M5 E - Fermi-Aufgaben lösen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

M5 E - Fermi-Aufgaben lösen führt Dich in eine besondere Art des mathematischen Modellierens ein. Bei einer Fermi-Aufgabe fehlen absichtlich einige genaue Angaben. Du sollst deshalb nicht raten, sondern vernünftig schätzen, passende Referenzgrößen nutzen, das Problem in Teilprobleme zerlegen und Deine Annahmen offen nennen. Das Ergebnis ist meist keine exakt richtige Zahl, sondern eine begründete Größenordnung oder eine sinnvolle Spanne.

Der Name erinnert an den Physiker Enrico Fermi. Bekannt wurde er unter anderem dafür, komplizierte quantitative Fragen mit wenigen Informationen durch geschickte Abschätzungen zu bearbeiten. Für Dich ist vor allem die Methode wichtig: Frage verstehen → Annahmen wählen → rechnen → prüfen → verbessern.

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Lernziel: Du kannst am Ende offene Fermi-Fragen auf E-Niveau lösen, indem Du Annahmen begründest, Einheiten sicher verwendest, Überschläge mit $+$, $-$, $\cdot$ und $:$ durchführst, Ergebnisse in Diagrammen darstellst und ihre Plausibilität prüfst.

Was ist eine Fermi-Aufgabe?

Eine Fermi-Aufgabe ist eine quantitative Frage, für die zunächst nicht alle nötigen Daten vorliegen. Ein Beispiel ist:

Offene Frage	Was fehlt?	Was kannst Du tun?
Wie viele Blatt Papier verbraucht eine Schule in einem Jahr?	Zahl der Lernenden, Blätter pro Tag, Zahl der Schultage	sinnvolle Annahmen treffen und später mit echten Daten vergleichen
Wie viele Schritte gehst Du an einem Schultag?	Wege, Raumwechsel, Pausenwege, persönliche Schrittlänge	Schulweg im Gebäude in Teilstrecken zerlegen und Stichproben messen
Wie viel Trinkwasser sollte für eine Veranstaltung bereitstehen?	Teilnehmendenzahl, Dauer, Bedingungen, Reserve	Szenarien rechnen und eine Sicherheitsreserve als Modellannahme begründen

Eine typische Fermi-Rechnung hat die Form

$\text{Gesamtmenge}\approx \text{Anzahl}\cdot \text{Menge je Einheit}\cdot \text{Zeit}$

Das Zeichen $\approx$ bedeutet ungefähr gleich. Es erinnert Dich daran, dass Du mit einem Modell arbeitest.

Der Fermi-Kompass: sieben Schritte

Schritt	Leitfrage	Mathematische Handlung
1. Frage klären	Was soll ungefähr bestimmt werden?	gesuchte Größe und Einheit notieren
2. Referenzgrößen suchen	Welche bekannten Größen helfen?	bekannte Vergleichswerte sammeln
3. Annahmen festlegen	Welche fehlenden Daten kann ich sinnvoll ersetzen?	jede Annahme mit Einheit notieren
4. Teilprobleme bilden	Wie lässt sich die große Frage zerlegen?	Teilrechnungen planen
5. Überschlagen	Welche gerundeten Zahlen reichen?	einfache, einheitenrichtige Modellrechnung durchführen
6. Plausibilität prüfen	Ist die Größenordnung vernünftig?	Gegenprobe, Einheitencheck, untere und obere Grenze bilden
7. Modell verbessern	Welche Annahme beeinflusst das Ergebnis besonders stark?	messen, recherchieren oder Szenarien vergleichen

Eine nützliche Kurzschreibweise lautet:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Fermi-Ergebnis}=\text{Annahmen}+\text{Modellrechnung}+\text{Plausibilitätscheck}}}

Visualisierung: ein aufklappbarer Rechenweg

Beispiel: 24 Klassen mit ungefähr 25 Lernenden – wie viele Lernende sind das?
1. Runde Referenzgrößen: $24\approx 25$ und $25$ Lernende je Klasse.
2. Überschlag: $25\cdot 25=625$.
3. Genauere Modellrechnung mit 24 Klassen: $24\cdot 25=600$.
4. Aussage: Die Schule hat in diesem Modell ungefähr $600$ Lernende. Die Zahl ist eine Annahme, keine Messung.

Referenzgrößen und Einheiten

Referenzgrößen sind Vergleichswerte, die Du kennst, messen kannst oder als Modellannahme ausdrücklich festlegst.

