Exponentielles Wachstum - Grundlagen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Beim exponentiellen Wachstum wird eine Größe in gleichen Zeitabständen immer mit demselben Wachstumsfaktor multipliziert. Der Zuwachs wird deshalb immer größer. Du begegnest diesem Modell zum Beispiel beim Zinseszins, bei Bakterien oder bei der Verbreitung von Informationen.

Grundidee und Formel

Die Grundformel lautet:

$N(t)=N_0\cdot q^t$

1. $N_0$: Anfangswert
2. $q$: Wachstumsfaktor mit $q>1$
3. $t$: Anzahl der Zeitschritte
4. $N(t)$: Wert nach $t$ Zeitschritten

Bei einer Zunahme um $p$ Prozent gilt: $q=1+\frac{p}{100}$. Bei 20 Prozent Wachstum ist also $q=\mathrm{1,2}$.

Beispiel

Eine Kultur startet mit 100 Bakterien und verdoppelt sich in jedem Zeitschritt. Dann ist $N_0=100$ und $q=2$.

Zeit $t$	Anzahl $N(t)$
0	100
1	200
2	400
3	800

Lernvideo

Das Video erklärt die Grundlagen des exponentiellen Wachstums.

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Aufgaben zum Video

1. Begriffe sammeln: Notiere drei Fachbegriffe aus dem Video und erkläre sie mit eigenen Worten.
2. Formel erklären: Pausiere bei einer Formel und beschreibe die Bedeutung ihrer Zeichen.
3. Beispiel nachrechnen: Rechne ein Beispiel aus dem Video selbst nach.
4. Wachstumsfaktor finden: Notiere, wie aus einer Prozentangabe ein Wachstumsfaktor wird.
5. Darstellungen vergleichen: Erkläre, wie Tabelle, Term und Graph zusammenpassen.
6. Frage formulieren: Schreibe eine Frage, die nach dem Video noch offen ist.

Linear oder exponentiell?

Beim linearen Wachstum kommt immer derselbe Betrag hinzu. Beim exponentiellen Wachstum wird immer mit demselben Faktor multipliziert.

Grenzen des Modells

Exponentielles Wachstum kann nicht immer unbegrenzt weitergehen. In der Wirklichkeit sind Platz, Nahrung, Geld oder andere Ressourcen oft begrenzt. Dann passen andere Wachstumsmodelle besser.

Datei:Exponentielles Wachstum kurzerklärt von Tagesschau.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel beschreibt exponentielles Wachstum? (N von t gleich N null mal q hoch t) (!N von t gleich N null plus q mal t) (!N von t gleich q geteilt durch t) (!N von t gleich N null minus t)

Welche Bedingung gilt beim exponentiellen Wachstum für den Wachstumsfaktor? (q ist größer als 1) (!q ist gleich 0) (!q ist kleiner als 0) (!q ist immer gleich t)

Wofür steht der Anfangswert? (Für den Wert zu Beginn) (!Für die Anzahl der Achsen) (!Für die Einheit der Zeit) (!Für die Steigung einer Geraden)

Welcher Wachstumsfaktor gehört zu 20 Prozent Wachstum? (1,2) (!0,2) (!2,0) (!20)

Eine Menge startet bei 100 und verdoppelt sich dreimal. Wie groß ist sie dann? (800) (!300) (!600) (!1000)

Was bleibt bei exponentiellem Wachstum konstant? (Der prozentuale Zuwachs) (!Der absolute Zuwachs) (!Der Endwert) (!Die Zeit)

Wie sieht der Graph bei exponentiellem Wachstum meist aus? (Er steigt immer steiler) (!Er ist eine waagerechte Gerade) (!Er fällt immer gleichmäßig) (!Er bildet einen Kreis)

Was bedeutet Verdopplungszeit? (Die Zeit bis zur Verdopplung eines Wertes) (!Die Zeit bis zum Wert null) (!Die Hälfte der gesamten Messzeit) (!Die Zeit bis zur ersten Messung)

Worin unterscheidet sich lineares von exponentiellem Wachstum? (Linear bedeutet gleicher Betrag, exponentiell gleicher Faktor) (!Linear bedeutet gleicher Faktor, exponentiell gleicher Betrag) (!Beide haben immer denselben Graphen) (!Beide enden immer bei null)

