Die Druckversion wird nicht mehr unterstützt und kann Darstellungsfehler aufweisen. Bitte aktualisiere deine Browser-Lesezeichen und verwende stattdessen die Standard-Druckfunktion des Browsers.

BATTLE · Mit diesem Thema spielen →Allein, gemeinsam oder mit eurer Spielgruppe

aiMOOC

M8 E - Vermutungen mathematisch prüfen und widerlegen

QR-Code

Einleitung

M8 E - Vermutungen mathematisch prüfen und widerlegen

Mathematik Klasse 8 · Baden-Württemberg · E-Niveau

Eine Zahlenfolge sieht regelmäßig aus. Zwei Funktionsgraphen treffen sich. Eine geometrische Figur scheint eine bestimmte Eigenschaft zu haben.

Aber gilt Deine Beobachtung wirklich immer?

In diesem aiMOOC entwickelst Du eigene mathematische Vermutungen, prüfst sie systematisch und entscheidest mithilfe von Gegenbeispielen oder Beweisen, ob sie richtig sind.

Forscherfrage: Warum können hundert passende Beispiele weniger überzeugend sein als ein einziger Gegenfall?

Bildexperiment: Untersuche die dargestellten Quadratzahlen. Entdeckst Du eine Regel, die auch für größere Figuren gelten könnte?

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

Vermutungen aus Zahlenmustern, Funktionen und geometrischen Experimenten entwickeln.
Aussagen mit Variablen und eindeutigem Gültigkeitsbereich formulieren.
Behauptungen durch gezielte Tests und Gegenbeispiele überprüfen.
Allgemeine Zusammenhänge durch Terme, geometrische Überlegungen und Argumentationsketten begründen.
Funktionen, Tabellen und Graphen vergleichen und mathematische Modelle kritisch prüfen.
Digitale Ergebnisse und KI-Antworten von mathematischen Beweisen unterscheiden.

E-Niveau: Du untersuchst selbstständig, verallgemeinerst Ergebnisse und begründest Deine Entscheidungen nachvollziehbar.

Vorwissen-Check

Berechne zunächst ohne digitale Hilfe:

$(- 3)^{2} = ?$
$4^{2} - 3^{2} = ?$
$2 (x + 3) = ?$
Wie unterscheiden sich Quadrat und Raute?

Lösungen und Feedback anzeigen

$(- 3)^{2} = 9$
$16 - 9 = 7$
$2 x + 6$
Beide Figuren besitzen vier gleich lange Seiten. Beim Quadrat sind zusätzlich alle vier Winkel rechte Winkel.

Wenn Du einen Fehler gemacht hast, wiederhole Potenzen, Distributivgesetz oder die Eigenschaften von Vierecken.

Der mathematische Forscherkreislauf

Beobachten → Vermuten → Prüfen → Begründen oder Widerlegen

Schritt 1 – Beobachten: Berechne verschiedene Beispiele.

Schritt 2 – Vermuten: Formuliere eine genaue Aussage. Gib an, für welche Zahlen oder Figuren sie gelten soll.

Schritt 3 – Prüfen: Untersuche gewöhnliche Werte, Randfälle und ungewöhnliche Fälle.

Schritt 4 – Entscheiden: Finde einen allgemeinen Grund oder ein Gegenbeispiel.

Schritt 5 – Erklären: Halte Voraussetzungen, Rechenweg und Schlussfolgerung fest.

Wichtiger Unterschied:

$1, 2, 3, 4, 5$ erfolgreiche Tests beweisen keine Allaussage.

Ein einziges zulässiges Gegenbeispiel kann eine Allaussage widerlegen.

Algebra: Vermutungen entwickeln und beweisen

Experiment 1: Drei aufeinanderfolgende Zahlen

Berechne:

$4 + 5 + 6 = 15$

$7 + 8 + 9 = 24$

$10 + 11 + 12 = 33$

Vermutung: Die Summe dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist durch drei teilbar.

