Gauß-Algorithmus - Lineare Gleichungssysteme lösen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Der Gauß-Algorithmus ist ein Rechenverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Du formst die Gleichungen so um, dass immer weniger Variablen vorkommen. Am Ende kannst Du die Lösung von unten nach oben ablesen.

Fach: Mathematik Klassen: 9–13 Themen: Lineares Gleichungssystem, Matrix, Zeilenumformung, Stufenform

Das Verfahren trägt den Namen des Mathematikers Carl Friedrich Gauß.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. lineare Gleichungssysteme als erweiterte Matrix schreiben.
2. erlaubte Zeilenumformungen anwenden.
3. eine Stufenform herstellen.
4. durch Rückwärtseinsetzen die Lösung bestimmen.
5. erkennen, ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.

Grundlagen

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht aus mehreren linearen Gleichungen. Gesucht sind Zahlen, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Beispiel:

$\begin{array}{cc}x+y+z& =6\\ 2x-y+z& =3\\ x+2y-z& =2\end{array}$

Die Zahlen vor den Variablen heißen Koeffizienten.

Erweiterte Matrix

Das Beispiel kann kurz als erweiterte Matrix geschrieben werden:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& -1& 1& 3\\ 1& 2& -1& 2\end{array}\right)$

Links stehen die Koeffizienten. Rechts vom Strich steht die rechte Seite der Gleichungen.

Der Gauß-Algorithmus

Erlaubte Zeilenumformungen

Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge nicht:

1. Zeilenvertauschung: Zwei Zeilen werden vertauscht.
2. Skalarmultiplikation: Eine Zeile wird mit einer Zahl ungleich null multipliziert.
3. Zeilenaddition: Ein Vielfaches einer Zeile wird zu einer anderen Zeile addiert.

Ablauf

1. Vorwärtselimination: Erzeuge Nullen unter den führenden Einträgen.
2. Stufenform: Die Matrix sieht wie eine Treppe aus.
3. Rückwärtseinsetzen: Löse von der letzten Zeile nach oben.

Kurzes Beispiel

Ausgangsmatrix:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 2& -1& 1& 3\\ 1& 2& -1& 2\end{array}\right)$

Umformungen:

1. $Z_2\leftarrow Z_2-2Z_1$
2. $Z_3\leftarrow Z_3-Z_1$
3. $Z_2\leftrightarrow Z_3$
4. $Z_3\leftarrow Z_3+3Z_2$

Stufenform:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 6\\ 0& 1& -2& -4\\ 0& 0& -7& -21\end{array}\right)$

Von unten nach oben:

1. $-7z=-21$, also $z=3$.
2. $y-2z=-4$, also $y=2$.
3. $x+y+z=6$, also $x=1$.

Lösung: $(x,y,z)=(1,2,3)$

Mögliche Lösungsfälle

Genau eine Lösung

Die Gleichungen treffen sich in genau einem gemeinsamen Punkt.

Keine Lösung

Eine Zeile wie $0=5$ ist ein Widerspruch. Bei zwei Variablen können parallele Geraden diesen Fall zeigen.

Unendlich viele Lösungen

Mindestens eine Variable bleibt frei. Bei zwei Variablen können beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben.

Lernvideo

Das folgende Video zeigt den Gauß-Algorithmus Schritt für Schritt:

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YouTube

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Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Videoprotokoll: Schreibe jede Umformung des gezeigten Gleichungssystems in der Form $Z_i\leftarrow Z_i+a{Z}_j$ auf.
2. Stopp-Aufgabe: Halte das Video vor einer neuen Umformung an und sage den nächsten Rechenschritt voraus.
3. Rechenkontrolle: Rechne mindestens drei Umformungen selbst nach.
4. Fehleranalyse: Notiere zwei Stellen, an denen ein Vorzeichenfehler leicht passieren kann.
5. Kurz-Erklärung: Erkläre den Lösungsweg des Videos in höchstens fünf Sätzen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu dient der Gauß-Algorithmus? (Zum Lösen linearer Gleichungssysteme) (!Zum Zeichnen von Kreisen) (!Zum Berechnen von Prozenten) (!Zum Messen von Winkeln)

Welche Umformung ist beim Gauß-Algorithmus erlaubt? (Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren) (!Eine Variable ohne Grund löschen) (!Nur die rechte Seite verändern) (!Alle Zahlen quadrieren)

Was enthält eine erweiterte Matrix? (Koeffizienten und rechte Seiten) (!Nur die Variablennamen) (!Nur die Lösungen) (!Nur geometrische Punkte)

Was ist das Ziel der Vorwärtselimination? (Eine Stufenform erzeugen) (!Alle Zahlen positiv machen) (!Die Variablen umbenennen) (!Eine Zeichnung anfertigen)

Was ist eine Pivotstelle? (Ein führender Eintrag für die Elimination) (!Die letzte Lösung des Systems) (!Ein Rechenfehler) (!Eine freie Zeichnung)

Was folgt nach dem Erreichen der Stufenform? (Das Rückwärtseinsetzen) (!Das Runden aller Zahlen) (!Das Löschen der Matrix) (!Das Zeichnen eines Kreises)

Wann hat ein LGS genau eine Lösung? (Wenn jede Variable eindeutig bestimmt ist) (!Wenn jede Zeile nur Nullen enthält) (!Wenn ein Widerspruch entsteht) (!Wenn keine Gleichung vorhanden ist)

