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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

M6 G - Eine Datenerhebung durchführen

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du eine kleine Datenerhebung planst, Daten sicher und übersichtlich erfasst und die Ergebnisse Schritt für Schritt in eine Urliste, eine Strichliste und eine Häufigkeitstabelle überführst. Der Kurs richtet sich an Klasse 6 auf G-Niveau. Du arbeitest mit einfachen, klaren Merkmalen und erhebst keine sensiblen personenbezogenen Daten.

Einleitung

Daten begegnen Dir jeden Tag: beim Zählen, Vergleichen, Beobachten oder in Umfragen. Damit aus einzelnen Beobachtungen verständliche Informationen werden, braucht es eine feste Reihenfolge:

Frage festlegen → Daten erheben → Urliste → Strichliste → Häufigkeitstabelle

Du lernst dabei nicht nur Begriffe. Du führst selbst eine kleine, angeleitete Datenerhebung durch und kontrollierst, ob Deine Tabelle zu den erhobenen Daten passt.

Lernziele

Merkmal: Du kannst sagen, welches Merkmal untersucht wird und welche Ausprägungen möglich sind.
Datenerhebung: Du kannst eine einfache Erhebung mit vorgegebenen Antwort- oder Beobachtungsmöglichkeiten durchführen.
Urliste: Du kannst die Beobachtungen in der Reihenfolge ihres Auftretens notieren.
Strichliste: Du kannst gleiche Ausprägungen in übersichtlichen Fünfergruppen zählen.
Häufigkeitstabelle: Du kannst die absoluten Häufigkeiten eintragen und mit der Gesamtzahl $n$ kontrollieren.

Sicher und fair Daten sammeln

Bei einer Übung in der Klasse gilt: Sammle nur Daten, die für die mathematische Aufgabe wirklich nötig sind. Für diesen aiMOOC werden deshalb keine Namen, Adressen, Geburtstage, Fotos, Gesundheitsangaben, Religionszugehörigkeiten, Herkunftsangaben, politischen Ansichten, Zugangsdaten oder genauen Aufenthaltsorte erhoben.

Geeignet für unsere Übung	Nicht erheben
gezogene Formkarte	Name oder Adresse
gewählte neutrale Antwort aus vier Möglichkeiten	Gesundheitsdaten
gezählte Gegenstände im Klassenraum	Religion oder politische Meinung
Ergebnis eines Würfel- oder Kartenexperiments	Passwörter oder Zugangsdaten

Merksatz: Eine mathematische Datenerhebung soll so wenig personenbezogene Informationen wie möglich benötigen.

Grundbegriffe

Merkmal und Merkmalsausprägung

Ein Merkmal ist das, was untersucht wird. Eine Merkmalsausprägung ist ein möglicher Wert oder eine mögliche Kategorie dieses Merkmals.

Beispiel für unsere angeleitete Erhebung:

Begriff	In unserer Erhebung
Merkmal	gezogene Formkarte
mögliche Ausprägung	Kreis
mögliche Ausprägung	Dreieck
mögliche Ausprägung	Quadrat
mögliche Ausprägung	Stern

Mathematisch können wir die möglichen Ausprägungen als Menge notieren:

$A = {Kreis, Dreieck, Quadrat, Stern}$

Beobachtung, Urliste und Häufigkeit

Eine einzelne Ziehung liefert einen Beobachtungswert. Alle Beobachtungswerte zusammen bilden zunächst die Rohdaten. Werden sie in der Reihenfolge notiert, in der sie entstanden sind, erhältst Du eine Urliste.

Die absolute Häufigkeit $h (a)$ sagt, wie oft eine Ausprägung $a$ vorkommt:

h(a)=Anzahl der Beobachtungen mit der Ausprägung a

Für insgesamt $n$ Beobachtungen muss am Ende gelten:

$h (a_{1}) + h (a_{2}) + \dots + h (a_{k}) = n$

Angeleitete Datenerhebung: Formkarten ziehen

Du führst jetzt eine Datenerhebung ohne personenbezogene Daten durch. Benötigt werden vier deutlich unterscheidbare Formkarten: Kreis, Dreieck, Quadrat und Stern. Lege die Karten in einen blickdichten Behälter. Nach jeder Ziehung wird die Form notiert, die Karte zurückgelegt und neu gemischt. So kann jede Ziehung unabhängig dokumentiert werden.

Erfassungsbogen

Trage bei jeder Ziehung nur die Form ein. Es werden keine Namen eingetragen.

Ziehung	Beobachtete Form	Ziehung	Beobachtete Form
1	________	11	________
2	________	12	________
3	________	13	________
4	________	14	________
5	________	15	________
6	________	16	________
7	________	17	________
8	________	18	________
9	________	19	________
10	________	20	________

Für die folgende Musterlösung verwenden wir eine fiktive Erhebung mit $n = 20$ Ziehungen.