Prüfe auch: negative Zahlen und die Null.

Allgemeine Begründung:

Für eine beliebige ganze Zahl $n$ lauten die drei Zahlen:

$n, n + 1, n + 2$

Addiere und fasse zusammen:

$n + (n + 1) + (n + 2)$

$= 3 n + 3$

$= 3 (n + 1)$

Da $n + 1$ eine ganze Zahl ist, ist die Summe immer ein Vielfaches von drei.

Ergebnis: Die Vermutung ist für alle ganzen Zahlen bewiesen.

Deine Verallgemeinerung: Untersuche die Summe von fünf aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. Welche Teilbarkeit kannst Du begründen?

Experiment 2: Viele Treffer, trotzdem falsch

Betrachte den Term:

$P (n) = n^{2} + n + 11$

Berechne:

$P (0) = 11$

$P (1) = 13$

$P (2) = 17$

$P (3) = 23$

Alle vier Ergebnisse sind Primzahlen.

Verführerische Vermutung: Für jede natürliche Zahl liefert der Term eine Primzahl.

Untersuche nun bewusst größere Zahlen.

$P (10) = 1 0^{2} + 10 + 11$

$= 121 = 11 \cdot 11$

Ergebnis: Die Behauptung ist falsch. $n = 10$ ist ein Gegenbeispiel.

Denkfrage: Welche zusätzliche Arbeit wäre notwendig, wenn Du statt vier sogar tausend Primzahlen gefunden hättest?

Experiment 3: Quadratzahlen geometrisch erklären

$2^{2} = 4$

$3^{2} = 9 = 4 + 5$

$4^{2} = 16 = 9 + 7$

Die farblich hervorgehobenen Ergänzungen zeigen, wie ein neues Quadrat aus dem vorherigen entsteht.

Vermutung: Zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen unterscheiden sich um eine ungerade Zahl.

Allgemeine Prüfung:

$(n + 1)^{2} - n^{2}$

$= n^{2} + 2 n + 1 - n^{2}$

$= 2 n + 1$

Für jede natürliche Zahl $n$ ist $2 n + 1$ ungerade.

Zusatzidee:

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

Untersuche mit den Punktquadraten, warum diese Summe ein Quadrat bildet. Begründe, weshalb beim Übergang zur nächsten Figur genau die nächste ungerade Anzahl an Punkten hinzukommt.

Funktionen: Graphen kritisch vergleichen

Experiment 4: Zwei gemeinsame Punkte

Untersuche zwei Funktionen:

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x$

Gerade: $g (x) = x$

Parabel: $f (x) = x^{2}$

$x$	$f (x)$	$g (x)$
$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$2$
$- 1$	$1$	$- 1$

Vermutung: Zwei Funktionen, die an zwei Stellen übereinstimmen, sind identisch.

Widerlegung: Bei $x = 2$ unterscheiden sich die Funktionswerte.

Vertiefung: Bestimme alle Stellen, an denen beide Funktionen übereinstimmen.

$x^{2} = x$

$x^{2} - x = 0$

$x (x - 1) = 0$

Also:

$x = 0$ oder $x = 1$ .

Ergebnis: Genau zwei gemeinsame Punkte bedeuten nicht, dass zwei Funktionen überall gleich sind.

Videoauftrag: Stoppe das Video zur Wertetabelle einer Parabel. Berechne einen zusätzlichen Funktionswert selbst und vergleiche Dein Ergebnis.

Dynamisches Experiment mit GeoGebra

Öffne den GeoGebra-Grafikrechner. Eine Anmeldung ist für dieses Experiment nicht erforderlich.

Gib nacheinander ein:

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x$

$t = 2$

Erzeuge anschließend die beiden Punkte durch die Eingaben:

$A = (t, f (t))$

$B = (t, g (t))$

Verändere $t$ über die Zahleneinstellung beziehungsweise den Schieberegler.

