Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Exponentielles Wachstum - Grundlagen

Einleitung

Beim exponentiellen Wachstum wird eine Größe in gleichen Zeitabständen immer mit demselben Wachstumsfaktor multipliziert. Der Zuwachs wird deshalb immer größer. Du begegnest diesem Modell zum Beispiel beim Zinseszins, bei Bakterien oder bei der Verbreitung von Informationen.

Datei:Exponential-Growth.png

Grundidee und Formel

Die Grundformel lautet:

$N (t) = N_{0} \cdot q^{t}$

$N_{0}$ : Anfangswert
$q$ : Wachstumsfaktor mit $q > 1$
$t$ : Anzahl der Zeitschritte
$N (t)$ : Wert nach $t$ Zeitschritten

Bei einer Zunahme um $p$ Prozent gilt: $q = 1 + \frac{p}{100}$ . Bei 20 Prozent Wachstum ist also $q = 1,2$ .

Datei:Exponential functions.png

Beispiel

Eine Kultur startet mit 100 Bakterien und verdoppelt sich in jedem Zeitschritt. Dann ist $N_{0} = 100$ und $q = 2$ .

Zeit $t$	Anzahl $N (t)$
0	100
1	200
2	400
3	800

Datei:Exponential.svg

Lernvideo

Das Video erklärt die Grundlagen des exponentiellen Wachstums.

Aufgaben zum Video

Begriffe sammeln: Notiere drei Fachbegriffe aus dem Video und erkläre sie mit eigenen Worten.
Formel erklären: Pausiere bei einer Formel und beschreibe die Bedeutung ihrer Zeichen.
Beispiel nachrechnen: Rechne ein Beispiel aus dem Video selbst nach.
Wachstumsfaktor finden: Notiere, wie aus einer Prozentangabe ein Wachstumsfaktor wird.
Darstellungen vergleichen: Erkläre, wie Tabelle, Term und Graph zusammenpassen.
Frage formulieren: Schreibe eine Frage, die nach dem Video noch offen ist.

Linear oder exponentiell?

Beim linearen Wachstum kommt immer derselbe Betrag hinzu. Beim exponentiellen Wachstum wird immer mit demselben Faktor multipliziert.

Datei:Graph of linear vs. exponential growth.png

Grenzen des Modells

Exponentielles Wachstum kann nicht immer unbegrenzt weitergehen. In der Wirklichkeit sind Platz, Nahrung, Geld oder andere Ressourcen oft begrenzt. Dann passen andere Wachstumsmodelle besser.

Datei:Exponentielles Wachstum kurzerklärt von Tagesschau.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel beschreibt exponentielles Wachstum? (N von t gleich N null mal q hoch t) (!N von t gleich N null plus q mal t) (!N von t gleich q geteilt durch t) (!N von t gleich N null minus t)

Welche Bedingung gilt beim exponentiellen Wachstum für den Wachstumsfaktor? (q ist größer als 1) (!q ist gleich 0) (!q ist kleiner als 0) (!q ist immer gleich t)

Wofür steht der Anfangswert? (Für den Wert zu Beginn) (!Für die Anzahl der Achsen) (!Für die Einheit der Zeit) (!Für die Steigung einer Geraden)

Welcher Wachstumsfaktor gehört zu 20 Prozent Wachstum? (1,2) (!0,2) (!2,0) (!20)

Eine Menge startet bei 100 und verdoppelt sich dreimal. Wie groß ist sie dann? (800) (!300) (!600) (!1000)

Was bleibt bei exponentiellem Wachstum konstant? (Der prozentuale Zuwachs) (!Der absolute Zuwachs) (!Der Endwert) (!Die Zeit)

Wie sieht der Graph bei exponentiellem Wachstum meist aus? (Er steigt immer steiler) (!Er ist eine waagerechte Gerade) (!Er fällt immer gleichmäßig) (!Er bildet einen Kreis)

Was bedeutet Verdopplungszeit? (Die Zeit bis zur Verdopplung eines Wertes) (!Die Zeit bis zum Wert null) (!Die Hälfte der gesamten Messzeit) (!Die Zeit bis zur ersten Messung)

