Lineare Gleichungen lösen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Lineare Gleichungen lösen ist ein zentrales Thema der Algebra in Klasse 7 und 8. Du lernst dabei, eine Gleichung so umzuformen, dass die Unbekannte allein auf einer Seite steht. Die Grundidee ist einfach: Eine Gleichung verhält sich wie eine Waage. Was Du auf der einen Seite tust, musst Du auch auf der anderen Seite tun, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt.

Eine typische lineare Gleichung mit einer Unbekannten hat die Form $a\cdot x+b=c$. Dabei ist $x$ die Unbekannte, $a$, $b$ und $c$ sind bekannte Zahlen. Eine Gleichung heißt linear, wenn die Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt. Das bedeutet: $x$ ist erlaubt, aber $x^2$, $x^3$ oder $\sqrt{x}$ gehören nicht zu linearen Gleichungen.

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Grundbegriffe

Gleichung

Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage mit einem Gleichheitszeichen. Links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen Terme. Eine Gleichung ist erfüllt, wenn beide Seiten denselben Wert haben.

Beispiel:

$2x+3=11$

Links steht der Term $2x+3$, rechts steht die Zahl $11$. Die Frage lautet: Für welche Zahl $x$ wird die Aussage wahr?

Setzt Du $x=4$ ein, erhältst Du:

$2\cdot 4+3=8+3=11$

Damit ist $x=4$ die Lösung der Gleichung.

Unbekannte und Variable

Die Unbekannte wird meistens mit $x$ bezeichnet. Sie kann aber auch andere Buchstaben haben, zum Beispiel $y$, $a$, $n$ oder $t$. In Sachaufgaben steht die Variable oft für eine gesuchte Größe, zum Beispiel für einen Preis, eine Länge, ein Alter oder eine Anzahl.

Beispiel:

$p+7=20$

Hier könnte $p$ für einen Preis stehen. Die Gleichung bedeutet: Ein Preis plus 7 ergibt 20. Die Lösung ist $p=13$.

Lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten kann durch Äquivalenzumformungen gelöst werden. Typische Beispiele sind:

$x+5=12$

$3x=18$

$2x-7=9$

$5x+4=2x+19$

$\frac{x}{3}+2=8$

Alle diese Gleichungen sind linear, weil die Unbekannte nicht potenziert, nicht unter einer Wurzel und nicht im Nenner vorkommt.

Lösung und Lösungsmenge

Die Lösung einer Gleichung ist die Zahl, die Du für die Unbekannte einsetzen kannst, damit die Gleichung stimmt. Die Lösungsmenge fasst alle Lösungen zusammen.

Beispiel:

$x+6=10$

$x=4$

Die Lösungsmenge ist:

$L=\{4\}$

In Klasse 7 und 8 geht es meistens um Gleichungen mit genau einer Lösung. Es gibt aber auch besondere Fälle: Manche Gleichungen haben keine Lösung, andere haben unendlich viele Lösungen.

Das Waageprinzip

Das Waageprinzip ist eine anschauliche Vorstellung für Äquivalenzumformungen. Eine Gleichung bleibt wahr, wenn Du auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation ausführst.

Umformung	Beispiel	Bedeutung
Auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren	$x-5=9|+5$	Die Gleichung bleibt im Gleichgewicht.
Auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren	$x+7=15|-7$	Ein Summand wird entfernt.
Beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren	$\frac{x}{4}=3|\cdot 4$	Ein Bruch wird beseitigt.
Beide Seiten durch dieselbe Zahl teilen	$6x=30|:6$	Der Faktor vor der Unbekannten wird beseitigt.

Wichtig: Du darfst nicht durch $0$ teilen. Division durch $0$ ist in der Mathematik nicht definiert.

Äquivalenzumformungen

Was bedeutet äquivalent?

Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Beim Lösen einer Gleichung willst Du sie Schritt für Schritt in eine einfachere, aber gleichwertige Gleichung umformen.

Beispiel:

$2x+3=11$

Subtrahiere auf beiden Seiten $3$:

$2x=8$

Teile beide Seiten durch $2$:

$x=4$

Alle drei Gleichungen haben dieselbe Lösung $x=4$. Deshalb sind sie in Bezug auf die Lösungsmenge äquivalent.

Schreibweise mit Umformungsstrich

In der Schule wird häufig ein Umformungsstrich verwendet. Rechts neben dem Strich steht, welche Rechenoperation auf beiden Seiten durchgeführt wird.

