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M3 Knobeln - Zufall und Möglichkeiten - Mathematik

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M3 Knobeln - Zufall und Möglichkeiten - Mathematik

Einleitung

Klasse 3 · Mathematik · Übungsstufe Knobeln

Du untersuchst den Zufall, findest alle Möglichkeiten und prüfst Deine Ideen. Du brauchst einen Würfel, eine Münze, Papier und rote und blaue Plättchen. Kleine Zahlen reichen aus. Wir bleiben im Zahlenraum bis 1000.

Dein Weg: Erst legen. Dann malen. Dann Zahlen oder Wörter aufschreiben. Am Ende machst Du eine Gegenprobe: Du prüfst Deinen Weg noch einmal anders.

In der Übungswelt Mathe 3 auf MOOCwiki kannst Du weiterüben. Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen, keine Schulzweige. Auch das Mathe-3-Lernpaket zu Zufall und Möglichkeiten passt dazu.

Was kann passieren?

Ein Zufallsversuch ist ein Versuch, dessen Ergebnis Du vorher nicht sicher kennst. Bei einem normalen Würfel sind die Zahlen von 1 bis 6 möglich.

Sicher: Der Würfel zeigt eine Zahl von 1 bis 6. Möglich: Er zeigt eine 4. Unmöglich: Er zeigt eine 7.

Verständnisfrage: Kann zweimal hintereinander eine 6 fallen? Erkläre Deine Vermutung und probiere es aus.

Videofrage: Was bedeuten „sicher“, „möglich“ und „unmöglich“?

Münze: Kopf oder Zahl

Eine Münze hat zwei Seiten. Wir nennen sie Kopf und Zahl. Bei jedem Wurf kann eine von beiden oben liegen.

Hörfrage: Hörst Du an diesem Münzgeräusch, ob beim nächsten Münzwurf Kopf oder Zahl kommt? Warum nicht?

Probiere: Wirf eine Münze zehnmal. Mache für Kopf und Zahl je eine Strichliste. Das Ergebnis kann bei einem zweiten Versuch anders sein.

Knobeln mit Farben

Lege in einen Beutel 3 rote und 1 blaues Plättchen. Ziehe ohne hinzusehen ein Plättchen. Lege es danach zurück.

Das Foto zeigt bunte Murmeln als Beispiel. Für den Versuch zählen nur Deine vier Plättchen.

Vermutung: Rot ist wahrscheinlicher als Blau. Warum? Es gibt mehr rote Plättchen. Gegenprobe: Lege alle vier Plättchen nebeneinander: Rot – Rot – Rot – Blau. Zähle nach. Ziehe anschließend zehnmal mit Zurücklegen. Eine kurze Versuchsreihe muss Deine Vermutung nicht genau widerspiegeln.

Hilfe 1: Lege die Farben sichtbar hin. Hilfe 2: Zähle Rot und Blau einzeln. Hilfe 3: Vergleiche, welche Farbe öfter vertreten ist.

Verständnisfrage: Ist Blau unmöglich? Begründe Deine Antwort.

Alle Möglichkeiten finden

Du hast 2 T-Shirts (rot, blau) und 2 Mützen (weiß, schwarz). Wie viele Outfits kannst Du bilden?

Legen: Nutze vier selbst geschriebene Kleiderkarten. Malen: Zeichne zu jedem T-Shirt beide Mützen. Schreiben: Rot–Weiß, Rot–Schwarz, Blau–Weiß, Blau–Schwarz. Rechnen: 2 · 2 = 4 Kombinationen.

Gegenprobe: Vertausche die Reihenfolge: Beginne mit jeder Mütze und ordne beide T-Shirts zu. Wieder entstehen vier Outfits.

Videofrage: Wie hilft eine feste Reihenfolge, damit Du nichts vergisst?

Münze zweimal werfen

Die Reihenfolge zählt. Du kannst Kopf–Kopf, Kopf–Zahl, Zahl–Kopf oder Zahl–Zahl erhalten.