Größe	Referenz oder Modellannahme	Mathematische Darstellung
A4-Blatt	Seitenlängen $21\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $\mathrm{29,7}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{0,21}\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,297}\mathrm{m}=\mathrm{0,06237}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$
Liter	$1\mathrm{L}=1000\mathrm{m}\mathrm{L}$	$1\mathrm{L}=1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$
Masse	$1\mathrm{k}\mathrm{g}=1000\mathrm{g}$	$2680\mathrm{k}\mathrm{g}=\mathrm{2,68}\mathrm{t}$
Schrittlänge	im Beispiel wird $\mathrm{0,60}\mathrm{m}$ pro Schritt angenommen	$\text{Weg}\approx \text{Schritte}\cdot \mathrm{0,60}\mathrm{m}$
Schultage	im Papiermodell werden $190$ Tage angenommen	tatsächliche Zahl kann je nach Schule und Schuljahr abweichen
Kopierpapier	für das Modell werden $80\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ angenommen	$\mathrm{0,06237}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\cdot 80\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\approx 5\mathrm{g}$ je A4-Blatt

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Interaktive Zahlengerade: Größenordnungen sehen

Nutze die dynamische Zahlengerade, um Schätzwerte, Untergrenzen und Obergrenzen sichtbar zu machen.

Beispiel: Liegt die Schrittzahl eher bei $500$, $5000$ oder $50000$? Eine Zahlengerade hilft Dir, unplausible Größenordnungen schnell zu erkennen.

Interaktives Stellenwertmodell: große Zahlen sicher lesen

Bei Fermi-Aufgaben entstehen schnell große Zahlen. Im Stellenwertmodell kannst Du Ziffern verschieben und beobachten, wie sich der Wert verändert.

Beispiel:

$536000=5\cdot 100000+3\cdot 10000+6\cdot 1000$

Ein Faktor $10$ zu viel oder zu wenig fällt im Stellenwertmodell besonders gut auf.

Interaktiver Überschlag

Bevor Du genau rechnest, kannst Du Zahlen runden. So erkennst Du die erwartete Größenordnung.

Beispiel:

$598\cdot 191\approx 600\cdot 200=120000$

Der Überschlag liefert eine Vergleichszahl. Wenn eine genauere Rechnung später $1200000$ ergäbe, wäre ein Fehler sehr wahrscheinlich.

Bewegliche Bruchdarstellung: Anteile modellieren

Fermi-Aufgaben enthalten oft Anteile: Vielleicht nutzt nur ein Teil der Lernenden die Mensa oder nur ein Teil der Blätter wird einseitig bedruckt. Mit Bruchstreifen kannst Du solche Anteile sichtbar machen.

Beispiel:

$\frac{3}{4}\cdot 600=450$

Wenn ungefähr drei Viertel von $600$ Personen an einer Veranstaltung teilnehmen, modellierst Du also etwa $450$ Teilnehmende.

Schulgebäude, Karten und Grundrisse als Datenquellen

Ein Schulgebäude lässt sich mathematisch als Netz aus Wegen, Räumen, Etagen und Flächen betrachten. Eine Karte oder ein Grundriss hilft Dir, Wege zu zerlegen und Größen zu schätzen.

Karte	Grundriss

Wichtig: Die abgebildeten Schulen sind nur Anschauungsbeispiele. Für Deine eigene Fermi-Aufgabe verwendest Du einen Plan Deiner Schule nur dann, wenn Du ihn rechtmäßig nutzen darfst. Persönliche Daten, Raumbelegungen oder sensible Sicherheitsinformationen gehören nicht in ein öffentliches Lernprodukt.

Drei gelöste Fermi-Aufgaben

Use-Case 1: Papierverbrauch einer Schule

Fermi-Frage: Wie viele A4-Blätter verbraucht eine Beispielschule ungefähr in einem Schuljahr?

Schritt 1: Annahmen sichtbar machen

Modellgröße	Annahme	Begründung im Modell
Lernende	$600$	runde Größe für eine mittelgroße Beispielschule
Papier pro Lernendem und Schultag	$4$ Blatt	angenommener Mittelwert für Arbeitsblätter, Kopien und Ausdrucke
Schultage	$190$	runde Jahresannahme
zusätzliches Papier	$80000$ Blatt	angenommene Kopien für Verwaltung, Lehrkräfte, Prüfungen und Reserve
Papiermasse	$80\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$	Modellwert für Kopierpapier

Schritt 2: Teilproblem Lernendenpapier

Einheiten helfen beim Denken:

$600\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\cdot 4\frac{\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}{\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\cdot \mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{g}}\cdot 190\mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{e}=456000\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}$

Schritt 3: Zusatzpapier addieren

$456000+80000=536000$

Modellergebnis: ungefähr $536000$ Blatt pro Schuljahr.

