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Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 9-10, G-Niveau

Die Linsengleichung - Physik

Einleitung

Eine Linse kann Licht so brechen, dass ein scharfes Bild entsteht. Bei einer Sammellinse hängt der Ort dieses Bildes von drei Größen ab: der Brennweite $f$ , der Gegenstandsweite $g$ und der Bildweite $b$ . Die Linsengleichung beschreibt ihren Zusammenhang.

$\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$

Du brauchst die Gleichung zum Beispiel bei Kameras, Projektoren, Mikroskopen, Fernrohren und beim Verständnis des Auges. In diesem aiMOOC lernst Du die Größen kennen, stellst die Formel um, berechnest Abbildungen und überprüfst Ergebnisse mit einer Strahlenkonstruktion oder einem Versuch.

Lernziele

Linsengleichung anwenden: Du setzt Brennweite, Gegenstandsweite und Bildweite mit gleichen Längeneinheiten ein.
Formeln umstellen: Du berechnest jede der drei Größen.
Bildentstehung erklären: Du unterscheidest reelle und virtuelle Bilder.
Bildgröße bestimmen: Du verknüpfst Bild- und Gegenstandsgröße mit den zugehörigen Weiten.
Messungen auswerten: Du prüfst die Gleichung an einer Sammellinse.

Grundlagen

Die dünne Sammellinse

Die Linsengleichung wird in der Schule meist für eine dünne Linse verwendet. Dabei stellt man sich vor, dass die Brechung in einer einzigen Linsenebene stattfindet. Diese Näherung funktioniert besonders gut für achsennahe Lichtstrahlen und eine Linse, deren Dicke klein gegenüber den betrachteten Abständen ist.

Eine Sammellinse bündelt Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse einfallen, im Brennpunkt $F$ . Der Abstand zwischen Linsenebene und Brennpunkt ist die Brennweite $f$ .

Größen und Formelzeichen

Größe	Formelzeichen	Bedeutung	Übliche Einheit
Brennweite	$f$	Abstand zwischen Linse und Brennpunkt	cm oder m
Gegenstandsweite	$g$	Abstand zwischen Gegenstand und Linse	cm oder m
Bildweite	$b$	Abstand zwischen Linse und scharfem Bild	cm oder m
Gegenstandsgröße	$G$	Höhe des Gegenstands	cm oder m
Bildgröße	$B$	Höhe des Bildes	cm oder m

Wichtig: In einer Rechnung müssen $f$ , $g$ und $b$ in derselben Längeneinheit angegeben sein.

Die Linsengleichung

Grundform

Für eine dünne Sammellinse mit einem reellen Gegenstand und einem reellen Schirmbild gilt in der üblichen Schulkonvention:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$

Die Gleichung zeigt: Verändert sich der Abstand des Gegenstands zur Linse, verändert sich auch der Ort des scharfen Bildes. Beim Fokussieren einer Kamera wird deshalb der Abstand zwischen Linsensystem und Sensor angepasst.

Formel umstellen

Nach der Bildweite:

$b = \frac{f \cdot g}{g - f}$

Nach der Gegenstandsweite:

$g = \frac{f \cdot b}{b - f}$

Nach der Brennweite:

$f = \frac{g \cdot b}{g + b}$

Die umgestellten Formen gelten für die hier behandelte Schulkonvention mit positiven Weiten bei einer reellen Abbildung durch eine Sammellinse.

Beispiel 1: Bildweite berechnen

Gegeben sind $f = 10 c m$ und $g = 30 c m$ . Gesucht ist $b$ .

$b = \frac{f \cdot g}{g - f} = \frac{10 c m \cdot 30 c m}{30 c m - 10 c m} = 15 c m$

Das scharfe Bild entsteht also 15 cm hinter der Linse.

Beispiel 2: Brennweite berechnen

Gemessen wurden $g = 24 c m$ und $b = 12 c m$ .

$f = \frac{g \cdot b}{g + b} = \frac{24 c m \cdot 12 c m}{36 c m} = 8 c m$

Die Linse besitzt eine Brennweite von 8 cm.

