Pascalsches Dreieck - Binomische Formeln

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Das Pascalsche Dreieck ist ein Zahlendreieck. Es hilft Dir, Koeffizienten zu finden und binomische Formeln zu verstehen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du das Pascalsche Dreieck weiterführen, seine Zahlen erklären und sie beim Ausmultiplizieren von Binomen nutzen.

Das Pascalsche Dreieck

Oben steht eine 1. An jedem Rand steht ebenfalls eine 1. Jede Zahl im Inneren ist die Summe der beiden Zahlen schräg über ihr.

        1
      1 1
    1 2 1
  1 3 3 1
1 4 6 4 1

In der Mathematik zählt man die Zeilen oft ab null. Die Folge 1, 2, 1 steht dann in Zeile 2.

Verbindung zu Potenzen

Die Zahlen einer Zeile sind die Koeffizienten von $(a+b{)}^n$.

1. Zeile 2: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
2. Zeile 3: $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
3. Zeile 4: $(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

Die drei binomischen Formeln

1. Erste binomische Formel: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
2. Zweite binomische Formel: $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
3. Dritte binomische Formel: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Das Pascalsche Dreieck liefert bei den ersten beiden Formeln die Zahlen 1, 2, 1. Bei einem Minuszeichen ändern sich die Vorzeichen passender Terme.

Muster im Dreieck

Das Pascalsche Dreieck ist symmetrisch. Markierst Du gerade und ungerade Zahlen, entsteht ein Muster, das dem Sierpinski-Dreieck ähnelt.

Datei:Sierpinski Gasket in Pascal's Triangle.gif

Auch Wege durch das Dreieck zeigen eine Verbindung zur Kombinatorik.

Datei:Pascal's triangle pathways.svg

Lernvideo

Das Video zeigt, wie Du das Pascalsche Dreieck beim Ausmultiplizieren von Klammern nutzt.

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Aufgaben zum Video

1. Beobachtungsauftrag: Notiere die Regel, mit der im Video eine neue Zeile entsteht.
2. Koeffizienten: Schreibe die Koeffizienten eines im Video gezeigten Beispiels auf.
3. Ausmultiplizieren: Stoppe das Video vor einer Lösung und rechne selbst weiter.
4. Vergleich: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Weg im Video.
5. Zusammenfassung: Erkläre in drei Sätzen, wie Dreieck und Klammerrechnung zusammenhängen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl steht an jedem Rand des Pascalschen Dreiecks? (1) (!0) (!2) (!10)

Wie entsteht eine Zahl im Inneren des Dreiecks? (Durch Addition der beiden Zahlen schräg darüber) (!Durch Multiplikation der beiden Zahlen darunter) (!Durch Subtraktion der Randzahlen) (!Durch Division der Zeilennummer)

Welche Zahlenfolge gehört zu Zeile 2 bei Zählung ab null? (1 2 1) (!1 3 1) (!2 4 2) (!1 1 1)

Welche Koeffizienten hat die dritte Potenz eines Binoms? (1 3 3 1) (!1 2 3 1) (!1 4 4 1) (!3 3 3 3)

Was ist das Ergebnis von Klammer auf a plus b Klammer zu zum Quadrat? (a Quadrat plus 2ab plus b Quadrat) (!a Quadrat plus b Quadrat) (!a Quadrat minus 2ab plus b Quadrat) (!2a Quadrat plus 2b Quadrat)

Was ist das Ergebnis von Klammer auf a minus b Klammer zu zum Quadrat? (a Quadrat minus 2ab plus b Quadrat) (!a Quadrat minus b Quadrat) (!a Quadrat plus 2ab plus b Quadrat) (!a Quadrat minus 2b Quadrat)

Was ist das Ergebnis von Klammer auf a plus b Klammer zu mal Klammer auf a minus b Klammer zu? (a Quadrat minus b Quadrat) (!a Quadrat plus b Quadrat) (!a Quadrat minus 2ab plus b Quadrat) (!a Quadrat plus 2ab plus b Quadrat)

Welche Eigenschaft besitzt das Pascalsche Dreieck? (Es ist an der Mitte symmetrisch) (!Alle Zahlen sind ungerade) (!Jede Zeile endet mit null) (!Alle Zeilen haben gleich viele Zahlen)