Schritt 4: Wie viele Pakete sind das?

Wenn ein Paket im Modell $500$ Blatt enthält:

$\frac{536000\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}{500\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}/\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{t}}=1072\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}$

Schritt 5: Welche Masse hat das Papier?

Für ein A4-Blatt mit der Fläche $\mathrm{0,06237}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ und dem Modellwert $80\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$ gilt:

$\mathrm{0,06237}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}\cdot 80\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{4,9896}\mathrm{g}\approx 5\mathrm{g}$

Damit:

$536000\cdot 5\mathrm{g}=2680000\mathrm{g}=2680\mathrm{k}\mathrm{g}\approx \mathrm{2,7}\mathrm{t}$

Das ist eine anschauliche Umrechnung, aber die tatsächliche Papiermasse hängt von der verwendeten Papiersorte ab.

Schritt 6: Dynamische Geometrie – warum ein A4-Blatt eine Fläche hat

Verändere im Rechteck-Modell Länge und Breite. Beobachte, wie sich die Fläche verändert.

Für A4:

$A=21\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{29,7}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{623,7}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Schritt 7: Sensitivität – was passiert bei einer anderen Annahme?

Blätter je Lernendem und Tag	Modellrechnung	Jahresmenge	ungefähre Masse bei $5\mathrm{g}$ je Blatt
$3$	$600\cdot 3\cdot 190+80000$	$422000$	$2110\mathrm{k}\mathrm{g}$
$4$	$600\cdot 4\cdot 190+80000$	$536000$	$2680\mathrm{k}\mathrm{g}$
$5$	$600\cdot 5\cdot 190+80000$	$650000$	$3250\mathrm{k}\mathrm{g}$

Schon ein zusätzliches Blatt je Lernendem und Schultag verändert das Jahresmodell um:

$600\cdot 1\cdot 190=114000\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}$

und bei $5\mathrm{g}$ je Blatt um:

$114000\cdot 5\mathrm{g}=570000\mathrm{g}=570\mathrm{k}\mathrm{g}$

Fermi-Lektion: Eine scheinbar kleine Annahme kann bei vielen Personen und vielen Tagen einen großen Unterschied machen.

Use-Case 2: Anzahl von Schritten an einem Schultag

Fermi-Frage: Wie viele Schritte geht eine Schülerin oder ein Schüler ungefähr innerhalb eines Schultags im Schulgebäude und auf dem Schulgelände?

Schritt 1: Den Schultag in Wege zerlegen

Teilweg	Modellannahme	Rechnung
Eingang zum Klassenraum	$200$ Schritte	$200$
acht Raumwechsel	je $150$ Schritte	$8\cdot 150=1200$
zwei große Pausen	je $700$ Schritte	$2\cdot 700=1400$
Mensa, Toilette, Bibliothek oder ähnliche Wege	zusammen $800$ Schritte	$800$
spontane Zusatzwege	$500$ Schritte	$500$
Klassenraum zum Ausgang	$200$ Schritte	$200$

Schritt 2: Schritte addieren

$S=200+8\cdot 150+2\cdot 700+800+500+200$

$S=200+1200+1400+800+500+200=4300$

Modellergebnis: ungefähr $4300$ Schritte.

Schritt 3: Schritte in Wegstrecke umrechnen

Wir nehmen für dieses Modell eine mittlere Schrittlänge von $\mathrm{0,60}\mathrm{m}$ an:

$4300\cdot \mathrm{0,60}\mathrm{m}=2580\mathrm{m}=\mathrm{2,58}\mathrm{k}\mathrm{m}$

Gerundet:

$\mathrm{2,58}\mathrm{k}\mathrm{m}\approx \mathrm{2,6}\mathrm{k}\mathrm{m}$

Die Schrittlänge ist individuell verschieden. Du kannst Dein Modell verbessern, indem Du eine bekannte Strecke gehst, Deine Schritte zählst und rechnest:

$\text{eigene mittlere Schrittlänge}\approx \frac{\text{gemessene Strecke}}{\text{gezählte Schritte}}$

Schritt 4: Mit einer Spanne statt einer einzigen Zahl arbeiten

Nehmen wir für unterschiedliche Schultage zwischen $3500$ und $5500$ Schritte an.