Schritt 1: Urliste erstellen

Die fiktiv erhobenen Werte lauten in ihrer ursprünglichen Reihenfolge:

Kreis	Dreieck	Quadrat	Kreis	Stern
Quadrat	Kreis	Dreieck	Quadrat	Quadrat
Stern	Kreis	Dreieck	Quadrat	Stern
Kreis	Quadrat	Dreieck	Kreis	Quadrat

Als kompakte Urliste:

K, D, Q, K, S, Q, K, D, Q, Q, S, K, D, Q, S, K, Q, D, K, Q

Wichtig: In der Urliste wird noch nicht zusammengezählt. Die Reihenfolge der Beobachtungen bleibt sichtbar.

Schritt 2: Strichliste führen

Eine Strichliste bündelt das Zählen. Fünf Striche werden als gut erkennbare Fünfergruppe dargestellt.

Ausprägung	Strichliste	Kontrollzahl
Kreis	\|\|\|\|/ \|	$6$
Dreieck	\|\|\|\|	$4$
Quadrat	\|\|\|\|/ \|\|	$7$
Stern	\|\|\|	$3$

Das Foto zeigt eine reale Zählsituation mit Strichlisten. Prüfe dabei immer, ob Fünfergruppen korrekt gebildet wurden.

Schritt 3: Häufigkeitstabelle erstellen

Jetzt werden aus den Strichgruppen Zahlen.

Ausprägung $a$	Absolute Häufigkeit $h (a)$
Kreis	$6$
Dreieck	$4$
Quadrat	$7$
Stern	$3$
Summe	$6 + 4 + 7 + 3 = 20$

Die Kontrolle stimmt:

$\sum h (a) = 20 = n$

Damit ist die Häufigkeitstabelle mit der Urliste vereinbar.

Visueller Rechenweg: Daten werden verdichtet

Schritt	Darstellung	Frage
1	K, D, Q, K, S, …	Welche Werte wurden beobachtet?
2	$Kreis \to 6, Dreieck \to 4, Quadrat \to 7, Stern \to 3$	Wie oft kommt jede Ausprägung vor?
3	$6 + 4 + 7 + 3 = 20$	Stimmen die Häufigkeiten mit $n = 20$ überein?

Schritt-für-Schritt-Lösung aufklappen

Zuerst liest Du jeden Wert der Urliste genau einmal. Für jeden Wert setzt Du in der passenden Zeile einen Strich. Nach fünf Beobachtungen derselben Ausprägung bildest Du eine Fünfergruppe. Danach zählst Du die Striche jeder Zeile. Zuletzt addierst Du alle Häufigkeiten. Hier gilt $6 + 4 + 7 + 3 = 20$ , also wurden alle 20 Beobachtungen erfasst.

Interaktive Dateneingabe: Zähle selbst

Diagramm aus der Häufigkeitstabelle lesen

Ein Säulen- oder Balkendiagramm kann dieselben Häufigkeiten sichtbar machen. Die Höhe einer Säule entspricht hier der absoluten Häufigkeit.

Für unsere Formkarten kann man die Häufigkeiten zunächst als einfache Balken darstellen:

Ausprägung	Häufigkeit	visueller Balken
Kreis	$6$	██████
Dreieck	$4$	████
Quadrat	$7$	███████
Stern	$3$	███

längster Balken ⇔ größte absolute Häufigkeit

Mini-Ausblick: relative Häufigkeit

Für diesen aiMOOC ist die absolute Häufigkeit der Schwerpunkt. Als Ausblick kannst Du einen Anteil berechnen:

$f (a) = \frac{h (a)}{n}$

Für Kreis gilt:

$f (Kreis) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3 = 30 %$

Visuell bedeutet das: Von 20 gleich großen Teilen stehen 6 Teile für Kreis.

Kreis-Anteil	Rest
■ ■ ■ ■ ■ ■	□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □

Eine fiktive anonyme Umfrage

Eine Umfrage kann ebenfalls Daten liefern. Damit sie für diese Lernaufgabe datensparsam bleibt, wird nur eine neutrale Lernfrage gestellt und es werden keine Namen erfasst.

Frage: Welche Darstellung möchtest Du für die nächste Übungsaufgabe zuerst sehen?

erlaubte Antwort	Kürzel für die Urliste
Tabelle	T
Bild	B
Rechenweg	R
Beispiel	E

Ein möglicher fiktiver Datensatz mit $n = 16$ lautet:

T, B, T, R, E, T, B, T, E, R, B, T, T, E, B, T

Erfassungsbogen für eine anonyme Klassenumfrage

Antwortmöglichkeit	Strichliste	absolute Häufigkeit
Tabelle
Bild
Rechenweg
Beispiel
Summe		$n =____$

Datenschutzregel: Schreibe nur die gewählte Antwort auf, nicht die Person, die sie abgegeben hat.

