M5 E - Eigene mathematische Modelle entwickeln

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Mathematik hilft Dir, reale Fragen so zu vereinfachen, dass Du sie mit Zahlen, Größen, Tabellen, Skizzen, Diagrammen und Rechenoperationen untersuchen kannst. Ein mathematisches Modell ist dabei nicht die Wirklichkeit selbst, sondern eine passende mathematische Beschreibung eines Ausschnitts der Wirklichkeit. Gute Modelle enthalten nur die Informationen, die für die Frage wichtig sind, machen Annahmen sichtbar und werden am Ende an der Ausgangssituation überprüft.

Dein Kompetenzziel auf E-Niveau: Du entscheidest selbstständig,

1. welche Größen für eine reale Fragestellung wichtig sind,
2. welche Angaben fehlen oder unwichtig sind,
3. welche mathematischen Operationen und Darstellungen passen,
4. welche Annahmen Du treffen musst,
5. wie Du Dein Ergebnis im Alltag deutest und überprüfst.

Ein typischer Modellierungsweg sieht so aus:

Reale Situation $⟶$ Frage klären $⟶$ Annahmen treffen $⟶$ mathematisches Modell $⟶$ rechnen / darstellen $⟶$ Ergebnis deuten $⟶$ an der Realität prüfen

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Das Video zeigt altersgerecht, wie Du bei Sachaufgaben Informationen auswählst, einen Lösungsweg planst und Ergebnisse als Schätz- oder Richtwerte beurteilst.

Lernziele

Ich kann …	Woran man es erkennt
eine reale Frage mathematisch fassen	Ich formuliere eine klare Frage, zum Beispiel: „Wie viele Flaschen brauchen wir?“
relevante Größen auswählen	Ich unterscheide benötigte Angaben von Ablenkungen.
Annahmen formulieren	Ich schreibe zum Beispiel: „Ich nehme $250\mathrm{m}\mathrm{l}$ Getränk pro Person an.“
passende Operationen wählen	Ich begründe, warum ich addiere, subtrahiere, multipliziere oder dividiere.
ein Modell darstellen	Ich nutze Rechnung, Tabelle, Skizze, Zahlengerade, Diagramm oder Geometriemodell.
sinnvoll runden	Ich runde so, wie es zur Situation passt, etwa auf ganze Flaschen oder Packungen.
ein Ergebnis prüfen	Ich kontrolliere Einheit, Größenordnung, Annahmen und Bezug zur Ausgangsfrage.

Vom Alltag zum mathematischen Modell

Der Modellierungskreislauf

Ein Modell entsteht in mehreren Schritten. Auf E-Niveau sollst Du nicht nur rechnen, sondern Entscheidungen begründen.

Schritt	Leitfrage	Typische Darstellung
1. Verstehen	Was ist passiert? Was wird gefragt?	Text markieren, Skizze, Foto
2. Vereinfachen	Welche Informationen sind wichtig? Was darf ich weglassen?	Tabelle „wichtig / unwichtig“
3. Annahmen	Welche Angaben fehlen? Was nehme ich sinnvoll an?	Satz mit „Ich nehme an, dass …“
4. Mathematisieren	Welche Größen und Operationen passen?	$+$, $-$, $\cdot$, $:$, Bruch, Umfang, Fläche, Maßstab
5. Rechnen und darstellen	Wie löse ich mein Modell übersichtlich?	Rechnung, Wertetabelle, Diagramm, dynamisches Modell
6. Interpretieren	Was bedeutet das Ergebnis in der Wirklichkeit?	Antwortsatz mit Einheit
7. Prüfen	Ist das Ergebnis möglich, sinnvoll und passend zur Frage?	Überschlag, Gegenrechnung, Vergleich, neue Annahme

Merksatz: $\text{Ein gutes Modell ist so einfach wie möglich und so genau wie nötig.}$

Relevante Größen erkennen

Eine Größe besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Für Modellierungsaufgaben sind in Klasse 5 besonders wichtig:

Größenart	Beispiele	Typische Frage
Länge	$3\mathrm{m}$, $450\mathrm{c}\mathrm{m}$, $2\mathrm{k}\mathrm{m}$	Wie weit? Wie lang?
Zeit	$25\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$, $2\mathrm{h}$	Wie lange? Wann?
Geld	$\mathrm{4,50}\text{€}$, $25\text{€}$	Was kostet es? Reicht das Budget?
Masse	$750\mathrm{g}$, $2\mathrm{k}\mathrm{g}$	Wie schwer? Wie viele Packungen?
Volumen	$250\mathrm{m}\mathrm{l}$, $1\mathrm{l}$	Wie viel passt hinein?
Flächeninhalt	$24{\mathrm{m}}^2$	Wie viel Boden, Papier oder Farbe wird benötigt?
Umfang	$20\mathrm{m}$	Wie viel Zaun, Rand oder Band wird benötigt?
Anzahl	$28$ Kinder, $6$ Tische	Wie viele Stücke oder Gruppen?

