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Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, M-Niveau

Halbwertszeit - Physik

Einleitung

Die Halbwertszeit beschreibt, wie schnell eine abnehmende Größe kleiner wird. In der Kernphysik ist sie die Zeit, nach der von sehr vielen radioaktiven Atomkernen im Mittel nur noch die Hälfte nicht zerfallen ist. Die Halbwertszeit wird meist mit $T_{1 / 2}$ bezeichnet.

Du lernst in diesem aiMOOC, wie eine Halbwertszeit aus einer Tabelle oder einem Diagramm bestimmt wird, wie das Zerfallsgesetz funktioniert und weshalb der Zerfall einzelner Atomkerne nicht vorhersagbar ist. Außerdem lernst Du Anwendungen wie die Radiokarbonmethode kennen.

Lernziele

Nach der Bearbeitung kannst Du:

Halbwertszeit erklären und an Beispielen erkennen.
Restmengen nach mehreren Halbwertszeiten berechnen.
eine Zerfallskurve lesen und beschreiben.
die Größen Aktivität, Zerfallskonstante und Halbwertszeit unterscheiden.
den statistischen Charakter des radioaktiven Zerfalls erläutern.
Anwendungen und Grenzen der Halbwertszeit beurteilen.

Grundidee der Halbwertszeit

Bei einem radioaktiven Stoff zerfallen instabile Atomkerne. Dabei können beispielsweise Alpha-, Beta- oder Gammastrahlung auftreten. Für ein bestimmtes Nuklid ist die physikalische Halbwertszeit charakteristisch.

Nach jeder Halbwertszeit bleibt die Hälfte der vorherigen Menge übrig:

Vergangene Halbwertszeiten	Restanteil	Rest in Prozent
keine	$1$	100 %
eine	$\frac{1}{2}$	50 %
zwei	$\frac{1}{4}$	25 %
drei	$\frac{1}{8}$	12,5 %
vier	$\frac{1}{16}$	6,25 %

Wichtig: Es wird immer die aktuell vorhandene Menge halbiert. Deshalb sinkt die Menge nicht geradlinig, sondern exponentiell.

Beispiel ohne Formel

Eine Probe enthält anfangs 8000 noch nicht zerfallene Kerne. Ihre Halbwertszeit beträgt 4 Stunden.

Nach 4 Stunden bleiben 4000 Kerne.
Nach 8 Stunden bleiben 2000 Kerne.
Nach 12 Stunden bleiben 1000 Kerne.
Nach 16 Stunden bleiben 500 Kerne.

Der berechnete Wert ist ein statistischer Erwartungswert. Bei einer kleinen Anzahl von Kernen können die tatsächlich gemessenen Werte stärker schwanken.

Das Zerfallsgesetz

Die Zahl $N (t)$ der noch nicht zerfallenen Kerne kann mit der Halbwertszeit berechnet werden:

$N (t) = N_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{T_{1 / 2}}}$

Dabei bedeuten:

$N_{0}$ : Anzahl der Kerne zu Beginn.
$N (t)$ : Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne nach der Zeit $t$ .
$T_{1 / 2}$ : Halbwertszeit.
$t$ : vergangene Zeit.

Eine zweite Schreibweise verwendet die Zerfallskonstante $λ$ :

$N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}$

Zwischen Zerfallskonstante und Halbwertszeit gilt:

$T_{1 / 2} = \frac{\ln (2)}{λ}$

Eine große Zerfallskonstante bedeutet eine kurze Halbwertszeit. Eine kleine Zerfallskonstante bedeutet eine lange Halbwertszeit.

Rechenbeispiel mit der Formel

Eine Probe besitzt $N_{0} = 6400$ Kerne und eine Halbwertszeit von $T_{1 / 2} = 3 h$ . Gesucht ist die Restmenge nach $t = 9 h$ .

$N (9 h) = 6400 \cdot 2^{- \frac{9}{3}}$

$N (9 h) = 6400 \cdot 2^{- 3} = 6400 \cdot \frac{1}{8} = 800$

Nach 9 Stunden sind im Modell noch 800 Kerne nicht zerfallen.