Untere Modellgrenze:

$3500\cdot \mathrm{0,60}\mathrm{m}=2100\mathrm{m}=\mathrm{2,1}\mathrm{k}\mathrm{m}$

Obere Modellgrenze:

$5500\cdot \mathrm{0,60}\mathrm{m}=3300\mathrm{m}=\mathrm{3,3}\mathrm{k}\mathrm{m}$

Damit lautet eine bessere Fermi-Aussage:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{etwa }3500\text{ bis }5500\text{ Schritte bzw. }2{,}1\text{ bis }3{,}3\,\mathrm{km}}}

Schritt 5: Dynamische Zahlengerade für die Spanne

Markiere auf der Zahlengeraden $3500$, $4300$ und $5500$. So erkennst Du, dass $4300$ nur ein mittleres Szenario ist.

Use-Case 3: Benötigte Trinkwassermenge bei einer Veranstaltung

Fermi-Frage: Wie viel Trinkwasser sollte für eine vierstündige Schulveranstaltung mit ungefähr $450$ Teilnehmenden logistisch bereitgestellt werden?

Hinweis: Die folgenden Werte sind Planungsannahmen für eine Fermi-Modellrechnung und keine persönliche medizinische Trinkempfehlung. In der Realität müssen Wetter, Aktivität, Veranstaltungsort und geltende Vorgaben berücksichtigt werden.

Schritt 1: Mittleres Szenario festlegen

Wir nehmen für die Veranstaltungslogistik im Modell an:

Größe	Modellannahme
Teilnehmende	$450$
Veranstaltungsdauer	$4\mathrm{h}$
bereitgestellte Wassermenge pro Person für das vierstündige Ereignis	$\mathrm{0,6}\mathrm{L}$
zusätzliche Reserve	$10\mathrm{\%}$

Als zugehörige Modellrate kann man schreiben:

$\frac{\mathrm{0,6}\mathrm{L}}{4\mathrm{h}}=\mathrm{0,15}\mathrm{L}/\mathrm{h}$

Zuerst ohne Reserve:

$450\cdot 4\mathrm{h}\cdot \mathrm{0,15}\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\cdot \mathrm{h}}=270\mathrm{L}$

Mit $10\mathrm{\%}$ Reserve:

$270\mathrm{L}\cdot \mathrm{1,10}=297\mathrm{L}$

Als Fermi-Planungswert runden wir auf:

$297\mathrm{L}\approx 300\mathrm{L}$

Schritt 2: Behälterzahl modellieren

Bei $10\mathrm{L}$ je Behälter:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{300\,\mathrm{L}}{10\,\mathrm{L/Behälter}}=30\,\mathrm{Behälter}}

Bei $20\mathrm{L}$ je Behälter:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac{300\,\mathrm{L}}{20\,\mathrm{L/Behälter}}=15\,\mathrm{Behälter}}

Schritt 3: Zweites Szenario für wärmere oder aktivere Bedingungen

Als bewusst höhere Modellannahme verwenden wir $\mathrm{0,8}\mathrm{L}$ pro Person für die gesamte Veranstaltung:

$450\cdot \mathrm{0,8}\mathrm{L}\cdot \mathrm{1,10}=396\mathrm{L}$

Gerundet:

$396\mathrm{L}\approx 400\mathrm{L}$

Für die Logistik ergibt sich damit als Fermi-Spanne:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{ungefähr }300\text{ bis }400\,\mathrm{L}}}

Diese Spanne ist kein allgemeingültiger Bedarf pro Person, sondern das Ergebnis der ausdrücklich gewählten Planungsannahmen.

Schritt 4: Liter anschaulich machen

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Schritt 5: Faltbarer und rotierbarer 3D-Körper

Ein Wasserbehälter kann näherungsweise als Quader modelliert werden. Falte im interaktiven Modell ein Quadernetz und untersuche die Flächen.

Für einen quaderförmigen Behälter gilt:

$V=l\cdot b\cdot h$

Da $1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=1\mathrm{L}$, kann zum Beispiel gelten:

$4\mathrm{d}\mathrm{m}\cdot \mathrm{2,5}\mathrm{d}\mathrm{m}\cdot 2\mathrm{d}\mathrm{m}=20\mathrm{d}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}=20\mathrm{L}$

So verbindet die Fermi-Aufgabe Volumen, Längen, Einheiten und reale Planung.

