Die Druckversion wird nicht mehr unterstützt und kann Darstellungsfehler aufweisen. Bitte aktualisiere deine Browser-Lesezeichen und verwende stattdessen die Standard-Druckfunktion des Browsers.

aiMOOC

M8 E - Statistische Aussagen kritisch bewerten

QR-Code

M8 E - Statistische Aussagen kritisch bewerten

Mathematik · Klasse 8 · Erweitertes Niveau (E) · Baden-Württemberg

Thema: Statistische Aussagen prüfen, Fehler entdecken und Schlussfolgerungen mathematisch begründen.

Leitfrage: Kann eine Statistik rechnerisch richtig sein und trotzdem einen falschen Eindruck vermitteln?

Einleitung

„90 % sind begeistert!“ – Aber wurden 10 oder 10.000 Personen befragt? „Der Durchschnitt ist gestiegen!“ – Vielleicht nur durch einen einzigen Ausreißer.

In diesem aiMOOC untersuchst Du statistische Aussagen wie ein Daten-Detektiv. Du rechnest nach, vergleichst Diagramme und prüfst, welche Schlussfolgerungen wirklich begründet sind.

Merke: Eine richtige Rechnung macht eine Aussage noch nicht automatisch zuverlässig.

Alle Übungsdatensätze dieses Kurses sind fiktiv. Du benötigst keine personenbezogenen Daten.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

Arithmetisches Mittel und Median berechnen, vergleichen und ihre Aussagekraft begründen.
Ausreißer erkennen und ihren Einfluss untersuchen.
Stichproben hinsichtlich ihrer Eignung kritisch beurteilen.
Diagramme auf irreführende Achsen, Maßstäbe und Darstellungen prüfen.
Absolute und relative Veränderungen unterscheiden.
Fehlende Informationen erkennen, Gegenbeispiele konstruieren und statistische Aussagen begründet bewerten.

E-Niveau: Du untersuchst selbstständig, verallgemeinerst Ergebnisse und findest mathematische Gegenbeispiele.

Vorwissen-Check

Beantworte die Fragen zunächst ohne Taschenrechner.

1. Berechne das arithmetische Mittel der Werte 6, 8 und 10.

$\overline{x} = \frac{6 + 8 + 10}{3} = ?$

2. Bestimme den Median der geordneten Werte 2, 4, 8, 12 und 20.

3. Berechne den Anteil von 12 unter 30 Befragten.

$p = \frac{12}{30} \cdot 100 %$

Selbstkontrolle: Die Ergebnisse lauten 8, 8 und 40 %.

Falls Du noch unsicher bist, wiederhole Arithmetisches Mittel, Median und Prozentrechnung.

Statistische Aussagen mathematisch prüfen

Mittelwerte und Ausreißer

Betrachte zwei fiktive Datensätze:

Datensatz	Werte
A	4; 5; 6; 7; 8
B	4; 5; 6; 7; 28

Schritt 1: Arithmetisches Mittel bestimmen

${\overline{x}}_{A} = \frac{4 + 5 + 6 + 7 + 8}{5} = 6$

${\overline{x}}_{B} = \frac{4 + 5 + 6 + 7 + 28}{5} = 10$

Schritt 2: Median bestimmen

$m_{A} = 6$

$m_{B} = 6$

Schritt 3: Ergebnisse vergleichen

Kennzahl	A	B
Mittelwert	6	10
Median	6	6
Größter Wert	8	28

Erkenntnis: Der einzelne Wert 28 erhöht das arithmetische Mittel deutlich. Der Median bleibt unverändert.

Bildanalyse: Erkenne den stark abweichenden Datenpunkt. Überlege, warum die Darstellung allein noch nicht beweist, dass dieser Wert falsch ist.

Ein Ausreißer kann ein Messfehler oder ein tatsächlich vorkommender Extremwert sein. Deshalb darfst Du ihn nicht ohne sachlichen Grund entfernen.

E-Niveau – Verallgemeinerung

Wird bei gleichbleibender Anzahl von Datenwerten ein einzelner Wert um $Δ x$ verändert, gilt:

$Δ \overline{x} = \frac{Δ x}{n}$

Beispiel:

$Δ \overline{x} = \frac{28 - 8}{5} = 4$

Denkfrage: Warum muss sich der Median bei der Veränderung eines einzelnen Wertes nicht ändern? Finde außerdem ein Gegenbeispiel, bei dem sich der Median verändert.