Bildentstehung

Hauptstrahlen

Für eine zeichnerische Bildkonstruktion genügen meist zwei der drei Hauptstrahlen:

Parallelstrahl: Er verläuft vor der Sammellinse parallel zur optischen Achse und danach durch den bildseitigen Brennpunkt.
Brennpunktstrahl: Er verläuft vor der Linse durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt und danach parallel zur optischen Achse.
Mittelpunktstrahl: Er geht in der Näherung der dünnen Linse geradlinig durch den optischen Mittelpunkt.

Der Schnittpunkt der gebrochenen Strahlen bestimmt die Lage der Bildspitze.

Abbildungsfälle der Sammellinse

Lage des Gegenstands	Lage des Bildes	Bildeigenschaften
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g \gt 2f}	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle f \lt b \lt 2f}	reell, umgekehrt, verkleinert
$g = 2 f$	$b = 2 f$	reell, umgekehrt, gleich groß
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle f \lt g \lt 2f}	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle b \gt 2f}	reell, umgekehrt, vergrößert
$g = f$	Bild liegt im Unendlichen	kein scharfes Schirmbild in endlicher Entfernung
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle g \lt f}	auf der Gegenstandsseite	virtuell, aufrecht, vergrößert

Ein reelles Bild kann auf einem Schirm aufgefangen werden. Ein virtuelles Bild kann nur beim Blick durch die Linse wahrgenommen werden. Für virtuelle Bilder und Zerstreuungslinsen braucht man eine konsequente Vorzeichenregel, die über die einfache positive Schulkonvention hinausgeht.

Der Abbildungsmaßstab

Der Abbildungsmaßstab $A$ vergleicht Bildgröße und Gegenstandsgröße:

$A = \frac{B}{G} = \frac{b}{g}$

Damit gilt:

$B = G \cdot \frac{b}{g}$

Für Beispiel 1 mit $g = 30 c m$ und $b = 15 c m$ ist $A = 0,5$ . Ein 4 cm hoher Gegenstand wird daher 2 cm hoch abgebildet. Das reelle Bild ist zusätzlich umgekehrt.

Experiment: Brennweite bestimmen

Du benötigst eine beleuchtete Gegenstandsvorlage, eine Sammellinse, einen weißen Schirm, ein Maßband und passende Halterungen.

Stelle Gegenstand, Linse und Schirm auf einer gemeinsamen optischen Achse auf.
Verschiebe den Schirm, bis ein möglichst scharfes Bild entsteht.
Miss Gegenstandsweite $g$ und Bildweite $b$ jeweils von der Linsenebene aus.
Berechne $f = \frac{g \cdot b}{g + b}$ .
Wiederhole die Messung mit mehreren Gegenstandsweiten und bilde einen Mittelwert.

Messung	$g$ in cm	$b$ in cm	$f$ in cm
1
2
3

Sicherheit: Richte eine Sammellinse niemals so auf die Sonne, dass das gebündelte Licht Augen, Haut oder brennbare Gegenstände treffen kann.

Anwendungen

Kamera: Das Objektiv erzeugt ein reelles Bild auf dem Sensor.
Projektor: Ein kleines Objekt wird als großes reelles Bild auf einer Leinwand abgebildet.
Lupe: Der Gegenstand liegt innerhalb der Brennweite; es entsteht ein vergrößertes virtuelles Bild.
Mikroskop: Mehrere Linsen erzeugen eine starke Vergrößerung.
Fernrohr: Linsensysteme bilden weit entfernte Objekte ab.
Auge: Hornhaut und Augenlinse erzeugen ein Bild auf der Netzhaut.

Grenzen des Modells

Die Linsengleichung beschreibt eine idealisierte dünne Linse. Reale Linsen können Linsenfehler zeigen. Dazu gehören unter anderem Farbfehler und Abbildungsunschärfen für weit von der optischen Achse entfernte Strahlen. Technische Objektive verwenden deshalb oft mehrere Linsen.