Plausibilitätscheck und Sensitivität

Drei schnelle Änderungsrechnungen

Eine Sensitivitätsrechnung fragt: Wie stark verändert sich das Ergebnis, wenn sich eine Annahme verändert?

Modell	Änderung einer Annahme	Auswirkung
Papier	$+1$ Blatt je Lernendem und Tag	$600\cdot 1\cdot 190=114000$ Blatt mehr pro Jahr
Schritte	$+1000$ Schritte	bei $\mathrm{0,60}\mathrm{m}$ je Schritt: $1000\cdot \mathrm{0,60}=600\mathrm{m}$ mehr
Wasser	$+\mathrm{0,1}\mathrm{L}$ je Person	vor Reserve: $450\cdot \mathrm{0,1}=45\mathrm{L}$ mehr

Mit $10\mathrm{\%}$ Reserve würde die letzte Änderung sogar

$45\mathrm{L}\cdot \mathrm{1,10}=\mathrm{49,5}\mathrm{L}$

mehr Planungsmenge bedeuten.

Untergrenze, Mittelwert und Obergrenze

Eine Fermi-Antwort wird besser, wenn Du nicht nur eine einzelne Zahl nennst.

$\text{untere Grenze}\le \text{plausibler Wert}\le \text{obere Grenze}$

Beispiel Schritte:

$3500\le 4300\le 5500$

Beispiel Wasserplanung:

$300\mathrm{L}\lesssim W\lesssim 400\mathrm{L}$

Das Zeichen $\lesssim$ bedeutet hier sinngemäß ungefähr kleiner oder gleich.

Der Einheitencheck

Ein guter Rechenweg verrät durch seine Einheiten, ob das Modell zusammenpasst.

Papier:

$\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\cdot \frac{\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}}{\mathrm{L}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\cdot \mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{g}}\cdot \mathrm{T}\mathrm{a}\mathrm{g}=\mathrm{B}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}$

Schritte zu Weg:

$\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}\cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}}=\mathrm{m}$

Wasser:

$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}\cdot \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}=\mathrm{L}$

Wenn am Ende eine unpassende Einheit steht, solltest Du den Rechenweg prüfen.

Diagramme statt Zahlenwüste

Szenarien als Balken vergleichen

Für das Papiermodell kannst Du zum Beispiel diese drei Werte in ein Balkendiagramm übertragen:

Szenario	Jahresmenge
sparsam	$422000$ Blatt
mittel	$536000$ Blatt
hoch	$650000$ Blatt

Die Balken sollen bei $0$ beginnen. So vergleichst Du die Größen fair. Beschrifte Achse und Einheit deutlich.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung: vom Problem zum Diagramm

Klicke zum Aufklappen: Modellierungsweg
Frage: Wie viel Papier?
$\Downarrow$
Annahmen: $600$ Lernende, $190$ Tage, $3$/$4$/$5$ Blatt je Tag, plus $80000$ Blatt.
$\Downarrow$
Formel: $P=600\cdot b\cdot 190+80000$
$\Downarrow$
Szenarien: $P(3)=422000$, $P(4)=536000$, $P(5)=650000$
$\Downarrow$
Diagramm: drei Balken mit gleicher Skala und Einheit Blatt.
$\Downarrow$
Aussage: Die Annahme $b$ beeinflusst das Ergebnis stark.

Interaktive Modellierungswerkstatt

Station 1: Zahlengerade – Größenordnungen

Ordne gedanklich die Werte $500$, $5000$, $50000$ und $500000$ auf einer Zahlengeraden ein. Entscheide dann, welche Größenordnung zu Schritte an einem Schultag und welche zu Blätter einer Schule pro Jahr passen könnte.

Station 2: Stellenwert – Faktorfehler entdecken

Vergleiche:

$53600,536000,5360000$

Welche Zahl ist zehnmal so groß wie $536000$? Welche ist zehnmal so klein? Erkläre, warum Faktorfehler bei Fermi-Aufgaben besonders auffallen können.

Station 3: Runden – Überschlag vor genauer Rechnung

Schätze zuerst:

$612\cdot 187\approx 600\cdot 200=120000$

Berechne danach genauer und vergleiche. Ein sinnvoller Überschlag ist eine Fehlerwarnanlage.

Station 4: Brüche – Teilgruppen modellieren

Wenn von $600$ Lernenden ungefähr $\frac{3}{4}$ an einer Aktion teilnehmen:

$600\cdot \frac{3}{4}=450$

Verändere den Anteil im Bruchmodell. Überlege, wie sich dadurch die benötigte Wassermenge verändert.