Fehler finden und verbessern

Typische Fehler lassen sich mit drei Kontrollen erkennen:

Kontrolle	Prüffrage	mathematischer Test
Vollständigkeit	Wurde jede Beobachtung genau einmal erfasst?	$\sum h (a) = n$
Zuordnung	Wurde jeder Wert in der richtigen Zeile gezählt?	Urliste mit Strichliste vergleichen
Fünfergruppen	Sind Strichgruppen übersichtlich gebündelt?	$5 + 5 + \dots$ statt unübersichtlichem Einzelzählen

Beispiel für einen Fehler: Wenn die Häufigkeitstabelle $6 + 4 + 8 + 3 = 21$ ergibt, die Urliste aber nur $n = 20$ Werte enthält, muss mindestens ein Zähl- oder Übertragungsfehler vorliegen.

Medien zum Weiterlernen

Die folgenden Medien passen direkt zu Urliste, Strichliste und Häufigkeitstabelle. Die Wikimedia-Commons-Dateien in diesem aiMOOC sind gemeinfrei oder unter freien Lizenzen veröffentlicht. Die YouTube-Videos werden über den Original-Player eingebettet.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist bei unserer Formkarten-Erhebung das Merkmal? (gezogene Formkarte) (!Name der ziehenden Person) (!Anzahl der Unterrichtsstunden) (!Geburtsdatum)

Welche Darstellung enthält die Beobachtungen zunächst in ihrer ursprünglichen Reihenfolge? (Urliste) (!Strichliste) (!Häufigkeitstabelle) (!Säulendiagramm)

Wozu dient eine Strichliste? (Häufigkeiten übersichtlich zählen) (!Namen der Befragten speichern) (!Daten verschlüsseln) (!Zahlen runden)

Wie viele Striche werden üblicherweise zu einer gut erkennbaren Gruppe gebündelt? (fünf) (!zwei) (!drei) (!zehn)

Welche absolute Häufigkeit hat Kreis in der Beispielerhebung? (sechs) (!drei) (!vier) (!sieben)

Welche absolute Häufigkeit hat Quadrat in der Beispielerhebung? (sieben) (!sechs) (!vier) (!drei)

Welche Rechnung kontrolliert die Beispiel-Häufigkeitstabelle? (6 plus 4 plus 7 plus 3 ergibt 20) (!6 plus 4 plus 7 plus 3 ergibt 19) (!6 mal 4 mal 7 mal 3 ergibt 20) (!20 minus 7 ergibt 20)

Welche Angabe gehört nicht in unsere anonyme Lernumfrage? (Name) (!Tabelle) (!Bild) (!Rechenweg)

Was bedeutet absolute Häufigkeit? (Anzahl des Auftretens einer Ausprägung) (!Reihenfolge der Beobachtungen) (!Name des Merkmals) (!Farbe einer Tabelle)

Welche Aussage ist ein sinnvoller Kontrollschritt? (Die Summe aller Häufigkeiten muss der Anzahl aller Beobachtungen entsprechen) (!Jede Häufigkeit muss gleich groß sein) (!Die Urliste muss alphabetisch sein) (!Jede Ausprägung muss genau fünfmal vorkommen)

Memory

Merkmal	untersuchte Eigenschaft
Merkmalsausprägung	möglicher Wert
Urliste	ursprüngliche Beobachtungsfolge
Strichliste	Zählhilfe mit Fünfergruppen
absolute Häufigkeit	Anzahl des Auftretens
Erfassungsbogen	vorbereitete Eintragshilfe
Stichprobe	untersuchte Teilmenge
Kontrolle	Summe der Häufigkeiten prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Urliste	Beobachtungen in ursprünglicher Reihenfolge
Strichliste	Häufigkeiten durch Striche zählen
Häufigkeitstabelle	Ausprägungen mit ihren Anzahlen darstellen
Merkmal	untersuchte Eigenschaft
Ausprägung	möglicher Wert eines Merkmals
Datenschutz	nur notwendige und unkritische Daten erheben

Kreuzworträtsel

Urliste	Wie heißt die ursprüngliche Folge der erhobenen Werte?
Merkmal	Wie heißt die untersuchte Eigenschaft?
Ausprägung	Wie heißt ein möglicher Wert eines Merkmals?
Strichliste	Welche Zählhilfe bündelt Häufigkeiten oft in Fünfergruppen?
Häufigkeit	Wie heißt die Anzahl des Auftretens eines Wertes?
Erhebung	Wie heißt das geplante Sammeln von Daten?