Experimentiere:

Suche alle Werte, bei denen die beiden Punkte zusammenfallen.
Untersuche auch negative Werte und Dezimalzahlen.
Vergleiche Deine Beobachtung mit der algebraischen Lösung.
Begründe, warum der Graph allein noch kein allgemeiner Beweis ist.

Kontrolle: Die Punkte fallen bei $t = 0$ und $t = 1$ zusammen. Die Termumformung zeigt, dass es keine weiteren Lösungen gibt.

Geometrie: Aussagen und Kehrsätze prüfen

Experiment 5: Ist jede Raute ein Quadrat?

Behauptung: Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten besitzt, ist es ein Quadrat.

Untersuchung:

Prüfe die Seitenlängen der Raute.
Untersuche die Innenwinkel.
Vergleiche sie mit den Eigenschaften eines Quadrats.

Eine Raute besitzt vier gleich lange Seiten, aber nicht unbedingt vier rechte Winkel.

Daraus folgt:

Richtig: Jedes Quadrat ist eine Raute.

Falsch: Jede Raute ist ein Quadrat.

Die zweite Aussage ist die Umkehrung der ersten. Man nennt sie auch Kehrsatz.

Videoauftrag: Notiere die gemeinsame Eigenschaft und die zusätzliche Bedingung, die aus einer Raute ein Quadrat macht.

Experiment 6: Verdoppeln sich Flächen?

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a$ .

Sein Flächeninhalt ist:

$A (a) = a^{2}$

Verdopple seine Seitenlänge:

$A (2 a) = (2 a)^{2}$

$= 4 a^{2}$

Ergebnis: Die Fläche vervierfacht sich.

Allgemein gilt für $a > 0$ und $k > 0$ :

$A (k a) = k^{2} A (a)$

Dynamischer Test: Verwende im GeoGebra-Grafikrechner die Funktionen:

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = 4 x^{2}$

Vergleiche die Flächenwerte für positive Seitenlängen und verändere Deine Testwerte.

Videoauftrag: Überprüfe die Flächenformel und erkläre, weshalb die Seitenlänge zweimal mit dem Vergrößerungsfaktor multipliziert wird.

Experiment 7: Eine Beweis-Animation untersuchen

Die vorhandene Wikimedia-Commons-Animation zeigt eine Zerlegungsbegründung zum Satz des Pythagoras.

Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Forscherauftrag:

Beschreibe, welche Teilflächen in der Animation verschoben werden.
Erkläre, warum beim Zerlegen keine Fläche verloren geht.
Unterscheide die anschauliche Begründung von einer einzelnen Zahlenprobe.
Prüfe, weshalb die Voraussetzung „rechtwinklig“ unverzichtbar ist.

Ein Zahlenbeispiel:

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$

Dagegen:

$3^{2} + 4^{2} \neq 6^{2}$

Wichtig: Eine richtige geometrische Aussage darf nicht ohne Prüfung auf andere Voraussetzungen übertragen werden.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Eine Aussage über Quadrate

Behauptung: Für alle reellen Zahlen gilt:

$x^{2} \geq x$

Entscheide, ob die Behauptung richtig ist. Suche gegebenenfalls ein Gegenbeispiel.

Hilfe 1

Prüfe nicht nur ganze Zahlen, sondern auch Zahlen zwischen null und eins.

Hilfe 2

Setze $x = \frac{1}{2}$ ein.

Lösung und Feedback

${(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$

Die Behauptung ist falsch.

Feedback: Dein Gegenbeispiel ist vollständig, wenn Du den zulässigen Wert einsetzt und die Ungleichung eindeutig widerlegst. Die Aussage ist dagegen für alle ganzen Zahlen richtig.

Übung B: Funktionsvermutung

Behauptung: Die Gleichung

$x^{2} = x$

hat genau eine Lösung.

Prüfe die Behauptung rechnerisch und grafisch.