E-Niveau-Frage: Eine Zahl ist nicht automatisch wichtig, nur weil sie im Text vorkommt. Du entscheidest nach der Ausgangsfrage.

Reale Frage	Nützlich	Vielleicht unnötig
Wie viele Liter Saft braucht eine Klasse?	Personenzahl, angenommene Trinkmenge pro Person, Flaschengröße	Farbe der Flaschen
Wie viel Zaun braucht ein rechteckiger Schulgarten?	Länge und Breite	Fläche eines einzelnen Pflastersteins
Reicht das Geld für einen Einkauf?	Preise, Stückzahlen, Budget	Reihenfolge der Produkte im Regal

Größen passend umrechnen

Vor einer Rechnung müssen Einheiten zusammenpassen.

Umrechnung	Beispiel
$1\mathrm{k}\mathrm{m}=1000\mathrm{m}$	$\mathrm{2,4}\mathrm{k}\mathrm{m}=2400\mathrm{m}$
$1\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{3,5}\mathrm{m}=350\mathrm{c}\mathrm{m}$
$1\mathrm{k}\mathrm{g}=1000\mathrm{g}$	$\mathrm{1,5}\mathrm{k}\mathrm{g}=1500\mathrm{g}$
$1\mathrm{l}=1000\mathrm{m}\mathrm{l}$	$\mathrm{2,25}\mathrm{l}=2250\mathrm{m}\mathrm{l}$
$1\mathrm{h}=60\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$	$1\mathrm{h}20\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=80\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$

Kontrollfrage: Kannst Du die Größen überhaupt sinnvoll miteinander verrechnen? $3\mathrm{m}+4\mathrm{k}\mathrm{g}$ ist kein sinnvolles Modell für eine Gesamtlänge oder Gesamtmasse.

Passende mathematische Operationen auswählen

Entscheidend ist die Bedeutung der Situation, nicht ein einzelnes „Signalwort“.

Situation	Modell	Beispiel
Mengen werden zusammengelegt	Addition	$18+7=25$
Etwas wird weggenommen oder ein Unterschied gesucht	Subtraktion	$50-37=13$
Gleich große Mengen wiederholen sich	Multiplikation	$8\cdot 6=48$
Eine Gesamtmenge wird gleichmäßig verteilt	Division	$48:6=8$
Ein Anteil eines Ganzen wird betrachtet	Bruch	$\frac{3}{4}\cdot 20=15$
Ein Rand wird benötigt	Umfang	$U=2\cdot (a+b)$
Eine rechteckige Fläche wird benötigt	Flächeninhalt	$A=a\cdot b$
Eine Zeichnung bildet die Wirklichkeit verkleinert ab	Maßstab	$1:100$ bedeutet $1\mathrm{c}\mathrm{m}\leftrightarrow 100\mathrm{c}\mathrm{m}$

Annahmen formulieren

Nicht jede Alltagssituation liefert alle Zahlen. Dann brauchst Du Annahmen. Eine Annahme ist keine heimliche Erfindung, sondern eine begründete Vereinfachung.

Beispiel: „Wie viele Liter Getränk brauchen wir für ein Klassenfest?“ Es fehlt die Trinkmenge pro Person.

Eine mögliche Annahme ist: $250\mathrm{m}\mathrm{l}$ pro Person.

Eine vorsichtigere Annahme ist: $300\mathrm{m}\mathrm{l}$ pro Person.

Dadurch entstehen zwei Modelle:

$30\cdot 250\mathrm{m}\mathrm{l}=7500\mathrm{m}\mathrm{l}=\mathrm{7,5}\mathrm{l}$

$30\cdot 300\mathrm{m}\mathrm{l}=9000\mathrm{m}\mathrm{l}=9\mathrm{l}$

E-Niveau: Vergleiche die Modelle. Das Ergebnis hängt von der Annahme ab. Deshalb gehört die Annahme zur Lösung.

Gute Annahme	Schwache Annahme
ist sichtbar notiert	bleibt verborgen
passt zur Situation	ist offensichtlich unpassend
kann begründet werden	wird ohne Grund gewählt
darf später verändert werden	wird wie eine sichere Tatsache behandelt

Visuelle und interaktive Modellierungswerkzeuge

Dynamische Zahlengerade

Die Zahlengerade hilft beim Schätzen, Vergleichen, Addieren, Subtrahieren und beim Prüfen von Größenordnungen.