$2x+3=11|-3$

$2x=8|:2$

$x=4$

Diese Schreibweise hilft Dir, jeden Schritt nachvollziehbar zu dokumentieren.

Grundverfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Gleichungen der Form x plus Zahl

Beispiel:

$x+9=21$

Um $x$ allein zu erhalten, subtrahierst Du $9$ auf beiden Seiten:

$x+9=21|-9$

$x=12$

Probe:

$12+9=21$

Die Lösung stimmt.

Gleichungen der Form x minus Zahl

Beispiel:

$x-8=17$

Addiere $8$ auf beiden Seiten:

$x-8=17|+8$

$x=25$

Probe:

$25-8=17$

Gleichungen der Form Faktor mal x

Beispiel:

$5x=45$

Teile beide Seiten durch $5$:

$5x=45|:5$

$x=9$

Probe:

$5\cdot 9=45$

Gleichungen der Form x geteilt durch Zahl

Beispiel:

$\frac{x}{6}=7$

Multipliziere beide Seiten mit $6$:

$\frac{x}{6}=7|\cdot 6$

$x=42$

Probe:

$\frac{42}{6}=7$

Gleichungen mit mehreren Rechenschritten

Viele lineare Gleichungen bestehen aus mehreren Teilen. Dann löst Du sie in einer sinnvollen Reihenfolge.

Beispiel:

$4x-5=23$

Zuerst beseitigst Du die Zahl, die mit $x$ verbunden ist:

$4x-5=23|+5$

$4x=28|:4$

$x=7$

Probe:

$4\cdot 7-5=28-5=23$

Merksatz

Beim Lösen linearer Gleichungen arbeitest Du oft rückwärts zur Rechenreihenfolge: Zuerst löst Du Additionen und Subtraktionen, danach Multiplikationen und Divisionen.

Beispiel:

$3x+10=31$

Zuerst $-10$, dann $:3$:

$3x+10=31|-10$

$3x=21|:3$

$x=7$

Gleichungen mit x auf beiden Seiten

Bei manchen Gleichungen kommt die Unbekannte auf beiden Seiten vor.

Beispiel:

$5x+4=2x+19$

Zuerst sammelst Du alle $x$-Terme auf einer Seite. Subtrahiere $2x$:

$5x+4=2x+19|-2x$

$3x+4=19|-4$

$3x=15|:3$

$x=5$

Probe:

$5\cdot 5+4=25+4=29$

$2\cdot 5+19=10+19=29$

Beide Seiten haben denselben Wert. Die Lösung ist richtig.

Strategie bei x auf beiden Seiten

1. Variablen sammeln: Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite.
2. Zahlen sammeln: Bringe alle Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite.
3. Koeffizienten beseitigen: Teile durch den Faktor vor $x$.
4. Probe machen: Setze die Lösung in die Ausgangsgleichung ein.

Gleichungen mit Klammern

Klammern werden zuerst aufgelöst. Dabei musst Du das Distributivgesetz beachten.

Beispiel:

$3(x+4)=24$

Löse die Klammer auf:

$3x+12=24|-12$

$3x=12|:3$

$x=4$

Probe:

$3(4+4)=3\cdot 8=24$

Minus vor der Klammer

Ein häufiger Fehler entsteht bei einem Minuszeichen vor der Klammer.

Beispiel:

$20-(x+5)=9$

Das Minuszeichen verändert alle Vorzeichen in der Klammer:

$20-x-5=9$

$15-x=9|-15$

$-x=-6|\cdot (-1)$

$x=6$

Probe:

$20-(6+5)=20-11=9$

Gleichungen mit Brüchen

Bei Gleichungen mit Brüchen ist es oft hilfreich, beide Seiten mit dem Hauptnenner zu multiplizieren.

Beispiel:

$\frac{x}{3}+2=8$

Subtrahiere zuerst $2$:

$\frac{x}{3}=6$

Multipliziere mit $3$:

$x=18$

Probe:

$\frac{18}{3}+2=6+2=8$

Beispiel mit mehreren Brüchen

$\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=9$

Der Hauptnenner ist $4$. Multipliziere beide Seiten mit $4$:

$4\cdot \frac{x}{2}+4\cdot \frac{x}{4}=4\cdot 9$

$2x+x=36$

$3x=36|:3$

$x=12$

Probe:

$\frac{12}{2}+\frac{12}{4}=6+3=9$

Gleichungen mit Dezimalzahlen

Auch Gleichungen mit Dezimalzahlen können linear sein.