Verteilungen statt nur Kennzahlen betrachten

Zwei Datensätze besitzen denselben Mittelwert:

Datensatz	Werte	Mittel
C	5; 5; 5	5
D	0; 5; 10	5

${\overline{x}}_{C} = {\overline{x}}_{D} = 5$

Ihre Spannweite ist jedoch unterschiedlich:

$R_{C} = 5 - 5 = 0$

$R_{D} = 10 - 0 = 10$

Folgerung: Gleiche Mittelwerte bedeuten nicht, dass die Datensätze gleich verteilt sind.

Bildauftrag: Betrachte die Verteilung der Säulen. Erkläre, welche Informationen über eine Datenverteilung in einem einzigen Mittelwert verloren gehen können.

E-Vertiefung: Diese vier Punktdiagramme gehören zu unterschiedlichen Datensätzen mit weitgehend übereinstimmenden statistischen Kennzahlen. Trotzdem sehen die Verteilungen sehr verschieden aus.

Erkläre, weshalb Du bei komplexeren Datensätzen nicht ausschließlich Kennzahlen vergleichen solltest.

Irreführende Diagramme erkennen

Beobachtungsauftrag: Vergleiche die dargestellten Achsen. Prüfe, ob dieselben Zahlen durch unterschiedliche Skalen verschieden eindrucksvoll wirken.

Ein eigenes Zahlenbeispiel:

Jahr	Wert
2024	80
2025	88

Schritt 1: Tatsächliche Veränderung

$88 - 80 = 8$

$\frac{8}{80} \cdot 100 % = 10 %$

Schritt 2: Balkenhöhen vergleichen

Bei einer senkrechten Achse ab 0:

$\frac{88}{80} = 1,1$

Bei einer abgeschnittenen Achse ab 75:

$\frac{88 - 75}{80 - 75} = \frac{13}{5} = 2,6$

Vergleich:

Achsenstart	Sichtbare Höhen
0	80 und 88
75	5 und 13

Der zweite Maßstab lässt den Unterschied der Balkenhöhen viel größer erscheinen.

Merke: Bei Balkendiagrammen sind die Längen der Balken entscheidend. Eine abgeschnittene Achse kann ihre Verhältnisse stark verzerren. Bei Liniendiagrammen kann ein deutlich gekennzeichneter Achsenausschnitt sinnvoll sein.

Video: Statistiken manipulieren – Die optische Täuschung (WirtschaftsWoche)

Videoauftrag: Finde mindestens zwei Darstellungsentscheidungen, die den Eindruck einer statistischen Entwicklung beeinflussen.

Die passende Diagrammform wählen

Die Commons-Grafik zeigt dieselben Daten in einem Kreis- und einem Balkendiagramm.

Untersuchung: Vergleiche, in welchem Diagramm Du kleine Unterschiede zwischen Kategorien leichter erkennst.

Bei einem Kreisdiagramm muss die gesamte Kreisfläche 100 % entsprechen.

$100 % \hat{=} 36 0^{\circ}$

Beispiel für einen Anteil von 25 %:

$α = 0,25 \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$

Prüffragen: Sind alle Kategorien erfasst? Stimmen ihre Anteile zusammen? Werden die Werte als Anzahlen oder als Prozentangaben dargestellt?

Stichproben kritisch bewerten

Eine Stichprobe ist ein ausgewählter Teil der Grundgesamtheit.

Beispiel: 20 von 25 befragten Mitgliedern eines Sportvereins möchten zusätzliche Trainingsangebote.

$p = \frac{20}{25} \cdot 100 % = 80 %$

Die Aussage „80 % der befragten Vereinsmitglieder möchten zusätzliche Trainingsangebote“ ist richtig.

Die Aussage „80 % aller Jugendlichen möchten mehr Sport“ ist aus diesen Daten nicht gerechtfertigt.

Bildauftrag: Untersuche die dargestellte Zufallsauswahl. Erkläre, weshalb die Auswahlmethode für die Aussagekraft wichtig ist.