Auftrag: Lege zuerst eine passende Schrittweite fest. Eine Zahlengerade von $0$ bis $1000000$ mit Einer-Schritten wäre unpraktisch; eine Schrittweite von $100000$ kann sinnvoll sein.

Animierter Rechenweg auf dem Zahlenstrahl

Bei einer Addition kann eine Bewegung nach rechts sichtbar gemacht werden.

Beispiel: $35+18=35+10+8=45+8=53$

Als Weg: $35\stackrel{+10}{\to }45\stackrel{+8}{\to }53$

Interaktives Stellenwertmodell

Große Zahlen, Überschläge und Einheitenumrechnungen werden leichter, wenn Du Stellenwerte sichtbar machst.

HT	ZT	T	H	Z	E
2	4	7	5	3	8

$247538=200000+40000+7000+500+30+8$

Bewegliche Bruchdarstellungen

Brüche können Anteile, Verteilungen oder Teile einer Menge beschreiben.

Beispiel Rezeptmodell: $\frac{3}{4}\mathrm{l}=750\mathrm{m}\mathrm{l}$

Für die doppelte Menge: $2\cdot \frac{3}{4}\mathrm{l}=\frac{6}{4}\mathrm{l}=1\frac{1}{2}\mathrm{l}$

Mit den Schiebereglern kannst Du Brüche als Strecke, Rechteck oder Kreis verändern.

Dynamische Geometrie: Umfang oder Fläche?

Viele Fehlermodelle entstehen, weil Umfang und Flächeninhalt verwechselt werden.

Für ein Rechteck mit $a=8\mathrm{m}$ und $b=5\mathrm{m}$ gilt:

$U=2\cdot (8+5)\mathrm{m}=26\mathrm{m}$

$A=8\mathrm{m}\cdot 5\mathrm{m}=40{\mathrm{m}}^2$

Modellfrage:

1. Zaun um den Garten $\Rightarrow$ Umfang.
2. Rollrasen für den Garten $\Rightarrow$ Flächeninhalt.

Faltbare und rotierbare 3D-Körper

Verpackungen sind reale Modelle für Quader und Würfel. Netze zeigen, welche Flächen später den Körper bilden.

Modellierungsfrage: Eine Schachtel ist innen $20\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang, $10\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit und $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch. Ihr Rauminhalt ist

$V=20\cdot 10\cdot 5{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3=1000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.

Das heißt noch nicht automatisch, dass jedes Objekt mit insgesamt $1000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ hineinpasst. Auch Form und Seitenlängen müssen passen. Genau hier zeigt sich die Grenze eines zu einfachen Modells.

Diagramme dynamisch verändern

Diagramme helfen, Daten aus der Wirklichkeit zu verdichten.

E-Niveau-Auftrag: Verändere im interaktiven Säulendiagramm Werte. Beobachte, welche Aussage gleich bleibt und welche sich ändert. Prüfe, ob ein Diagramm die Ausgangsfrage besser beantwortet als eine lange Zahlenliste.

Maßstab als Modell

Eine Karte oder ein Plan ist bereits ein Modell der Wirklichkeit.

Bei $1:100$ gilt: $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ im Plan $=100\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{m}$ in Wirklichkeit.

Bei $1:50000$ gilt: $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ im Plan $=50000\mathrm{c}\mathrm{m}=500\mathrm{m}$ in Wirklichkeit.

Modellieren an Alltagssituationen

Beispiel 1: Getränke für das Klassenfest

Ausgangsproblem: Eine Klasse mit $28$ Schülerinnen und Schülern und $2$ Lehrkräften plant ein Fest. Getränke gibt es in $1\mathrm{l}$-Flaschen. Wie viele Flaschen sollen gekauft werden?

Entscheidung	Modellierung
Personen	$28+2=30$
Annahme	Jede Person trinkt ungefähr $250\mathrm{m}\mathrm{l}$.
Gesamtmenge	$30\cdot 250\mathrm{m}\mathrm{l}=7500\mathrm{m}\mathrm{l}$
Umrechnung	$7500\mathrm{m}\mathrm{l}=\mathrm{7,5}\mathrm{l}$
Verpackung	$\mathrm{7,5}:1=\mathrm{7,5}$ Flaschen
Reale Entscheidung	Man kann keine halbe geschlossene Flasche kaufen, also mindestens $8$ Flaschen.

Prüfung: $8\cdot 1\mathrm{l}=8\mathrm{l}$

Reserve: $8\mathrm{l}-\mathrm{7,5}\mathrm{l}=\mathrm{0,5}\mathrm{l}$

Modell verbessern: Bei warmem Wetter könnten $300\mathrm{m}\mathrm{l}$ pro Person realistischer sein: $30\cdot 300\mathrm{m}\mathrm{l}=9\mathrm{l}$. Dann wären $9$ Flaschen sinnvoll.

