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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Kombinatorik - Rechenbeispiele

Einleitung

Die Kombinatorik zählt Möglichkeiten. Sie hilft zum Beispiel bei PIN-Codes, Sitzordnungen, Teams und Gewinnspielen.

Merksatz: Prüfe zuerst zwei Fragen:

Ist die Reihenfolge wichtig?
Darf eine Möglichkeit mehrfach vorkommen?

Grundideen

Produktregel

Gibt es für einen Schritt $a$ Möglichkeiten und für einen zweiten Schritt $b$ Möglichkeiten, dann gibt es insgesamt:

$a \cdot b$ Möglichkeiten.

Beispiel: 3 T-Shirts und 2 Hosen ergeben $3 \cdot 2 = 6$ Outfits.

Schnell entscheiden

Reihenfolge	Wiederholung	Fall	Formel
wichtig	möglich	Variation mit Wiederholung	$n^{k}$
wichtig	nicht möglich	Variation ohne Wiederholung	$\frac{n!}{(n - k)!}$
unwichtig	nicht möglich	Kombination ohne Wiederholung	$(\binom{n}{k})$
unwichtig	möglich	Kombination mit Wiederholung	$(\binom{n + k - 1}{k})$

Die Fakultät bedeutet:

$n! = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Bücher anordnen

5 verschiedene Bücher kommen in eine Reihe. Alle Bücher werden benutzt und die Reihenfolge ist wichtig.

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

Es gibt 120 Anordnungen.

Beispiel 2: PIN-Code

Ein Code hat 4 Stellen. Jede Stelle kann eine der 10 Ziffern enthalten. Wiederholungen sind erlaubt.

$1 0^{4} = 10 000$

Es gibt 10.000 Codes.

Beispiel 3: Siegerpodest

Von 8 Personen erhalten 3 die Plätze Gold, Silber und Bronze. Die Reihenfolge ist wichtig. Niemand kann zwei Plätze erhalten.

$8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$

Es gibt 336 Siegerpodeste.

Beispiel 4: Team auswählen

Aus 10 Personen wird ein Team mit 3 Personen gewählt. Die Reihenfolge ist unwichtig.

$(\binom{10}{3}) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = 120$

Es gibt 120 Teams.

Beispiel 5: Das Wort MAMA

Das Wort hat 4 Buchstaben. M kommt zweimal vor und A kommt zweimal vor.

$\frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$

Es gibt 6 verschiedene Anordnungen.

Beispiel 6: Eiskugeln

Du wählst 4 Kugeln aus 3 Sorten. Eine Sorte darf mehrfach vorkommen. Die Reihenfolge der Kugeln ist unwichtig.

$(\binom{3 + 4 - 1}{4}) = (\binom{6}{4}) = 15$

Es gibt 15 Zusammenstellungen.

Video: Kombinatorik - Rechenbeispiele

Sieh das Video an. Stoppe bei jedem Beispiel und rechne selbst weiter.

Aufgaben zum Video

Videonotizen: Notiere zu jedem Rechenbeispiel die gegebenen Zahlen und das Ergebnis.
Entscheidung: Prüfe bei jedem Beispiel, ob die Reihenfolge wichtig ist.
Wiederholung: Prüfe bei jedem Beispiel, ob Wiederholungen möglich sind.
Rechenweg: Wähle ein Beispiel aus und erkläre jeden Faktor der Rechnung.
Kontrolle: Rechne ein Beispiel ohne Video erneut und vergleiche Dein Ergebnis.
Eigene Aufgabe: Verändere die Zahlen eines Beispiels und löse die neue Aufgabe.
Fehlerprüfung: Beschreibe einen typischen Fehler, der bei einem Beispiel entstehen kann.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was untersucht die Kombinatorik? (Die Anzahl möglicher Anordnungen und Auswahlen) (!Die Länge geometrischer Figuren) (!Die Ableitung von Funktionen) (!Die Lösung linearer Gleichungen)

Wie viele Outfits entstehen aus 4 T-Shirts und 3 Hosen? (12) (!7) (!16) (!24)

Welchen Wert hat 5 Fakultät? (120) (!25) (!60) (!240)

Wie viele vierstellige Codes gibt es mit 10 Ziffern, wenn Wiederholungen erlaubt sind? (10000) (!40) (!5040) (!210)

Wie viele Siegerpodeste mit drei Plätzen gibt es bei sechs Personen? (120) (!20) (!18) (!216)

Wie viele Dreierteams können aus acht Personen gewählt werden? (56) (!24) (!336) (!512)