Worin unterscheidet sich lineares von exponentiellem Wachstum? (Linear bedeutet gleicher Betrag, exponentiell gleicher Faktor) (!Linear bedeutet gleicher Faktor, exponentiell gleicher Betrag) (!Beide haben immer denselben Graphen) (!Beide enden immer bei null)

Warum ist exponentielles Wachstum in der Wirklichkeit oft begrenzt? (Weil Ressourcen begrenzt sein können) (!Weil Zahlen nicht größer als tausend werden) (!Weil jeder Graph eine Gerade sein muss) (!Weil Prozentwerte immer null sind)

Memory

Anfangswert	Wert zu Beginn
Wachstumsfaktor	Multiplikation je Zeitschritt
Verdopplungszeit	Zeit bis zum doppelten Wert
Exponentialfunktion	Funktion mit variabler Hochzahl
Prozentzuwachs	Gleichbleibende relative Änderung
Ressourcenlimit	Grenze eines realen Modells

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Anfangswert	Wert bei Zeit null
Wachstumsfaktor	Faktor pro Zeitschritt
Exponent	Anzahl der Zeitschritte
Verdopplung	Wachstum auf den doppelten Wert
Prozentzuwachs	Gleichbleibende relative Zunahme

Kreuzworträtsel

Anfangswert	Wie heißt der Wert zu Beginn?
Wachstumsfaktor	Welche Größe wird in jedem Zeitschritt multipliziert?
Exponent	Wie heißt die Hochzahl in einer Potenz?
Verdopplung	Wie heißt das Anwachsen auf den doppelten Wert?
Prozent	In welcher Einheit wird eine relative Änderung oft angegeben?
Kurve	Wie nennt man die graphische Linie einer Funktion?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Wertetabelle: Erstelle für $N (t) = 5 \cdot 2^{t}$ eine Tabelle von $t = 0$ bis $t = 5$ .
Wachstumsfaktor: Bestimme den Faktor für 5 Prozent, 25 Prozent und 80 Prozent Wachstum.
Video-Skizze: Zeichne ein Bild zu einer Erklärung aus dem Lernvideo.
Alltagsbeispiel: Finde ein mögliches Beispiel für exponentielles Wachstum und begründe Deine Wahl.

Standard

Graph zeichnen: Zeichne den Graphen von $N (t) = 50 \cdot 1, 5^{t}$ .
Video-Erklärung: Erstelle eine einminütige Sprachnachricht mit den wichtigsten Aussagen des Videos.
Linear und exponentiell: Vergleiche zwei selbst gewählte Wertetabellen.
Fehleranalyse: Erkläre, warum $N (t) = 100 + 1,2 t$ kein exponentielles Wachstum beschreibt.

Schwer

Modellieren: Entwickle zu einer realen Situation eine Exponentialfunktion und nenne Deine Annahmen.
Verdopplungszeit: Untersuche, wie der Wachstumsfaktor die Verdopplungszeit beeinflusst.
Modellgrenze: Zeige an einem Beispiel, wann exponentielles Wachstum unrealistisch wird.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video mit Formel, Tabelle, Graph und Beispiel.

Lernkontrolle

Modellwahl: Entscheide bei drei Sachsituationen, ob lineares oder exponentielles Wachstum passt, und begründe.
Parameterwirkung: Erkläre, wie sich eine Änderung von $N_{0}$ oder $q$ auf den Graphen auswirkt.
Darstellungswechsel: Überführe eine Wertetabelle in einen Funktionsterm und einen Graphen.
Prognose prüfen: Beurteile, ob eine langfristige exponentielle Vorhersage in einer realen Situation sinnvoll ist.
Fehler korrigieren: Prüfe eine falsche Rechnung zum Wachstumsfaktor, verbessere sie und erkläre den Fehler.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

Exponentielles Wachstum erkennen
Anfangswert und Wachstumsfaktor bestimmen
eine Exponentialfunktion aufstellen
Werte berechnen und einen Graphen deuten
lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden
Grenzen eines mathematischen Modells erklären

OERs zum Thema

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Exponentielles Wachstum - Grundlagen

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.