Erkenntnis: Die Rechnung kann korrekt sein und das Modell trotzdem verbessert werden müssen.

Beispiel 2: Einkauf mit Budget

Eine Gruppe hat $35\text{€}$. Sie möchte $4$ Packungen Brötchen zu je $\mathrm{2,49}\text{€}$, $3$ Packungen Obst zu je $\mathrm{3,20}\text{€}$ und Servietten für $\mathrm{2,30}\text{€}$ kaufen.

Modell: $K=4\cdot \mathrm{2,49}+3\cdot \mathrm{3,20}+\mathrm{2,30}$

Schritt für Schritt: $4\cdot \mathrm{2,49}=\mathrm{9,96}$

$3\cdot \mathrm{3,20}=\mathrm{9,60}$

$K=\mathrm{9,96}+\mathrm{9,60}+\mathrm{2,30}=\mathrm{21,86}$

Restbudget: $\mathrm{35,00}-\mathrm{21,86}=\mathrm{13,14}$

Plausibilitätscheck durch Überschlag: $4\cdot \mathrm{2,50}+3\cdot \mathrm{3,20}+\mathrm{2,30}\approx \mathrm{21,90}$

$\mathrm{21,86}\text{€}$ passt zur Größenordnung.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Beispiel 3: Schulweg und Zeitmodell

Du gehst morgens $650\mathrm{m}$ zur Bushaltestelle. Du nimmst an, dass Du für $100\mathrm{m}$ etwa $\mathrm{1,5}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$ brauchst.

Ein mögliches Modell ist:

$650:100=\mathrm{6,5}$

$\mathrm{6,5}\cdot \mathrm{1,5}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}=\mathrm{9,75}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$

Du solltest also ungefähr $10\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$ Gehzeit einplanen.

Aber: Ampeln, Wetter, Rucksack oder Gespräche können die reale Zeit verändern.

Zwei Annahmen: $t_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}\approx 9\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$

$t_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{g}}\approx 12\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$

E-Niveau-Entscheidung: Für das rechtzeitige Erreichen des Busses ist das vorsichtige Modell oft sinnvoller.

Beispiel 4: Zaun oder Rasen?

Ein Schulgarten ist näherungsweise rechteckig, $12\mathrm{m}$ lang und $7\mathrm{m}$ breit.

Frage A: Wie viel Zaun wird benötigt? $U=2\cdot (12+7)\mathrm{m}=38\mathrm{m}$

Wenn ein $2\mathrm{m}$ breites Tor frei bleiben soll: $38\mathrm{m}-2\mathrm{m}=36\mathrm{m}$

Frage B: Wie viel Rasen wird benötigt? $A=12\cdot 7{\mathrm{m}}^2=84{\mathrm{m}}^2$

Bei einer Reserve von $\frac{1}{20}$: $\frac{1}{20}\cdot 84{\mathrm{m}}^2=\mathrm{4,2}{\mathrm{m}}^2$

$84+\mathrm{4,2}=\mathrm{88,2}{\mathrm{m}}^2$

Prüfung: Zaun wird in Metern, Rasen in Quadratmetern angegeben. Schon die Einheit hilft, das Modell zu kontrollieren.

Beispiel 5: Rezept hochrechnen

Ein Rezept reicht für $4$ Personen und benötigt $600\mathrm{m}\mathrm{l}$ Suppe. Für $10$ Personen wird angenommen, dass jede Person gleich viel bekommt.

Pro Person: $600:4=150\mathrm{m}\mathrm{l}$

Für $10$ Personen: $10\cdot 150\mathrm{m}\mathrm{l}=1500\mathrm{m}\mathrm{l}=\mathrm{1,5}\mathrm{l}$

Alternative Darstellung mit Faktor: $\frac{10}{4}=\mathrm{2,5}$

$600\mathrm{m}\mathrm{l}\cdot \mathrm{2,5}=1500\mathrm{m}\mathrm{l}$

Prüfung: Mehr Personen müssen bei gleicher Portion zu mehr Gesamtmenge führen. Das Ergebnis erfüllt diese Erwartung.

Beispiel 6: Datenmodell mit Tabelle und Diagramm

Eine Klasse fragt $24$ Kinder nach dem Schulweg.

Verkehrsmittel	Anzahl
zu Fuß	8
Fahrrad	6
Bus	7
Auto	3
Summe	$8+6+7+3=24$

Prüfung: Die Summe der Häufigkeiten muss zur Zahl der befragten Kinder passen.

