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M8 E - Komplexere Sachprobleme mit Prozenten modellieren

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M8 E - Komplexere Sachprobleme mit Prozenten modellieren

Mathematik Klasse 8 · Baden-Württemberg · E-Niveau

Einleitung

Ein Preis steigt um 20 % und sinkt danach um 20 %. Ist er wieder gleich hoch? Nein: $100 \cdot 1,20 \cdot 0,80 = 96$ Leitfrage: Welcher Grundwert gilt bei jedem Rechenschritt? Lerne, mehrschrittige Prozentprobleme mit Tabellen, Faktoren, Gegenbeispielen und Begründungen zu lösen.

Lernziele

Prozentfaktoren bilden und verknüpfen.
Grundwerte bei jeder Änderung bestimmen.
Additive und multiplikative Modelle vergleichen.
Ausgangswerte rückwärts berechnen.
Allgemeine Regeln begründen und mit Gegenbeispielen falsche Behauptungen widerlegen.
Digitale Rechenwege kritisch überprüfen.

Vorwissen-Check

Wie viel Prozent sind 25 von 100 Feldern?
Wie viel sind 25 % von 240 €?
Welcher Faktor beschreibt eine Erhöhung um 15 %?

Lösungen

25 %; 60 €; Faktor 1,15. Falls etwas unklar ist, wiederhole Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz.

Prozentfaktoren

$E = A \cdot q$ Bei einer Erhöhung um $p %$ gilt $q = 1 + \frac{p}{100}$ , bei einer Senkung $q = 1 - \frac{p}{100}$ .

Änderung	Faktor
+5 %	$1,05$
+20 %	$1,20$
−15 %	$0,85$
−40 %	$0,60$

Videoauftrag: Erkläre, weshalb beim Faktor die ursprünglichen 100 % mitgerechnet werden.

Schritt-für-Schritt-Beispiele

Beispiel 1: Zwei Änderungen

Ein Fahrradhelm kostet 80 €. Sein Preis steigt um 20 % und sinkt danach um 20 %.

Schritt	Rechnung	Preis
Start	–	80 €
Steigerung	$80 \cdot 1,20$	96 €
Senkung	$96 \cdot 0,80$	76,80 €

Gesamtfaktor: $1,20 \cdot 0,80 = 0,96$ . Gesamtänderung: −4 %. Die Prozentsätze heben sich nicht auf, weil sich der Grundwert ändert.

Beispiel 2: Addieren oder multiplizieren?

Ein Artikel kostet 200 €. Ein Aufschlag von 12 % und ein Nachlass von 5 % werden berücksichtigt.

Bezug	Modell	Endwert
Beides vom Startpreis	$200 \cdot (1 + 0,12 - 0,05)$	214 €
Nachlass vom erhöhten Preis	$200 \cdot 1,12 \cdot 0,95$	212,80 €

Merke: Bei gemeinsamem Grundwert lassen sich die Änderungsraten zusammenfassen. Bei aufeinanderfolgenden Änderungen mit neuem Grundwert werden Faktoren multipliziert.

Beispiel 3: Prozentänderungen und Festbetrag

Ein Tablet kostet 250 €. Zunächst steigt der Preis um 8 %, anschließend gibt es 15 % Rabatt. Hinzu kommen 12 € Versand.

Schritt	Preis
Start	250 €
$\cdot 1,08$	270 €
$\cdot 0,85$	229,50 €
+12 €	241,50 €

$E = 250 \cdot 1,08 \cdot 0,85 + 12 = 241,50$ Relative Änderung gegenüber dem ursprünglichen Preis: $\frac{241,50 - 250}{250} \cdot 100 % = - 3,4 %$ Wichtig: Versandkosten sind ein fester Zuschlag und kein weiterer Prozentfaktor.