Was bedeutet eine Zeile mit nur Nullen links und einer Zahl ungleich null rechts? (Das LGS hat keine Lösung) (!Das LGS hat genau zwei Lösungen) (!Das LGS ist bereits gelöst) (!Alle Variablen sind null)

Was gilt, wenn eine freie Variable bleibt und kein Widerspruch auftritt? (Das LGS hat unendlich viele Lösungen) (!Das LGS hat keine Lösung) (!Das LGS hat immer genau eine Lösung) (!Die Matrix darf nicht verwendet werden)

Welche Arbeitsweise wird im Lernvideo hauptsächlich gezeigt? (Gleichungen schrittweise durch Zeilenumformungen vereinfachen) (!Geraden nur mit dem Lineal zeichnen) (!Brüche in Prozentzahlen umwandeln) (!Flächen von Dreiecken berechnen)

Memory

Erweiterte Matrix	Koeffizienten mit rechter Seite
Pivotstelle	Startpunkt einer Elimination
Zeilentausch	Reihenfolge der Gleichungen ändern
Stufenform	Treppenartige Anordnung
Rücksubstitution	Von unten nach oben lösen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Gauß-Algorithmus
Vorwärtselimination	Nullen unter den Pivotstellen erzeugen
Rückwärtseinsetzen	Unbekannte von unten bestimmen
Einzige Lösung	Jede Variable hat genau einen Wert
Keine Lösung	Eine Gleichung führt zum Widerspruch
Unendlich viele Lösungen	Mindestens eine Variable bleibt frei

Kreuzworträtsel

Matrix	Wie heißt die rechteckige Anordnung der Zahlen eines LGS?
Pivot	Wie heißt der führende Eintrag für einen Eliminationsschritt?
Zeile	Was entspricht in einer erweiterten Matrix einer Gleichung?
Stufenform	Wie heißt die treppenartige Form nach der Vorwärtselimination?
Variable	Wie heißt eine unbekannte Größe wie x oder y?
Widerspruch	Was zeigt eine Gleichung wie null gleich fünf?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein LGS besteht aus mehreren .

Beim Gauß-Algorithmus werden zuerst Variablen .

Die rechte Seite steht in der erweiterten .

Durch erlaubte Zeilenumformungen bleibt die gleich.

In der Stufenform beginnt das Lösen in der untersten .

Eine Widerspruchszeile bedeutet, dass das System hat.

Eine freie Variable kann zu führen.

Am Ende sollte die Lösung durch Einsetzen werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Videoanalyse: Sieh das Lernvideo an und notiere die drei wichtigsten Arbeitsschritte.
2. Begriffsnetz: Verbinde die Begriffe LGS, Matrix, Zeile, Pivot und Lösung in einer kleinen Skizze.
3. Rechenweg erklären: Erkläre einer anderen Person, warum man Gleichungen vertauschen darf.
4. Lösungsprobe: Setze $x=1$, $y=2$ und $z=3$ in das Beispiel ein.

Standard

1. Eigene Rechnung: Löse ein selbst gewähltes LGS mit drei Variablen durch den Gauß-Algorithmus.
2. Videovergleich: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Vorgehen im Lernvideo.
3. Fehlersuche: Erstelle einen falschen Gauß-Rechenweg und markiere die erste fehlerhafte Zeile.
4. Verfahrensvergleich: Löse ein LGS einmal mit Gauß und einmal mit dem Additionsverfahren.

Schwer

1. Parameteraufgabe: Untersuche ein LGS mit einem Parameter und bestimme, wann es eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.
2. Modellierungsaufgabe: Erfinde eine Sachaufgabe mit drei unbekannten Größen und löse sie mit Gauß.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes eigenes Lernvideo mit Matrix, Zeilenumformungen und Lösungsprobe.
4. Algorithmus: Formuliere den Gauß-Algorithmus als Ablaufplan oder Pseudocode.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Begründe, warum der Gauß-Algorithmus für ein LGS mit drei oder mehr Variablen oft übersichtlicher als Einsetzen ist.
2. Umformungsprüfung: Entscheide bei mehreren vorgegebenen Rechenschritten, welche die Lösungsmenge erhalten, und begründe Deine Entscheidung.
3. Fehlerdiagnose: Analysiere einen Rechenweg mit falschem Vorzeichen und beschreibe, wie sich der Fehler bis zur Lösung auswirkt.
4. Lösungsfall bestimmen: Erkläre anhand einer Stufenmatrix, ob ein LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen besitzt.
5. Rückwärtsplanung: Entwickle zu einer vorgegebenen Lösung ein passendes LGS und prüfe es mit dem Gauß-Algorithmus.
6. Transfer: Stelle aus einer Alltagssituation ein LGS auf, löse es und deute die Lösung im Sachzusammenhang.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. ein LGS korrekt in Matrixform schreiben kannst.
2. erlaubte Zeilenumformungen sicher ausführst.
3. eine Stufenform erzeugst.
4. durch Rückwärtseinsetzen eine Lösung bestimmst.
5. die Lösung durch Einsetzen prüfst.
6. die drei möglichen Lösungsfälle begründet unterscheidest.
7. Deinen Rechenweg verständlich erklärst.

Links

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