Anteil „zu Fuß“: $\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$

Anteil „Auto“: $\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$

Für Kategorien wie Verkehrsmittel eignet sich ein Säulendiagramm besonders gut. Ein Liniendiagramm ist dagegen sinnvoller, wenn eine Größe in einer geordneten Folge oder über die Zeit betrachtet wird.

Eine Tabelle zeigt genaue Werte. Ein Diagramm macht Muster und Unterschiede schnell sichtbar. Das passende Modell hängt also auch davon ab, was Du wissen möchtest.

Beispiel 7: Verpacken und 3D-Modell

Eine Kiste hat die Innenmaße $30\mathrm{c}\mathrm{m}\times 20\mathrm{c}\mathrm{m}\times 10\mathrm{c}\mathrm{m}$. Kleine Schachteln sind $10\mathrm{c}\mathrm{m}\times 10\mathrm{c}\mathrm{m}\times 5\mathrm{c}\mathrm{m}$ groß.

Entlang der Länge: $30:10=3$

Entlang der Breite: $20:10=2$

Entlang der Höhe: $10:5=2$

Modell für die Anzahl: $3\cdot 2\cdot 2=12$

Prüfung über Volumen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle V_{\mathrm{groß}}=30\cdot20\cdot10=6000\,\mathrm{cm}^3}

$V_{\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{n}}=10\cdot 10\cdot 5=500{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

$6000:500=12$

Beide Modelle liefern $12$. Das ist ein starker Kontrollhinweis, weil auch die Seitenlängen ohne Rest aufgehen.

Ergebnisse prüfen und Modelle verbessern

Fünf Prüfungen

Prüfung	Frage	Beispiel
Einheitencheck	Ist die Einheit passend?	Zaun in $\mathrm{m}$, Fläche in ${\mathrm{m}}^2$
Größenordnungscheck	Ist das Ergebnis ungefähr erwartbar?	$30$ Personen brauchen eher mehrere Liter als $\mathrm{0,2}\mathrm{l}$.
Überschlag	Liegt die genaue Rechnung nahe bei einer einfachen Näherung?	$4\cdot \mathrm{2,49}\approx 4\cdot \mathrm{2,50}=10$
Rückbezug	Beantwortet das Ergebnis wirklich die Ausgangsfrage?	Gefragt sind Flaschen, also nicht bei $\mathrm{7,5}\mathrm{l}$ aufhören.
Annahmencheck	Wie verändert eine andere plausible Annahme das Ergebnis?	$250\mathrm{m}\mathrm{l}$ oder $300\mathrm{m}\mathrm{l}$ pro Person.

Sensitivität: Wie stark wirkt eine Annahme?

Nenne die Trinkmenge pro Person $m$ und die Personenzahl $n$. Dann ist die benötigte Gesamtmenge

$G=n\cdot m$.

Bei $n=30$:

Annahme $m$	Rechnung	Gesamtmenge	Ganze 1-l-Flaschen
$200\mathrm{m}\mathrm{l}$	$30\cdot 200$	$6\mathrm{l}$	6
$250\mathrm{m}\mathrm{l}$	$30\cdot 250$	$\mathrm{7,5}\mathrm{l}$	8
$300\mathrm{m}\mathrm{l}$	$30\cdot 300$	$9\mathrm{l}$	9

E-Niveau: Ein Modell ist besonders überzeugend, wenn Du erklären kannst, wie stark sich das Ergebnis bei veränderten Annahmen verändert.

Modellierungsfehler erkennen

Fehler	Beispiel	Verbesserung
wichtige Größe fehlt	Flaschengröße wird nicht beachtet	Verpackungseinheit ergänzen
falsche Operation	$30+250$ statt $30\cdot 250$	Bedeutung der Zahlen klären
Einheiten gemischt	$2\mathrm{l}+300\mathrm{m}\mathrm{l}=302$	zuerst gleiche Einheit herstellen
unpassend gerundet	$\mathrm{7,5}$ Flaschen auf $7$ abrunden	im Kontext auf ganze Flaschen aufrunden
Ergebnis nicht gedeutet	nur „8“ hinschreiben	„Es werden mindestens 8 Flaschen benötigt.“
Annahme als Fakt ausgegeben	„Jede Person trinkt genau 250 ml.“	„Ich nehme ungefähr 250 ml pro Person an.“

Dein Modellierungs-Check

Modell-Tagebuch

Für eigene Aufgaben kannst Du diese Vorlage benutzen:

Feld	Dein Eintrag
Reale Situation	…
Ausgangsfrage	…
Wichtige Größen mit Einheiten	…
Unwichtige Informationen	…
Fehlende Informationen	…
Meine Annahmen	…
Gewählte Operationen / Formeln	…
Rechnung / Tabelle / Diagramm / Skizze	…
Ergebnis mit Einheit	…
Plausibilitätsprüfung	…
Was würde ich am Modell verbessern?	…