Beispiel:

$\mathrm{0,5}x+\mathrm{1,2}=\mathrm{4,7}$

Subtrahiere $\mathrm{1,2}$:

$\mathrm{0,5}x=\mathrm{3,5}$

Teile durch $\mathrm{0,5}$:

$x=7$

Probe:

$\mathrm{0,5}\cdot 7+\mathrm{1,2}=\mathrm{3,5}+\mathrm{1,2}=\mathrm{4,7}$

Tipp: Bei Dezimalzahlen kannst Du manchmal beide Seiten mit $10$ oder $100$ multiplizieren, um Kommazahlen zu vermeiden.

Sachaufgaben mit linearen Gleichungen

Vorgehensweise bei Sachaufgaben

Bei Sachaufgaben übersetzt Du eine Alltagssituation in eine Gleichung.

1. Variable festlegen: Bestimme, wofür $x$ steht.
2. Term aufstellen: Übersetze die Informationen in mathematische Ausdrücke.
3. Gleichung bilden: Setze passende Terme gleich.
4. Gleichung lösen: Führe Äquivalenzumformungen durch.
5. Ergebnis prüfen: Kontrolliere, ob die Lösung zur Situation passt.

Beispiel: Eintrittskarten

Ein Kinobesuch kostet für eine Person $8$ Euro. Eine Gruppe bezahlt insgesamt $96$ Euro. Wie viele Personen sind in der Gruppe?

Variable:

$x=\text{Anzahl der Personen}$

Gleichung:

$8x=96$

Lösung:

$8x=96|:8$

$x=12$

Antwort: In der Gruppe sind $12$ Personen.

Beispiel: Alter

Lena ist $4$ Jahre älter als Tom. Zusammen sind sie $26$ Jahre alt. Wie alt ist Tom?

Variable:

$x=\text{Toms Alter}$

Lenas Alter:

$x+4$

Gleichung:

$x+(x+4)=26$

$2x+4=26|-4$

$2x=22|:2$

$x=11$

Antwort: Tom ist $11$ Jahre alt, Lena ist $15$ Jahre alt.

Grafische Vorstellung

Eine lineare Gleichung kann auch mit einer linearen Funktion zusammenhängen. Wenn Du zwei Terme als Funktionen auffasst, entspricht die Lösung der Gleichung dem Schnittpunkt der zugehörigen Graphen.

Beispiel:

$2x+1=x+4$

Du kannst links die Funktion $y=2x+1$ und rechts die Funktion $y=x+4$ betrachten. Die Gleichung fragt: Bei welchem $x$-Wert sind beide Funktionswerte gleich?

Lösung:

$2x+1=x+4|-x$

$x+1=4|-1$

$x=3$

Bei $x=3$ haben beide Terme denselben Wert.

Sonderfälle

Genau eine Lösung

Die meisten linearen Gleichungen in Klasse 7 und 8 haben genau eine Lösung.

Beispiel:

$2x+5=17$

$x=6$

Die Lösungsmenge ist $L=\{6\}$.

Keine Lösung

Manche Gleichungen führen zu einer falschen Aussage.

Beispiel:

$3x+4=3x+9$

Subtrahiere $3x$:

$4=9$

Diese Aussage ist falsch. Es gibt keine Zahl, die die Gleichung erfüllt. Die Lösungsmenge ist:

$L=\mathrm{\varnothing }$

Unendlich viele Lösungen

Manche Gleichungen führen zu einer immer wahren Aussage.

Beispiel:

$2(x+3)=2x+6$

Klammer auflösen:

$2x+6=2x+6$

Diese Aussage ist für alle Zahlen wahr. Die Lösungsmenge ist die gesamte Grundmenge, zum Beispiel:

$L=\mathbb{Q}$ oder $L=ℝ$

Je nachdem, welche Zahlenmenge im Unterricht festgelegt wurde.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehler	Beispiel	Besser
Nur eine Seite umformen	$x+5=12$ wird fälschlich zu $x=12$	Immer auf beiden Seiten dieselbe Operation durchführen.
Vorzeichenfehler	Aus $-x=7$ wird fälschlich $x=7$	Richtig ist $x=-7$.
Klammer falsch auflösen	Aus $2(x+3)$ wird fälschlich $2x+3$	Richtig ist $2x+6$.
Minus vor Klammer vergessen	Aus $-(x-4)$ wird fälschlich $-x-4$	Richtig ist $-x+4$.
Probe weglassen	Lösung wird nicht überprüft	Setze die Lösung in die Ausgangsgleichung ein.