Wann ist eine Variation passend? (Wenn eine Auswahl getroffen wird und die Reihenfolge wichtig ist) (!Wenn nur Längen gemessen werden) (!Wenn die Reihenfolge immer unwichtig ist) (!Wenn alle Ergebnisse gleich groß sind)

Welche Formel gehört zur Kombination ohne Wiederholung? (n über k) (!n hoch k) (!n mal k) (!n plus k)

Wie viele verschiedene Anordnungen besitzt das Wort MAMA? (6) (!4) (!12) (!24)

Wie viele ungeordnete Zusammenstellungen aus drei Kugeln und zwei Sorten gibt es, wenn Wiederholungen erlaubt sind? (4) (!5) (!6) (!8)

Memory

Fakultät	Produkt der natürlichen Zahlen bis eins
Permutation	Anordnung aller Objekte
Variation	Geordnete Auswahl
Kombination	Ungeordnete Auswahl
Zurücklegen	Wiederholung ist möglich
Binomialkoeffizient	Anzahl ungeordneter Auswahlen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Beschreibung
Permutation ohne Wiederholung	Alle Objekte werden geordnet und sind verschieden
Variation mit Wiederholung	Auswahl mit wichtiger Reihenfolge und möglicher Wiederholung
Variation ohne Wiederholung	Auswahl mit wichtiger Reihenfolge und ohne Wiederholung
Kombination ohne Wiederholung	Auswahl ohne wichtige Reihenfolge und ohne Wiederholung
Kombination mit Wiederholung	Auswahl ohne wichtige Reihenfolge und mit möglicher Wiederholung

Kreuzworträtsel

Fakultät	Wie heißt das Produkt aller natürlichen Zahlen von einer Zahl bis eins?
Permutation	Wie heißt die Anordnung aller vorhandenen Objekte?
Variation	Wie heißt eine Auswahl, bei der die Reihenfolge wichtig ist?
Kombination	Wie heißt eine Auswahl, bei der die Reihenfolge unwichtig ist?
Produktregel	Welche Regel verbindet die Möglichkeiten mehrerer Schritte durch Multiplikation?
Binomialkoeffizient	Welcher Begriff bezeichnet den Ausdruck n über k?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Alltagsbeispiel: Finde ein Beispiel für Kombinatorik in Deinem Alltag und beschreibe es.
Karten ordnen: Schreibe A, B und C auf Karten und lege alle möglichen Reihenfolgen.
Video-Stichwörter: Sammle fünf wichtige Begriffe aus dem Video.
Formelplakat: Gestalte ein kleines Plakat mit den vier Auswahlfällen.

Standard

PIN-Aufgabe: Erfinde eine Code-Aufgabe und löse sie.
Speisekarte: Berechne Möglichkeiten für ein Menü aus Vorspeise, Hauptgericht und Getränk.
Baumdiagramm: Zeichne ein Baumdiagramm für drei Münzwürfe.
Videovergleich: Vergleiche ein Beispiel aus dem Video mit einem Beispiel dieses Kurses.

Schwer

Begründung der Produktregel: Erkläre mit einem selbst gewählten Beispiel, warum Möglichkeiten multipliziert werden.
Simulation: Simuliere eine kombinatorische Aufgabe mit einer Tabellenkalkulation oder einem Programm.
Pascalsches Dreieck: Zeige, wie sich Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck finden lassen.
Fehleranalyse: Erfinde einen falschen Rechenweg und erkläre genau, warum er falsch ist.

Lernkontrolle

Modellwahl: Eine Schulklasse wählt drei Personen für ein Team. Erkläre, warum die Reihenfolge keine Rolle spielt, und wähle die passende Formel.
Modellwechsel: Verändere die Teamaufgabe so, dass die Reihenfolge wichtig wird. Beschreibe, wie sich die Rechnung ändert.
Vergleich: Erkläre den Unterschied zwischen einem vierstelligen PIN-Code und einer Auswahl von vier Personen.
Transfer: Entwickle eine Aufgabe, die mit der Produktregel und anschließend mit einem Binomialkoeffizienten gelöst wird.
Plausibilität: Begründe ohne vollständige Rechnung, warum ein Code mit Wiederholungen mehr Möglichkeiten besitzt als ein Code ohne Wiederholungen.
Darstellung: Löse eine kleine Aufgabe durch Auflisten und durch eine Formel. Vergleiche beide Wege.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

die Bedeutung von Fakultät, Permutation, Variation und Kombination erklären,
Reihenfolge und Wiederholung sicher prüfen,
eine passende Formel auswählen,
Rechnungen verständlich aufschreiben,
Ergebnisse auf Plausibilität kontrollieren,
ein neues Alltagsproblem selbstständig lösen.

OERs zum Thema

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