Schnelltest vor der Abgabe

1. Habe ich die Frage wirklich beantwortet?
2. Sind alle benötigten Größen und Einheiten genannt?
3. Habe ich meine Annahmen sichtbar gemacht?
4. Kann ich meine Operationen begründen?
5. Habe ich sinnvoll gerundet?
6. Habe ich das Ergebnis mit einem Überschlag, einer Gegenrechnung oder einer zweiten Darstellung geprüft?
7. Passt mein Ergebnis zur Wirklichkeit?

Rechtssichere Medien und Quellenhinweise

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Für eine Weiterverwendung gelten die Lizenzangaben auf den jeweiligen Dateiseiten. Besonders einfach wiederverwendbar sind die hier eingesetzten CC0- und gemeinfreien Medien.

Medium	Lizenz laut Wikimedia Commons	Quelle
Shopping Cart Supermarket.jpg	CC0	Commons-Dateiseite
Measuring tape (51029469626).jpg	CC0	Commons-Dateiseite
Ruler.svg	CC0	Commons-Dateiseite
Number-line.svg	CC0	Commons-Dateiseite
MeasuringCups.jpg	gemeinfrei	Commons-Dateiseite
QuaderNetz.svg	gemeinfrei	Commons-Dateiseite
Pie-chart.svg	CC0	Commons-Dateiseite
Line graph1.svg	CC0	Commons-Dateiseite
Charts SVG Example 1 - Simple Bar Chart.svg	CC BY-SA 3.0	Commons-Dateiseite

Die interaktiven Mathematikwerkzeuge werden von GeoGebra eingebettet und nicht in den aiMOOC kopiert. Die YouTube-Videos werden über die YouTube-Einbettung angezeigt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was gehört beim Entwickeln eines mathematischen Modells zuerst geklärt? (Die reale Frage und welche Informationen wichtig sind) (!Nur das Endergebnis) (!Die schönste Rechenart) (!Die Anzahl der Nachkommastellen)

Welche Rechnung passt zu 30 Personen mit je 250 ml Getränk? (30 mal 250 ml) (!30 plus 250 ml) (!250 ml minus 30) (!250 ml geteilt durch 30 ohne Bezug zur Portion)

Welche Größe brauchst Du, wenn ein rechteckiger Garten vollständig eingezäunt werden soll? (Den Umfang) (!Den Flächeninhalt) (!Das Volumen) (!Die Masse)

Warum werden Annahmen in einem Modell ausdrücklich notiert? (Damit erkennbar ist, welche Vereinfachungen das Ergebnis beeinflussen) (!Damit die Rechnung länger wird) (!Damit Einheiten weggelassen werden können) (!Damit jede Aufgabe nur eine Lösung haben darf)

Warum müssen bei einer Rechnung mit Größen die Einheiten beachtet werden? (Damit nur sinnvoll vergleichbare oder umgerechnete Größen miteinander verrechnet werden) (!Damit jede Zahl größer wird) (!Damit man nicht mehr rechnen muss) (!Damit alle Größen in Kilogramm angegeben werden)

Ein Modell ergibt 7,5 benötigte 1-l-Flaschen. Was ist für den Einkauf meist sinnvoll? (Auf 8 ganze Flaschen aufrunden) (!Auf 7 Flaschen abrunden) (!7,5 geschlossene Flaschen kaufen) (!Die Einheit Liter vollständig ignorieren)

Wozu dient ein Überschlag bei einer Modellierungsaufgabe? (Zur Prüfung der Größenordnung eines Ergebnisses) (!Zur Ersetzung jeder genauen Rechnung) (!Zum Entfernen aller Einheiten) (!Zum Beweisen, dass jede Annahme stimmt)

Welche Darstellung eignet sich besonders, um Häufigkeiten verschiedener Kategorien schnell zu vergleichen? (Ein Säulen- oder Balkendiagramm) (!Ein ungeordneter Fließtext) (!Eine zufällige Zahlenfolge) (!Eine leere Zahlengerade)

Was zeigt ein gutes E-Niveau-Modell zusätzlich zur Rechnung? (Eine begründete Auswahl von Größen und eine Prüfung des Ergebnisses) (!Nur möglichst viele Zahlen) (!Nur eine Formel ohne Erklärung) (!Eine Antwort ohne Einheit)

Wann sollte ein mathematisches Modell verbessert werden? (Wenn Prüfung oder Realität zeigen, dass Annahmen oder Vereinfachungen unpassend sind) (!Sobald eine Multiplikation vorkommt) (!Wenn das Ergebnis eine ganze Zahl ist) (!Wenn eine Tabelle benutzt wurde)

