Proportional oder antiproportional

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Proportional oder antiproportional

Fach: Mathematik Klassen: 6–9 Thema: Proportionalität, Antiproportionalität und Zuordnung

Proportionale und antiproportionale Zuordnungen im Vergleich

Einleitung

Bei einer Zuordnung gehören zwei Größen zusammen. Zum Beispiel: Anzahl der Hefte und Preis.

Proportional bedeutet: Wird die eine Größe verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere.

Antiproportional bedeutet: Wird die eine Größe verdoppelt, halbiert sich die andere.

Lernziele

Du kannst:

1. proportionale Zuordnungen erkennen.
2. antiproportionale Zuordnungen erkennen.
3. Tabellen, Texte und Graphen prüfen.
4. einfache Aufgaben mit dem Dreisatz lösen.

Proportionale Zuordnung

Bei einer proportionalen Zuordnung gilt:

$y=k\cdot x$

Der Quotient $y:x$ bleibt gleich.

Beispiel: Ein Heft kostet 2 Euro. Zwei Hefte kosten 4 Euro. Vier Hefte kosten 8 Euro.

Hefte	Preis
1	2 €
2	4 €
4	8 €

Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Graphen proportionaler Zuordnungen

Antiproportionale Zuordnung

Bei einer antiproportionalen Zuordnung gilt:

$y=\frac{k}{x}$

Das Produkt $x\cdot y$ bleibt gleich.

Beispiel: Eine Arbeit dauert für eine Person 12 Stunden. Zwei gleich schnelle Personen brauchen 6 Stunden. Vier Personen brauchen 3 Stunden.

Personen	Stunden
1	12
2	6
4	3

Der Graph ist eine Hyperbel.

Graphen antiproportionaler Zuordnungen

Datei:Einseitiger Hebel (x, y).webm

So entscheidest Du

Frage	Proportional	Antiproportional
Was passiert beim Verdoppeln?	Die zweite Größe verdoppelt sich.	Die zweite Größe halbiert sich.
Was bleibt gleich?	Der Quotient.	Das Produkt.
Wie sieht der Graph aus?	Gerade durch den Ursprung.	Hyperbel.

Merksatz:

1. Mehr – mehr oder weniger – weniger kann proportional sein.
2. Mehr – weniger oder weniger – mehr kann antiproportional sein.
3. Prüfe immer mit Quotient oder Produkt.

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Beispiele erkennen: Notiere zwei Zuordnungen aus dem Video.
2. Zuordnungen ordnen: Entscheide bei jedem Beispiel: proportional, antiproportional oder keines von beiden.
3. Verdoppeln prüfen: Beschreibe, was beim Verdoppeln der ersten Größe passiert.
4. Rechenprobe: Prüfe eine Tabelle aus dem Video mit Quotient oder Produkt.
5. Merksatz formulieren: Schreibe einen eigenen kurzen Merksatz.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was passiert bei einer proportionalen Zuordnung, wenn sich die erste Größe verdoppelt? (Die zweite Größe verdoppelt sich) (!Die zweite Größe halbiert sich) (!Die zweite Größe bleibt immer gleich) (!Die zweite Größe wird null)

Was bleibt bei einer proportionalen Zuordnung gleich? (Der Quotient) (!Das Produkt) (!Die Summe) (!Die Differenz)

Was bleibt bei einer antiproportionalen Zuordnung gleich? (Das Produkt) (!Der Quotient) (!Die Summe) (!Der Unterschied)

Wie sieht der Graph einer proportionalen Zuordnung aus? (Eine Gerade durch den Ursprung) (!Eine Hyperbel) (!Ein Kreis) (!Eine waagerechte Linie)

Wie sieht der Graph einer antiproportionalen Zuordnung aus? (Eine Hyperbel) (!Eine Gerade durch den Ursprung) (!Ein Dreieck) (!Ein Kreis)

Vier Hefte kosten acht Euro. Was kosten acht Hefte bei proportionaler Zuordnung? (Sechzehn Euro) (!Vier Euro) (!Acht Euro) (!Zwei Euro)

Eine Arbeit dauert mit zwei Personen sechs Stunden. Wie lange dauert sie mit vier gleich schnellen Personen? (Drei Stunden) (!Zwölf Stunden) (!Sechs Stunden) (!Vierundzwanzig Stunden)