LearningApps

Lückentext

Bei einer Datenerhebung untersuchst Du ein bestimmtes

.

Ein möglicher Wert dieses Merkmals heißt

.

Die Beobachtungen werden zuerst in einer

festgehalten.

Zum übersichtlichen Zählen kann eine

verwendet werden.

Dabei werden Striche häufig zu

gebündelt.

Die Anzahl des Auftretens nennt man absolute

.

Aus den gezählten Werten entsteht eine

.

Die Summe aller absoluten Häufigkeiten muss der Anzahl aller

entsprechen.

In unserer Beispielerhebung wurden insgesamt

Formkarten erfasst.

Bei einer anonymen Klassenumfrage werden keine

benötigt.

Offene Aufgaben

Leicht

Merkmal erkennen: Suche im Klassenraum drei mögliche, nicht personenbezogene Merkmale, die man zählen könnte, und notiere jeweils mögliche Ausprägungen.
Erfassungsbogen gestalten: Erstelle auf Papier einen übersichtlichen Erfassungsbogen für 20 Ziehungen mit vier Formkarten.
Urliste schreiben: Ziehe zehnmal eine Formkarte mit Zurücklegen und notiere die Ergebnisse als Urliste.
Strichliste prüfen: Tausche Deine Urliste mit einer Partnerperson und kontrolliert gegenseitig, ob die Strichlisten vollständig sind.

Standard

Häufigkeitstabelle erstellen: Überführe Deine eigene Urliste in eine Häufigkeitstabelle und prüfe $\sum h (a) = n$ .
Anonyme Umfrage planen: Formuliere eine harmlose Klassenfrage mit höchstens vier Antwortmöglichkeiten, bei der keine Namen oder sensiblen Daten nötig sind.
Darstellungen vergleichen: Erkläre an Deinem Datensatz, was man in der Urliste besser erkennt und was in der Häufigkeitstabelle besser sichtbar wird.
Fehlerdetektiv: Erfinde absichtlich eine fehlerhafte Häufigkeitstabelle und schreibe dazu, wie man den Fehler mit einer Summenkontrolle entdeckt.

Schwer

Datenerhebung vergleichen: Führe zwei Serien mit je 20 Formkartenziehungen durch und vergleiche die absoluten Häufigkeiten.
Diagramm gestalten: Zeichne aus Deiner Häufigkeitstabelle ein Säulendiagramm mit beschrifteten Achsen und passenden Skalenschritten.
Datenqualität untersuchen: Beschreibe drei Regeln, durch die eine Datenerhebung zuverlässig und fairer wird.
Mini-Projekt Statistik: Plane mit Deiner Lerngruppe eine vollständige Erhebung von der Frage bis zur Häufigkeitstabelle und dokumentiere jeden Arbeitsschritt mit Foto der Materialien, aber ohne Personen oder personenbezogene Daten.

Lernkontrolle

Transfer Urliste: Du erhältst eine neue Urliste mit vier Symbolen. Entwickle selbst eine Strichliste und eine Häufigkeitstabelle und begründe Deine Kontrolle.
Fehleranalyse: Eine Tabelle enthält insgesamt 24 Häufigkeiten, obwohl die Urliste nur 23 Werte hat. Beschreibe zwei mögliche Ursachen und einen sinnvollen Prüfweg.
Erhebungsplanung: Entwirf eine Datenerhebung zu einem nicht personenbezogenen Merkmal im Schulalltag. Lege Merkmal, mögliche Ausprägungen, Erfassungsweg und Kontrolle fest.
Darstellungswechsel: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, wie dieselben Daten in Urliste, Strichliste, Häufigkeitstabelle und Diagramm erscheinen.
Datenschutz anwenden: Überarbeite eine erfundene Umfrage, die unnötig Namen und Geburtsdaten abfragt, so dass nur für die mathematische Frage notwendige Daten bleiben.
Ergebnis begründen: Zwei Gruppen erhalten bei derselben Formkarten-Erhebung unterschiedliche Häufigkeiten. Erkläre, warum unterschiedliche Ergebnisse trotzdem zu korrekt durchgeführten Datenerhebungen passen können.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du eine einfache Datenerhebung selbstständig strukturieren kannst. Du solltest zeigen können, welches Merkmal untersucht wird, welche Ausprägungen möglich sind, wie Du Beobachtungen ohne unnötige personenbezogene Daten erfasst und wie Du aus denselben Rohdaten nacheinander Urliste, Strichliste und Häufigkeitstabelle erstellst. Außerdem sollst Du mit $\sum h (a) = n$ prüfen können, ob alle Beobachtungen genau einmal gezählt wurden, und Deine Darstellung verständlich erklären.

OERs zum Thema

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