Memory

Ausgangsfrage	bestimmt, was das Modell beantworten soll
Relevante Größe	wird für die Lösung wirklich benötigt
Annahme	begründete Vereinfachung bei fehlenden Angaben
Überschlag	prüft die Größenordnung
Umfang	beschreibt die Länge des Randes
Flächeninhalt	beschreibt die Größe einer Fläche
Einheit	macht eine Größenangabe eindeutig
Validierung	Vergleich des Modellergebnisses mit der Ausgangssituation

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Ausgangssituation verstehen	Frage klären
Wichtige Größen auswählen	Vereinfachen
Fehlende Angaben begründet ergänzen	Annahmen formulieren
Rechenarten oder Formeln festlegen	Mathematisieren
Rechnung Tabelle oder Diagramm erstellen	Im Modell arbeiten
Bedeutung des Ergebnisses erklären	Interpretieren
Ergebnis mit der Wirklichkeit vergleichen	Validieren

Kreuzworträtsel

Modell	Wie heißt eine vereinfachte mathematische Beschreibung einer realen Situation?
Annahme	Wie heißt eine begründete Festlegung für eine fehlende Information?
Addition	Welche Rechenart verbindet mehrere Mengen zu einer Gesamtmenge?
Division	Welche Rechenart eignet sich zum gleichmäßigen Verteilen?
Umfang	Welche Größe beschreibt die Länge des Randes einer Figur?
Kontrolle	Wie nennt man die abschließende Prüfung eines Ergebnisses mit einem allgemeinen Wort?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein mathematisches Modell beschreibt einen Ausschnitt der mit mathematischen Mitteln. Am Anfang muss die klar sein. Nur für die Frage wichtige Informationen heißen Informationen. Wenn Angaben fehlen, darfst Du begründete formulieren. Vor dem Rechnen müssen Größen in passende umgerechnet werden. Wiederholt sich dieselbe Menge mehrfach, kann eine passen. Beim gleichmäßigen Verteilen ist oft die geeignet. Für einen Zaun um eine rechteckige Fläche brauchst Du den . Für Rollrasen im Rechteck brauchst Du den . Ein grober Vergleichswert durch einfaches Rechnen heißt . Nach der Rechnung musst Du das Ergebnis in die reale Situation . Abschließend vergleichst Du das Ergebnis mit dem Ausgangsproblem und Dein Modell.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Einkaufsmodell erstellen: Wähle fünf Produkte eines erfundenen Pausenverkaufs, lege realistische Preise fest und berechne die Kosten für verschiedene Stückzahlen. Notiere eine Annahme und führe einen Überschlag durch.
2. Schulweg messen: Schätze die Länge eines bekannten Weges, miss oder recherchiere sie anschließend und vergleiche Schätzung und Messwert. Erkläre, welche Größe Dein Modell verbessern würde.
3. Getränkemodell: Plane den Getränkebedarf für eine kleine Gruppe. Rechne mit zwei verschiedenen Annahmen zur Trinkmenge und vergleiche die Ergebnisse.
4. Klassendiagramm: Erhebe eine kleine, anonyme Klassenumfrage, stelle die Daten als Tabelle und Säulendiagramm dar und erkläre, welche Darstellung welche Frage besser beantwortet.

Standard

1. Zwei Modelle vergleichen: Entwickle für dieselbe Alltagssituation zwei unterschiedliche sinnvolle Annahmen. Berechne beide Modelle und entscheide, welches Du für die Planung verwenden würdest.
2. Raum oder Garten modellieren: Miss einen rechteckigen Bereich. Berechne Umfang und Fläche und formuliere je eine reale Frage, bei der jeweils nur eine der beiden Größen benötigt wird.
3. Plan zeichnen: Zeichne einen kleinen Raum oder Schulhofausschnitt maßstäblich. Gib den Maßstab an und überprüfe mindestens zwei Strecken durch Rückrechnung.
4. Verpackung untersuchen: Untersuche eine quaderförmige Verpackung. Erstelle ein Netz, bestimme sinnvolle Maße und erkläre, welche Informationen ein reines Volumenmodell nicht erfasst.