Für eine gute Untersuchung musst Du klären:

Grundgesamtheit: Über welche Gruppe soll die Aussage gelten?
Stichprobe: Wer wurde tatsächlich erfasst?
Zufallsauswahl: Haben alle Mitglieder der Grundgesamtheit eine geeignete Auswahlchance?
Stichprobenumfang: Wie viele Beobachtungen liegen vor?
Auswahlverzerrung: Fehlen systematisch bestimmte Gruppen?

Eine zufällige Auswahl kann Auswahlverzerrungen verringern. Sie garantiert jedoch bei kleinen Stichproben keine vollständige Übereinstimmung mit der Grundgesamtheit.

Vertiefung – Was fehlt in den Daten?

Diese schematische Commons-Grafik veranschaulicht den sogenannten Überlebendenfehler.

Denkfrage: Was passiert, wenn bei einer Untersuchung ausschließlich zurückgekehrte Flugzeuge berücksichtigt werden? Welche Informationen fehlen über die nicht zurückgekehrten Maschinen?

Übertrage das Prinzip auf eine Statistik, die ausschließlich erfolgreiche Ergebnisse erfasst.

Absolute und relative Aussagen unterscheiden

Zwei Gruppen vergleichen ihre Ergebnisse:

Gruppe	Erfolge	Gesamt
A	24	30
B	42	70

Absolute Anzahl:

$42 > 24$

Gruppe B hat mehr Erfolge.

Relative Häufigkeit:

$p_{A} = \frac{24}{30} \cdot 100 % = 80 %$

$p_{B} = \frac{42}{70} \cdot 100 % = 60 %$

Gruppe A hat den größeren Erfolgsanteil.

Erkenntnis: Beide Aussagen sind rechnerisch richtig, beantworten aber unterschiedliche Fragen.

Prozentpunkte oder Prozent?

Ein Anteil steigt von 40 % auf 50 %.

Absolute Differenz der Prozentangaben:

$50 % - 40 % = 10$ Prozentpunkte.

Relative Steigerung:

$\frac{50 - 40}{40} \cdot 100 % = 25 %$

Merke: Ein Anstieg um 10 Prozentpunkte ist hier ein relativer Anstieg um 25 %.

Fehlende Informationen und voreilige Schlüsse

Eine Anzeige behauptet: „90 % empfehlen unser Produkt!“

Bekannt ist nur:

$\frac{9}{10} = 90 %$

Unklar bleiben die Auswahl der Befragten, die genaue Frage, der Zeitraum und die Zahl nicht beantworteter Anfragen.

Unterscheide drei Urteile:

Rechnerisch richtig: Neun von zehn entsprechen 90 %.
Nur eingeschränkt aussagekräftig: Zehn Antworten sind eine kleine Datenbasis.
Nicht belegt: Dass 90 % aller möglichen Käuferinnen und Käufer das Produkt empfehlen würden.

Statistik-Check:

Daten → Rechnung → Darstellung → Auswahl → Schlussfolgerung

Bei jeder Station prüfst Du, ob die Aussage durch die verfügbaren Informationen gestützt wird.

Interaktive Beispiele

Beispiel A: Ausreißer untersuchen

Gegeben ist die geordnete Datenliste:

$2; 4; 6; 8; 50$

Eine Person behauptet: „Der durchschnittliche Wert ist typisch für die ganze Gruppe.“

Dein Auftrag: Berechne Mittelwert und Median. Entscheide, ob die Aussage angemessen ist.

Hilfestufe 1: Berechne zunächst die Summe aller fünf Werte.

Hilfestufe 2: Das arithmetische Mittel verwendet alle Werte. Der Median steht in der geordneten Liste in der Mitte.

Lösung und Feedback:

$\overline{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 50}{5} = 14$

$m = 6$

Feedback: Der Mittelwert 14 ist rechnerisch richtig, liegt aber über vier der fünf Beobachtungen. Für einen typischen Wert kann der Median hier hilfreicher sein. Der Ausreißer 50 bleibt ein Teil des Datensatzes.

Beispiel B: Prozentzahlen prüfen

Ein Anteil steigt von 20 % auf 30 %.

Behauptung: „Der Anteil ist um 10 % gestiegen.“

Hilfestufe 1: Unterscheide Prozentpunkte und relative Steigerung.