Merksätze

Die Linsengleichung lautet $\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}$ .
Alle eingesetzten Längen müssen dieselbe Einheit besitzen.
Ein reelles Bild kann auf einem Schirm sichtbar gemacht werden.
Bei $g = 2 f$ gilt auch $b = 2 f$ .
Der Abbildungsmaßstab lautet $\frac{B}{G} = \frac{b}{g}$ .
Rechnung und Strahlenkonstruktion sollten zum gleichen Ergebnis führen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wofür steht das Formelzeichen g? (Gegenstandsweite) (!Bildweite) (!Brennweite) (!Bildgröße)

Welche Aussage beschreibt die Linsengleichung? (Der Kehrwert der Brennweite ist die Summe der Kehrwerte von Gegenstandsweite und Bildweite) (!Die Brennweite ist immer die Summe aus Gegenstandsweite und Bildweite) (!Die Bildweite ist immer gleich der Gegenstandsweite) (!Die Gegenstandsweite ist unabhängig von der Bildweite)

Eine Linse hat 10 cm Brennweite und der Gegenstand steht 30 cm entfernt. Wie groß ist die Bildweite? (15 cm) (!10 cm) (!20 cm) (!40 cm)

Welche Einheiten dürfen in einer Rechnung gemeinsam verwendet werden? (Gleiche Längeneinheiten für alle Weiten) (!Zentimeter für die Brennweite und Sekunden für die Bildweite) (!Meter für die Gegenstandsweite und Kilogramm für die Bildweite) (!Beliebige Einheiten ohne Umrechnung)

Was gilt bei einer Sammellinse für g gleich 2f? (Die Bildweite ist ebenfalls 2f) (!Das Bild liegt im Brennpunkt) (!Es entsteht kein Bild) (!Das Bild ist immer virtuell)

Wie ist das Bild bei g größer als 2f? (Reell umgekehrt und verkleinert) (!Virtuell aufrecht und vergrößert) (!Reell aufrecht und gleich groß) (!Virtuell umgekehrt und verkleinert)

Welches Bild kann auf einem Schirm aufgefangen werden? (Ein reelles Bild) (!Ein virtuelles Bild) (!Nur ein aufrechtes Bild) (!Nur ein vergrößertes Bild)

Welche Gleichung beschreibt den Abbildungsmaßstab? (Bildgröße durch Gegenstandsgröße gleich Bildweite durch Gegenstandsweite) (!Bildgröße plus Gegenstandsgröße gleich Brennweite) (!Bildweite mal Gegenstandsweite gleich Gegenstandsgröße) (!Brennweite durch Bildgröße gleich Gegenstandsweite)

Was geschieht mit der Bildweite, wenn sich ein Gegenstand von außen der Brennweite nähert? (Sie wird größer) (!Sie wird immer null) (!Sie bleibt stets gleich) (!Sie wird unabhängig von der Linse)

Welche Annahme gehört zum Modell der dünnen Linse? (Die Brechung wird in einer Linsenebene zusammengefasst) (!Die Linse besitzt keine Brennweite) (!Licht wird an der Linse nicht gebrochen) (!Jede Linse erzeugt nur virtuelle Bilder)

Memory

Gegenstandsweite	Abstand zwischen Gegenstand und Linse
Bildweite	Abstand zwischen Linse und scharfem Bild
Brennweite	Abstand zwischen Linse und Brennpunkt
Reelles Bild	Auf einem Schirm auffangbar
Virtuelles Bild	Nicht auf einem Schirm auffangbar
Sammellinse	Bündelt achsenparalleles Licht
Abbildungsmaßstab	Verhältnis von Bildgröße zu Gegenstandsgröße

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Gegenstandsweite	Abstand zwischen Objekt und Linse
Bildweite	Abstand zwischen Linse und Bild
Brennweite	Abstand zwischen Linse und Brennpunkt
Gegenstandsgröße	Höhe des abzubildenden Gegenstands
Bildgröße	Höhe des entstandenen Bildes

...

Kreuzworträtsel

Brennweite	Wie heißt der Abstand zwischen Linse und Brennpunkt?
Bildweite	Wie heißt der Abstand zwischen Linse und scharfem Bild?
Gegenstand	Was wird durch die Linse abgebildet?
Sammellinse	Welche Linse bündelt achsenparalleles Licht?
Brennpunkt	Wo treffen sich achsenparallel einfallende Strahlen nach der Sammellinse?
Strahlensatz	Welcher geometrische Satz hilft bei der Herleitung der Linsengleichung?