Aktivität und Messung

Die Aktivität $A$ gibt an, wie viele Zerfälle pro Sekunde stattfinden. Ihre Einheit ist das Becquerel:

$1 B q = 1 Zerfall pro Sekunde$

Für eine Probe gilt:

$A = λ \cdot N$

Wenn sich die Anzahl der noch nicht zerfallenen Kerne halbiert, halbiert sich auch die Aktivität. Deshalb kann die Halbwertszeit aus einer Messreihe der Zählrate bestimmt werden.

Geiger-Müller-Zählrohr

Ein Geiger-Müller-Zählrohr kann ionisierende Strahlung nachweisen. Es registriert einzelne Impulse. Bei Messungen muss die Untergrundstrahlung berücksichtigt werden. Dazu misst man zuerst ohne Präparat und zieht die mittlere Untergrundrate von der Messrate mit Präparat ab.

Sicherheit: Radioaktive Präparate dürfen im Unterricht nur unter Aufsicht und nach den geltenden Strahlenschutzregeln verwendet werden. Ein gefahrloses Modell ist ein Versuch mit Münzen oder Würfeln.

Warum der Zerfall zufällig ist

Bei einem einzelnen instabilen Atomkern lässt sich nicht vorhersagen, wann er zerfällt. Man kann nur eine Zerfallswahrscheinlichkeit für ein Zeitintervall angeben. Bei sehr vielen Kernen entsteht daraus eine gut vorhersagbare Zerfallskurve.

Das ist vergleichbar mit vielen Münzwürfen: Bei einem einzelnen Wurf ist das Ergebnis offen. Bei sehr vielen Würfen liegt der Anteil von Kopf meist nahe bei der Hälfte.

Münzmodell für radioaktiven Zerfall

Du kannst den Zerfall ohne radioaktive Stoffe nachstellen:

Lege viele Münzen in einen Becher.
Schüttle den Becher und wirf alle Münzen aus.
Entferne alle Münzen mit Kopf. Sie gelten als zerfallen.
Zähle die übrigen Münzen und wiederhole den Vorgang.
Trage die Anzahl gegen die Rundenzahl auf.

Im Mittel bleibt pro Runde etwa die Hälfte übrig. Einzelne Versuchsreihen weichen jedoch voneinander ab.

Anwendungen

Radiokarbonmethode

Das radioaktive Isotop Kohlenstoff-14 entsteht in der Atmosphäre und gelangt über den Kohlenstoffkreislauf in Lebewesen. Nach dem Tod wird kein Kohlenstoff mehr aufgenommen. Der vorhandene Kohlenstoff-14 zerfällt weiter. Aus dem verbleibenden Anteil kann das Alter organischer Funde abgeschätzt werden. Die Halbwertszeit von Kohlenstoff-14 beträgt ungefähr 5730 Jahre.

Weitere Anwendungen

Nuklearmedizin: Auswahl von Radionukliden für Diagnose und Therapie.
Strahlenschutz: Abschätzung, wie lange die Aktivität eines Stoffes abnimmt.
Geologie: Altersbestimmung von Gesteinen mit geeigneten Isotopen.
Technik: Kontrolle radioaktiver Quellen und Messgeräte.
Archäologie: Datierung organischer Materialien mit Kohlenstoff-14.

Verschiedene Arten von Halbwertszeiten

Die physikalische Halbwertszeit beschreibt den radioaktiven Zerfall eines Nuklids. Sie ist eine Eigenschaft des Nuklids.

Die biologische Halbwertszeit beschreibt, wie schnell ein Stoff durch Stoffwechsel und Ausscheidung aus einem Organismus entfernt wird.

Die effektive Halbwertszeit berücksichtigt beide Vorgänge. Sie ist kürzer als jede der beiden beteiligten Halbwertszeiten:

$T_{e f f} = \frac{T_{p h y s} \cdot T_{b i o}}{T_{p h y s} + T_{b i o}}$

Für den grundlegenden Physikunterricht steht meist die physikalische Halbwertszeit im Mittelpunkt.