Beispiel 4: Rückwärtsrechnung

Nach einer Erhöhung um 20 % und Senkung um 10 % kostet ein Artikel 216 €. $216 = A \cdot 1,20 \cdot 0,90$ $A = \frac{216}{1,20 \cdot 0,90} = 200$ Probe: $200 \cdot 1,20 \cdot 0,90 = 216$ .

Untersuchen, begründen und widerlegen

Gleiche Zu- und Abnahmeraten

Für die Rate $x$ in Dezimalschreibweise gilt: $(1 + x) (1 - x) = 1 - x^{2}$ Bei einer Rate zwischen 0 % und 100 % ist $0 < x < 1$ , also $x^{2} > 0$ und $1 - x^{2} < 1$ . Folgerung: Bei positivem Ausgangswert heben sich gleich hohe positive Zu- und Abnahmeraten nicht auf. Die Kombination führt zu einem kleineren Endwert. Gegenbeispiel zur Behauptung, nur gleiche Raten könnten sich ausgleichen: $1,25 \cdot 0,80 = 1$ . Eine Erhöhung um 25 % und eine anschließende Senkung um 20 % ergeben den Startwert.

Allgemeiner Gesamtfaktor

$(1 + a) (1 + b) = 1 + a + b + a b$ Beim bloßen Addieren fehlt $a b$ . Für von null verschiedene Änderungsraten entsteht daher ein anderes Ergebnis. Reine Prozentfaktoren dürfen in ihrer Reihenfolge vertauscht werden, Festbeträge nicht unbedingt: $(100 + 10) \cdot 1,20 = 132$ $100 \cdot 1,20 + 10 = 130$ Forschungsfrage: Begründe diesen Unterschied mit dem Distributivgesetz.

Wiederholte Änderungen und Zinseszins

Bei $n$ gleichen prozentualen Änderungen: $E = A \cdot q^{n}$

Zeitpunkt	Faktor	Wert
Beginn	–	100 €
Schritt 1	1,05	105 €
Schritt 2	1,05	110,25 €
Schritt 3	1,05	115,7625 €

$100 \cdot 1,0 5^{3} = 115,7625$ . Die Gesamtsteigerung beträgt 15,7625 % und nicht 15 %.

Bildauftrag: Warum wachsen die absoluten Zuwächse, obwohl der Prozentsatz gleich bleibt?

Videoauftrag: Halte das Beispiel nach jedem Jahr an und kontrolliere den nächsten Wert selbst.

Prozentpunkte und relative Änderungen

Ein Anteil steigt von 25 % auf 50 %. Das sind 25 Prozentpunkte, aber eine relative Erhöhung um 100 %: $\frac{50 - 25}{25} \cdot 100 % = 100 %$ Merke: Prozentpunkte sind die Differenz zweier Prozentangaben; relative Änderungen benötigen einen Ausgangswert.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Preisentwicklung

120 € steigen um 15 % und sinken anschließend um 10 %. Berechne Endbetrag und Gesamtänderung.

Hilfestufe 1

Bestimme zuerst beide Faktoren.

Hilfestufe 2

Verwende

1,15

und

0,90

.

Lösung und Feedback

120 \cdot 1,15 \cdot 0,90 = 124,20

; Gesamtzunahme 3,5 %. Ein einfaches Addieren zu 5 % wäre falsch.

Übung B: Zwei Modelle

Ein Ausgangspreis von 200 € wird um 12 % erhöht und mit einem Nachlass von 5 % kombiniert. Vergleiche denselben Ausgangsgrundwert mit dem Nachlass auf den erhöhten Preis.

Hilfestufe 1

Prüfe, auf welchen Wert sich der Nachlass bezieht.

Hilfestufe 2

Vergleiche

200 \cdot 1,07

und

200 \cdot 1,12 \cdot 0,95

.

Feedback

Die beiden Ergebnisse lauten 214 € und 212,80 €. Beide Modelle sind bei passender Bezugsgröße richtig.