Hilfe 1

Bringe alle Terme auf dieselbe Seite.

Hilfe 2

Klammere $x$ aus. Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Lösung und Feedback

$x (x - 1) = 0$

Die Lösungen sind $x = 0$ und $x = 1$ .

Feedback: Die Aussage „genau eine Lösung“ ist widerlegt. Beide Lösungen müssen genannt werden.

Übung C: Eine Fläche vergrößern

Die Seitenlänge eines quadratischen Plakats wird um 25 Prozent vergrößert.

Vermutung: Der Flächeninhalt wächst ebenfalls um 25 Prozent.

Hilfe 1

Eine Vergrößerung um 25 Prozent entspricht dem Längenfaktor $1,25$ .

Hilfe 2

Berechne das Quadrat des Vergrößerungsfaktors.

Lösung und Feedback

$1,2 5^{2} = 1,5625$

Die Fläche wächst um $56,25 %$ .

Feedback: Die Vermutung ist falsch. Bei einer Flächenvergrößerung verändern sich beide Seitenlängen.

Typische Fehler

Beispiele mit Beweisen verwechseln: Auch viele passende Werte liefern noch keinen allgemeinen Beweis.
Gültigkeitsbereich vergessen: Eine Aussage über ganze Zahlen kann für reelle Zahlen falsch sein.
Nur positive Werte testen: Negative Zahlen, Null und Brüche können Gegenbeispiele liefern.
Einen Kehrsatz ungeprüft übernehmen: Aus einer richtigen Wenn-dann-Aussage folgt nicht automatisch ihre Umkehrung.
Den Graphen überschätzen: Eine digitale Darstellung zeigt nur einen begrenzten Ausschnitt.
Eine KI-Antwort ungeprüft übernehmen: Rechne nach, untersuche Voraussetzungen und kontrolliere jede Begründung.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was genügt, um eine mathematische Allaussage zu widerlegen? (Ein zulässiges Gegenbeispiel) (!Drei passende Beispiele) (!Ein besonders schöner Graph) (!Eine große Wertetabelle)

Welchen Wert liefert der Term n²+n+11 für n gleich 10? (121) (!111) (!131) (!120)

Welche Eigenschaft hat die Summe dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen immer? (Sie ist durch drei teilbar) (!Sie ist immer positiv) (!Sie ist immer ungerade) (!Sie ist immer eine Primzahl)

Zwei Funktionen stimmen an zwei Stellen überein. Was folgt daraus? (Sie müssen nicht überall gleich sein) (!Sie sind immer identisch) (!Beide Graphen sind Geraden) (!Beide Funktionen sind konstant)

Welchen Wert hat die Funktion f mit f von x gleich x zum Quadrat bei x gleich 2? (4) (!2) (!8) (!6)

Welche Lösungen besitzt die Gleichung x zum Quadrat gleich x? (0 und 1) (!Nur 0) (!Nur 1) (!1 und 2)

Mit welchem Faktor wächst die Fläche eines Quadrats bei doppelter Seitenlänge? (4) (!2) (!6) (!8)

Ein Quadrat wird mit dem Längenfaktor 1,5 vergrößert. Welchen Flächenfaktor erhältst Du? (2,25) (!1,5) (!3) (!2,5)

Welche geometrische Aussage ist immer richtig? (Jedes Quadrat ist eine Raute) (!Jede Raute ist ein Quadrat) (!Jedes Viereck ist ein Rechteck) (!Jedes Parallelogramm ist ein Quadrat)

Eine KI hat zweihundert Beispiele geprüft und behauptet deshalb eine Allaussage bewiesen zu haben. Wie bewertest Du das? (Die Stichproben sind kein allgemeiner Beweis) (!Die Anzahl der Beispiele genügt immer) (!Eine KI kann sich bei Rechnungen nicht irren) (!Eine Wertetabelle beweist jede Allaussage)

Memory

Ordne die Begriffe ihren passenden Bedeutungen zu.