Häufige Denkfehler

Nach einer Halbwertszeit ist nicht alles zerfallen, sondern im Mittel die Hälfte.
Nach zwei Halbwertszeiten bleiben 25 % und nicht 0 % übrig.
Die Halbwertszeit hängt nicht von der Anfangsmenge ab.
Der Zerfallszeitpunkt eines einzelnen Kerns ist nicht vorhersagbar.
Die Zerfallskurve erreicht im mathematischen Modell die Null nie vollständig.
Messwerte müssen um die Untergrundrate korrigiert werden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die physikalische Halbwertszeit? (Die Zeit, nach der im Mittel die Hälfte der radioaktiven Kerne noch nicht zerfallen ist) (!Die Zeit, nach der alle Kerne zerfallen sind) (!Die Zeit zwischen zwei Messungen) (!Die Lebensdauer eines Messgeräts)

Welcher Restanteil bleibt nach drei Halbwertszeiten? (Ein Achtel) (!Ein Drittel) (!Die Hälfte) (!Drei Viertel)

Welche Formel beschreibt den Zerfall mit der Halbwertszeit? (N gleich N null mal zwei hoch minus t durch T halb) (!N gleich N null plus t mal T halb) (!N gleich N null minus zwei mal t) (!N gleich T halb geteilt durch N null)

Wie hängen Halbwertszeit und Zerfallskonstante zusammen? (Eine größere Zerfallskonstante bedeutet eine kürzere Halbwertszeit) (!Eine größere Zerfallskonstante bedeutet eine längere Halbwertszeit) (!Beide Größen sind immer gleich) (!Beide Größen sind unabhängig voneinander)

In welcher Einheit wird die Aktivität angegeben? (Becquerel) (!Newton) (!Volt) (!Pascal)

Was kann für einen einzelnen instabilen Atomkern vorhergesagt werden? (Nur eine Zerfallswahrscheinlichkeit) (!Der genaue Zerfallszeitpunkt) (!Die genaue Flugrichtung aller Teilchen) (!Die Anzahl seiner zukünftigen Zerfälle)

Welche Form hat die ideale Zerfallskurve? (Eine exponentiell fallende Kurve) (!Eine ansteigende Gerade) (!Eine Kreislinie) (!Eine konstante Linie)

Welches Gerät kann ionisierende Strahlung nachweisen? (Ein Geiger-Müller-Zählrohr) (!Ein Thermometer) (!Ein Barometer) (!Ein Voltmeter ohne Sensor)

Wofür wird Kohlenstoff-14 genutzt? (Zur Altersbestimmung organischer Funde) (!Zur Messung der Schallgeschwindigkeit) (!Zur Erzeugung von Magnetfeldern) (!Zur Bestimmung des Luftdrucks)

Was geschieht im mathematischen Zerfallsmodell mit der Restmenge? (Sie nähert sich der Null an) (!Sie wird nach zwei Halbwertszeiten negativ) (!Sie steigt nach jeder Halbwertszeit) (!Sie bleibt immer gleich)

Memory

Halbwertszeit	Zeit bis zur Halbierung
Aktivität	Zerfälle pro Sekunde
Becquerel	Einheit der Aktivität
Zerfallskonstante	Maß für die Zerfallswahrscheinlichkeit
Exponentialfunktion	Mathematische Form des Zerfallsgesetzes
Geiger-Müller-Zählrohr	Nachweis ionisierender Strahlung
Radiokarbonmethode	Altersbestimmung organischer Funde
Untergrundstrahlung	Impulse ohne eingesetztes Präparat

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Halbwertszeit	Charakteristische Zeit bis zur Halbierung
Aktivität	Zahl der Zerfälle pro Sekunde
Zerfallskonstante	Maß für die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeit
Anfangswert	Wert zu Beginn der Beobachtung
Restmenge	Noch nicht zerfallener Anteil
Untergrundrate	Messrate ohne Strahlungsquelle

Kreuzworträtsel

Halbwertszeit	Wie heißt die Zeit bis zur Halbierung einer radioaktiven Menge?
Becquerel	Wie heißt die Einheit der Aktivität?
Zählrohr	Welches Messgerät registriert ionisierende Strahlung?
Nuklid	Wie heißt eine Atomsorte mit bestimmter Protonen- und Neutronenzahl?
Isotop	Wie heißt eine Variante eines Elements mit anderer Neutronenzahl?
Exponentialfunktion	Welche mathematische Funktion beschreibt den idealen Zerfall?