Wofür stehen die Zahlen einer Zeile beim Ausmultiplizieren? (Für die Koeffizienten) (!Für die Variablen) (!Für die Rechenzeichen) (!Für die Klammern)

Welche Zahlenfolge gehört zur vierten Potenz eines Binoms? (1 4 6 4 1) (!1 4 8 4 1) (!1 3 6 3 1) (!4 6 6 4)

Memory

Pascalsches Dreieck	Zahlendreieck
Randzahl	Eins
Innenzahl	Summe der Zahlen darüber
Koeffizient	Zahl vor einem Term
Binom	Term aus zwei Gliedern
Symmetrie	Spiegelgleichheit

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Randzahl	Eins am Rand
Innenzahl	Summe der Nachbarn darüber
Koeffizientenfolge	Zahlen einer Dreieckszeile
Quadrat eines Binoms	Erste oder zweite binomische Formel
Produkt aus Summe und Differenz	Dritte binomische Formel

Kreuzworträtsel

Pascal	Nach welchem Mathematiker ist das Dreieck benannt?
Binom	Wie heißt ein Term aus zwei Gliedern?
Koeffizient	Wie heißt eine Zahl vor einem Term?
Symmetrie	Welche Eigenschaft zeigt die linke und rechte Hälfte?
Addition	Welche Rechenart erzeugt die inneren Zahlen?
Potenz	Wie heißt ein Ausdruck mit Basis und Exponent?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Das Pascalsche Dreieck beginnt oben mit einer . Jede Zahl am Rand ist ebenfalls . Eine innere Zahl entsteht durch der zwei Zahlen über ihr. Die Zeile 1, 2, 1 liefert die der ersten binomischen Formel. Bei der zweiten binomischen Formel ist der mittlere Term . Das Dreieck ist an seiner senkrechten Mitte .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlendreieck: Zeichne die ersten sechs Zeilen des Pascalschen Dreiecks.
2. Farbcodierung: Markiere Randzahlen, gerade Zahlen und ungerade Zahlen mit verschiedenen Farben.
3. Binomische Formel: Gestalte drei Lernkarten zu den drei binomischen Formeln.
4. Video-Notizen: Erstelle eine kleine Skizze zum wichtigsten Rechenschritt des Videos.

Standard

1. Ausmultiplizieren: Berechne $(x+y{)}^3$ mit dem Pascalschen Dreieck.
2. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Lösung zu $(a-b{)}^2$ und erkläre den Fehler.
3. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur Entstehung einer neuen Zeile.
4. Muster: Suche drei Muster im Dreieck und beschreibe sie mit eigenen Worten.

Schwer

1. Binomischer Lehrsatz: Formuliere eine allgemeine Regel für $(a+b{)}^n$.
2. Kombinatorik: Erkläre an einem Beispiel, warum ein Eintrag auch eine Anzahl von Auswahlmöglichkeiten beschreibt.
3. Sierpinski-Dreieck: Untersuche das Muster der ungeraden Zahlen über mindestens zehn Zeilen.
4. Programmieren: Schreibe ein kleines Programm oder eine Tabellenkalkulation, die das Dreieck erzeugt.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Entscheide, welche Zeile Du für $(x+y{)}^7$ brauchst, und begründe Deine Wahl.
2. Transfer: Entwickle die Ausmultiplizierung von $(2x+y{)}^3$ mit den passenden Koeffizienten.
3. Vergleich: Vergleiche $(a+b{)}^2$ und $(a-b{)}^2$. Erkläre, was gleich bleibt und was sich ändert.
4. Fehlerdiagnose: Eine Person schreibt $(a+b{)}^2=a^2+b^2$. Erkläre den Denkfehler mit dem Dreieck.
5. Mustererklärung: Begründe, warum jede Zeile von links und rechts gleich gelesen werden kann.
6. Anwendung: Erfinde eine Aufgabe, bei der die Koeffizienten 1, 4, 6, 4, 1 gebraucht werden, und löse sie.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:

1. Du kannst das Pascalsche Dreieck richtig fortsetzen.
2. Du kannst erklären, wie eine innere Zahl entsteht.
3. Du kannst eine passende Zeile für eine Potenz auswählen.
4. Du kannst die drei binomischen Formeln anwenden.
5. Du kannst Rechenwege erklären und typische Fehler verbessern.

Links

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