Sieh Dir nur die vier Wege an. Die Brüche im Bild brauchst Du noch nicht.

Knobelfrage: Warum sind Kopf–Zahl und Zahl–Kopf zwei Wege? Gegenprobe: Lege mit zwei beschrifteten Kärtchen alle Reihenfolgen und zähle nach.

Zwei Würfel: Gleiche Summe, andere Wege

Wenn Du zwei Würfel wirfst, kannst Du die Augenzahlen addieren. Die Summe 4 entsteht zum Beispiel durch 1 + 3, 2 + 2 oder 3 + 1. Beim Aufschreiben zählt, welcher Würfel welche Zahl zeigt.

Zusatzbild: Suche in der großen Übersicht nur die drei Wege zur Summe 4.

Hilfe 1: Nimm zwei Würfel in verschiedenen Farben. Hilfe 2: Suche zuerst alle Wege mit dem ersten Würfel auf 1. Hilfe 3: Kontrolliere Deine Liste in umgekehrter Reihenfolge.

Beobachten statt raten

Bei vielen Münzwürfen sind Kopf und Zahl oft ungefähr gleich häufig. Bei nur wenigen Würfen kann es ganz anders aussehen.

Animation: Rot und Blau stehen für die beiden Münzseiten. Beobachte, wie sich die Säulen verändern.

Zusatzvideo für Neugierige: Erst selbst probieren, dann vergleichen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Kreuze an. Lies die Erklärung erst nach Deiner Antwort.

Welche Zahl ist mit einem normalen Würfel unmöglich? (7) (!1) (!3) (!6)

Feedback: Ein normaler Würfel zeigt nur die Zahlen 1 bis 6.

Im Beutel liegen 3 rote und 1 blaues Plättchen. Welche Farbe ist wahrscheinlicher? (Rot) (!Blau) (!Beide sind sicher) (!Keine Farbe)

Feedback: Drei von vier Plättchen sind rot. Blau bleibt trotzdem möglich.

Was ist bei einem Wurf mit einem normalen Würfel sicher? (Eine Zahl von 1 bis 6 erscheint) (!Es erscheint eine 6) (!Es erscheint eine gerade Zahl) (!Es erscheint eine 1)

Feedback: Alle sechs Augenzahlen sind möglich, aber keine einzelne Zahl ist sicher.

Du hast zwei T-Shirts und zwei Mützen. Wie viele Outfits gibt es? (4) (!2) (!3) (!6)

Feedback: Zu jedem T-Shirt passen beide Mützen. Das ergibt 2 mal 2 Kombinationen.

Wie prüfst Du, ob Du alle Outfits gefunden hast? (Du ordnest sie noch einmal anders) (!Du rätst eine größere Zahl) (!Du zählst nur die T-Shirts) (!Du lässt ein Outfit weg)

Feedback: Eine neue Ordnung ist eine Gegenprobe. Sie hilft gegen vergessene Paare.

Wie viele Reihenfolgen gibt es bei zwei Münzwürfen? (4) (!2) (!3) (!8)

Feedback: Kopf–Zahl und Zahl–Kopf zählen getrennt. Zusammen sind es vier Wege.

Im Beutel liegen nur rote und blaue Plättchen. Welche Farbe kannst Du nicht ziehen? (Gelb) (!Rot) (!Blau) (!Rot oder Blau)

Feedback: Gelb liegt nicht im Beutel. Darum ist Gelb unmöglich.

Du ziehst nacheinander zwei Plättchen ohne Zurücklegen aus Rot, Rot und Blau. Wie viele verschiedene Farbreihenfolgen sind möglich? (3) (!2) (!4) (!6)

Feedback: Möglich sind Rot–Rot, Rot–Blau und Blau–Rot. Zwei rote Plättchen ergeben keine neue Farbe.