Station 5: Dynamische Geometrie – Flächen verändern

Verdoppele bei einem Rechteck nur die Länge. Was passiert mit der Fläche?

$A=l\cdot b$

Verdoppelst Du $l$ bei unverändertem $b$, dann gilt:

$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=2l\cdot b=2A_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}$

Solche Zusammenhänge helfen Dir bei Schätzungen von Papierflächen, Bodenflächen oder Plakatgrößen.

Station 6: 3D-Modell – Behälter und Volumen

Untersuche ein Quadernetz, falte es gedanklich oder im Modell und verbinde es mit:

$V=l\cdot b\cdot h$

Prüfe anschließend, ob ein Behälter mit $20\mathrm{L}$ in Deinem Modell plausibel dimensioniert ist.

Medien und offene Lizenzen

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind für diesen aiMOOC bewusst aus frei beziehungsweise gemeinfrei gekennzeichneten Medien ausgewählt. Die verbindlichen Lizenz- und Urheberangaben stehen jeweils auf der Commons-Dateibeschreibungsseite, die Du durch Anklicken der Datei erreichst. YouTube-Videos werden eingebettet und nicht als eigene Datei vervielfältigt.

Medium	Lernzweck	Lizenzhinweis laut Commons-Dateiseite
Enrico Fermi 1943-49.jpg	historischer Bezug	gemeinfrei / Public Domain
Sasebo-es-school-front-01.webp	Schulgebäude als Modellierungsraum	gemeinfrei / Public Domain
A4 PAPER.jpg	Papierformat und Flächenmodell	CC BY-SA 4.0
Pedometer K+R.jpg	Schritte messen	gemeinfrei / Public Domain
Water Dispenser Kaercher WPD.jpg	Wasserlogistik	CC BY-SA laut Dateiseite
Water 0012.jpg	Trinkwasser im Schulkontext	CC BY-SA 4.0
SchoolMap.jpg	Wege auf einer Schulkarte	gemeinfrei / Public Domain
Gymnasium Bremervörde Grundriss.svg	Weg- und Flächenmodell im Schulgrundriss	CC BY-SA 3.0
WDQS - Bar Chart.gif	animierte Diagrammdarstellung	CC BY-SA 4.0

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist typisch für eine Fermi-Aufgabe? (Es fehlen zunächst genaue Daten) (!Alle nötigen Daten sind vollständig gegeben) (!Es gibt immer genau eine exakte Lösung) (!Man darf keine Annahmen verwenden)

Was ist nach dem Verstehen der Frage ein sinnvoller nächster Schritt? (Sinnvolle Annahmen und Referenzgrößen festlegen) (!Sofort eine zufällige Zahl nennen) (!Alle Einheiten weglassen) (!Nur das Endergebnis aufschreiben)

Warum zerlegt man eine Fermi-Frage in Teilprobleme? (Weil kleinere Teilfragen leichter zu schätzen und zu rechnen sind) (!Weil dadurch jede Schätzung automatisch exakt wird) (!Weil man dann keine Einheiten mehr braucht) (!Weil man dadurch immer dieselbe Zahl erhält)

Wie viele Blätter ergeben 600 Lernende mal 4 Blätter pro Tag mal 190 Tage? (456000) (!45600) (!536000) (!650000)

Wie viele Blätter ergeben sich im Papiermodell nach dem Addieren von 80000 Zusatzblättern? (536000) (!456000) (!616000) (!1072000)

Welche Wegstrecke ergeben 4300 Schritte bei einer angenommenen Schrittlänge von 0,60 Metern? (2580 Meter) (!258 Meter) (!4300 Meter) (!7167 Meter)

Wie viel Wasser ergeben 450 Personen mal 0,6 Liter im mittleren Modell ohne Reserve? (270 Liter) (!27 Liter) (!297 Liter) (!450 Liter)

Wie viel sind 270 Liter mit 10 Prozent Reserve? (297 Liter) (!280 Liter) (!3000 Liter) (!243 Liter)

Wozu dient eine Sensitivitätsrechnung? (Sie zeigt wie stark Annahmen das Ergebnis verändern) (!Sie macht jede Annahme automatisch wahr) (!Sie ersetzt alle Messungen) (!Sie löscht Unsicherheiten vollständig)

Wie formuliert man ein gutes Fermi-Ergebnis? (Als begründete Näherung mit Annahmen und möglichst einer Spanne) (!Als exakte Zahl ohne Erklärung) (!Als Vermutung ohne Rechnung) (!Als Zahl ohne Einheit)