Ausführliche Beispielaufgaben

Beispiel 1: Einfache lineare Gleichung

$7x-6=29$

$7x-6=29|+6$

$7x=35|:7$

$x=5$

Probe:

$7\cdot 5-6=35-6=29$

Beispiel 2: x auf beiden Seiten

$9x-12=4x+18$

$9x-12=4x+18|-4x$

$5x-12=18|+12$

$5x=30|:5$

$x=6$

Probe:

$9\cdot 6-12=54-12=42$

$4\cdot 6+18=24+18=42$

Beispiel 3: Klammern und Minuszeichen

$4(x-2)=2x+10$

$4x-8=2x+10|-2x$

$2x-8=10|+8$

$2x=18|:2$

$x=9$

Probe:

$4(9-2)=4\cdot 7=28$

$2\cdot 9+10=18+10=28$

Beispiel 4: Bruchgleichung

$\frac{x+2}{5}=4$

Multipliziere beide Seiten mit $5$:

$x+2=20|-2$

$x=18$

Probe:

$\frac{18+2}{5}=\frac{20}{5}=4$

Merkwissen kompakt

1. Lineare Gleichung: Eine Gleichung, in der die Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt.
2. Äquivalenzumformung: Eine Umformung, die die Lösungsmenge nicht verändert.
3. Waageprinzip: Beide Seiten einer Gleichung müssen gleich behandelt werden.
4. Probe: Durch Einsetzen der Lösung kontrollierst Du Dein Ergebnis.
5. Sachaufgabe: Eine Alltagssituation wird in eine Gleichung übersetzt.
6. Lösungsmenge: Die Menge aller Zahlen, die eine Gleichung erfüllen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Gleichung ist linear? (3x plus 5 gleich 14) (!x hoch 2 gleich 9) (!Wurzel aus x gleich 4) (!1 durch x gleich 5)

Welche Zahl löst die Gleichung x plus 7 gleich 12? (5) (!3) (!7) (!19)

Welche Umformung löst den ersten Schritt bei 4x minus 9 gleich 15 sinnvoll? (auf beiden Seiten 9 addieren) (!auf beiden Seiten 9 subtrahieren) (!nur links 9 addieren) (!durch 9 teilen)

Was ist die Lösung von 6x gleich 42? (7) (!6) (!36) (!48)

Was ist bei einer Äquivalenzumformung wichtig? (Man führt auf beiden Seiten dieselbe erlaubte Operation aus) (!Man verändert nur die Seite mit x) (!Man darf beliebig durch 0 teilen) (!Man lässt das Gleichheitszeichen weg)

Was ist die Lösung von 2x plus 3 gleich 11? (4) (!3) (!7) (!14)

Welche Aussage beschreibt die Probe richtig? (Man setzt die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein) (!Man rechnet die Gleichung noch einmal ohne Zahlen) (!Man schreibt nur die Lösungsmenge auf) (!Man vertauscht beide Seiten der Gleichung)

Was ist die Lösung von 5x plus 4 gleich 2x plus 19? (5) (!3) (!7) (!15)

Welche Lösungsmenge hat die Gleichung 3x plus 4 gleich 3x plus 9? (leere Menge) (!alle Zahlen) (!nur 0) (!nur 9)

Was ist beim Auflösen von 3 Klammer x plus 4 Klammer gleich 24 der erste sinnvolle Schritt? (Klammer mit dem Distributivgesetz auflösen) (!durch x teilen) (!die 4 streichen) (!das Gleichheitszeichen entfernen)

Memory

Äquivalenzumformung	Gleiche erlaubte Operation auf beiden Seiten
Variable	Platzhalter für eine gesuchte Zahl
Probe	Einsetzen der Lösung in die Ausgangsgleichung
Koeffizient	Zahl als Faktor vor der Variablen
Lösungsmenge	Menge aller passenden Zahlen
Distributivgesetz	Regel zum Ausmultiplizieren von Klammern

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Variable festlegen	Sachaufgabe verstehen
Terme bilden	Informationen mathematisch übersetzen
Gleichung aufstellen	Beide Seiten passend verbinden
Äquivalenzumformung durchführen	Gleichung schrittweise lösen
Probe machen	Ergebnis in der Ausgangssituation prüfen

