ergänzt den Ausdruck quadratische ...?
Symmetrieachse	Welche senkrechte Linie verläuft durch den Scheitelpunkt?
Ausmultiplizieren	Welche Rechenhandlung löst eine quadratische Klammer auf?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Formenkarte: Gestalte eine Karte mit beiden Funktionsformen und den ablesbaren Informationen.
Parabel zeichnen: Zeichne $f (x) = (x - 1)^{2} - 2$ und markiere den Scheitelpunkt.
Parameter erklären: Erkläre die Aufgaben von $a$ und $c$ in einfachen Sätzen.
Mini-Beispiel: Erfinde eine Scheitelpunktform mit dem Scheitelpunkt $S (2 | 3)$ .

Standard

Video-Protokoll: Notiere drei wichtige Aussagen und ein Rechenbeispiel aus dem Video.
Fehler finden: Erkläre den Fehler in $(x - 4)^{2} = x^{2} - 16$ und verbessere ihn.
Partnerquiz: Erstelle fünf kurze Fragen zu beiden Formen und tausche sie mit einer anderen Person.
Funktionsvergleich: Vergleiche $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 (x - 3)^{2} + 1$ .

Schwer

Funktionsrekonstruktion: Bestimme eine Parabel mit Scheitelpunkt $S (2 | - 1)$ , die durch $P (3 | 1)$ verläuft.
Methodenvergleich: Bestimme den Scheitelpunkt von $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ auf zwei verschiedenen Wegen.
Sachmodell: Erfinde eine kurze Sachsituation, die durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben wird.
Erklärvideo: Produziere ein zweiminütiges Video zur Umwandlung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform.

Lernkontrolle

Passende Form wählen: Für das Zeichnen, den y-Achsenabschnitt und den Scheitelpunkt stehen verschiedene Ziele fest. Entscheide jeweils, welche Form günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
Fehleranalyse: Eine Person schreibt $x^{2} + 6 x + 4 = (x + 3)^{2} + 4$ . Prüfe die Aussage, beschreibe den Denkfehler und korrigiere das Ergebnis.
Funktion bestimmen: Eine Parabel hat den Scheitelpunkt $S (- 1 | 2)$ und geht durch $P (1 | 10)$ . Bestimme zuerst die Scheitelpunktform und danach die allgemeine Form.
Graphen vergleichen: Untersuche, wie sich die Graphen von $f (x) = 2 (x - 1)^{2} - 3$ und $g (x) = 2 (x + 2)^{2} + 1$ unterscheiden. Begründe ohne Wertetabelle.
Transferaufgabe: Der höchste Punkt eines parabelförmigen Bogens liegt bei $S (0 | 6)$ . Der Bogen geht durch $P (2 | 2)$ . Stelle eine passende Funktion auf und erkläre die Bedeutung von $a$ .

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis ist wichtig, dass Du:

beide Funktionsformen sicher erkennst.
den Scheitelpunkt, den y-Achsenabschnitt und die Öffnung erklärst.
die Scheitelpunktform ausmultiplizierst.
die allgemeine Form durch quadratische Ergänzung umwandelst.
Ergebnisse durch eine Probe kontrollierst.
für eine Aufgabe die passende Darstellungsform auswählst und Deine Wahl begründest.