Memory

Annahme	begründete Ersatzangabe
Referenzgröße	bekannte Vergleichsgröße
Teilproblem	kleiner lösbarer Baustein
Überschlag	grobe Rechnung
Plausibilitätscheck	Prüfung der Größenordnung
Spanne	Bereich zwischen Grenzen
Modell	vereinfachte Beschreibung der Wirklichkeit
Sensitivität	Einfluss einer Annahme auf das Ergebnis

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Fermi-Schritt
Gesuchte Größe klären	Frage verstehen
Bekannte Vergleichswerte nutzen	Referenzgrößen wählen
Fehlende Daten begründet ersetzen	Annahmen notieren
Großes Problem in Bausteine zerlegen	Teilprobleme bilden
Mit gerundeten Werten rechnen	Überschlag durchführen
Ergebnis mit Alltag und Einheit vergleichen	Plausibilität prüfen

Kreuzworträtsel

Annahme	Wie heißt eine begründete Ersatzangabe für einen fehlenden Wert?
Ueberschlag	Wie nennt man eine grobe Rechnung zur Größenordnung?
Teilproblem	Wie heißt ein kleiner lösbarer Baustein einer großen Frage?
Referenzwert	Wie heißt ein bekannter Vergleichswert zum Schätzen?
Plausibilitaet	Welches Wort beschreibt die Prüfung, ob ein Ergebnis vernünftig wirkt?
Modellierung	Wie heißt das mathematische Vereinfachen einer realen Situation?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Fermi-Aufgabe verlangt eine quantitative . Eine fehlende Größe kann durch eine begründete ersetzt werden. Bekannte Vergleichswerte heißen . Eine schwierige Frage wird in kleinere zerlegt. Vor einer genauen Modellrechnung hilft ein . Im Papiermodell entstehen insgesamt ungefähr 536000 . Im Schrittmodell entsprechen 4300 Schritte bei 0,60 Metern ungefähr 2580 . Im mittleren Wassermodell ergeben sich mit Reserve ungefähr 300 . Eine untere und eine obere Grenze bilden zusammen eine . Die Prüfung auf eine vernünftige Größenordnung heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Fermi-Tagebuch: Wähle eine Alltagsfrage wie „Wie viele Bleistifte gibt es ungefähr in unserer Schule?“. Notiere mindestens drei Annahmen mit Einheit und begründe jede davon.
2. Schritte messen: Zähle fünf Minuten lang Deine Schritte auf einem normalen Weg. Nutze die Stichprobe, um eine Schätzung für einen längeren Schulabschnitt zu entwickeln. Veröffentliche dabei keine personenbezogenen Bewegungsdaten.
3. Papierstichprobe: Beobachte mit Erlaubnis einen Tag lang, wie viele Arbeitsblätter in einer Lerngruppe verwendet werden. Rechne daraus ein Modell für eine Woche und kennzeichne klar, was gemessen und was geschätzt wurde.
4. Wasserbehälter: Suche zu Hause oder in der Schule drei Behälter mit Literangaben. Entwickle daraus eine anschauliche Zusammenstellung für ungefähr 50 Liter, ohne schwere Behälter unnötig zu bewegen.

Standard

1. Schulwegmodell: Erstelle mit einem freigegebenen oder selbst gezeichneten vereinfachten Schulplan ein Wegenetz. Schätze die Schritte eines Schultags aus mindestens fünf Teilwegen und vergleiche Dein Ergebnis mit einer Stichprobe.
2. Papierszenarien: Rechne den Jahresverbrauch einer Beispielschule mit drei Annahmen für Blätter pro Person und Tag. Stelle die Ergebnisse in einem Balkendiagramm dar und erkläre, welche Annahme am stärksten wirkt.
3. Dateninterview: Führe mit Zustimmung ein kurzes Interview mit einer zuständigen Person über Papierbestellungen oder Veranstaltungslogistik. Vergleiche die reale Angabe mit Deinem vorherigen Fermi-Modell, ohne Namen oder interne Daten öffentlich zu machen.
4. Wasserstation planen: Entwickle drei Versorgungsszenarien für eine fiktive Schulveranstaltung. Gib Teilnehmendenzahl, Modellmenge pro Person, Reserve, Gesamtmenge und Behälterzahl jeweils mit Einheit an.