Welche Gleichung beschreibt eine proportionale Zuordnung? (y gleich k mal x) (!y gleich k geteilt durch x) (!y gleich x plus k) (!y gleich x minus k)

Welche Gleichung beschreibt eine antiproportionale Zuordnung? (y gleich k geteilt durch x) (!y gleich k mal x) (!y gleich x plus k) (!y gleich x minus k)

Eine Zuordnung ist weder proportional noch antiproportional. Was gilt dann? (Weder Quotient noch Produkt bleiben gleich) (!Der Quotient bleibt immer gleich) (!Das Produkt bleibt immer gleich) (!Der Graph muss durch den Ursprung gehen)

Memory

Quotient	proportional
Produkt	antiproportional
Ursprungsgerade	direkter Zusammenhang
Hyperbel	umgekehrter Zusammenhang
Verdoppeln	ebenfalls verdoppeln
Halbieren	bei doppelter Ausgangsgröße

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Art der Zuordnung
Quotient bleibt gleich	proportional
Produkt bleibt gleich	antiproportional
Gerade durch den Ursprung	proportional
Hyperbel als Graph	antiproportional
Beide Prüfungen scheitern	keine von beiden

Kreuzworträtsel

Quotient	Was bleibt bei einer proportionalen Zuordnung gleich?
Produkt	Was bleibt bei einer antiproportionalen Zuordnung gleich?
Ursprung	Durch welchen Punkt verläuft die proportionale Gerade?
Hyperbel	Wie heißt der typische Graph einer antiproportionalen Zuordnung?
Tabelle	Worin können Werte einer Zuordnung geordnet stehen?
Dreisatz	Welche Rechenmethode hilft bei Zuordnungsaufgaben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt der gleich. Ihr Graph ist eine Gerade durch den . Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt das gleich. Ihr Graph heißt . Verdoppelt sich bei einer antiproportionalen Zuordnung die erste Größe, dann sich die zweite Größe.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Alltagsbeispiel: Finde ein proportionales Beispiel aus Deinem Alltag.
2. Gegenbeispiel: Finde ein Beispiel, das nicht proportional ist.
3. Wertetabelle: Erstelle eine proportionale Tabelle mit vier Wertepaaren.
4. Bildidee: Zeichne eine Situation, die antiproportional sein kann.

Standard

1. Graph zeichnen: Zeichne zu einer proportionalen Tabelle den Graphen.
2. Produktprobe: Erstelle eine antiproportionale Tabelle und prüfe die Produkte.
3. Video erklären: Wähle ein Beispiel aus dem Lernvideo und erkläre die Entscheidung.
4. Fehler finden: Erfinde eine falsche Zuordnung und verbessere sie.

Schwer

1. Vergleichsaufgabe: Stelle eine proportionale und eine antiproportionale Situation gegenüber.
2. Mini-Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video mit einem eigenen Beispiel.
3. Umfrage: Befrage Mitschülerinnen und Mitschüler zu typischen Verwechslungen und werte die Antworten aus.
4. Modell prüfen: Untersuche eine Alltagssituation und begründe, ob das Modell nur ungefähr oder genau gilt.

Lernkontrolle

1. Schulfest planen: Getränke kosten pro Flasche gleich viel. Erkläre, warum die Gesamtkosten proportional zur Flaschenzahl sind.
2. Arbeitszeit bewerten: Prüfe, ob doppelt so viele Personen eine Arbeit immer in der halben Zeit schaffen. Nenne eine Bedingung.
3. Taxi vergleichen: Ein Taxi verlangt Grundpreis und Kilometerpreis. Begründe, warum der Gesamtpreis nicht proportional zur Strecke ist.
4. Graphen deuten: Erkläre, woran Du einen proportionalen und einen antiproportionalen Graphen erkennst.
5. Entscheidungsweg: Entwickle eine kurze Prüfreihenfolge für unbekannte Tabellen.
6. Transfer: Erfinde eine Situation, in der eine Zuordnung zunächst proportional wirkt, aber nicht proportional ist.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. proportionale und antiproportionale Zuordnungen sicher unterscheiden.
2. Quotient und Produkt richtig prüfen.
3. Tabellen ergänzen und erklären.
4. Graphen erkennen und zeichnen.
5. einen Lösungsweg verständlich begründen.
6. ein eigenes Alltagsbeispiel untersuchen.

Links

Proportional oder antiproportional Proportionalität Antiproportionalität Zuordnung Dreisatz Wertetabelle Funktionsgraph Koordinatensystem