Schwer

1. Fermi-Modell: Schätze mit begründeten Annahmen, wie viele Blatt Papier Deine Klasse in einer Schulwoche benötigt. Dokumentiere Annahmen, Rechnung, Unsicherheiten und eine Möglichkeit zur Überprüfung.
2. Annahmen testen: Wähle ein eigenes Modell mit mindestens zwei Annahmen. Verändere jede Annahme einzeln und untersuche, welche Änderung das Ergebnis am stärksten beeinflusst.
3. Fehlermodell finden: Erfinde eine scheinbar plausible, aber mathematisch oder sachlich fehlerhafte Modellierung. Tausche sie mit einer anderen Person und lasse den Fehler begründet finden und verbessern.
4. Mini-Forschungsprojekt: Formuliere eine eigene reale Frage aus Schule, Freizeit oder Umwelt, erhebe oder schätze benötigte Daten, entwickle ein Modell, visualisiere es und prüfe Dein Ergebnis mit einer zweiten Methode oder realen Messung.

Lernkontrolle

1. Getränkeplanung mit fehlenden Daten: Für ein Sportfest werden Getränke geplant. Bekannt sind nur die Zahl der Teilnehmenden und die Flaschengröße. Formuliere mindestens zwei notwendige Annahmen, entwickle ein Modell und erkläre, wie Du das Ergebnis überprüfen würdest.
2. Umfang oder Fläche: Ein Schulhof soll teilweise neu gestaltet werden. Entscheide für drei Maßnahmen wie Zaun, Bodenbelag und Randmarkierung jeweils, ob Umfang, Fläche oder eine andere Größe benötigt wird. Begründe jede Entscheidung.
3. Unmögliches Ergebnis: Eine Rechnung behauptet, dass $25$ Personen zusammen nur $\mathrm{0,4}\mathrm{l}$ Wasser benötigen. Entwickle zwei Prüfungen, mit denen Du zeigen kannst, warum das Modell wahrscheinlich ungeeignet ist.
4. Darstellung auswählen: Gegeben seien Daten zum Schulweg einer Klasse. Entscheide, ob Tabelle, Säulendiagramm oder Kreisdiagramm für zwei unterschiedliche Fragestellungen jeweils am geeignetsten ist, und begründe Deine Wahl.
5. Robustes Modell: Ein Modell für die Gehzeit zur Schule verwendet $\mathrm{1,5}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$ pro $100\mathrm{m}$. Zeige, wie sich das Ergebnis verändert, wenn Du mit $\mathrm{1,3}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$ oder $\mathrm{1,8}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}$ rechnest. Erkläre, welche Planung Du für einen wichtigen Termin verwenden würdest.
6. Modell verbessern: Beschreibe zu einer selbst gewählten Alltagssituation einen vollständigen Weg von der realen Frage über Annahmen und Rechnung bis zur Überprüfung. Nenne ausdrücklich eine Grenze Deines Modells und eine Verbesserung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu M5 E - Eigene mathematische Modelle entwickeln ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse berechnest, sondern Deinen Modellierungsweg nachvollziehbar machst.

1. Du formulierst eine eindeutige reale Ausgangsfrage.
2. Du wählst relevante Größen aus und gibst Einheiten korrekt an.
3. Du erkennst fehlende Angaben und formulierst begründete Annahmen.
4. Du wählst passende Rechenoperationen, Formeln oder Darstellungen und begründest diese Auswahl.
5. Du führst Rechnungen nachvollziehbar und mit passenden Einheiten aus.
6. Du nutzt mindestens eine geeignete Darstellung wie Tabelle, Skizze, Zahlengerade oder Diagramm.
7. Du rundest situationsgerecht, zum Beispiel auf ganze Packungen oder Flaschen.
8. Du interpretierst das mathematische Ergebnis im Ausgangsproblem.
9. Du prüfst das Ergebnis mit Überschlag, Gegenrechnung, zweiter Darstellung oder Realitätsvergleich.
10. Du benennst mindestens eine Grenze des Modells und schlägst bei Bedarf eine Verbesserung vor.

OERs zum Thema

Weiterführende freie oder offen zugängliche Lernangebote:

1. GeoGebra Mathematik-Materialien: Interaktive Materialien für Sekundarstufe I, darunter natürliche Zahlen, Größen, Geometrie, Tabellen und Diagramme.
2. GeoGebra Tabellen und Diagramme: Materialien für Schulstufe 5–6 zum Lesen, Interpretieren und Darstellen von Daten.
3. Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Interaktive und digitale Mathematikangebote, darunter Materialien für Klasse 5 und E-Niveau.
4. Wikipedia: Mathematisches Modell: Hintergrund dazu, dass Modelle Ausschnitte der beobachtbaren Welt mathematisch beschreiben und durch Vergleich mit der Realität validiert werden.

Verknüpfte Lernbereiche

Mathematische Modellierung Grundrechenarten Größen und Einheiten Überschlag Runden Umfang Flächeninhalt Volumen Bruchrechnung Maßstab Tabellen Diagramme Sachaufgaben Plausibilitätsprüfung