Warum ist exponentielles Wachstum in der Wirklichkeit oft begrenzt? (Weil Ressourcen begrenzt sein können) (!Weil Zahlen nicht größer als tausend werden) (!Weil jeder Graph eine Gerade sein muss) (!Weil Prozentwerte immer null sind)

Memory

Anfangswert	Wert zu Beginn
Wachstumsfaktor	Multiplikation je Zeitschritt
Verdopplungszeit	Zeit bis zum doppelten Wert
Exponentialfunktion	Funktion mit variabler Hochzahl
Prozentzuwachs	Gleichbleibende relative Änderung
Ressourcenlimit	Grenze eines realen Modells

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Anfangswert	Wert bei Zeit null
Wachstumsfaktor	Faktor pro Zeitschritt
Exponent	Anzahl der Zeitschritte
Verdopplung	Wachstum auf den doppelten Wert
Prozentzuwachs	Gleichbleibende relative Zunahme

Kreuzworträtsel

Anfangswert	Wie heißt der Wert zu Beginn?
Wachstumsfaktor	Welche Größe wird in jedem Zeitschritt multipliziert?
Exponent	Wie heißt die Hochzahl in einer Potenz?
Verdopplung	Wie heißt das Anwachsen auf den doppelten Wert?
Prozent	In welcher Einheit wird eine relative Änderung oft angegeben?
Kurve	Wie nennt man die graphische Linie einer Funktion?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim exponentiellen Wachstum wird eine Größe immer mit demselben multipliziert. Der Wert zu Beginn heißt . Bei einer Zunahme um 20 Prozent ist der Wachstumsfaktor . Der variable Wert in der Hochzahl heißt . Der Graph steigt bei Wachstum meist immer . Reale Wachstumsprozesse werden oft durch begrenzte gebremst.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Wertetabelle: Erstelle für $N(t)=5\cdot 2^t$ eine Tabelle von $t=0$ bis $t=5$.
2. Wachstumsfaktor: Bestimme den Faktor für 5 Prozent, 25 Prozent und 80 Prozent Wachstum.
3. Video-Skizze: Zeichne ein Bild zu einer Erklärung aus dem Lernvideo.
4. Alltagsbeispiel: Finde ein mögliches Beispiel für exponentielles Wachstum und begründe Deine Wahl.

Standard

1. Graph zeichnen: Zeichne den Graphen von $N(t)=50\cdot \mathrm{1,}{5}^t$.
2. Video-Erklärung: Erstelle eine einminütige Sprachnachricht mit den wichtigsten Aussagen des Videos.
3. Linear und exponentiell: Vergleiche zwei selbst gewählte Wertetabellen.
4. Fehleranalyse: Erkläre, warum $N(t)=100+\mathrm{1,2}t$ kein exponentielles Wachstum beschreibt.

Schwer

1. Modellieren: Entwickle zu einer realen Situation eine Exponentialfunktion und nenne Deine Annahmen.
2. Verdopplungszeit: Untersuche, wie der Wachstumsfaktor die Verdopplungszeit beeinflusst.
3. Modellgrenze: Zeige an einem Beispiel, wann exponentielles Wachstum unrealistisch wird.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video mit Formel, Tabelle, Graph und Beispiel.

Lernkontrolle

1. Modellwahl: Entscheide bei drei Sachsituationen, ob lineares oder exponentielles Wachstum passt, und begründe.
2. Parameterwirkung: Erkläre, wie sich eine Änderung von $N_0$ oder $q$ auf den Graphen auswirkt.
3. Darstellungswechsel: Überführe eine Wertetabelle in einen Funktionsterm und einen Graphen.
4. Prognose prüfen: Beurteile, ob eine langfristige exponentielle Vorhersage in einer realen Situation sinnvoll ist.
5. Fehler korrigieren: Prüfe eine falsche Rechnung zum Wachstumsfaktor, verbessere sie und erkläre den Fehler.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. Exponentielles Wachstum erkennen
2. Anfangswert und Wachstumsfaktor bestimmen
3. eine Exponentialfunktion aufstellen
4. Werte berechnen und einen Graphen deuten
5. lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden
6. Grenzen eines mathematischen Modells erklären

Links

Exponentielles Wachstum - Grundlagen Exponentielles Wachstum Exponentialfunktion Wachstumsfaktor Prozentrechnung Verdopplungszeit Logarithmus Wachstumsmodell