Hilfestufe 2: Teile die Differenz durch den ursprünglichen Wert.

Lösung und Feedback:

$30 - 20 = 10$ Prozentpunkte.

$\frac{30 - 20}{20} \cdot 100 % = 50 %$

Feedback: Die Behauptung ist ungenau beziehungsweise falsch, wenn eine relative Steigerung um 10 % gemeint ist. Korrekt sind 10 Prozentpunkte oder 50 % relative Steigerung.

Beispiel C: Eine Stichprobe bewerten

Eine Onlineumfrage wird nur in einem Schul-Sportverein verbreitet. 72 von 90 Teilnehmenden befürworten mehr Sportangebote.

Behauptung: „80 % aller Schülerinnen und Schüler wollen mehr Sportangebote.“

Hilfestufe 1: Prüfe erst die Rechnung, dann die Auswahl.

Hilfestufe 2: Überlege, wer durch die Einladung systematisch nicht erreicht wurde.

Lösung und Feedback:

$\frac{72}{90} \cdot 100 % = 80 %$

Feedback: Die Prozentrechnung stimmt. Die Aussage über alle Schülerinnen und Schüler ist nicht belegt, weil ausschließlich eine besondere Teilgruppe erreicht wurde.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Gegenbeispiel konstruieren

Finde zwei unterschiedliche Datensätze aus je fünf Zahlen, die denselben Median, aber verschiedene arithmetische Mittel besitzen.

Hilfe: Beginne mit 3; 4; 5; 6; 7 und ändere nur den größten Wert.

Beispiellösung:

$A = (3, 4, 5, 6, 7)$

$B = (3, 4, 5, 6, 27)$

$m_{A} = m_{B} = 5$

${\overline{x}}_{A} = 5$

${\overline{x}}_{B} = 9$

Feedback: Du hast durch ein Gegenbeispiel gezeigt, dass derselbe Median nicht denselben Mittelwert erzwingt.

Übung 2: Diagramm mathematisch prüfen

Eine Statistik zeigt einen Anstieg von 60 auf 72.

Berechne die relative Veränderung.
Bestimme die sichtbaren Balkenhöhen, wenn die Achse bei 55 beginnt.
Begründe, weshalb diese Darstellung täuschen kann.

Hilfe: Vergleiche $72 : 60$ mit $17 : 5$ .

Lösung und Feedback:

$\frac{72 - 60}{60} \cdot 100 % = 20 %$

$60 - 55 = 5$

$72 - 55 = 17$

$\frac{17}{5} = 3,4$

Feedback: Die Werte steigen um 20 %. Durch den Achsenabschnitt erscheint der zweite Balken jedoch 3,4-mal so hoch. Die visuelle Wirkung entspricht nicht dem tatsächlichen Verhältnis der Datenwerte.

Übung 3: Mittelwerte mehrerer Gruppen

Gruppe A hat 10 Werte mit dem Mittelwert 8. Gruppe B hat 30 Werte mit dem Mittelwert 12.

Prüfe die Aussage: „Der gemeinsame Mittelwert ist 10.“

Hilfe: Rekonstruiere zuerst die beiden Gruppensummen.

Lösung und Feedback:

$S_{A} = 10 \cdot 8 = 80$

$S_{B} = 30 \cdot 12 = 360$

$\overline{x} = \frac{80 + 360}{10 + 30} = 11$

Feedback: Die Mittelwerte 8 und 12 dürfen hier nicht einfach gleichgewichtet gemittelt werden. Die Gruppengrößen müssen berücksichtigt werden.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
Mittelwert und Median verwechseln	Beide berechnen und vergleichen
Ausreißer löschen	Ursache prüfen und Entscheidung begründen
Balkenhöhen ungeprüft vergleichen	Achsenstart und Skala kontrollieren
Kleine Stichprobe verallgemeinern	Grundgesamtheit und Auswahl prüfen
Absolute Zahlen gleichsetzen mit Anteilen	Bezugsgröße bestimmen
Prozentpunkte mit Prozent verwechseln	Ausgangswert berücksichtigen
Zusammenhang als Ursache deuten	Alternative Erklärungen prüfen

Zusatzfehler: Ein von einer KI korrekt berechneter Mittelwert beweist nicht, dass eine Stichprobe repräsentativ ist. Prüfe deshalb sowohl die Rechnung als auch ihre Voraussetzungen.