Übung C: Versteckter Ausgleich

150 € sinken um 20 %, steigen um 20 % und werden mit 6 € Festgebühr ergänzt. Ist der Endwert gleich dem Startwert?

Hilfestufe

Berechne erst beide Prozentänderungen und addiere dann die Gebühr.

Lösung und Feedback

150 \cdot 0,80 \cdot 1,20 + 6 = 150

. Die Prozentänderungen gleichen sich nicht aus; nur die zusätzliche Gebühr stellt zufällig den Ausgangsbetrag her.

Übung D: Ausgleichsrabatt

Welcher Rabatt macht eine vorherige Erhöhung um 25 % rückgängig?

Hilfestufe

Der gesuchte Gesamtfaktor ist 1.

Lösung und Feedback

1,25 \cdot q = 1

;

q = 0,80

. Nötig sind 20 % Rabatt, nicht 25 %.

Typische Fehler

Fehler	Bessere Strategie
Prozentsätze einfach addieren	Grundwert prüfen
Rabattfaktor über 1	Faktor unter 1 verwenden
Zwischenwert ignorieren	Tabelle führen
Festbetrag als Rate behandeln	Addition getrennt modellieren
Zu früh runden	Erst am Schluss runden
Prozentpunkte mit Prozent verwechseln	Bezugsgröße angeben

Gegenbeispiel: Zwei Rabatte von 20 % und 10 % ergeben nicht 30 %, sondern 28 %: $100 \cdot 0,80 \cdot 0,90 = 72$ .

Selbstkontrolle

Ein Preis von 400 € sinkt um 15 % und steigt um 10 %. Berechne Endwert und Gesamtänderung.
1.000 € steigen um 8 %. Danach erfolgt eine Senkung auf 1.026 €. Bestimme die Senkung.
Formuliere eine allgemeine Behauptung und untersuche sie mit verschiedenen Startwerten.

Kontrollergebnisse

Aufgabe 1:

400 \cdot 0,85 \cdot 1,10 = 374

, also −6,5 %. Aufgabe 2:

1026 / (1000 \cdot 1,08) = 0,95

, also −5 %. Aufgabe 3: Beispiele können eine universelle Behauptung prüfen, beweisen sie aber nicht allgemein.

Medien kritisch verwenden

Beschreibe Achsen, Größen und Einheiten.
Erkläre die gekrümmte Wachstumskurve.
Prüfe, welche exakten Aussagen sich aus der Grafik rechtfertigen lassen.
Unterscheide Beobachtung, Modell und mathematischen Beweis.

Digitale Verantwortung: Verwende nur erfundene oder öffentlich freigegebene Daten. Keine personenbezogenen Finanzdaten eingeben. Kontrolliere Taschenrechner- und KI-Ergebnisse unabhängig; KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welcher Faktor gehört zu plus 12 Prozent? (1,12) (!0,12) (!0,88) (!12)

Welcher Faktor gehört zu minus 25 Prozent? (0,75) (!1,25) (!0,25) (!25)

100 Euro steigen um 10 Prozent und fallen dann um 10 Prozent. Welcher Endwert entsteht? (99 Euro) (!100 Euro) (!101 Euro) (!90 Euro)

200 Euro steigen um 12 Prozent und fallen anschließend um 5 Prozent. Wie hoch ist der neue Betrag? (212,80 Euro) (!214 Euro) (!200 Euro) (!224 Euro)

Wann dürfen Änderungsraten unmittelbar addiert werden? (Wenn sie denselben Grundwert haben) (!Immer bei aufeinanderfolgenden Schritten) (!Wenn sie gleich groß sind) (!Wenn ein Rechner benutzt wird)

Wie groß ist die Gesamtsteigerung bei plus 20 Prozent und anschließend plus 10 Prozent? (32 Prozent) (!30 Prozent) (!31 Prozent) (!33 Prozent)