Allaussage	Behauptung für alle Elemente des Gültigkeitsbereichs
Gegenbeispiel	Zulässiger Fall zur Widerlegung
Kehrsatz	Umkehrung von Voraussetzung und Folgerung
Parabel	Graph einer quadratischen Funktion
Termumformung	Symbolische Vereinfachung eines Ausdrucks
Flächenfaktor	Quadrat des Längenfaktors

Drag and Drop

Ordne die Prüfmethoden ihren Funktionen zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gegenbeispiel	Widerlegung
Termumformung	Symbolischer Nachweis
Graph	Funktionsdarstellung
Kehrsatz	Aussagenumkehr
Stichprobe	Plausibilitätsprüfung

Kreuzworträtsel

Vermutung	Wie heißt eine mathematische Behauptung, deren allgemeine Gültigkeit noch untersucht wird?
Gegenbeispiel	Wie nennt man einen zulässigen Fall, der eine Allaussage widerlegt?
Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Raute	Welches Viereck hat vier gleich lange Seiten, aber nicht zwingend rechte Winkel?
Kehrsatz	Wie heißt die Umkehrung einer Wenn-dann-Aussage?
Beweis	Wie heißt eine nachvollziehbare allgemeine mathematische Begründung?

LearningApps

Suche nach passenden interaktiven Übungen. Prüfe vor der Nutzung, ob sie mathematisch korrekt und für Dein Lernniveau geeignet sind.

Lückentext

Eine mathematische Aussage, die für alle Elemente eines Bereichs gelten soll, heißt

.

Ein einziger zulässiger Gegenfall heißt

.

Auch sehr viele passende Beispiele ersetzen keinen allgemeinen

.

Eine mathematische Behauptung sollte einen eindeutigen

besitzen.

Die Summe dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist immer durch

teilbar.

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt

.

Die Umkehrung einer Wenn-dann-Aussage heißt

.

Beim Verdoppeln aller Seiten eines Quadrats vervierfacht sich sein

.

Digitale Ergebnisse sollten stets kritisch

werden.

Transfer: Mathematik im Alltag

Ein quadratisches Werbeplakat hat zunächst eine Seitenlänge von 20 cm. Eine neue Version besitzt die Seitenlänge 30 cm.

Vermutung: Das neue Plakat benötigt 50 Prozent mehr Material.

Schritt 1: Bestimme den Längenfaktor.

$k = \frac{30}{20} = 1,5$

Schritt 2: Berechne die Flächen.

$A_{1} = 2 0^{2} = 400 {c m}^{2}$

$A_{2} = 3 0^{2} = 900 {c m}^{2}$

Schritt 3: Vergleiche.

$\frac{A_{2}}{A_{1}} = 2,25$

Der Materialbedarf steigt bei unverändertem Materialverbrauch je Flächeneinheit um 125 Prozent.

Transferfrage: Warum wäre eine Kalkulation falsch, die nur die prozentuale Änderung einer einzigen Seitenlänge berücksichtigt?

Selbstkontrolle und Kompetenzcheck

Bewerte jede Kompetenz selbst mit null, einem oder zwei Punkten.

0 Punkte: noch unsicher.

1 Punkt: mit Hilfen möglich.

2 Punkte: selbstständig, korrekt und begründet.

Ich formuliere eine Vermutung mit eindeutigem Gültigkeitsbereich.
Ich finde und überprüfe ein Gegenbeispiel.
Ich begründe eine algebraische Aussage allgemein.
Ich prüfe funktionale oder geometrische Behauptungen anhand verschiedener Darstellungen.
Ich unterscheide Stichprobe, digitale Darstellung und mathematischen Beweis.