Selbstkontrolle

Prüfe diese vier Aussagen und begründe Deine Entscheidung.

Ein Datensatz mit dem Mittelwert 8 kann den Wert 20 enthalten.
Wenn der Mittelwert steigt, muss auch der Median steigen.
12 von 15 entsprechen 80 %.
Aus einer freiwilligen Umfrage bei zehn Personen folgt automatisch eine zuverlässige Aussage über 1.000 Menschen.

Lösungen:

Richtig. Beispiel: 2; 2; 20 hat den Mittelwert 8.
Falsch. Ein großer Einzelwert kann den Mittelwert erhöhen, ohne den Median zu verändern.
Richtig. $12 : 15 = 0,8$ .
Falsch. Auswahlverfahren und Stichprobenumfang müssen kritisch geprüft werden.

Transfer: Statistik im Alltag

Fall 1 – Onlinebewertungen: Ein Produkt besitzt eine Bewertung von 4,9 Sternen bei 12 Bewertungen. Ein anderes erhält 4,7 Sterne bei 2.000 Bewertungen. Welche Informationen benötigst Du zusätzlich, bevor Du die Qualität vergleichst?

Fall 2 – Schule: Zwei fiktive Klassen melden unterschiedlich viele erfolgreiche Abschlüsse. Entwickle eine faire Vergleichsmethode, die unterschiedliche Klassengrößen berücksichtigt.

Fall 3 – Soziale Medien: Eine Grafik zeigt einen starken Anstieg. Prüfe Achsenanfang, Zeitraum, Datenquelle und fehlende Werte. Formuliere danach eine vorsichtige, mathematisch begründete Aussage.

Fall 4 – Digitale Werkzeuge: Gib einen fiktiven Datensatz in eine Tabellenkalkulation ein. Berechne Mittelwert und Median zusätzlich von Hand. Prüfe bei einer KI-Ausgabe die Formeln, die Zahlen und die Begründung. Nutze keine personenbezogenen Daten.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das arithmetische Mittel der Werte 4, 6 und 8? (6) (!7) (!8) (!9)

Wie groß ist der Median der geordneten Liste 3, 5, 7, 9 und 40? (7) (!9) (!13) (!40)

Wie kann ein einzelner sehr großer Ausreißer den Mittelwert beeinflussen? (Er kann ihn deutlich erhöhen) (!Er verändert ihn niemals) (!Er macht jeden Wert gleich groß) (!Er verkleinert automatisch die Stichprobe)

Was kann eine abgeschnittene senkrechte Achse bei einem Balkendiagramm bewirken? (Unterschiede können größer erscheinen) (!Die Rohdaten werden automatisch falsch) (!Alle Prozentwerte werden gleich) (!Die Anzahl der Beobachtungen steigt)

Welchem Anteil entsprechen 18 von 60 Beobachtungen? (30 Prozent) (!18 Prozent) (!60 Prozent) (!80 Prozent)

Was darfst Du aus einer Befragung von 20 Mitgliedern eines Sportvereins nicht automatisch folgern? (Dass das Ergebnis für alle Jugendlichen gilt) (!Wie viele Mitglieder befragt wurden) (!Wie viele Mitglieder zugestimmt haben) (!Welcher Anteil innerhalb der Befragten zustimmte)

Was ist eine mögliche Ursache für eine verzerrte Stichprobe? (Die Befragten wählen sich selbst aus) (!Alle Befragten werden zufällig ausgewählt) (!Alle Datenwerte werden korrekt addiert) (!Die Anzahl der Antworten wird angegeben)

Ein Anteil steigt von 40 Prozent auf 50 Prozent. Wie groß ist die Differenz in Prozentpunkten? (10 Prozentpunkte) (!25 Prozentpunkte) (!40 Prozentpunkte) (!50 Prozentpunkte)

Welche Information ist bei einer Aussage wie 80 Prozent stimmen zu besonders wichtig? (Die Zahl und Auswahl der Befragten) (!Die Lieblingsfarbe der Forschenden) (!Die Schriftgröße der Überschrift) (!Die Reihenfolge der Antwortmöglichkeiten im Bericht)

Was folgt sicher aus einem arithmetischen Mittel von 40? (Die Summe der Werte beträgt das Vierzigfache ihrer Anzahl) (!Alle Einzelwerte betragen genau 40) (!Kein Wert ist größer als 40) (!Der Median beträgt immer 40)

Memory

Ordne die Fachbegriffe den passenden Erklärungen zu.