LearningApps

Lückentext

Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der im Mittel nur noch

der ursprünglichen radioaktiven Kerne vorhanden ist. Nach zwei Halbwertszeiten bleibt ein Anteil von

übrig. Der radioaktive Zerfall wird durch eine

beschrieben. Die Formel mit der Halbwertszeit enthält den Faktor zwei hoch minus t geteilt durch

. Die Aktivität gibt die Zahl der Zerfälle pro

an. Ihre Einheit heißt

. Der genaue Zerfallszeitpunkt eines einzelnen Atomkerns ist

. Ein Geiger-Müller-Zählrohr registriert einzelne

. Bei Messungen wird die natürliche

berücksichtigt. Die Radiokarbonmethode nutzt das Isotop

zur Altersbestimmung organischer Funde.

Offene Aufgaben

Leicht

Zerfallstabelle: Erstelle eine Tabelle für eine Anfangsmenge von 1600 Kernen über fünf Halbwertszeiten.
Zerfallskurve: Zeichne die Werte Deiner Tabelle in ein Koordinatensystem und verbinde sie zu einer glatten Kurve.
Begriffsplakat: Gestalte ein Plakat zu Halbwertszeit, Aktivität, Becquerel und Zerfallskonstante.
Münzmodell: Führe mit mindestens 40 Münzen ein Zerfallsmodell durch und notiere die Restmengen.

Standard

Versuchsauswertung: Wiederhole das Münzmodell dreimal und vergleiche die Kurven. Erkläre die Unterschiede.
Messdatenanalyse: Entwickle eine Messreihe mit Untergrundrate und korrigiere die Werte rechnerisch.
Erklärvideo: Produziere ein zweiminütiges Video, in dem Du die Halbwertszeit mit einem selbst gewählten Beispiel erklärst.
Fehleranalyse: Sammle drei typische Denkfehler zur Halbwertszeit und formuliere passende Gegenbeispiele.

Schwer

Modellvergleich: Vergleiche eine lineare Abnahme mit einer exponentiellen Abnahme und begründe, welches Modell zum radioaktiven Zerfall passt.
Radiokarbonprojekt: Recherchiere die Grundidee der Radiokarbonmethode und entwickle eine verständliche Infografik.
Mathematische Herleitung: Leite aus dem Zerfallsgesetz die Beziehung zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante her.
Unterrichtskonzept: Plane eine Lernstation, die Diagramm, Rechnung, Simulation und Sicherheitsaspekte verbindet.

Lernkontrolle

Diagramm deuten: Eine Zerfallskurve fällt in sechs Stunden von 800 auf 400 Impulse pro Minute. Bestimme die Halbwertszeit und begründe Dein Vorgehen.
Transfer auf neue Anfangswerte: Erkläre, warum eine doppelt so große Anfangsmenge dieselbe Halbwertszeit besitzt.
Messfehler beurteilen: Eine Messreihe schwankt stark. Beurteile, ob dies das Zerfallsgesetz widerlegt, und beziehe den statistischen Charakter ein.
Untergrundkorrektur: Entwickle ein Verfahren, mit dem aus Rohmessdaten eine brauchbare Zerfallskurve entsteht.
Modellgrenzen: Erkläre, warum das Zerfallsgesetz bei wenigen verbliebenen Kernen nur einen Erwartungswert liefert.
Anwendung bewerten: Beurteile, welche Eigenschaften ein Radionuklid für eine medizinische Untersuchung haben sollte.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

Du definierst die Halbwertszeit fachlich korrekt.
Du berechnest Restanteile nach mehreren Halbwertszeiten.
Du liest Halbwertszeiten aus Tabellen und Diagrammen ab.
Du verwendest das Zerfallsgesetz mit passenden Einheiten.
Du erklärst die Beziehung zwischen Aktivität und Kernzahl.
Du erläuterst Zufall und statistische Vorhersagbarkeit.
Du berücksichtigst Untergrundstrahlung bei Messungen.
Du beschreibst mindestens eine Anwendung der Halbwertszeit.
Du beurteilst Grenzen eines mathematischen Modells.

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