LearningApps

Lückentext

Eine Sammellinse bündelt achsenparallele Lichtstrahlen im

. Der Abstand zwischen Linse und Brennpunkt heißt

. Die Entfernung vom Gegenstand zur Linse wird als

bezeichnet. Die Entfernung von der Linse zum scharfen Bild heißt

. In der Linsengleichung werden die

der drei Weiten miteinander verknüpft. Ein Bild, das auf einem Schirm aufgefangen werden kann, heißt

. Bei einer Gegenstandsweite von zweimal der Brennweite ist das Bild

. Der Abbildungsmaßstab vergleicht die Bildgröße mit der

. Nähert sich der Gegenstand von außen dem Brennpunkt, wird die Bildweite

. Das Modell fasst die Brechung in einer einzigen

zusammen.

Offene Aufgaben

Leicht

Linsen im Alltag: Fotografiere oder zeichne drei Geräte, in denen Linsen verwendet werden, und beschreibe ihre Aufgabe.
Begriffskarte Optik: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Brennweite, Gegenstandsweite, Bildweite, Gegenstandsgröße und Bildgröße.
Strahlenkonstruktion: Zeichne eine Sammellinse mit Gegenstand außerhalb der doppelten Brennweite und konstruiere das Bild.
Rechenbeispiel Linsengleichung: Erfinde passende Werte für Brennweite und Gegenstandsweite und berechne die Bildweite.

Standard

Optische Bank: Baue einen einfachen Versuch mit Lampe, Gegenstand, Linse und Schirm auf und dokumentiere ein scharfes Bild.
Messreihe zur Brennweite: Führe mindestens drei Messungen durch, berechne jeweils die Brennweite und vergleiche die Ergebnisse.
Kamera und Fokus: Erkläre mit der Linsengleichung, warum eine Kamera beim Scharfstellen den Abstand zwischen Linsen und Sensor verändert.
Erklärvideo Optik: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du die Formelzeichen und eine Beispielrechnung erklärst.

Schwer

Fehleranalyse Experiment: Untersuche, wie Messunsicherheiten bei Gegenstandsweite und Bildweite das Ergebnis für die Brennweite beeinflussen.
Bessel-Verfahren: Recherchiere das Bessel-Verfahren zur Brennweitenbestimmung und vergleiche es mit der direkten Messung.
Linsensimulation: Entwickle in einer Tabellenkalkulation oder Programmiersprache eine Eingabemaske für $f$ , $g$ und $b$ .
Grenzen der dünnen Linse: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum reale Kameraobjektive aus mehreren Linsen bestehen.

Lernkontrolle

Fokusänderung erklären: Ein Gegenstand wird schrittweise von großer Entfernung an eine Sammellinse herangeführt. Erkläre, wie sich die Position des Schirms für ein scharfes Bild verändern muss.
Linsen vergleichen: Zwei Sammellinsen besitzen unterschiedliche Brennweiten. Entwickle einen Versuchsplan, mit dem Du ohne Aufschrift herausfindest, welche Linse die kleinere Brennweite hat.
Messfehler beurteilen: Eine Gruppe misst $g$ von der Vorderseite der Linsenhalterung, eine andere von der Linsenmitte. Beurteile die Folgen für die berechnete Brennweite.
Projektor übertragen: Erkläre, warum bei einem Projektor ein kleines Objekt nahe außerhalb der Brennweite liegt und die Leinwand weit entfernt steht.
Behauptung prüfen: Prüfe die Aussage: Ein größeres Bild entsteht immer dann, wenn der Schirm näher an die Linse geschoben wird.
Auge und Kamera vergleichen: Vergleiche, wie Auge und Kamera trotz unterschiedlicher Fokussiermechanismen ein scharfes reelles Bild erzeugen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema sind besonders wichtig:

Du benennst $f$ , $g$ , $b$ , $G$ und $B$ korrekt.
Du stellst die Linsengleichung nach der gesuchten Größe um.
Du rechnest mit einheitlichen Längeneinheiten und gibst Ergebnisse mit Einheit an.
Du deutest das Ergebnis physikalisch und ordnest die Bildeigenschaften zu.
Du überprüfst eine Rechnung durch Strahlenkonstruktion, Experiment oder Plausibilitätskontrolle.
Du erklärst eine Anwendung der Linsengleichung in einem optischen Gerät.
Du reflektierst Messunsicherheiten und Grenzen des Modells der dünnen Linse.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Die Linsengleichung - Physik

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.