Grundgesamtheit	Vollständige Gruppe der Untersuchung
Stichprobe	Tatsächlich ausgewählte Beobachtungen
Median	Mittlerer Wert der geordneten Liste
Arithmetisches Mittel	Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl
Ausreißer	Stark abweichender Datenwert
Achsenabschnitt	Ausgelassener Bereich einer Skala
Relative Häufigkeit	Anteil bezogen auf eine Gesamtzahl

Drag and Drop

Ordne jeder kritischen Frage den passenden statistischen Begriff zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Fragestellung
Ausreißer	Ein Wert liegt ungewöhnlich weit von den übrigen entfernt
Stichprobenauswahl	Die Befragten wurden nur aus einer besonderen Gruppe gewählt
Achsenskalierung	Kleine Unterschiede erscheinen grafisch übertrieben
Bezugsgröße	Der Nenner einer Prozentangabe fehlt
Median	Gesucht ist die Mitte einer sortierten Datenliste
Mittelwert	Die Summe aller Werte wird durch ihre Anzahl geteilt

Kreuzworträtsel

Median	Wie heißt der zentrale Kennwert einer geordneten Datenliste?
Stichprobe	Wie heißt die ausgewählte Teilmenge einer Grundgesamtheit?
Ausreisser	Wie heißt ein ungewöhnlich weit abweichender Datenwert?
Skala	Wie heißt die Einteilung einer Diagrammachse?
Nenner	Welcher Teil eines Bruchs beschreibt die Bezugsgröße?
Spannweite	Wie heißt die Differenz zwischen größtem und kleinstem Datenwert?

LearningApps

Suche weitere interaktive Übungen zu statistischen Aussagen.

Lückentext

Eine ausgewählte Teilmenge einer Grundgesamtheit heißt

.

Eine Datenauswahl, die bestimmte Gruppen systematisch bevorzugt, kann

sein.

Der mittlere Wert einer geordneten Datenliste heißt

.

Die Summe aller Beobachtungswerte wird für das arithmetische Mittel durch ihre

geteilt.

Ein ungewöhnlich großer oder kleiner Beobachtungswert wird als

bezeichnet.

Der Unterschied zwischen dem größten und dem kleinsten Wert heißt

.

Eine abgeschnittene senkrechte Achse kann die Unterschiede zwischen Balken optisch

.

Bei einer Prozentrechnung muss die

bekannt sein.

Der Unterschied zwischen zwei Prozentangaben wird häufig in

ausgedrückt.

Eine statistische Aussage benötigt eine nachvollziehbare

.

Ein Rechenergebnis alleine ersetzt keine mathematische

.

Offene Aufgaben

Verwende nur fiktive, frei zugängliche oder vollständig anonymisierte und bereits zusammengefasste Daten. Veröffentliche keine Informationen über einzelne Personen.

Leicht

Mittelwert: Erfinde fünf Zahlen, berechne ihren Mittelwert und prüfe, ob er einen typischen Wert beschreibt.
Median: Erfinde eine Datenliste mit einem großen Ausreißer. Vergleiche Mittelwert und Median.
Diagramm: Suche eine öffentlich zugängliche Statistik und untersuche ihre Achsenbeschriftungen und Maßeinheiten.
Prozentrechnung: Erstelle zwei fiktive Gruppen unterschiedlicher Größe und berechne ihre Erfolgsanteile.

Standard

Stichprobe: Entwirf zwei unterschiedliche Auswahlverfahren für eine anonyme Untersuchung. Erkläre mögliche Verzerrungen, ohne personenbezogene Daten zu erheben.
Datenvisualisierung: Zeichne dieselben fiktiven Daten einmal mit einer Nullachse und einmal mit einem deutlich gekennzeichneten Achsenausschnitt.
Statistische Kennzahl: Entwickle zwei Datensätze mit demselben Mittelwert, aber unterschiedlicher Spannweite. Begründe die Unterschiede.
Medienkompetenz: Analysiere eine veröffentlichte statistische Behauptung und erstelle einen Faktencheck mit Quelle, Rechnung und begründetem Urteil.