Warum gleichen sich plus 20 und minus 20 Prozent nacheinander nicht aus? (Weil der Grundwert wechselt) (!Weil Prozentfaktoren addiert werden) (!Weil der Startwert null ist) (!Weil jede Senkung größer ist)

Wie wird eine feste Versandgebühr modelliert? (Durch Addition an der passenden Stelle) (!Immer als Faktor 1,08) (!Immer als Faktor 0,08) (!Durch Division durch 100)

Welcher Rabatt gleicht eine Steigerung um 25 Prozent wieder aus? (20 Prozent) (!25 Prozent) (!15 Prozent) (!30 Prozent)

Ein Anteil steigt von 25 auf 50 Prozent. Um wie viele Prozentpunkte steigt er? (25 Prozentpunkte) (!50 Prozentpunkte) (!100 Prozentpunkte) (!75 Prozentpunkte)

Memory

Änderungsfaktor	Multiplikator bei prozentualer Änderung
Zwischenwert	Neuer Grundwert für den nächsten Schritt
Prozentpunkte	Differenz zwischen Prozentangaben
Rückwärtsrechnung	Division durch bekannte Faktoren
Festbetrag	Absoluter Zuschlag
Gegenbeispiel	Widerlegung einer allgemeinen Behauptung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zunahme	Steigerungsfaktor
Abnahme	Verminderungsfaktor
Wechselnder Grundwert	Verkettung
Fester Zuschlag	Addition
Rückweg zum Startwert	Division

Kreuzworträtsel

Grundwert	Wie heißt die Bezugsgröße einer Prozentrechnung?
Endwert	Wie heißt der Wert nach einer Änderung?
Rabatt	Wie nennt man einen Preisnachlass?
Prozentfaktor	Wie heißt der Multiplikator einer prozentualen Änderung?
Multiplikation	Welche Rechenart verknüpft Prozentfaktoren?
Gegenbeispiel	Wie widerlegt man eine allgemeine Behauptung durch einen konkreten Fall?

LearningApps

Lückentext

Eine Prozentangabe bezieht sich auf einen

.

Bei einer Erhöhung um 15 Prozent lautet der Faktor

.

Bei einer Senkung um 15 Prozent lautet der Faktor

.

Aufeinanderfolgende Änderungen werden durch Multiplikation ihrer

verknüpft.

Der Zwischenwert wird zum neuen

.

Eine Zunahme und anschließende Abnahme um jeweils 10 Prozent führt von 100 Euro zu

Euro.

Rückwärtsrechnungen verwenden die

.

Die Differenz zweier Prozentangaben wird in

angegeben.

Ein Festbetrag ist kein allgemeiner

.

Eine falsche allgemeine Behauptung lässt sich durch ein

widerlegen.

Offene Aufgaben

Leicht

Faktorentabelle: Erstelle eine Tabelle für Zu- und Abnahmen um 5 %, 12 %, 20 % und 35 %.
Grundwertvergleich: Berechne eine Erhöhung und Senkung um jeweils 15 % von 100 €.
Zwei Modelle: Entwirf Aufgaben mit identischen Prozentzahlen, aber unterschiedlichen Bezugsgrößen.
Fehlerkorrektur: Erkläre, warum plus 10 % und minus 10 % einander nicht aufheben.

Standard

Angebote: Vergleiche zwei erfundene Rabattfolgen anhand einer Tabelle.
Digitales Modell: Programmiere drei Veränderungsschritte in einer Tabellenkalkulation und kontrolliere von Hand.
Wachstum: Untersuche vier Erhöhungen um je 5 % und vergleiche mit einmalig 20 %.
Diagrammanalyse: Untersuche eine öffentliche Statistik und unterscheide Prozentpunkte und relative Änderungen.