Bei zehn Würfen kam keine 6. Kann beim nächsten Wurf eine 6 kommen? (Ja das ist möglich) (!Nein das ist unmöglich) (!Ja das ist sicher) (!Nur wenn vorher eine 5 kam)

Feedback: Jeder neue Wurf ist offen. Die bisherigen Würfe legen die nächste Zahl nicht fest.

Du tauschst bei 2 roten und 1 blauen Plättchen ein rotes gegen ein blaues. Was gilt danach? (Blau ist wahrscheinlicher) (!Rot ist sicher) (!Blau ist unmöglich) (!Beide Farben sind gleich häufig)

Feedback: Danach gibt es 1 rotes und 2 blaue Plättchen. Blau liegt öfter im Beutel.

Memory

Finde die passenden Begriffspaare.

Zufall	Ein Ergebnis steht vorher nicht fest
Sicher	Das Ereignis muss eintreten
Unmöglich	Das Ereignis kann nicht eintreten
Kombination	Eine Zusammenstellung von Dingen
Gegenprobe	Das Ergebnis auf anderem Weg prüfen
Tabelle	Ergebnisse übersichtlich ordnen

Drag and Drop

Ordne die Begriffe den passenden Beschreibungen zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Beispiel
unmöglich	Eine Sieben mit einem normalen Würfel würfeln
sicher	Mit dem normalen Würfel eine Zahl von eins bis sechs erhalten
möglich	Beim Münzwurf Kopf erhalten
wahrscheinlicher	Rot aus einem Beutel mit mehr roten als blauen Plättchen ziehen
Gegenprobe	Alle Kleidungs-Paare anders geordnet erneut aufschreiben

Kreuzworträtsel

Würfel	Womit kannst Du die Augenzahlen eins bis sechs werfen?
Beutel	Woraus ziehst Du ein Plättchen ohne hinzusehen?
Tabelle	Worin kannst Du Ergebnisse in Zeilen und Spalten ordnen?
Zufall	Was bestimmt das nicht sicher vorhersehbare Würfelergebnis?
Münze	Was wirfst Du für Kopf oder Zahl?
Gegenprobe	Wie heißt die Prüfung auf einem zweiten Weg?

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Würfel: Würfle zehnmal. Male eine Strichliste.
Zufall: Denke Dir je ein sicheres, mögliches und unmögliches Würfelereignis aus.
Münzwurf: Wirf eine Münze zehnmal. Erzähle, was Dich überrascht.
Kombination: Lege alle Paare aus zwei Farben und zwei Formen.

Standard

Wahrscheinlichkeit: Fülle einen Beutel mit drei roten und einem blauen Plättchen. Vermute und ziehe zehnmal mit Zurücklegen.
Tabelle: Male alle Outfits aus zwei T-Shirts und drei Mützen. Kontrolliere sie mit einer Tabelle.
Gegenprobe: Finde die Wege zur Würfelsumme vier durch Legen und Rechnen.
Baumdiagramm: Zeige die vier Reihenfolgen von zwei Münzwürfen mit Pfeilen.

Schwer

Kombinatorik: Finde alle verschiedenen Farbreihenfolgen beim Ziehen von zwei Plättchen aus Rot, Rot und Blau ohne Zurücklegen. Begründe, dass keine fehlt.
Fairness: Erfinde ein Beutelspiel mit zwei Farben. Ändere ein Plättchen. Erkläre, wie die Gewinnchance sich ändert.
Datenerhebung: Vergleiche zwei Zehnerreihen beim Münzwurf. Warum müssen die Strichlisten nicht gleich sein?
Transfer: Plane ein Eis-Spiel mit zwei Sorten und drei Streuseln. Wie viele verschiedene Bestellungen gibt es? Zeige zwei Lösungswege und eine Gegenprobe.

Lernkontrolle

Erkläre bei jeder Aufgabe Deinen Weg. Du darfst legen, zeichnen oder schreiben.