Kreuzworträtsel

Variable	Buchstabe für eine gesuchte Zahl
Waage	Modell für Gleichungen im Gleichgewicht
Probe	Kontrolle durch Einsetzen der Lösung
Klammer	Zeichen, das Terme zusammenfasst
Term	Mathematischer Ausdruck aus Zahlen und Variablen
Bruch	Schreibweise mit Zähler und Nenner

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine lineare Gleichung enthält die Unbekannte nur in der Potenz. Beim Lösen verwendest Du , damit die Lösungsmenge erhalten bleibt. Das bedeutet, dass auf beiden Seiten dieselbe erlaubte Operation durchgeführt wird. Bei einer Gleichung wie 2x plus 3 gleich 11 subtrahierst Du zuerst auf beiden Seiten. Danach teilst Du durch den vor der Variablen. Eine zeigt, ob die gefundene Lösung wirklich zur Ausgangsgleichung passt. Kommt x auf beiden Seiten vor, sammelst Du zuerst die auf einer Seite. Bei Klammern hilft das , um die Terme richtig auszumultiplizieren.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Gleichungstagebuch: Schreibe fünf einfache Gleichungen aus Deinem Alltag auf, zum Beispiel zu Preisen, Punkten oder Strecken, und löse sie mit vollständigem Rechenweg.
2. Waagemodell: Zeichne eine Waage zu einer Gleichung wie $x+3=8$ und erkläre mit Worten, warum Du auf beiden Seiten dasselbe tun musst.
3. Probe üben: Löse sechs einfache Gleichungen und mache zu jeder Gleichung eine Probe.
4. Fehler finden: Erfinde drei falsche Lösungswege zu einfachen Gleichungen und markiere den Fehler farbig.

Standard

1. Sachaufgaben entwickeln: Formuliere drei eigene Sachaufgaben, die mit linearen Gleichungen gelöst werden können, und gib jeweils Lösung und Antwortsatz an.
2. Klammertraining: Erstelle ein Lernplakat zum Auflösen von Klammern in linearen Gleichungen mit mindestens vier Beispielen.
3. Partnerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler, welche Schritte beim Gleichungslösen schwierig sind, und entwickle dazu eine kurze Hilfekarte.
4. Gleichungen vergleichen: Löse zwei Gleichungen mit x auf beiden Seiten und beschreibe, worin sich die Lösungswege unterscheiden.

Schwer

1. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du eine Gleichung mit Klammern und Brüchen Schritt für Schritt erklärst.
2. Fehleranalyse: Analysiere zehn gelöste Gleichungen aus einem Arbeitsblatt oder Heft und ordne mögliche Fehlerarten in einer Tabelle.
3. Modellieren: Suche eine reale Situation, zum Beispiel Kosten für Handyvertrag, Eintritt oder Fahrt, und stelle dazu eine lineare Gleichung auf.
4. Sonderfälle erforschen: Erstelle je zwei Beispiele für Gleichungen mit keiner Lösung und unendlich vielen Lösungen und erkläre den Unterschied.

Lernkontrolle

1. Strategie erklären: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge erhalten.
2. Sachzusammenhang übertragen: Eine Familie bezahlt für Eintrittskarten und eine feste Gebühr zusammen 74 Euro. Entwickle selbst passende Zahlen, stelle eine Gleichung auf und löse sie.
3. Fehler begründen: Bei der Gleichung $3(x+2)=21$ schreibt jemand $3x+2=21$. Erkläre den Fehler und korrigiere den Lösungsweg.
4. Darstellungen verbinden: Beschreibe, wie eine Gleichung, eine Waagezeichnung und ein Graph dieselbe mathematische Situation darstellen können.
5. Sonderfall beurteilen: Entscheide bei $4x-8=4(x-2)$, ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt, und begründe Deine Entscheidung.
6. Transferaufgabe: Entwickle eine eigene Gleichung mit Brüchen, deren Lösung $x=12$ ist, und erkläre, wie man sie löst.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis bearbeitest Du eine gemischte Aufgabe, in der Du Rechnen, Erklären und Anwenden verbindest.

1. Löse die Gleichung $2(3x-4)=x+22$ vollständig mit Umformungsstrichen.
2. Führe eine Probe mit der Ausgangsgleichung durch.
3. Erkläre in zwei bis vier Sätzen, welche Äquivalenzumformungen Du verwendet hast.
4. Formuliere eine passende Sachaufgabe, die zu Deiner Gleichung passen könnte.
5. Beschreibe einen typischen Fehler, der bei dieser Aufgabe passieren kann, und wie Du ihn vermeidest.

Links

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