Schwer

Mehrschrittmodell: Entwirf ein Problem mit zwei Prozentänderungen und einem festen Zuschlag.
Verallgemeinerung: Beweise den Zusammenhang $(1 + x) (1 - x) = 1 - x^{2}$ und erkläre seine Bedeutung.
Widerlegen: Finde zwei Gegenbeispiele zur Behauptung, alle nacheinander ausgeführten Prozentänderungen dürften addiert werden.
Ausgleichsrabatt: Leite eine allgemeine Formel für den Rabatt nach einer Erhöhung um einen beliebigen Prozentsatz her.

Lernkontrolle

Vergleiche für 320 € eine Erhöhung um 15 % mit anschließendem Rabatt von 10 % und eine einmalige Erhöhung um 5 %.
Begründe allgemein, warum die bloße Summe zweier von null verschiedener Änderungsraten nicht deren nacheinander ausgeführte Gesamtänderung ergibt.
Berechne den Startwert bei 540 € Endwert nach plus 20 % und minus 10 %. Führe eine Probe durch.
Entwickle ein allgemeines Modell mit zwei Rabatten und einer festen Versandgebühr.
Widerlege die Behauptung, zwei Rabatte von jeweils 20 % ergäben 40 % Gesamtrabatt.
Prüfe die Auswirkungen einer geänderten Reihenfolge von reinen Faktoren gegenüber einer geänderten Reihenfolge von Prozentfaktor und Festbetrag.
Analysiere und korrigiere eine KI-Aussage, nach der zwei Erhöhungen um 10 % insgesamt nur 20 % ergeben.

Lernnachweis

Eigene Sachaufgabe mit mindestens drei Schritten.
Tabelle mit Grundwerten, Zwischenwerten und Faktoren.
Passende Gleichung, Rechnungen und Einheiten.
Begründung des Modells und der Bezugsgrößen.
Ein eigenes Gegenbeispiel und eine unabhängige Probe.
Reflexion über Plausibilität und Übertragbarkeit.

Bewertet werden mathematische Korrektheit, nachvollziehbare Darstellung, Argumentation, Modellwahl und Transfer.

Kompetenzcheck

Ich kann …	Check
Faktoren korrekt bilden	□
Grundwerte unterscheiden	□
Mehrschrittmodelle erklären	□
Rückwärts rechnen	□
Gegenbeispiele entwickeln	□
KI-Rechnungen kontrollieren	□

Reflexion

Wann war eine Tabelle nützlicher als eine Formel?
Wie erkennst Du den gültigen Grundwert?
Warum beweisen zwei Beispiele keine allgemeine Behauptung?
Welche Probe hilft gegen digitale Rechenfehler?

Folgekurs

Exponentielles Wachstum und Zinseszins: Für wiederholte gleiche Faktoren gilt $E = A \cdot q^{n}$ . Untersuche, warum feste Zuschläge nicht ohne Weiteres demselben Modell folgen.

Medien- und Lizenznachweise

Die eingebundenen Grafiken stammen aus Wikimedia Commons. Prüfe vor einer Weiterverwendung die jeweiligen Original-Dateiseiten und deren Bedingungen.

Commons-Dateiseite	Urheber / Lizenz laut Dateiangaben
Hundertfeld	Infinitehoax; CC0 1.0
Kreisdiagramm 20 %	Blackcoffee Wik; gemeinfrei / einfache Geometrie
Kreisdiagramm 25 %	Blackcoffee Wik; CC BY-SA 4.0
Kreisdiagramm 50 %	Blackcoffee Wik; gemeinfrei / einfache Geometrie
Zinseszinsdiagramm	Pbergerd; CC BY-SA 4.0
Zinseszinsanimation	Kazov; CC BY-SA 4.0

CC0 1.0 · CC BY-SA 4.0 YouTube: Prozentfaktor, Zinseszins über mehrere Jahre, Zinseszinsformel (Lehrerschmidt). Videos werden als externe Inhalte eingebettet oder verlinkt, nicht als frei lizenzierte Dateien kopiert. Beim Laden können Daten an YouTube übertragen werden.