Schwer

Gegenbeispiel: Konstruiere zwei Datensätze mit demselben Median und unterschiedlichen Mittelwerten. Erkläre Dein Verfahren allgemein.
Modellierung: Entwickle ein fiktives Szenario, in dem absolute Zahlen und relative Anteile zu scheinbar gegensätzlichen Aussagen führen. Begründe beide Deutungen.
Statistik: Vergleiche zwei unterschiedlich große Teilgruppen. Berechne ihren gemeinsamen Mittelwert korrekt und widerlege die ungewichtete Mittelung.
Argumentation: Formuliere drei statistische Behauptungen zu selbst erfundenen Daten. Beweise eine, widerlege eine durch ein Gegenbeispiel und zeige bei einer, welche Informationen für eine Entscheidung fehlen.

Lernkontrolle

Bearbeite die folgenden Aufgaben schriftlich. Dokumentiere jeweils Rechenweg, Darstellung und Begründung.

Ausreißer: Untersuche die Werte 5; 6; 7; 8; 44. Berechne Mittelwert und Median. Vergleiche mit einer Liste, in der 44 durch 9 ersetzt wird. Begründe, welcher Kennwert in welcher Situation aussagekräftiger ist.
Diagrammanalyse: Die Werte 100 und 110 werden in einem Balkendiagramm mit dem Achsenstart 95 gezeigt. Berechne das tatsächliche und das sichtbare Balkenhöhenverhältnis. Formuliere eine sachlich richtige Bildunterschrift.
Stichprobenverzerrung: Von 50 freiwillig teilnehmenden Mitgliedern einer Musikgruppe bevorzugen 40 längere Musikstunden. Entwirf ein Untersuchungsverfahren, mit dem eine Aussage über die gesamte Schule besser geprüft werden könnte.
Gewichteter Mittelwert: Eine Gruppe mit 8 Beobachtungen hat den Mittelwert 6, eine zweite Gruppe mit 12 Beobachtungen den Mittelwert 11. Ermittle den gemeinsamen Mittelwert. Widerlege die Behauptung, dieser betrage 8,5.
Prozentpunkte: Ein Anteil steigt von 25 % auf 35 %. Berechne die Veränderung in Prozentpunkten und relativ zum Ausgangswert. Formuliere zwei eindeutig richtige Aussagen.
Kritisches Denken: Zwei fiktive Datensätze besitzen denselben Mittelwert. Zeige mit einem selbst konstruierten Gegenbeispiel, dass sie dennoch unterschiedliche Mediane und Spannweiten haben können.

Bewertung: Entscheidend sind korrekte Berechnungen, verständliche Darstellungen, geeignete Gegenbeispiele und eine logisch nachvollziehbare Begründung.

Kompetenzcheck

Prüfe am Ende des Kurses Deine Kompetenzen.

Ich kann ...	Erfüllt?
Ausreißer erkennen und ihre Wirkung rechnerisch erklären	□
Mittelwert und Median sinnvoll vergleichen	□
Irreführende Diagrammskalen begründet erkennen	□
Die Eignung einer Stichprobe beurteilen	□
Prozentpunkte und relative Änderungen unterscheiden	□
Eine statistische Behauptung durch ein Gegenbeispiel widerlegen	□
Fehlende Informationen und unbelegte Verallgemeinerungen benennen	□

Selbsteinschätzung: Wenn Du eine Kompetenz noch nicht sicher beherrschst, bearbeite die passende Übung erneut. Versuche anschließend, eine eigene mathematische Erklärung zu formulieren.

Reflexion

Welche statistische Darstellung hat Dich in diesem Kurs zunächst am stärksten getäuscht?
Wann ist der Median sinnvoller als das arithmetische Mittel?
Weshalb genügt es nicht, eine Prozentrechnung korrekt durchzuführen?
Wie kannst Du erkennen, ob ein Diagramm wichtige Informationen auslässt?
Warum sind von einer KI erzeugte Berechnungen, Diagramme und Erklärungen kritisch zu kontrollieren?