Auswertung: Höchstens fünf Punkte zeigen, dass Du einzelne Lernschritte wiederholen solltest. Ab acht Punkten kannst Du die anspruchsvollen Transferaufgaben bearbeiten. Entscheidend ist nicht die Punktzahl allein, sondern ob Deine Begründungen wirklich nachvollziehbar sind.

Reflexion

Welche Deiner Vermutungen wurde durch ein überraschendes Gegenbeispiel widerlegt?
An welcher Stelle hat Dir eine Zeichnung mehr geholfen als eine Rechnung?
Woran erkennst Du, dass eine Argumentation für alle zulässigen Fälle gilt?
Welche Art von Gegenbeispiel würdest Du bei einer neuen Behauptung zuerst suchen?
Was würdest Du an einer KI-Erklärung überprüfen, bevor Du sie übernimmst?

Offene Aufgaben

Leicht

Zahlenmuster: Erstelle eine Folge von mindestens sechs Quadratzahlen. Beschreibe die aufeinanderfolgenden Unterschiede und formuliere eine Vermutung.
Gegenbeispiel: Untersuche die Behauptung, dass jede quadrierte Zahl größer als die ursprüngliche Zahl ist. Finde mindestens zwei unterschiedliche Gegenbeispiele.
Wertetabelle: Erstelle Wertetabellen für $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x$ und markiere die gemeinsamen Werte.
Raute: Konstruiere mit Lineal und Geodreieck eine Raute ohne rechte Winkel und erkläre, welche Behauptung sie widerlegt.

Standard

Termumformung: Beweise allgemein, dass die Summe dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen durch drei teilbar ist.
Primzahl: Untersuche $n^{2} + n + 11$ systematisch. Dokumentiere mindestens sechs Werte und ein korrektes Gegenbeispiel.
Funktion: Vergleiche die Graphen von $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x$ mit GeoGebra. Begründe algebraisch alle Schnittstellen.
Flächeninhalt: Zeichne Quadrate mit verschiedenen Seitenlängen und überprüfe, wie sich die Fläche bei den Längenfaktoren $2$ und $3$ verändert.

Schwer

Gerade und ungerade Zahlen: Formuliere und beweise die Aussage, dass das Produkt zweier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen immer gerade ist.
Kehrsatz: Entwickle drei richtige Wenn-dann-Aussagen aus Algebra oder Geometrie. Formuliere ihre Kehrsätze und beweise oder widerlege jeden davon.
Mathematische Modellierung: Plane die Vergrößerung eines quadratischen Bodenbelags. Modelliere Seitenlänge, Flächenbedarf und Materialkosten mit Variablen. Prüfe eine absichtlich falsche Prozentvermutung und berücksichtige nachvollziehbare Modellannahmen.
Künstliche Intelligenz: Untersuche die Behauptung einer fiktiven KI: „Ich habe zweihundert Zahlen geprüft, deshalb ist die Vermutung bewiesen.“ Erkläre den Denkfehler und entwickle eine mathematisch tragfähige Prüfung.

Lernkontrolle

Bearbeite die Aufgaben selbstständig. Gib jeweils Voraussetzungen, geeignete Darstellung, Rechenweg und begründete Schlussfolgerung an.

Algebra: Eine Person behauptet, die Summe von vier aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen sei immer durch vier teilbar. Prüfe die Aussage, finde ein Gegenbeispiel und untersuche, welche Teilbarkeit tatsächlich immer gilt.
Funktionen: Zwei Modelle $f (t) = 2 t + 3$ und $g (t) = t^{2} - t + 5$ liefern bei $t = 1$ und $t = 2$ gleiche Werte. Entscheide, ob sie für alle Zeitpunkte gleich sind, und erläutere die Folgen für eine Kostenprognose.
Geometrie: Ein quadratischer Garten wird so verändert, dass jede Seitenlänge um 20 Prozent wächst. Prüfe die Behauptung „Die Gartenfläche wächst um 40 Prozent“, und begründe das tatsächliche Ergebnis.
Argumentation: Untersuche die Behauptung „Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, besitzt es vier rechte Winkel“. Trenne Voraussetzung und Folgerung, konstruiere ein Gegenbeispiel und formuliere eine korrekte ergänzende Bedingung.
Mathematischer Beweis: Vergleiche eine Wertetabelle, einen dynamischen Graphen und eine algebraische Umformung zur Aussage $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ . Beurteile, welche Darstellungen die Vermutung stützen und welche einen allgemeinen Nachweis liefern.
Medienkompetenz: Eine KI begründet eine mathematische Behauptung nur durch mehrere Beispiele. Formuliere eine sachliche Rückmeldung und ergänze entweder einen korrekten Beweis oder ein Gegenbeispiel.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis im E-Niveau sollst Du zeigen:

Vermutung: Du formulierst eine präzise Aussage und nennst ihren Gültigkeitsbereich.
Untersuchung: Du wählst systematisch verschiedene Fälle und geeignete Darstellungen.
Rechenweg: Deine Terme, Tabellen und Berechnungen sind richtig und nachvollziehbar.
Begründung: Du lieferst einen allgemeinen Nachweis oder ein eindeutiges Gegenbeispiel.
Transfer: Du überträgst die Methode auf eine neue algebraische, funktionale oder geometrische Situation.
Reflexion: Du erkennst mögliche Fehler und erklärst, warum digitale Tests einen Beweis nicht ersetzen.

Empfohlenes Lernprodukt: Eine schriftliche mathematische Forschungsdokumentation mit drei selbst untersuchten Aussagen aus Algebra, Funktionen und Geometrie. Sie enthält Vermutung, Testplan, Darstellung, Begründung und eine abschließende Bewertung.

Verwende keine personenbezogenen Daten.

OERs zum Thema

Wikipedia – Gegenbeispiel

Weitere Grundlagen: Mathematischer Beweis, Mathematische Vermutung, Funktion, Quadratzahl, Raute, Satz des Pythagoras.

Bildungsplan Baden-Württemberg:

Mathematisch argumentieren und beweisen

Leitidee Funktionaler Zusammenhang

Dynamisches Mathematikwerkzeug:

GeoGebra Grafikrechner

Wikimedia Commons: Mediennachweise und Lizenzen

Alle nachfolgend eingebundenen Bild- und Animationsdateien wurden als vorhandene Dateien auf Wikimedia Commons geprüft. Sie werden ohne inhaltliche Veränderung eingebunden.

SquareNumbers.svg – Urheber: Yoni Toker. Lizenz: CC BY-SA 3.0.
Square number 4 with gnomon.svg – Urheber: Stefan Friedrich Birkner. Lizenzstatus: Public Domain, Freigabe durch den Urheber.
Square number 9 with gnomon.svg – Urheber: Stefan Friedrich Birkner. Lizenzstatus: Public Domain, Freigabe durch den Urheber.
Square number 16 with gnomon.svg – Urheber: Stefan Friedrich Birkner. Lizenz: CC BY-SA 3.0.
Function-x.svg – Urheber: Qualc1, Dateibearbeitung durch Omegatron. Lizenz: CC BY-SA 3.0.
Graph of x squared.svg – Urheber: Derick Asamani. Lizenz: CC BY-SA 4.0.
Rhombus (plain).svg – Urheber: OfficialURL. Lizenz: CC0 1.0.
Pythagoras zerlegung brautstuhl4.gif – Urheber: Kmhkmh. Lizenz: CC BY 4.0.

YouTube-Quellen: DerMathematikKanal – „Die Parabel: Wertetabelle“ und „Das Quadrat: Der Flächeninhalt“; Gut erklärt – „Quadrat zu Raute Unterschiede“. Die Einbettung erfolgt als externe Verlinkung zum jeweiligen Originalvideo, nicht als eigene Mediendatei. Beim Laden von YouTube können Daten an den externen Anbieter übertragen werden.