Argumentieren: Im Beutel liegen zwei rote und zwei blaue Plättchen. Ein Kind sagt: „Ich ziehe sicher Rot.“ Erkläre, warum das nicht stimmt.
Modellieren: Du hast zwei Hosen und drei Oberteile. Zeige alle Möglichkeiten auf zwei verschiedene Arten. Wie prüfst Du Deine Liste?
Zufallsversuch: Bei zehn Würfen kam achtmal Blau aus einem Beutel mit zwei blauen und zwei roten Plättchen. Ist der Beutel deshalb unfair? Begründe.
Problemlösen: Erfinde eine Würfelregel, bei der Gewinnen unmöglich ist. Verändere sie so, dass Gewinnen möglich wird.
Transfer: Du hast zwei Eissorten und drei Streuselarten. Begründe die Anzahl der Bestellungen und finde eine Gegenprobe.

Lernnachweis

Zeige Deiner Lehrkraft Dein Forscherblatt. Es enthält:

Eine Vermutung über ein Zufallsspiel mit Begründung.
Eine Zeichnung oder Fotos Deiner gelegten Möglichkeiten.
Eine Tabelle oder Strichliste mit zehn Versuchen.
Eine passende Rechnung mit kleinen Zahlen.
Eine Gegenprobe und eine kurze Erklärung, ob Deine Vermutung bestätigt wurde.
Eine selbst erfundene neue Aufgabe mit Lösung.

OERs zum Thema

Zum Weiterlesen für Erwachsene: Zufallsexperiment auf Wikipedia. Der Fachtext ist deutlich schwieriger als dieser Kurs.

Unterrichtsideen für Klasse 3 und 4: PIKAS: Zufallsexperimente. Dort werden unter anderem Würfelversuche, Vermutungen und das Nachprüfen vorgestellt.

Mediennachweise und Lizenzen

Alle genannten Commons-Dateien wurden anhand ihrer Dateiseiten geprüft. Die Dateien werden hier vollständig und ohne eigenen Beschnitt dargestellt; nur die Anzeigegröße ist verkleinert.

6sided dice.jpg – Foto mit sechsseitigen Würfeln, Diacritica, CC BY-SA 3.0; verwendet als ganzes Bild.
Coin tossing.JPG – Foto eines Münzwurfs, Филип Романски, CC BY-SA 3.0; ganzes Bild.
Shaking coins in palm.ogg – Münzgeräusch, ezwa, gemeinfrei; ganze Aufnahme, 3,6 Sekunden.
Marbles - Flickr - michaelroper.jpg – Murmeln, Michael Roper, CC BY-SA 2.0; ganzes Bild, nicht als genaue Beutelverteilung zu lesen.
01 Baumdiagramm-2 Münzenwürfe.svg – zwei Münzwürfe, Petrus3743, nach Leightwing, CC BY-SA 4.0; ganzes Bild, nur die vier Wege sind Lernstoff.
Roll2dice.svg – mögliche Ergebnisse mit zwei Würfeln, Niyumard, CC BY-SA 4.0; ganzes Bild, nur die Summe vier ist Lernstoff.
Lawoflargenumbersanimation.gif – Münzwurf-Animation, Sbyrnes321, gemeinfrei; vollständige Animation, ungefähr 17 Sekunden.
Wahrscheinlichkeit: Das Glücksrad – Lernen mit Leo; Video zu sicher, möglich, unmöglich, vollständige YouTube-Einbettung.
Kombinieren: alle Möglichkeiten finden – Schule einfach einfach; für Klassen 3 bis 5, vollständige YouTube-Einbettung.
Zufallsexperimente – Einfach erklärt – Cornelsen Verlag; für Klasse 4, als freiwillige Vertiefung, vollständige YouTube-Einbettung.

Rechtehinweis: Für die YouTube-Videos wurde keine freie Nachnutzungslizenz bestätigt. Sie sind nur eingebettet; die Rechte bleiben bei den jeweiligen Verantwortlichen. Es wurde kein bestimmter Zeitabschnitt als einzeln geprüft behauptet.