Abschlussgedanke: Eine überzeugende statistische Aussage benötigt mehr als Zahlen: Sie muss zur Datenbasis passen, mathematisch stimmen und die Grenzen ihrer Aussagekraft offenlegen.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis erstellst Du einen Statistik-Faktencheck auf Grundlage eines öffentlichen Diagramms oder eines selbst entwickelten fiktiven Datensatzes.

Dein Lernnachweis enthält:

Die untersuchte statistische Behauptung.
Eine vollständige Datentabelle oder nachvollziehbare Angabe der verwendeten Daten.
Die Herkunft der Daten beziehungsweise den Hinweis auf fiktive Daten.
Mindestens zwei korrekt berechnete statistische Kennzahlen oder Anteile.
Eine eigene, verständliche grafische Darstellung der relevanten Daten.
Eine Prüfung auf Ausreißer, irreführende Skalierung und fehlende Informationen.
Eine Untersuchung der Stichprobenauswahl, soweit die Daten dies erlauben.
Eine begründete Bewertung der ursprünglichen Aussage.
Ein Gegenbeispiel oder eine veränderte Modellannahme, sofern sinnvoll.
Eine kurze Prüfung digitaler Berechnungen und verwendeter KI-Ausgaben.

Qualitätskriterien: Vollständigkeit, mathematische Richtigkeit, nachvollziehbarer Rechenweg, sachliche Darstellung, überzeugende Argumentation und Datenschutz.

OERs zum Thema

Wikipedia: Statistik

Weitere freie Lern- und Informationsangebote:

Statistik – Grundlagen zur Auswertung und Interpretation von Daten.
Median – Eine wichtige statistische Kennzahl.
Arithmetisches Mittel – Berechnung und Eigenschaften des Mittelwerts.
Stichprobe – Daten auswählen und ihre Aussagekraft prüfen.
Irreführendes Diagramm – Darstellungen kritisch hinterfragen.
Bundeszentrale für politische Bildung: Wie liest man eine Statistik?
Bildungsplan Baden-Württemberg: Leitidee Daten und Zufall, E-Niveau
Universität Wien: Manipulation von statistischen Darstellungen

Video: Median und arithmetisches Mittel vergleichen – Mathe xy

Videoauftrag: Erkläre nach dem Anschauen, wie ein Ausreißer auf beide Kennzahlen wirkt. Überprüfe die Erklärung an einem eigenen Beispiel.

Mediennachweise und Lizenzen

Die eingebundenen Abbildungen sind vorhandene Dateien von Wikimedia Commons. Die Dateiseiten, Urheberangaben und Lizenzen wurden für diesen Kurs geprüft. Die Grafiken werden ohne eigene Bildbearbeitung eingebunden.

Outlier statistics.svg – Urheber: Indoor-Fanatiker. Lizenz: CC0 1.0. Commons-Dateiseite
Histogram example.svg – Urheber: Jkv. Lizenz: gemeinfrei, vom Urheber freigegeben. Commons-Dateiseite
AnscombeQuartet.svg – Urheber: Gabry. Lizenz: CC BY-SA 3.0. Commons-Dateiseite
Truncated y-axis example.png – Urheber: Amrutha.alur. Lizenz: CC BY-SA 4.0. Commons-Dateiseite
Piechart.svg – Urheber: Schutz; zugrunde liegende Daten und Bildidee: Chrispounds. Lizenz: gemeinfrei, vom Urheber freigegeben. Commons-Dateiseite
Random sampling.png – Urheber: Haoyang1. Lizenz: CC BY-SA 4.0. Commons-Dateiseite
Survivorship-bias.svg – Urheber: Martin Grandjean und McGeddon; Konzept nach US-Air-Force-Treffermustern. Lizenz: CC BY-SA 4.0. Commons-Dateiseite

Lizenzbedingungen:

Bei Weiterverwendung und Bearbeitung von CC-BY-SA-Materialien sind insbesondere Namensnennung, Lizenzverlinkung, Änderungshinweise und gegebenenfalls die Weitergabe unter gleicher Lizenz zu beachten.

Die eingebetteten YouTube-Videos stammen von WirtschaftsWoche und Mathe xy. Sie werden über die jeweiligen YouTube-Links eingebunden; die Einbettung ist keine Freigabe der Videoinhalte unter einer offenen Lizenz.