Schwer

1. Eigene Fermi-Aufgabe: Erfinde eine neue Fermi-Frage aus Schule oder Freizeit. Entwickle Referenzgrößen, Teilprobleme, eine Modellgleichung sowie eine untere und obere Grenze und begründe Dein Ergebnis.
2. Schulfläche modellieren: Schätze die Fläche eines Schulbereichs aus selbst gemessenen oder freigegebenen Längen. Zerlege unregelmäßige Formen in Rechtecke und dokumentiere, welche Vereinfachungen Dein Ergebnis beeinflussen.
3. Unsicherheitsanalyse: Nimm eine gelöste Fermi-Aufgabe und ordne ihre Annahmen danach, wie stark sie das Ergebnis verändern. Verbessere nur die wichtigste Annahme durch eine Messung oder zuverlässige Quelle und berechne das Modell neu.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu einer eigenen Fermi-Lösung. Zeige mindestens eine Formel, eine Einheitenprüfung, ein Diagramm und einen Plausibilitätscheck. Nutze nur eigene oder offen lizenzierte Medien und filme keine Personen ohne Zustimmung.

Lernkontrolle

1. Modelle vergleichen: Zwei Gruppen berechnen für dieselbe Schule $420000$ und $650000$ Blatt pro Jahr. Entwickle je ein mögliches Annahmenset, das zu den Ergebnissen passt, und beurteile, ob beide Modelle zugleich plausibel sein können.
2. Fehlendes Teilproblem: Ein Schrittmodell berücksichtigt nur Raumwechsel im Unterricht. Erkläre, welche Wege fehlen könnten, ergänze mindestens zwei Teilprobleme und zeige rechnerisch, wie sich das Ergebnis verändert.
3. Proportionalität prüfen: Bei einer Veranstaltung verdoppelt sich die Zahl der Gäste, die Dauer halbiert sich. Prüfe, welche Teile eines einfachen Wassermodells proportional verändert werden können und welche Annahmen neu überlegt werden müssen.
4. Grenzen bilden: Formuliere für eine selbst gewählte Fermi-Frage eine glaubwürdige Untergrenze und Obergrenze. Begründe, warum das echte Ergebnis nach Deinem Modell dazwischen liegen könnte.
5. Einheitenfehler finden: Eine Rechnung endet für eine Wassermenge mit der Einheit Meter. Rekonstruiere, welche Art von Modellfehler vorliegen könnte, und formuliere eine einheitenrichtige Rechnung.
6. Modell validieren: Plane eine kleine Stichprobe, mit der Du eine wichtige Annahme aus einer Fermi-Aufgabe überprüfen kannst. Beschreibe, wie Du das Modell nach der Stichprobe verändern würdest, falls Messwert und Annahme deutlich voneinander abweichen.

Lernnachweis

Für einen guten Lernnachweis zu diesem Thema sind folgende Bestandteile wichtig:

1. Fermi-Frage: eine klar formulierte offene quantitative Frage mit gesuchter Einheit.
2. Annahmen: eine Tabelle, die Messwerte, bekannte Referenzgrößen und eigene Annahmen deutlich unterscheidet.
3. Teilprobleme: eine nachvollziehbare Zerlegung der großen Frage in kleinere Rechenschritte.
4. Modellrechnung: ein einheitenrichtiger Rechenweg mit geeigneten $+$, $-$, $\cdot$ und $:$.
5. Überschlag: eine grobe Vergleichsrechnung zur erwarteten Größenordnung.
6. Ergebnisbereich: möglichst eine untere Grenze, ein plausibler Mittelwert und eine obere Grenze.
7. Sensitivität: mindestens eine Rechnung, die zeigt, wie sich eine veränderte Annahme auf das Ergebnis auswirkt.
8. Plausibilitätscheck: eine begründete Aussage dazu, warum das Ergebnis vernünftig erscheint oder wie es verbessert werden müsste.
9. Reflexion: eine kurze Erklärung, welche zusätzliche Messung oder Recherche das Modell am stärksten verbessern würde.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zum Fermi-Problem bietet Hintergrundinformationen zur Methode und zu ihrem Namensgeber.

Weitere freie interaktive Lernmöglichkeiten im aiMOOC sind die oben eingebetteten GeoGebra-Materialien zu Zahlengeraden, Stellenwert, Überschlag, Brüchen, Flächen und Quadernetzen.

Verknüpfte Lernbereiche

Fermi-Aufgaben Schätzen Runden Überschlagsrechnung Sachrechnen Modellieren Größen und Einheiten Diagramme Maßstab Flächeninhalt Volumen